第五讲附件

第一章 小结一、矩阵1、矩阵的概念定义 由n m ⨯个数ij a （i=1,2,…,m;j=1,2,…,n ）排成的一个m 行n 列的矩形数表，称为一个n m ⨯矩阵。

记作：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 简记为n m ij a ⨯)( 常用大写字母 A,B,C,…，X,Y,等表示矩阵。

2、矩阵的初等变换定义 下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换： （1） 交换矩阵的某两行（列）元素； （2） 用一个非零的数k 乘矩阵的某行（列）； （3） 将矩阵某行（列）的l 倍加到另一行（列）上去。

另，对矩阵A 施以初等行（列）变换化为矩阵B,一般来说B A ≠,可记为B A →。

或 B A ~3、阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵（行简化阶梯形矩阵） 阶梯形矩阵的特点是：（1） 每一行左起第一个非零元素（简称首非零元）的列标随其行标的增大而增大；（2） 若有零行（元素全为零的行），零行在所有首非零行的下方。

行简化阶梯形矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=→0000110000102001C B行简化阶梯形矩阵的特点是：首非零元素为1，并且其所在列的其余元素均为零的阶梯形矩阵。

初等变换和阶梯形矩阵及行简化阶梯形矩阵有什么联系？定理 设A 是一个n m ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211则可对A 施以一系列初等行变换化为阶梯形矩阵，进而化成行简化阶梯形矩阵。

又⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=O O O E C 300010********100110000102001推论 任一n m ⨯矩阵()n m ij a A ⨯=均可以经过一系列初等变换化为如下形式的矩阵F O O O E A r=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、线性方程组的消元解法一般线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111消元法的矩阵形式;⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++++++000000000000010001000112121222121211121222221111211r r rrn rr rr n r r n r r m mnm m n n d d d d k k k k k kk k k b a a a b a a a b a a a A 初等行变换01=+r d 线性方程组有解第 二 章 小 结一、排列、逆序数 1、计算逆序数的方法2、对换改变排列的奇偶性二、行列式=nnn n nna a a a a a a a a 212222111211∑nj j j 21())(211n j jj τ-n nj j j a a a 2121；其中∑n j j j 21表示对所有n 阶排列求和。

上三角行列式D = nnn n n a a a a a a a a a a000333223221131211（i ）n 阶行列式 D=nn ij a ⨯=ni i i i i i ii i n n na a a 21)(212121)1(τ-∑(ii) n 阶行列式D =n n ija ⨯的一般项可以表示为n n n n j i j i j i j j j i i i a a a 22112121)()()1(ττ+-。

三、行列式的性质性质1、将行列式转置，行列式值不变。

即 D = TD性质2、互换行列式两行（列），行列式改变符号。

（交换行列式某两行，行列式改变符号）性质3、用数k 乘行列式某一行（列）的所有元素，等于用数k 乘该行列式。

推论、行列式某一行（列）元素若有公因子，可以提取到行列式外面。

性质4=nnn n inin i i i i na a a cbc b c b a a a21221111211+++= nn n n ini i na a ab b b a a a 212111211 + nn n n ini i na a a c c c a a a 212111211性质5、若把行列式某一行（列）的k 倍加到另外一行（列），行列式值不变。

计算行列式最一般的方法：利用行列式的性质，化为上（下）三角行列式。

（列）的元素与其对应元素代数余子式乘积之和。

即inin i i i i A a A a A a D +++= 2211 （i=1,2,…，n ）或njnj j j j j A a A a A a D +++= 2211 （j=1,2,…，n ） 定理 的优点是，计算行列式时当行列式某一行（列）有足够多的零时，可以把行列式降为较低阶的行列式，可以省去计算该元素为零的代数余子式。

推论：n 阶行列式D 的任意一行（列）的元素与另外一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0；即： s i A a A a A a sn in S i S i ≠=+++02211或t j A a A a A a nt nj t j t j ≠=+++02211五、克莱姆（Cramer ）法则含有n 个未知量n 个方程的线性方程组：(*)22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a当其系数行列式0≠=ij a D 时，有唯一 一组解：DD x D D x D D x n n ===,,,2211 ； 其中nnnj n nj n n j j n j j j a a b a a a a b a a a a b a a D 1112122122111111111+-+-+-=就是把系数行列式D 中的第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式。

e.g 1证明：A B B A +=+证： 设[][]n m ijnm ij b B a A ⨯⨯==则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111AB a b a b a b a b a b a b a b a b a b mn mn m m m m n n n n +=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=221122222221211112121111e.g 2 证明：A A A μλμλ+=+)(证： 设[]nm ija A ⨯=则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn m m n n a a a a a a a a a A )()()()()()()()()()(212222111211μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=mn mn m m m m n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a μλμλμλμλμλμλμλμλμλ221122222221211112121111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+mn m m n n a a a a a aa a a μμμμμμμμμ212222111211A A μλ+=∴AA A μλμλ+=+)(矩阵的乘法运算e.g.某地区有四个工厂I 、II 、III 、IV ，生产甲、乙、丙三种产品，矩阵A 表示一年中各工厂生产各种产品的数量，矩阵B 表示各种产品的单位价格（元）和单位利润（元），矩阵C 表示各工厂的总收入和总利润：丙乙甲IVIII II Ia a a a a a a a a q a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=434241333231232221131211利润单位价格单位丙乙甲⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323122211211b b b bb b B 利润总收入总IVIII II I c c c c c c c c C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4241323122211211问：矩阵 A,B,C 有何关系？……即有 对j i j i j i ij b a b a b a c 332211,++=∀矩阵C 就定义为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记作C = AB一般情形，有定义 定义5 设()()n s kj s m ik b B a A ⨯⨯==,矩阵A 与B 的乘积定义为n m ⨯矩阵C =n m ij c ⨯)( ,其中sj is j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 （i=1,2,…，m;j=1,2,…，n ） A 与B 乘积可直观表为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ms m m is i i s s a a a a a a a a aa a a 21212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡sn sj s s n j n j b b b b b b b bb b b b21222221111211= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn mj m m in ij i i n j n jc c c c c c c c c c c c c c c c2121222221111211注 1。

矩阵的乘积，交换律不真；即 一般地 BA AB ≠2. O B O A ≠≠, 时，可能会有 O AB = 3．矩阵的乘积，消去律不真；即 ,O A ≠AC AB = 时，不一定有 C B = e.g.1 设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111,C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000可见 AB = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000= AC,但 C B ≠同时 BA = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2222矩阵乘法满足下列运算规律： （1） )()(BC A C AB = 结合律（2）AC AB C B A +=+)( 左分配律 （3）BC AC C B A +=+)( 右分配律 （4）C kA kB A AB k )()()(== k 为常数证明 ：（结合律） e.g⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111B , 则222)(BA AB ≠作业：P61 NO 1、NO2 (1)、（3）、(5)、（7）。