2018版高中物理必修2《优化设计》第五章曲线运动第5节

第5节向心加速度一、匀速圆周运动中加速度的方向阅读教材第20页的内容，知道向心加速度的概念，知道向心加速度方向的变化特点。

1.任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心。

这个加速度叫做向心加速度。

2.由于匀速圆周运动中向心加速度的方向时刻发生变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀加速运动，而是变加速运动。

思维拓展如图1所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，小球系在细线的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：图1(1)图甲中地球受什么力的作用？这个力沿什么方向？加速度方向呢？地球的运动状态发生变化吗？向心加速度的作用是什么？(2)图乙中的小球受几个力的作用？合力沿什么方向？加速度方向呢？小球的运动状态变化吗？向心加速度的作用是什么？答案(1)地球受太阳的引力作用。

这个力由地球指向太阳，加速度沿半径指向圆心，地球的运动状态发生了变化，向心加速度的作用是改变其运动方向。

(2)小球受重力、支持力和绳子的拉力三个力作用。

合力和产生的加速度沿半径指向圆心，小球的运动状态发生了变化，向心加速度的作用是改变其运动方向。

二、向心加速度的大小阅读教材第21页的内容，了解向心加速度与线速度、角速度及半径的几个关系表达式。

向心加速度公式(1)基本公式a n＝v2r＝ω2r。

(2)拓展公式a n＝4π2T2r＝ωv。

(3)向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。

思维拓展(1)有人说：根据a n＝v2r可知，向心加速度与半径成反比，根据a n＝ω2r可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的。

你认为呢？(2)试分析做变速圆周运动的物体，其加速度的方向是否指向圆心。

答案(1)不矛盾。

说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾。

(2)做变速圆周运动的物体，加速度的方向并不指向圆心。

预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中向心加速度的理解[要点归纳]1.物理意义：描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。

2.方向：不论向心加速度a n的大小是否变化，a n的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动。

3.无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。

[精典示例][例1] (多选)关于向心加速度，以下说法正确的是()A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心解析向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，选项A、B正确；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，选项D 正确；物体做变速圆周运动时，物体的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心，选项C错误。

答案ABD[针对训练1]下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是()A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B.向心加速度表示角速度变化的快慢C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢D.匀速圆周运动的向心加速度不变解析匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是时刻变化的，所以D项错误。

答案 C向心加速度公式的理解和应用[要点归纳]1.向心加速度表达式a n＝v2r，a n＝ω2r2.由于v＝ωr，所以向心加速度也可以是a n＝ωv。

3.由于ω＝2πT＝2πf，所以向心加速度也可以是a n＝4π2T2r＝4π2f2r。

[精典示例][例2](多选)一个小球以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径r ＝1 m，则下列说法正确的是()A.小球运动的角速度为2 rad/sB.小球做圆周运动的周期为πsC.小球在t＝π4s内通过的位移大小为π20mD.小球在πs内通过的路程为零解析由a＝ω2r得角速度ω＝ar＝2 rad/s，A对；周期T＝2πω＝πs，B对；小球在t＝π4s内通过14圆周，位移大小为2r＝ 2 m，C错；小球在πs内通过的路程为一个圆周的长度2πr＝2πm，D错。

答案AB向心加速度公式的应用技巧(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。

(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。

(3)向心加速度公式a n＝v2r和a n＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。

[针对训练2](2017·徐州高一检测)如图2所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点。

下列说法中正确的是()图2A.A、B两点具有相同的角速度B.A、B两点具有相同的线速度C.A、B两点具有相同的向心加速度D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心解析A、B都随球体一起绕轴O1O2旋转，转一周所用时间相等，故角速度相等，有ωA＝ωB＝ω，A正确；A做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，设球半径为R，故A的轨道半径r A＝R sin 60°，B的轨道半径r B＝R sin 30°，所以两者的线速度v A＝r Aω＝32Rω，v B＝r Bω＝12Rω，显然，v A＞v B，B错误；两者的向心加速度a A＝r Aω2＝32Rω2，aB＝r Bω2＝12Rω2，显然，两者的向心加速度也不相等，C错误；又两者的向心加速度指向各自的圆心，并不指向球心，所以D错误。

答案 A1.(对向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法正确的是( )A.向心加速度越大，物体速率变化越快B.向心加速度越大，物体转动得越快C.向心加速度方向始终与速度方向垂直D.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的答案 C2.(对向心加速度公式的理解)(多选)一小球被细绳拴着在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，向心加速度为a n ，那么( )A.小球运动的角速度ω＝a nRB.小球在时间t 内通过的路程s ＝t a n RC.小球做匀速圆周运动的周期T ＝Ra nD.小球在时间t 内可能发生的最大位移为2R解析 由a n ＝Rω2，可得ω＝a nR ，A 正确；由a n ＝v 2R 可得v ＝a n R ，所以t 时间内通过的路程s ＝v t ＝t a n R ，B 正确；由a n ＝Rω2＝4π2T 2R ，可知T ＝2πRa n ，故C 错误；位移用由初位置指向末位置的有向线段来描述，对于做圆周运动的小球而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R ，D 正确。

答案 ABD3.(向心加速度公式的应用)(2017·广州高一检测)(多选)如图3所示的皮带传动装置，主动轮的半径与从动轮的半径之比R 1∶R 2＝2∶1，A 、B 分别是两轮边缘上的点，假定皮带不打滑，则下列说法正确的是( )图3A.A 、B 两点的线速度之比为v A ∶v B ＝1∶2B.A 、B 两点的线速度之比为v A ∶v B ＝1∶1C.A 、B 两点的加速度之比为a A ∶a B ＝1∶2D.A 、B 两点的加速度之比为a A ∶a B ＝2∶1解析 皮带不打滑，两轮边缘线速度的大小相等，A 错误，B 正确；由a ＝v 2r 知两轮上A 、B 点的向心加速度跟两轮的半径成反比，故C 正确，D 错误。

答案 BC4.(向心加速度公式的应用)如图4所示，定滑轮的半径r ＝2 cm 。

绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a ＝2 m/s 2向下做匀加速运动。

在重物由静止下落1 m 的瞬间，滑轮边缘上P 点向心加速度多大？图4解析 由v 2＝2ah 得重物下落1 m 的速度v ＝2×2×1m/s ＝2 m/s ，P 点线速度v P ＝v ＝2 m/s ，由a ＝v 2r 得a ＝v 2r ＝220.02 m/s 2＝200 m/s 2。

答案 200 m/s 2基础过关1.关于向心加速度，下列说法正确的是( )A.向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.向心加速度的大小恒定，方向时刻改变D.向心加速度是平均加速度，大小可用a ＝v －v 0t 来计算解析 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，它是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项A 错误，B 正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，选项C 错误；公式a ＝v －v 0t 适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D 错误。

答案 B2.关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A.线速度大，加速度一定大B.角速度大，加速度一定大C.周期大，加速度一定大D.加速度大，速度一定变化快解析 由a n ＝v 2r ＝ω2r ＝4π2r T 2可知，当r 一定时，a n 与线速度v 的平方成正比，与角速度ω的平方成正比，与周期T 的平方成反比，A 、B 、C 错误；加速度是描述速度变化快慢的物理量，加速度越大，速度变化越快，D 正确。

答案 D3.(多选)(2017·石家庄高一检测)“摩天转轮”可以在竖直平面内转动，其直径达98 m 。

游人乘坐时，转轮始终不停地做匀速转动，每转动一圈用时25 min ，则( )A.每时每刻，每个人受到的合力都不等于零B.每个乘客都在做加速度为零的匀速运动C.乘客在乘坐过程中，向心加速度并不是零，只是很微小D.乘客在乘坐过程中的速度始终不变解析 “摩天转轮”匀速转动，其上的人随之做匀速圆周运动，而匀速圆周运动属于变速运动，必定有加速度(向心加速度)，根据牛顿第二定律，人所受合力一定不为零；同时，人在竖直平面内做匀速圆周运动，向心加速度的方向随时改变，但大小一定，a n ＝ω2r ＝4π2T 2r ＝4π2（25×60）2×982 m/s 2＝8.6×10－4m/s 2；另外，乘客随转轮做匀速圆周运动，其速度的大小不发生变化，但速度的方向时刻变化。

所以选项A、C正确。

答案AC4.自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分(如图1)，行驶时()图1A.大齿轮边缘点比小齿轮边缘点的线速度大B.后轮边缘点比小齿轮边缘点的角速度大C.大齿轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比D.后轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比答案 C5.(多选)如图2所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是()图2A.向心加速度的大小a P＝a Q＝a RB.任意时刻P 、Q 、R 三点向心加速度的方向相同C.线速度v P ＞v Q ＞v RD.任意时刻P 、Q 、R 三点的线速度方向均不同解析 R 、Q 、P 三点的轨道圆心都在轴AB 上，且它们的轨道平面互相平行，因此三点的角速度相同，由于向心加速度方向也相同且指向轴AB ，由a n ＝rω2可知：a P ＞a Q ＞a R ，又由v ＝ωr 可知v P ＞v Q ＞v R ，选项A 错误，B 、C 正确；三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同，选项D 错误。