基本积分公式表课件
基本积分公式
tan x cot x C
微积分 五②
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3 2 )dx . 例7 求积分 ( 2 2 1 x 1 x 3 2 1 1 解 ( )dx 3 dx 2 dx 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C
dx x x C
C ( x ) x x .
微积分 五②
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微减同一个代数式，然后分项
x dx 例3. 求 1 x2 1 x2 1 1 解：原积分= dx dx dx 2 2 1 x 1 x x arctan x C dx 例4. 求 2 2
2
x (1 x ) 2 2 1 x x 1 dx dx 2 dx 解：原积分= 2 2 2 x (1 x ) x 1 x 1 arctan x C x
dx x 3 x 3 dx d ( )
(4) a x dx a x / ln a C
2 x dx x 2 dx e 2 x dx
dx 2 x du u 2 dx 2 x
微积分 五②
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2.2、具体分项法 将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分.
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一、基本积分公式
1.1、积分法 1.2、基本积分公式
二、直接积分法
2.1、方法定义 2.2、具体分项法
三、小结
13个基本积分公式
微积分 五②
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1.1、积分法
x x 1
1
x 1 x dx C . ( 1) 1
积分基本公式
2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6. 复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=ϕ(x)分别在点y0=ϕ(x0)与x0可导，则复合函数z=f[ϕ(x)]在x0可导，且或(f oϕ)' (x0)=f '(y0)⋅ϕ'(x0)．证．对应于自变量x0处的改变量∆x，有中间变量y在y0=ϕ(x0)处的改变量∆y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量∆z，（注意∆y可能为0）．现∆z=f'(y0)∆⋅y+v，∆y='ϕ(x0)∆x+u，且令，则v=∆αy，（注意，当∆y=0时，v=∆αy仍成立）．y在x 0可导又蕴含y在x0连续，即∆y=0．于是=f '(y0)⋅ϕ '(x0)+0⋅ϕ'(x0)=f'(y0)⋅ϕ'(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x→−y →−z复合函数求导的过程：z→−y →−x：各导数相乘例2.3.15求y=sin5x的导数．解．令u=5x，则y=sin u．于是y' ==cos u⋅5=5cos5x．例2.3.16求y=lncos x的导数．解．令u=cos x，则y=ln u．于是．y'=例2.3.17求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因y=，令u=m ln x，则y=e u．y' ==e u⋅m⋅m是正整数n时，即例2.3.2．(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x→−y→−z→−u…v→−w复合函数的求导：w→−v…u→−z→−y→−x：各导数相乘(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．例2.3.18求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：d f(ϕ(x))=f'(ϕ(x))dϕ(x)例2.3.19求函数y=的微分解．d y =dsin2x=⋅2sin x dsin x=⋅2sin x cos x d x=⋅sin2x d x．思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5. 导数与微分的四则运算设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有公式(1) (u±v)' = u'±v'，d(u±v) = d u±d v．公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = v d u+u d v．公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = c d u．公式(4)，(v≠0)．点击此处看公式(1)－(4)的证明．例2.3.11求y=tan x的导数解．(tan x)' ===sec2x．同理可得(cot x)' =-csc2x．例2.3.12求y=sec x的导数．解．(sec x)' ==sec x tan x．同理可得(csc x)' =-csc x cot x．例2.3.13求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数．解一．y' =(1+4x)'(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3)'=4(2x2-3x3)+(1+4x)(2⋅2x-3⋅3x2)=8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3解二．因y =2x2+5x3-12x4，故y' =2⋅2x+5⋅3x2-12⋅4x3=4x+15x2-48x3．例2.3.14求函数y=(x+sin x)ln x的微分．解．d y=ln x d(x+sin x)+(x+sin x)dln x=ln x(d x+dsin x)+(x+sin x)d x=ln x⋅(d x+cos x d x)+d x=d x．2. 导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果x∈X-x0，我们称∆x=x-x00(∆读作delta)为自变量的改变量，∆y=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作．因∆x=x-x0，x=x0+∆x，故还有．此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是．注意.∆x可正可负，依x大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量x0+∆x处的函数值f(x0+∆x)；(2)计算函数的改变量∆y=f(x0+∆x)-f(x0)；(3)写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例2.3.1求常数函数y=c的导数．解．因∆y=y(x+∆x)-y(x)=c-c=0，差商=0，故=0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0．例2.3.2设n是正整数，求幂函数y=x n在点x处的导数．解．因y(x+∆x)=(x+∆x)n=x n+，∆y=y(x+∆x)-y(x)=，故=．特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程．解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y'(2)=3⋅22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是y-8=12⋅(x-2) ⇔ 12x-y-16=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，x∈X ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号∆，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sin x 中的sin一样，绝不能把∆x看成∆与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(∆x)2来表示∆x的平方而不写∆x2 ．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)例2.3.4y=sin x的导数是(sin x)' =cos x，y=cos x的导数是(cos x)' =-sin x ．例2.3.5 y=log a x(0<a≠1)的导数是(log a x)' =．特别，(ln x)' =1/x．例2.3.6指数函数y=a x(0<a≠1)的导数是(a x)' =a x ln a ．特别，(e x)' =e x．8. 导数的导数--二阶导数一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x)，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n，n阶导数被定义为y(n)=(y(n-1))' ，n=2，3，…统称为函数y的高阶导数．例2.3.22求y=sin x的n阶导数．解．y' =cos x =sin，用归纳法不难求出y(n)=sin．例2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度．例2.3.24求y =arc tan x的二阶导数y'' ．解．y' =，y'' =-(1+x2)-2(1+x2)' =．思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么f '' (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.7. 基本初等函数的导数与微分公式=' =-' =-x=x=x=例2.3.20 求y=arcsin 的微分．解．．例2.3.21求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分(选学）设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理，z关于变量y的偏导数是=．我们也记．若z=f(x，y)有连续的偏导数f'x(x，y)，f'y(x，y)，则自变量x与y的改变量∆x与∆y 的线性表达式f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于∆x，∆y的全微分，记作d z=f'x(x，y)∆x+f'y(x，y)∆y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：d x=∆x，d y=∆y，于是二元函数的微分公式是d z=．例2.3.30设f(x，y)=xy+x2-2 y3，求．解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)．=x-6y2(把x看作常数，对y求导数)．例2.3.31求z=e x sin y的全微分．解．d z=sin y d e x+e x dsin y=sin y e x d x+e x cos y d y=e x(sin y d x+cos y d y)．例2.3.32设x+2y+2z-2=0确定二元函数z=z(x，y)，求．解．对方程x+2y+2z-2=0两边求微分，则左端得d x+2d y+2d z-2d右端的微分是0，于是解得d z =，由此得，．13.分段函数的导数(选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0，由此f(x0+∆x)-f(x0)=[u(∆x)+f’(x0)]∆x，于是[f(x0+∆x)-f(x0)]=[u(∆x)+f’(x0)]∆x=0 ，即f(x0+∆x) = f(x0)．如果记x=x0+∆x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在x0连续．因此有定理．若函数y=f(x)在x0可导，则f(x)在x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例2.3.33 讨论函数在点x=0的连续性与可导性．解．因,,故,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续．其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x代替 x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点x0的左导数是f-'(x0)=.只有f+'(x0)与f-'(x0)都存在且相等时，f(x)在点x0才可导，且f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0)．即有定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0(a,b)．则f '( x)存在f-'( x0)与f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例2.3.34讨论函数在x=0的可导性．解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因，，f(0)=0，故f(x)在x=0连续．其次，因，，故f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上, 上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的．1. 曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点．点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x<x0．动直线PQ是曲线的割线．如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限则称PT为曲线在P点的切线．为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而Q→P即x→x0．设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为α, PT的斜率为k=tanα．现在割线PQ的斜率为：．而切线PT的斜率为：(PQ的斜率)=,由此得切线PT的方程是：y-f(x0)=k( x-x0)．。
基本积分公式
基本积分表（1）kdx kx C（k 是常数）（2）1,1xx dx C (1)u（3）1ln ||dx x C x （4）2tan 1dx arl x C x（5）2arcsin 1dx xCx（6）cos sin xdx x C（7）sin cos xdx x C（8）21tan cos dxx C x （9）21cot sin dx xCx（10）sec tan sec x xdx x C （11）csc cot csc x xdx x C（12）xxe dx eC（13）ln xx aa dxC a，(0,1)aa 且（14）shxdx chx C （15）chxdx shx C （16）2211tanx dxarc Caxaa（17）2211ln ||2x a dx C xa ax a（18）221sinx dxarc Caa x（19）22221ln()dx x ax Cax（20）2222ln ||dx x xa Cxa（21）tan ln |cos |xdx x C（22）cot ln |sin |xdx x C （23）sec ln |sec tan |xdx xx C（24）csc ln |csc cot |xdx x x C 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,xxx x xx x 21cos2cos 2xx，21cos 2sin 2xx。
注：由[()]'()[()]()f x x dxf x d x ，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。
此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结：1常用凑微分公式xux u x u x u x u x u au e ux u x u bax u x d x f dxxx f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f daa f adxa a f de e f dx e e f x d x f dxxx f x d x f dx x x f a b axd b ax f a dxb axf xxxxxxxx xxarcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.122221法分积元换一第换元公式积分类型。
基本积分公式表
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例14
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例15
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第25页/共40页
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例16
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例17
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例18
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例19
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例20
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例21 求
解
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例22 求
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第二节 换元积分法（一）
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一、第一换元积分法
问题
用直接积分法，求不出它的积分。
怎么办？
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一般情况下：
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定理1
“凑” 微分法
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例1 求
解1
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解2
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解
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例23 求
原式
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例24 求
解
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例24 求
另解
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解
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例26 求
解
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The end of Part 1
作业： P207 2(2)-(34)(双)
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感谢您的观看。
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解3
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例2
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例3
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例4
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例
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例6
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例7
基本积分公式表
(1x12)ex1xdx 02 ex解1xd(x1)ex1x C.
x
1 2x3
d.x 2x1
2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4例2 2x 3 求3 d x1 4 2x1 dx原式
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
例1 4
2
1
x2
2 d(1 x2)
单击此处添加标题 单击此处令 添u加正1文，文x2字是您12思想的提炼u，请d尽u
量言简意赅的阐述观点。
3
1 2u2
C
23
1
3
u2
C
3
1
(1
x
2
)
3 2
C
3
tanxdx csions
x x
dx
•
20 2X cos1 cxos1
(1) d(cosx) d(cosx)
2
u 2
2
C
u2 C
cos2 x C
3
1 2x
dx
例3212 x
1 2
d(32x)
单击此处12 添3 加12 x标d(题32x)
令 u32x 1 1
du 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽
2 量言简意赅的阐述观点。
u
12 ln | u | C
1 ln| 3 2x | C
2
s e2c(3x4)dx
一般情况下： d F[(x)] F'(u)'(x)
dx
f (u) '(x)
f[(x)]'(PxA)RT 1
(完整word版)基本积分公式
基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰ （16）2211tan xdx arc C a x a a=++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰ （18）sinxarc C a=+⎰（19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=， 21cos 2sin 2xx -=。
注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。
基本积分公式
§5.3基本积分公式重点与难点提示基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式.因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.(1) （ 5.6 ）(2) ( 5.7 )(3)( 5.8 )(4) ( 5.9 )(5)( 5.10 )(6) ( 5.11 )(7) ( 5.12 )(8) ( 5.13 )(9) ( 5.14 )(10) ( 5.15 )(11) ( 5.16 )对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）。
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(1) kdxkx C (k是常数)
(2) xdxx 1 C, (1) 1
(3)
dx x
ln | x | C
(4) 11x2dx arctxa C n
(5)
1 dxarcxsiC n 1x2
(6) coxsdxsinxC
(7) six ndxcoxsC
(8) se2cxdx tan xC
cos x csxc coxt
s inx sin x sin x
cscxdx
ln|
x tan
|
C
2
ln |cs x c co x| tC
例16
s
e
cxdx
1 cos
x
dx
sin(
1 x
)
dx
2
1
sin(x
d(x )
)
2
2
例15
ln |csxc()cox t()|C
2
2
ln |sex ctaxn |C
1
2 tan
x
sec2
x 2
dx
2
1 sec 2 x d ( x )
tan x
22
2
1 tan
x
d (tan
x) 2
ln | tan
x 2
|
C
2
tan
x
sin
x 2
2 cos x
2
2 sin x sin x
2 sin
2 x cos
2 x
22
2 sin 2 x 2
s inx
1 cos x 1
怎么办？
e2xdx
e2x
1 2
d(2x)
1
e 2 x d(2x)
2
u2x
1 2
eu du
1 e u C
2
1 e 2x C
2
一般情况下：
设f(u)有原函 F(数 u), 即F'(u)f(u)
f(u)duF(u) C 若u (x)可导 F (u) F[(x)]
d F[(x)] F'(u)'(x)
83 dx
1 2
cos2xdx
1 8
cos4xdx
3
8
x
1
4
1
co2x sd(2x)
32
co4x sd(4x)
3x1s i2nx1s i4nxC
84
32
例15 cscxdxsin1 x dx
2 sin
1 x cos
x
dx
22
1
x
dx
sin 2
2 cos
2x
cos x
2
2
1 2 tan x cos 2 x dx 22
dx
f (u) '(x)
f[(x)]'( x)
F[(x)]是f[(x)]'(x)的原函数
f[(x)]'(x)dxF[(x)]C
F (u) C
f (u)du
这样, 我们就得到下面的定理:
定理1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式 u(x)
f[(x)]'(x)dx f (u)du
(1x12)ex1xdx
ex1xd(x1)ex1x C.
x
例23
求
1 2x3
d.x 2x1
原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
例17 sec6 xdx
se4cxse2cxdx
sec4 x d(tanx)
(1tan2 x)2 d(tanx)
(12ta2n xta4n x)d(tanx)
tanx
2 tan 3 x 3
tan 5 5
x
C
例18 tan5 xse3cxdx
ta4x nse2x csextcaxndx
2
u2 C
co2sx C
例2
3
1 2x
dx
3
1
2
x
1 2
d(32x)
12
3
1 2
x
d(32x)
令u32x 1 2
1 du
u
12 ln | u | C
1 ln| 3 2x | C
2
例3 se2c(3x4)dx
se2c(3x4)1 d(3x4) 3
13 se2c(3x4) d(3x4)
令u3x4 1 3
1 (cous) C 2
12 [cos2(x)]C 1 cos2( x) C
2
解2
sin2xdx2sinxcoxsdx
2 sinx d(sinx) 令usinx2 udu
2 u 2 C
2
u 2 C sin2 x C
解3
sin2xdx2sinxcoxsdx
2coxssinxdx 2coxs(1) d(cosx) 2coxs d(cosx) 令ucoxs 2 udu 2 u 2 C
(co5xscox)sdx
1 2
(
cos5xdx
cosxdx
)
1 [ 2
1 5
cos5xd(5x)cosxdx ]
1
(
1
25
sin5x sinx ) C
1 10
sin5x
1 sin x 2
C
例20
(1 xx)3dx.
x 11 (1 x)3 dx
1
1
[(1x)2 (1x)3]
dx
1
[(1x)2
sec2 u du
13 tanu C
1 tan(3x 4)
3
C
例4
x 1x2dx
1 x2 1 d(1x2) 2
1
2
1 x2
d(1 x2)
令u1x2 1 2
u du
1
2
u
3 2
C
23
1
3
u2
C
1
(1
x2
)
3 2
C
3
3
例5
tanxdx
sin cos
x x
dx
cos1 x (1) d(cosx)
2
例26 求
1 4 x2 arcsixndx.
2
解
4
x21arcsinxdx 2
2
1
dx
1 x2 arcsinx
2
2
1
1
d(
x2 arcsixn
2
2
x) 2
arc1sixnd(arcs2xin)
2
ln|arcsxin|C 2
作业： P207 2(2)-(34)(双)
The end of Part 1
sin2 x(1sin2 x)2d(sinx)
sin2 x(12si2n xsi4n x)d(sinx)
(s2ixn 2si4n xsi6n x)d(si nx)
sin 3 x
2 sin5 x
sin 7 x
C
35
7
例13 cos2 xdx
类似可求 cos4 xdx
1
cos 2
2
x
dx
(se2cx1)2 sec2 x d(sexc)
(s4ex c2se 2x c1)se 2x cd(secx)
(s6ex c2se4xcse2xc )d(secx)
1
sec
7
7
x
2 sec 5 5
x
1
sec
3
3
x
C
例19 co3sxco2sxdx
1(co5sxcosx) 2
dx
1
2
1ln|12lnx| C
2
例10
e3 x dx
x
e 3
x
2
3 d(3
x)
32 e 3 x d(3 x)
2
3 e 3 x C
例11 sin3 xdx
sin2 xsinxdx (1co2sx)d(cosx)
(coxs1co3sx)C 3
coxs1co3sxC 3
例12 sin2xco5sxdx sin2 x co4sxcoxsdx
用 法: g(x)dx
“凑” 微分法
f[(x)]'(x) dx
f[(x)]d[(x)]
u(x)
f (u) du f (u)是积分公式表上的函数
F(u) C
u(x)
F[(x)]C
例1 求sin2xd.x
解1
sin2xdxsi
n2x
1 2
d(2x)
12 sin2x d(2x)
令u2x 1 s inu du 2
cos1 x d(cosx)
令ucoxs 1 du u
ln | u | C
ln|coxs|C
类似可得
cotxdx ln|sinx|C
例6
1 a2x2
d
x
(a0)
1
a2
(1
x2 a2
dx )
1 a2
1
1
x2 a2
dx
1 a2
1 1 ( x )2
ad ( x ) a
a
1
a
1
1
(
x
)2
d(x) a
a
1 arctan