概率论与数理统计试题6
《概率论与数理统计》6,7,8章测验
样本, 6.设X1, X2, …，Xn是来自总体X样本, 则 ， 方差D( X ) = σ 2的无偏估计是( ) n−1 1 n−1 1 2 ( Xi − X )2 ∑ (A) ∑(Xi − X ) (B)
8.. 设总体 X ~ N(µ, σ 2 ) ,其中σ 2 已知, 若样本 已知, 容量n 和置信度 −α 均不变, 则对于不同 1 均不变, 的样本观察值, 的样本观察值, 总体均值 µ 的置信区间的 长度( 长度( )
1 2 s = ∑(Xi −X ) n −1 i=1 1 n 2 2 s3 = ∑(Xi −µ) n −1 i=1
2 1
1 2 s = ∑( Xi −X ) n i=1 1 n 2 2 s4 = ∑( Xi −µ) n i=1
2 2
则服从自由度为n –1的t分布的随机变量 1 是( ) X −µ X −µ (A) t = (B) t =
n −1 i=1 n i=1 n 1 n 2 1 2 (C) ∑(Xi − X ) (D) n −1∑(Xi − X ) i=1 n i=1 2 2 7. 设X 服从正态分布N(µ,σ ), 且 σ 未知, 则µ的置信度为0.95的置信区间 为( ) s σ (A) ( X ± t0.025 ) (B) ( X ± t0.025 ) n n s σ (C) ( X ± z0.025 ) (D) ( X ± z0.025 ) n n
4.设X1, X2, …，Xn是来自正态总体 N(0, 1) 4.设 ， 2 简单随机样本， 的简单随机样本，X 和 s 分别为样本均值 和样本方差 本方差， 和样本方差，则（ ） (B) nX ~ N(0, 1) (A) X ~ N(0, 1) n X 2 2 ~ t (n −1) (C) ∑Xi ~ χ (n −1) (D) s/ n i=1
概率论与数理统计第六章测试题
第6章 参数估计选择题1．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X 的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则（A ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 (B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同 （C ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同 (D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的2．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均为未知参数，X =1ˆμ，12ˆX =μ，下面结论哪个是错误的。
（A ）X =1ˆμ是μ的无偏估计 (B) 12ˆX =μ是μ的无偏估计 （C ）X =1ˆμ比12ˆX =μ 有效 (D) ∑=-ni i X n 12)(1μ是σ2的最大似然估计量 3．设n X X X ,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2的最大似然估计量是（A ） ∑=--n i i X X n 12)(11 (B) ∑=-ni i X X n 12)(1 （C ） ∑=--n i i X n 12)(11μ (D) ∑=-n i i X n 12)(1μ 4．已知总体X 在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设n X X X ,...,,21是来自X 的简单随机样本，X 是样本均值，},...,max {1)(n n X X X = 是最大观测值，则下列选项错误的是 （A ）)(n X 是θ的最大似然估计量 (B) )(n X 是θ的无偏估计量 （C ）X 2是θ的矩估计量 (D) X 2是θ的无偏估计量5． 设总体X~N(μ1,σ2)，总体Y~N(μ2,σ2)，m X X X ,...,,21和n Y Y Y ,...,,21分别是来自总体X和Y 的简单随机样本，样本方差分别为2X S 与2Y S ，则σ2的无偏估计量是（A ）22YX S S + (B) 22)1()1(Y X S n S m -+-（C ）222-++n m S S Y X (D) 2)1()1(22-+-+-n m S n S m Y X6． 设X 是从总体X 中取出的简单随机样本n X X X ,...,,21的样本均值，则X 是μ的矩估计，如果（A ）X~N(μ,σ2) (B) X 服从参数为μ的指数分布 （C ）P （X=m ）=μ(1-μ)m-1，m=1,2,… (D) X 服从[0,μ]上的均匀分布 填空题1．假设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，其均值、方差分别为X ，S 2，如果2)32(ˆS a X a -+=λ为λ的无偏估计，则a= 。
概率论和数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、 设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：： 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。
解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。
概率论与数理统计考研复习题6
概率论与数理统计考研复习题（6）数理统计的基本概念1．X 与Y 相互独立且都服从)3,0(2N ，而9191,Y Y X X ，和分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，求统计量 292191Y Y X X U ++++= 服从的分布.2．求总体)3,20(N 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率.3．设n X X X ,,,21 是来自具有)(2n χ分布的总体样本。
求样本均值X 的数学期望和方差.4．设总体X ~N （0，1），从此总体中取一个容量为6的样本（621,,,X X X ），设Y =（26542321)()X X X X X X +++++，试决定常数C ，使得随机变量CY 服从2χ分布.5．从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间 （1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？6．从装有一个白球，两个黑球的罐子里有放回地取球，令X =0表示取到白球，X =1表示取到黑球，求容量为5的样本（521,,,X X X ）的和的分布，并求样本的均值X 和样本的方差2S 的期望值.7．设总体X ~),0(2σN ，（21,X X ）为取自这总体的一个样本，求： （1）221221)()(X X X X Y -+=的概率密度；（2）P {Y <4}. 8．设总体服从参数为λ的指数分布，分布密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,);(x x e x F xλλλ，求E （X ），D （X ），E )(2S .9．从正态总体)5.0,(2μN 中抽取样本1021,,,X X X .（1）已知0=μ，求概率P {}41012≥∑=i i X； （2）未知μ，求概率P {85.2)(2101≥-∑=i i X X}.。
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一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。
2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。
（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。
3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为：0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y，-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：E(2X Y)-4，D(2X Y)6。
8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。
概率论与数理统计第六章测试题
第6章 参数估计选择题1．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X 的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则（A ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 (B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同 （C ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同 (D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的2．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均为未知参数，X =1ˆμ，12ˆX =μ，下面结论哪个是错误的。
（A ）X =1ˆμ是μ的无偏估计 (B) 12ˆX =μ是μ的无偏估计 （C ）X =1ˆμ比12ˆX =μ 有效 (D) ∑=-ni i X n 12)(1μ是σ2的最大似然估计量 3．设n X X X ,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2 的最大似然估计量是（A ） ∑=--n i i X X n 12)(11 (B) ∑=-ni i X X n 12)(1 （C ） ∑=--n i i X n 12)(11μ (D) ∑=-n i i X n 12)(1μ 4．已知总体X 在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设n X X X ,...,,21是来自X 的简单随机样本，X 是样本均值，},...,max {1)(n n X X X = 是最大观测值，则下列选项错误的是 （A ）)(n X 是θ的最大似然估计量 (B) )(n X 是θ的无偏估计量 （C ）X 2是θ的矩估计量 (D) X 2是θ的无偏估计量5． 设总体X~N(μ1,σ2)，总体Y~N(μ2,σ2)，m X X X ,...,,21和n Y Y Y ,...,,21分别是来自总体X和Y 的简单随机样本，样本方差分别为2X S 与2Y S ，则σ2 的无偏估计量是 （A ）22YX S S + (B) 22)1()1(Y X S n S m -+-（C ）222-++n m S S YX (D) 2)1()1(22-+-+-n m S n S m Y X6． 设X 是从总体X 中取出的简单随机样本n X X X ,...,,21的样本均值，则X 是μ的矩估计，如果（A ）X~N(μ,σ2) (B) X 服从参数为μ的指数分布 （C ）P （X=m ）=μ(1-μ)m-1，m=1,2,… (D) X 服从[0,μ]上的均匀分布 填空题1．假设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，其均值、方差分别为X ，S 2 ，如果2)32(ˆS a X a -+=λ为λ的无偏估计，则a= 。
概率论与数理统计总习题及答案
试题一、填空1、设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,A与B不相容，则P(B)=0.3 解：由公式,P(AUB)= P(A)+ P(B)所以P(B)= 0.7-0.4=0.32、若X~B(n,p),则X的数学期望E(X)= n*p解：定义：二项分布E(X)= n*p D(X)=n*p(1-p)3、甲盒中有红球4个，黑球2个，白球2个；乙盒中有红球5个，黑球3个；丙盒中有黑球2个，白球2个。
从这3个盒子中任取1个盒子，再从中任取1球，他是红球的概率0.375解：设甲为A1,乙为A2，丙为A3，红球为B则P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=1/3*1/2+1/3*5/8+1/3*0=0.3754、若随机变量X的分布函数为f(x)={0,x<0√x,0≤x<1 1, x≥1则P{0.25<X≤1}=0.5解：分布函数求其区间概率即右端点函数值减去左端点函数值F (1)-F (0.25) = 1-0.5=0.55、设（X1,X2,…X n）为取自正态分布，总体X~N(μ,σ2),的样本，则X的分布为N(μ,σ2n )解：定义6、设ABC表示三个随机变量事件，ABC至少有一个发生，可表示为AUBUC解：至少；如果是一切发生为A∩B∩C7、设X为连续随机变量，C是一个常数，则P{X=C}=0 解：取常数，取一个点时，恒定为08、一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中1次的概率为80/81，则该射击的命中率为2/3解:射击，即伯努利试验。
求P(X=0)=Cn0p0(1−p)4=1−80/81(1−p)4=181,1−p=13,p=239、设X~N(−1，2)，Y~N(1,3)且X与Y相互独立，则X+ 2Y~N(1,14)解：因为X与Y相互独立，再由正态分布得E(X)=-1,D(X)=2;E(Y)=1,D（Y）=3;所以E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2*1=1D(x+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4*3=14所以X+2Y~N(1,14)10、设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率得P{|X−E(X)|≥7.5}≤ 2.57.52解：由切比雪夫不等式P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2≤ 2.57.52二、 计算1、 从0，1，2，…9中任意取出3个不同的数字，求下列的概率。
概率论与数理统计答案 (6)
习题六1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100~(0,1)Z N =即 60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】~(0,1)Z N =(2.2 6.2)P X P Z <<=<<210.95,=Φ-=则，故即n >24.01，所以n 至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=10021000~(8)100/3X t t -==10621000(1062)()( 1.86)0.05100/3P X P t P t ->=>=>=4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)Z N =，由P (|X -μ|>4)=0.02得P |Z |>4(σ/n )=0.02,故210.02⎡⎤-Φ=⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即0.99.Φ=⎝⎭ 查表得2.33,=所以5.43.σ== 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.【解】2222299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭查表得914.684,16a= 所以 14.6841626.105.9a ⨯== 6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量Y =∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(，n ＞5服从何种分布？ 【解】2522222211~(5),~(5)i nii i i XX X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立. 所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,310), Y ~N (20,315)，且X 与Y 相互独立. 则33~0,(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭那么~(0,1),Z N = 所以(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛->=>=- ⎝2(10.6628)0.6744.=-=8.设总体X ~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()15121121022212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . 【解】~(0,1),iX N σi =1,2, (15)那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且12χ与22χ相互独立,所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布，参数为（10,5）.9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 1222212111211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 则122222112211()(1),()(1),n n ij i j XX n S y y n S ==-=--=-∑∑又2222221122112222(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=-那么1222112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑2221212221212[()()]2[(1)(1)]2E E n n n n n n σχχσσ=++-=-+-=+-10.设总体X ~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==ni i X n X 2121，令Y =∑=+-+ni i n iX X X12)2(，求EY .【解】令Z i =X i +X n +i , i =1,2,…,n .则Z i ~N (2μ,2σ2)(1≤i ≤n ),且Z 1,Z 2,…,Z n 相互独立.令 2211, ()/1,nni i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑则 21111,222nn i ii i X X Z Z nn =====∑∑ 故 2Z X = 那么22211(2)()(1),n ni n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑所以22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x-e 21 (-∞<x <+∞),X 1，X 2，…，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S 2，求E (S 2).解： 由题意，得1e , 0,2()1e ,0,2xx x f x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩于是 22222220()()()()1()()d e d 021()()d e d e d 2,2xxx E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞==-=======⎰⎰⎰⎰⎰所以2()2E S =.。
《概率论与数理统计》习题及答案 第六章
《概率论与数理统计》习题及答案第 六 章1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X L ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X L 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn n ii i P X k X k X k P Xk ======∏L 1!ikni i e k λλ-==∏112!!!ni i n k n e k k k λλ=-∑=L 0,1,i k =L ，1,2,,,i n =L 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。
解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X L 的密度为1121,0(,,,)0,.nii ix nnx i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏K 其它 1,2,,i n =L 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。
今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。
解 总体~(01)X -，即(0),(1)L MP X P X N N==== 于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L M P X X N N ===⋅-12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X N N -===⋅- 若N →∞时M p N →，则1Lp N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=-012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p p p +-==→=-以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。
概率论与数理统计测试题及答案
概率论与数理统计测试题一、填空题(每小题3分，共15分)1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________. 2．设A ，B 是两事件，()1/4,(|)1/3P A P B A ==，则()P AB =__________.3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________.4．设随机变量X 的分布函数为0,1()ln ,11,x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则X 的概率密度为__________.5．设总体X~U[0，1]，123,,X X X 是其一个样本，则123{max(,,)1/2}P X X X <=__________. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设两事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则( )正确. （A ）A B 与互不相容; （B ）()()()P A B P A P B =; （C ）()()()P AB P A P B =; （D ）()().P A B P A -=2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p ，q ，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )（A ）1p q --；(B) 1pq -； (C) 1p q pq --+；(D) (1)(1)p q -+-. 3．设~(),X t n 则2X 服从 ( )分布(A) 2()n χ； （B ）(1,)F n ； （C ）(,1)F n ； （D ）(1,1)F n -. 4．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =5.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211,(())1n ii X S X X n ==--∑分别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( ) (A)2~(,);X N nσμ(B)22();E S σ=(C)22();1nE S n σ=- (D)222(1)/~(1).n S n σχ--三、解答题（6个小题，共60分） 1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为、、，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率. 2．（10分）对一批次品率为的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X 表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X 的分布律；（2）至少有一件是次品的概率.3．（12分）设连续型随机变量X 的概率密度为sin ,0()0,a x x f x π<<⎧=⎨⎩，其它求：（1）系数a ; (2) 分布函数();(3){/4/2}F x P X ππ<<. 4．（8分）设二维随机变量(,)X Y 的分布律为求X 与Y 的协方差Cov （X ，Y ）及P{X +Y 1}. 5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度为 6,01(,)0,y y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它 （1）试求关于X 及Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.6．（10分）设总体X 的概率密度为(1),01(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中(1)θθ>-是未知参数，12,,,n X X X 是X 的样本，求参数 的矩估计量与最大似然估计量.四、证明题（2个小题，共10分）1． （5分）设随机变量X ～N （0，1），证明随机变量(0)Y X σμσ=+>～2(,)N μσ.2．（5分）设4321,,,X X X X 是来自总体N(,2σ)的样本，证明2212342()()2X X X X Y σ-+-= 服从2χ分布，并写出自由度.Y X 0 10 1一、填空题(每小题3分，共15分) 1．2/9；2．1/12；3．1/2；4． 1/,1()0,x x ef x <<⎧=⎨⎩其它；5．1/8.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D ）2． (C)；3．（B ）；4．（B ）；5. (C). 三、解答题（6个小题，共60分）1．（10分）解： 123,,A A A 分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B 表示取出的产品为废品，P(A 1)=，P(A 2)=，P(A 3)=，P(B|A 1)=，P(B|A 2)=，P(B|A 3)= ………3分(1)P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3) ………5分=++= ………7分 (2)111()(|)0.50.15(|)0.29()0.1717P A P B A P A B P B ⨯==== (1)0分2．（10分）解：(1) X ～b(3，， 33{}0.10.9(0,1,2,3)k k k P X k C k -=== ………3分X 0 1 2 3p………7分(2)P{X 1}=1－P{X=0}= ………10分 3．（12分）解：（1）01sin 1;2a xdx a π=⇒=⎰………3分（2）()()xF x f t dt -∞=⎰ (6)分00,01sin ,02x x tdt x x ππ≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩⎰1,0,01cos ,02x x x x ππ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩1, (10)分2412(3){/4/2}sin .24P X xdx ππππ<<==⎰ (12)分4．（8分）解： E （X ）＝，E （Y ）＝，E （XY ）＝ ………4分Cov （X ，Y ）＝E （XY ）－E （X ）E （Y ）＝－ ………6分 P{X +Y 1}=＋＋= ………8分5．（10分）解： （1）()(,)X f x f x y dy ∞-∞=⎰06,010,xydy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它23,010,x x ⎧<<=⎨⎩其它 ………4分 ()(,)Y f y f x y dx ∞-∞=⎰16,010,y ydx y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它6(1),010,y y y -<<⎧=⎨⎩其它 ………8分（2）X 与Y 不相互独立，因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………10分 6．（10分）解 （1）矩估计量1101()(1)2E X x x dx θθμθθ+==⋅+=+⎰ ………3分 11121μθμ-⇒=-12ˆ1X X θ-⇒=- ………5分 (2) 最大似然估计量 对于给定样本值12,,,,n x x x 似然函数为11()(;)(1)nni i i i L f x x θθθθ====+∏∏12(1)(),01n n i x x x x θθ=+<< ………7分1()ln(1)ln ni i lnL n x θθθ==++∑，1()ln 01ni i d nlnL x d θθθ==+=+∑ ………8分11ln ˆln nii nii n x xθ==+⇒=-∑∑，最大似然估计量为11ln ˆln nii nii n X Xθ==+=-∑∑ ………10分四、证明题（2个小题，共10分）1．证明 ：X的概率密度为22(),x X f x -= ………1分函数,0,(,)y x y y σμσ'=+=>∈-∞∞，1(),(),y x h y h y μσσ-'===………3分22()22()[()]|()|~(,).y u Y X f y f h y h y Y N σμσ--'==⇒ ………5分2．证明：212~(0,2)~(0,1),X X N N σ-⇒~(0,1),N ………2分两者独立 ………4分因此 22212342()()~(2)2X X X X Y χσ-+-= ………5分。
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广西大学课程考试试卷 ( —— 学年度第 学期) 课程名称：概率论与数理统计 试卷库序号:6
一.单项选择题(从下面各题的备选答案A 、B 、C 、D 中选择一个你认为正确的填入括号内。
注意选择两个或两个以上的答案不能得分。
每题2分，共20分) 1．一部4卷的文集随便放在书架上，恰好各卷自左向右卷号为1、2、
3、4的概率是( ). A 0.5 B 0.0417 C 0.125 D 0.25 2. 设A 、B 为两个事件，则()()B A B A ++表示 ( ) A. 必然事件 B.不可能事件 B. C. A 与B 恰有一个发生 D. A 与B 不同时发生 3. 一名射手连续向某个目标射击三次，事件i A 表示第i 次（)3,2,1=i 击中目标，用i A （)3,2,1=i 表示三次中至多有一次击中目标是（ ）。
A 321A A A ++ B 321A A A C 323121A A A A A A ++ D.321A A A 4.设随机变量ξ的密度函数()⎩⎨⎧≤≤><=10 41 0 03x x x x x ϕ 则使()()a p a p ≤=≥ξξ成立的常数a =( )
A.421 B 42 C 21 D 1-42
1 5.假设随机变量ξ服从正态分布N(10,2)2，则有（ ）成立.
A ．()8)8(≥=-≤ξξP P
B ()81)8(≤-=-≤ξξP P
C ()9)9(≥=≤ξξP P
D ()10)10(≥=≤ξξP P
6. 样本()n X X X ,.....,,21取自总体2,,σξμξξ==D E ，则（ ）可以作为2σ的无偏估计。
A 当μ已知时，统计量()n X n
i i /1
2
∑=-μ B 当μ已知时，统计量())1/(1
2
--∑=n X n i i μ C 当μ未知时，统计量()n X n
i i /1
2
∑=-μ D 当μ未知时，统计量())1/(1
2
--∑=n X n
i i μ 7.若随机变量ξ服从( )，则[]2
ξξE D =。
A 正态分布 B 指数分布 C 二项分布 D 普哇松(poisson)分布
8．已知(ξ,η)的联合概率密度函数为()y x ,ϕ：则(ξ,η)关于ξ的边缘密度函数为（ ）.
A ()dy y x ⎰+∞∞-,ϕ
B ()dx y x ⎰+∞∞
-,ϕ C ()dxdy y x ⎰⎰+∞∞-+∞
∞-,ϕ D ()dxdy y x x y ⎰⎰∞-∞-,ϕ
9.甲、乙两人各自投篮的命中率分别是0.8和0.7，假设两人互不影响，则.甲、乙两人都投中篮的概率是（ ）。
A ．0.06
B 0.56
C 0.94 C 0.44
10.设检验问题中，记0H 为待检验假设，则称（ ）为第一类错误(弃真错误)。
A ． 原假设0H 成立，接受0H .
B ． 原假设0H 成立，拒绝0H .
C ． 原假设0H 不成立，接受0H .
D ． 原假设0H 不成立，拒绝0H .
二.填空题(把正确的答案填入_____________.每题3分，共15分)
1. 小样本()n X X X ,.....,,21取自正态总体N （),2σμ，当2σ已知，X 与2S 分别是样本的平均数和方差，则______________服从标准正态分布。
2．设{}15
8≥
<-εξξE p ，1235=ξD 试用切贝谢夫不等式估计ε的最小值是____________。
3. 若随机变量ξ∽N(2,22)，η=1-ξa ∽)1,0(N ，则可求a =___________.
4. 随机变量ξ的密度函数为()
010 12⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤+=其他x x c x ϕ 则c ___________. 5. 社会上定期发行某种奖券，每券一元，中奖率为0.006，某人每次购买一张奖券，如果没有中奖下次再继续购买一张，直至中奖为止，该人购买次数ξ的概率分布为___________________________________________.
三(13分) 从某厂生产的一批电子元件中，随机抽取9个样品，测得平均寿命x =1080小时，样本的标准差s =200小时；假设电子元件的寿命服从正态分布，试以%5=α水平，检验该厂生产的电子元件的平均寿命是否为1000小时?
四(12分) 某自动包装机分装糖的重量为随机变量ξ，平均重量Eξ=μ，随机抽取49袋，算得样本的平均数为502，样本的方差为36克，试对平均重量Eξ=μα
进行区间估计()
=
.0
05
五(10分) 一大批种蛋中，其中良种蛋占80%，从中任取500枚，求其中良种蛋率未超过81%的概率？
六 (15分) 在一个400人的单位中普查某种疾病，400个人去验血，对这些人的血的化验可以用两种方法进行。
（1）每个人的血分别化验，这时需要化验400次。
（2）把每4个人的血混在一起进行化验，如果结果是阴性，那么对这4个人只作一次化验就够了；如果结果是阳性，那么对这4个人再逐个分别化验，这时对这4个人共需要做5次化验。
假定对所有的人来说，化验是阳性反应的概率是0.1，而这些人的反应是独立的，试说明办法（2）能减少化验的次数。
七(15分) 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率是0.06，甲厂每箱装120个，废品率是0.05，求（1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率？（2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率。
附录:所需的查表的数据:
若标准正态分布的分布函数为:)(0x Φ
T 服从具有1-n 个自由度的t 分布
αα=-≥))1((n t T P
05.0=α, ()31.28=αt ()()201.211 228.2)10( 2.2622 9===αααt t t
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。