(完整word版)(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解
北师大版八年级下册 第四章 因式分解 第一节 因式分解 课件 (共18张PPT)
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解（ factorization), 例 如 ： a3-a=a(a+1)(a-1) 、 am+bm+cm=m(a+b+c), 从 左 到 右 的 变 形 都 是 因式分解。因式分解也可称为分解因式。
一辨: 下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）24x2y=4x· 6xy (2)(a+3)(a-3)=a2-9 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 (4)2mR+2mr=2m(R+r) 1 （5）x+1=x(1+ ) (6)m2-4=(m+2)(m-2)
式 分 解
拓展提升： 若关于x二次三项式x2+mx+n可分解为(x+1)2 ，则 m=___,n=___ 因式分解与整式乘法密切联系, 逆用整式乘法及乘法公式等可以帮助 我们解决有关因式分解的问题 三用： a=3.14, b=2.386, c=2.386,求ab-ac的值。 特殊问题背景下,因式分解 可以使运算更简便
193-19 = 19×192－19×1 = 19（192－1） = 19×360 = 19×18×20
类比、猜测
式
你能尝试把多项式a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3-a = a× a2 － a × 1 = a（ a2 － 1 ） 形 = a(a+1)(a-1)
我校第十届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传， 我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分 组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方 形，通过计算拼图前后的面积，写出相应的关系式。
整 式 乘 法
八年级数学下册第四章因式分解1因式分解讲义新版北师大版【word版】.doc
因式分解因式分解在整个初中学习中占有很重要的地位，它是解方程与不等式的基础，更是很多综合题目的重点，因此，今天和大家分享如何啃下因式分解这个骨头。
【基础知识查漏补缺】首先我们关于因式分解的基础知识一定要了然于胸，否则一切都是空谈。
基础知识有：1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式。
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形；因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式。
2. 整式乘法的特点：单项式乘以多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc；多项式乘以多项式：（m+n）(a+b)=ma+mb+na+na，特殊情况（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab【因式分解的基础方法】1.提取公因式法顾名思义，就是将多项式中各项相同的因式（公因式）提取出来，例如（x+1）a+（x+1）b-（x+1）c=（x+1）（a+b-c）；判据（多项式具备什么特征选取这个方法）：多项式的每一项有相同的因式；2.公式法说白了，就是套公式；平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,主要就是这两个公判据：多项式的项数为2或3项3.十字相乘法就是类似形式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);判据： a）多项式的项数为3项；b）看常数项分解成两个数乘积后，这两个数相加是否等于x项前面的系数；举例如下图：4.分组分解法简而言之，就是将多项式分成二或三组，分别分解，在提取公因式，如xy-x-y+1=(xy-x)-(y-1)=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1);判据：多项式项数在4项或以上注意：一定要理解并记住每一种方法的判据，它是我们确定解题方法的关键！【解题思路】当我们拿到一道因式分解题目的时候，有这么多方法，我们到底选哪一种呢? 注意，这里我们千万不能碰运气式的随机尝试方法，我们选取方法是有先后顺序的，如下图：切记，解题时一定要按照这个顺序选取方法，尤其是对初学者而言，形成这样的解题思路非常重要，平时家长或老师可以给予适当引导。
北师大版数学八年级下第二章、因式分解复习讲义(三)分组分解法
2013年八年级下第二章、因式分解复习讲义（三）1.5、分组分解法第一部分、知识要点【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
第二部分、典例分析例1：分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++变式训练1-1：选择题：对n np mp m 22+++运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）（A ）mp np n m +++)22( （B ）)2()2(mp n np m +++（C ）)()22(np mp n m +++ （D ）np mp n m +++)22(变式训练1-2：分解因式：（1）x xy y x 21372-+- （2）)15)(3()3()3(531552223--=---=+--x x x x x x x x例2：（1）分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+（2）分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---变式训练2-1：分解因式（1）y y x x 3922--- （2）yz z y x 2222---变式训练2-2：分解因式：m n m nn 222141()-+-+ 解：m n m nn 222141()-+-+ =-+-+=++---=+--=-+++-+m n m m n n m n m n m m n n m n m n m n m n m n m n 222222222241212111()()()()()()例3：把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ）A a aB a aC a aD a a .().().().()222222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。
北师大版八年级下册数学因式分解课件
议一议:
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1) 的变形与上面的变形互为逆过程 .
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
计算下列式子：
（1）3x(x-1)=
3x2 -3x
；
（2）m(a+b+c)= ma+mb+mc ； （3）(m+4)(m-4)= m2-16 ；
（4）(y-3)2 = y 2-6y+9 ； （5）a(a+1)(a-1)= a3 -a ．
根据上面的算式填空： （1）ma+mb+mc= m(a+b+c)； （2）3x 2-3x= 3x(x-1) ； （3）m2-16= (m+4)(m-4)； （4）a3-a= a(a+1)(a-1) ； （5）y 2-6y+9= (y-3)2 ．
以下两种运算有什么联系与区分? （1）a(a+1)(a-1)= a 3-a （2）a 3-a= a(a+1)(a-1)
在上面的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？ 联系：第（2）式与第（1）式是互逆运算； 区分：第（1）式是将乘积化为多项式，而第（2）式是将多项式化为乘积情势。
北师大版 八年级 下册
4.1 因式分解
第1课时
复习：
1.整式乘法有几种情势 ? (1) 单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 : a(m+n)=am+an (3) 多项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=am+an+ bm+bn
(150311精品讲义)数学北师大版8年级下册因式分解
因式分解因式分解：把一个多项式分解成几个整式之积的形式叫做多项式的因式分解。
因式分解是多项式乘法的逆向变形。
因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，十字相乘法。
1. 提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，把这个因式提出来，作为多项式的一个因式，再用这个因式去除这个多项式，把所得的商作为另一个因式，这种因式分解的方法叫做提取公因式。
提公因式法是因式分解中的首选方法，不能提公因式或者提公因式后再选择其它方法。
公因式的取法为：①系数取各项整数系数的最大公约数（第一项系数为负，一般提出负号）。
②字母取各项的相同字母（有时为多项式）。
③字母的指数取相同字母的最低指数。
例1、 分解下列因式：（1）ma+mb (2)m(a-b)+n(b-a) (3)（4）3x(x-y)-8(x-y) （5）(2a+b)(2a-3b)+a(2a+b) （6）5(x-y)3+10(y-x)2例2、分解下列各式：2. 公式法：由于整式乘法和因式分解是互逆的过程，把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法。
用此法分解因式时，首先要分析该多项式是否具有可用公式的特点。
例如，如果多项式是二项式，就可以考虑运用两数和乘以两数差的公式，即；如果多项式是三项式，就可以考虑运用两数和的平方公式，即。
例3、把下列各式分解因式：（1） ； （2） （3）。
（4） （5） （6）3. 十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
二次三项式的因式分解问题，只要把二次项系数a分解成两个因数和的积，常数项c 分解成两个因数和的积，且使+=b，则有。
因为一个整数分解成两个因数积得形式不唯一，且要满足上述条件，故常用十字相乘的形式进行试算，最后确定分解的结果。
具体看下面例题：；反之。
例4、将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）。
(4) (5) (6)4. 分组分解法：对于一个多项式，它的各项没有公因式，也不能直接使用公式来分解，这时一般采用分组分解法来进行因式分解。
数学北师大版八年级下册北师大版八年级下因式分解
1因式分解1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念.2.认识因式分解与整式乘法的关系——互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法.1.通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,并用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.2.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化,培养学生分析问题的能力与综合应用能力.培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度.【重点】因式分解的概念.【难点】理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系寻求因式分解的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关整式乘法的知识.导入一:【问题】简便运算.(1)736×95+736×5;(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.[设计意图]观察实例,分析两个问题的共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生,但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉.这一步的目的是设计问题情境,复习相关知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,运用类比很自然地过渡到因式分解的概念上,从而为因式分解的理解和掌握打下基础.导入二:【问题】(1)993-99能被99整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.因为993-99=99×992-99×1=99(992-1),所以993-99能被99整除.(2)993-99能被100整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.小明是这样做的:993-99=99×992-99×1=99(992-1)=99×9800=99×98×100,所以993-99能被100整除.[设计意图]以一连串的知识性问题引入,在学生已有的知识基础上,先让学生解决一些具体的数的运算问题,通过简便运算把一个式子化成几个数的乘积的形式,并且问题的设置由浅入深,逐步让学生体会因数分解的过程和意义.这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,体现了知识螺旋上升的特点.一、因式分解的概念a3-a=a·a2-a·1=a·(a2-1)=a·(a+1)(a-1)=(a-1)·a·(a+1).(1)你能理解吗?你能与同伴交流每一步是怎么变形的吗?(2)这样变形是为了达到什么样的目的?像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.[设计意图]从知识性的问题过渡到思考性的问题,巧妙设问:“如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法,得出a3-a=(a-1)·a·(a+1),这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃,是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识,是对学生思维能力水平的一次提高,同时很自然地从因数分解过渡到因式分解,初步树立起学生对因式分解概念的直观认识.解答:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2+2x+1=(x+1)2.像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.[设计意图]以拼图前后面积不变的方式,加深学生对因式分解的理解,形象地说明因式分解是整式的恒等变形,对学生的思维发展具有实际价值.学生通过观察,给出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理就都应给予鼓励.要注意的是,这里拼图前后的数量关系主要指向面积,教师要适当引导.二、例题讲解(1)3x(x-1)=;(2)m(a+b-1)=;(3)(m+4)(m-4)=;(4)(y-3)2=.根据上面的算式进行因式分解:(1)3x2-3x=()();(2)ma+mb-m=()();(3)m2-16=()();(4)y2-6y+9=()().思考:因式分解与整式乘法有什么关系?举例说明.[设计意图]通过两组练习,类比两种不同的运算,进一步让学生体会什么是因式分解,以及因式分解与整式乘法之间的互逆关系,这个时候,因式分解的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维.[知识拓展]对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆过程.3.因式分解要注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.1.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是()A.x2-x-2=x(x-1)-2B.(a+b)(a-b)=a2-b2C.x2-4=(x+2)(x-2)D.x2解析:主要考查因式分解的概念.故选C.2.下列各式因式分解正确的是()A.a+b=b+aB.4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1C.a(a-b)=a2-abD.a2-2ab+2a=a(a-2b+2)解析:主要考查因式分解的概念.故选D.3.把一个多项式化成的形式,这种变形叫做因式分解.答案:几个整式的积4.因式分解与整式乘法的关系是.答案:互为逆过程5.的结果是.解析:利用因式分解可以简化计算.原式(13-6+2).故填7.1因式分解一、因式分解的概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第93页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第94页习题4.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.(柳州中考)下列式子是因式分解的是()A.x(x-1)=x2-1B.x2-x=x(x+1)C.x2+x=x(x+1)D.x2-x=(x+1)(x-1)2.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6xB.(x+5)(x-2)=x2+3x-10C.x2-8x+16=(x-4)2D.(x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)3.观察下面计算962×95+962×5的过程,其中最简单的方法是()A.962×95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200B.962×95+962×5=962×5×(19+1)=962×(5×20)=96200C.962×95+962×5=5×(962×19+962)=5×(18278+962)=96200D.962×95+962×5=91390+4810=96200【能力提升】4.计算(1)~(3)题,并根据计算结果将(4)~(6)题进行因式分解.(1)(x-2)(x-1)=;(2)3x(x-2)=;(3)(x-2)2=;(4)3x2-6x=()();(5)x2-4x+4=()();(6)x2-3x+2=()().【拓展探究】5.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?请说明理由.(1)a(x+y)=ax+ay;(2)x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1);(3)ax2-9a=a(x+3)(x-3);(4)x2(5)2a3=2a·a·a.【答案与解析】1.C(解析:因式分解就是把一个多项式化成几个整式的积的形式,对各选项分析判断后利用排除法求解.故选C.)2.C(解析:根据因式分解的概念可知只有C是因式分解.故选C.)3.A(解析:利用因式分解进行计算比较简单.故选A.)4.(1)x2-3x+2(2)3x2-6x(3)x2-4x+4(4)3x x-2(5)x-2x-2(6)x-2x-1(解析:利用因式分解与整式乘法互为逆过程解答.)5.解:因为(1)(2)的右边都不是整式的积的形式,所以它们不是因式分解;(4),所以不是因式分解;(5)中的2a3不是多项式,所以它也不是因式分解.只有(3)的左边是多项式,右边是整式的积的形式,所以(3)是因式分解.本节课以学生的思维进程发展为主线,采用逐步渗透和类比的思想方法.在概念引入时从因数分解与因式分解的类比,到概念强化阶段整式乘法与因式分解的过程的类比,再到等式恒等变形与因式分解的类比,逐渐加深学生的认识.主要体现在从一开始以一连串的知识性问题引入,到后来教学环节中多次提出思考性的问题,启发、引导学生做进一步的猜想、探究,这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识.本课的设计过多强调学生用高度抽象的语言来描述概念.在例题的讲解过程中,没有让学生尝试自己独立完成.注意引导学生从几何的角度理解因式分解.最好将因式分解的方法也一起适当地融入到本节课的教学内容中.随堂练习(教材第93页)1.解:2.解:(2)(4)是因式分解.因为(2)(4)满足因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式.习题4.1(教材第94页)1.解:2.解:(2)(3)是因式分解.3.解:原式=I(R1+R2+R3)=2.5×(24.2+36.4+39.4)=250.故代数式的值为250.4.解:如右图所示.x2+x+2x+2=x2+3x+2=(x+2)·(x+1).5.解:(1)原式=1999×(1999+1)=1999×2000,所以19992+1999能被1999整除,也能被2000整除.(2)原式(16.9+15.1)=4,故16..4整除.学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算,并且学习了整式的乘法运算,因此对于因式分解的引入,学生不会感到陌生,它为今天学习因式分解打下了良好基础.由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程,而逆向思维对于八年级学生来说还比较生疏,接受起来还有一定的困难,另外本节还没有涉及因式分解的具体方法,所以对于学生来说,寻求因式分解的方法是一个难点.已知a=2,b=3,c=5.求代数式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)的值.解:当a=2,b=3,c=5时,a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)=a(a+b-c)+b(a+b-c)-c(a+b-c)=(a+b-c)(a+b-c)=(a+b-c)2=(2+3-5)2=0.。
(完整word)(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解
因式分解一、概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四那么运算，又为学习分式打好根底；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原那么1分解要彻底2最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正〔例如：-3 x2 +x=-x(3x-1)〕根本方法1】提取公因式这种方法比拟常规、简单，必须掌握。
有时提公因式后再用公式法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1： 2 x2 -3x解： =x(2x-3)针对性练习：提公因式法1. 用提取公因式法分解因式正确的选项是〔〕A.12 abc－ 9a2b2=3abc(4 － 3ab)x2y－3xy+6y=3y( x2－x+2y)C. －a 2+ －=－ (－ + ) D.2 +5 － = (x2+5 ) ab ac a a b c x y xy y y x2.以下多项式中 , 能用提公因式法分解因式的是 ( )A.x 22+2x2+y22-xy+y23.如果 b－ a=－6， ab=7，那么 a2b－ ab2的值是( )B.－42 D. － 134.将下面各式进行因式分解(1) a3 b212ab 3c6a3b 2c(2)21a2b 14ab27ab8(3) ma2-4ma+4a(4) -28y4-21y 3+7y25. 2x－y= 1，xy =2，求 2x4y3－x3y4的值 .86. (4 x-2 y-1) 2+xy 2 =0，求4x2y-4x2y2-2xy2的值.【随堂练习】1、分解因式：．2、分解因式：；3.分解因式：2】公式法将式子利用公式来分解，也是比拟简单的方法。
北师大版八年级下册第四章因式分解之因式分解
B
D x²-5x+6 =(x+2)(x+3)
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分 解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解 由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
(1)x²-x =x(x-1） 因式分解
(2)x²-1=(x+1)(x-1) 因式分解
(3) x(x-1）=x²-x 整式乘法
(4) (x+1)(x-1) =x²-1 整式乘法
判断下列各式哪些是整式乘法,
哪些是因式分解。
(1)x²-4y²=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2)(5a-1)²=25a²-10a+1 整式乘法
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分 解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解 由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
解这类题的步骤:第一利用整式的乘法得到 多项式;第二令得到的多项式与所求的多项 式相等;第三使其对应项的系数相等.
所以原式能被11整除.
试说明 32020 - 4 32019 7 32018
能被11整除.
32 52018 - 4332018 7 32018 32018 (32 - 4 3 7) 32018 4
北师大版八年级数学下册课件--1 因式分解
因式分解与整式乘法的关系及应用
4.(2019浦东期末)如果(x+4)(x-3)是x2-mx-12的因式,那么m是( D )
(A)7 (B)-7 (C)1 (D)-1
5.把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数,若将这个新
的两位数与原两位数相加,则所得的和一定是( C )
式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?哪些两者都不是? (1)ax+bx+cx+m=(a+b+c)x+m; (2)mx2-2mx+m=m(x-1)2; (3)x(2x-y)=2x2-xy; (4)x2-4xy+4y2=(x-2y)2; (5)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1; (6)(x-2)(x+2)=x2-4;
所以
b 12 m 4b,
10,
解得
b 2, m 8.
所以另一个因式是 3x-2,m 的值是-8.
所以
b a
4 1, 2b,
解得
a b
6, 3.
所以另一个因式是 2x-3,a 的值是-6.
请你仿照以上做法解答下题:已知二次三项式 3x2+10x+m 有一个因式是 x+4,
求另一个因式以及 m 的值.
解:设另一个因式是 3x+b, 根据题意得 3x2+10x+m=(x+4)(3x+b). 展开得 3x2+10x+m=3x2+(b+12)x+4b.
解:用数来说明: (a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd. 用形来说明:如图,边长为 a+b 和 c+d 的长方形分割前后的面积相等, 即 ac+bc+ad+bd=(a+b)(c+d).
《因式分解》复习课课件北师大版八年级下全面版
例题讲解
1
公式法的例题
2
利用常见的因式分解公式化简表达式。
3
分组方法的例题
4
将表达式中的项分组并进行因式分解。
提公因式法的例题
使用提公因式法化简复杂的多项式。
配方法的例题
通过配对表达式中的项进行因式分解。
注注意正确使用括号。
2 注意结果是否可以化简
最后的结果可能需要进一步化简，要仔细检查。
因式分解复习课
本课程将全面介绍因式分解，使你能够轻松化简多项式、解决方程和计算面 积。让我们开始探索这个有趣的主题吧！
什么是因式分解？
因式分解是将多项式拆分为不可再分解的基本式子的乘积形式，以便简化表 达式和方便计算。
因式分解的方法
提公因式法
通过提取表达式的公因式来进行因式分解。
公式法
使用一些常见的因式分解公式来化简表达式。
3 注意写出具体步骤
在解答问题时，要写出详细的因式分解步骤。
习题训练
提高题
挑战你的思维，解决更复杂的因式分解问题。
总复习题
综合运用因式分解，巩固所学知识。
小结
因式分解是化简多项式的重要方法，对于数学学习和应用都有很大帮助。通过多练习，你可以提高因式 分解的运用能力和熟练度。
配方法
将表达式中的项按照一定的规则进行配对， 然后进行因式分解。
分组方法
将表达式中的项分成多个组，再进行因式分 解。
因式分解的应用
化简分式
通过因式分解，可以简化复 杂的分式，使其更易计算。
求方程的根
通过因式分解，可以找到方 程的根，解决实际问题。
计算面积和周长
利用因式分解，可以快速计 算图形的面积和周长。
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因式分解一、概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则 1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-32x +x=-x(3x-1)）基本方法1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。
有时提公因式后再用公式法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1： 22x -3x解： =x(2x-3)针对性练习：提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的是（ ）A.12abc －9a 2b 2=3abc (4－3ab )B.3x 2y －3xy +6y =3y (x 2－x +2y )C.－a 2+ab －ac =－a (a －b +c )D.x 2y +5xy －y =y (x 2+5x ) 2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( ) A.x 2-y B.x 2+2x C.x 2+y 2D.x 2-xy+y 23.如果b －a =－6，ab =7，那么a 2b －ab 2的值是( )A.42B.－42C.13D.－13 4.将下面各式进行因式分解(1)c b a c ab b a 233236128+- (2) ab ab b a 7142122-+-(3) ma 2-4ma+4a (4) -28y 4-21y 3+7y 25.已知2x －y =81，xy =2，求2x 4y 3－x 3y 4的值.6.已知(4x -2y -1)2+2 xy =0，求4x 2y -4x 2y 2-2xy 2的值.【随堂练习】1、分解因式： ．2、分解因式：；3.分解因式：2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等。
注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
例2：2x-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)【随堂练习】1、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A．B．C．D．2.分解因式：3. 分解因式：．针对性练习：一、平方差公式：))((22b a b a b a -+=- 1.填空222211___()()4411(____)(____)911____(2)(2)22x x x a b x x y x y -=+--=-=+- 2.将下列各式因式分解(1) 229n m - (2) 4161m +- (3)452322a b c a b c -(4)n n b a b a )()(2---+ (5))()(22x y b y x a -+- (6) 22)(16)(49n m n m --+二．完全平方公式： 222)(2b a b ab a ±=+± 1、下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( ) A 、x 2+xy+y2B 、x 2－2x －1C 、-x 2-2x-1D 、x 2+4y22、多项式4a 2+ma+25是完全平方式，那么m 的值是( ) A.10B.20C.－20D.±203、－x 2+2xy －y 2的一个因式是x －y ，则另一个因式是________. 4、若x 2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a 的值是________. 5．将下列更是进行因式分解(1) x 2+6ax+9a 2(2) 442++n ny y（3） 42244n n m m +-(4) 2x 3y 2–16x 2y+32x ； (5) 3ax 2+6axy+3ay 2; (6)249114x x --(7) 1)(2)(2+---q p q p (8) 1)1(2)1(24++-+x x【课后练习】1、将下列各式进行因式分解：(1)12 x 3y-2xy 3； (2)(5a 2-2b 2)2-（2a 2-5b 2）2。
2、将下列各式因式分解：（1）1-16x 2； (2)25x 2y 2-49a 2； (3)-x 4+9121 y 2。
3、把下列各式进行因式分解：(1)(3x+2y)2-（x-y ）2； (2)-(x+2)2+16(x-1)2。
4、因式分解4b 2-4ab+a 2正确的是（ ）A ．4b(b-a)+a 2B ．(2b-a)2C ．(2b-a)(2b-a)D ．(2b+a)25、已知x －y=1，xy=2，求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值.因式分解识点1：分解因式的定义1．分解因式：把一个多项式化成几个整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。
如： 判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： ①8)3)(3(892+-+=+-x x x x （ ） ② )49)(49(4922y x y x y x -+=- （ ）③ 9)3)(3(2-=-+x x x （ ） ④)2(222y x xy xy xy y x -=+- （ ）知识点2：公因式公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式； 例如：1. 的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2. 多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．24ab c - B ．38ab - C ．32ab D ．3324a b c3. 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________ 知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如：1.可以直接提公因式的类型：（1）3442231269b a b a b a +-=________________；（2）11n n n aa a +--+=____________（3）542)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值2.式子的第一项为负号的类型：（1）①33222864y x y x y x -+- =________ _______ ②243)(12)(8)(4n m n m n m +++-+-=____ ___ （2）22188y x +-=________ _______ 练习：1．多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是( )y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D..y x 431--2.分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)33. 公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。
（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如）（）（）（）（1-x -y x -y x -y -x -y )(-)(55656==--x y y x例：( 1)（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ） ( 2)（a+b －c ）（a －b+c ）+（b －a+c ）·（b －a －c ）（3）a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 练习：1．把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）(A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 2．多项式)3()3(3y x y x ---的分解因式结果（ ）A ．))(3(3x x y +-B ．))(3(3x x y --C ．)1)(3(2x y x +- D ．)1)(3(x y x -- 3．分解因式：（1）)(()()(y x x y n y x m -=-+-________) （2）－6(x －y)4－3y(y －x)5知识点4公式法分解因式．公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
一、平方差公式分解因式法平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。
即a 2-b 2=(a+b)(a-b)例如：1、判断能否用平方差公式的类型（1）．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2 （2）．下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）A ． 22y x +B ．22y x --C ．22xy x - D ．21y -2、直接用平方差的类型（1） 22916y x - （2）1252+-x （3）14-x3、整体的类型：（1）22)(n n m -+ （2）22)32()(y x y x -++-4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型(1)m 3—4m= ．(2)=-a a 3 ．练习：将下列各式分解因式（1）()22241x x -+ (2)100x 2－81y 2；(3)9(a －b)2－(x －y)2；（4）5a a - （5）x x 93+- （6）)()(3n m n m ---二、完全平方式分解因式法完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。