2009年深圳中学高一理科竞赛班入学选拔考试题定
深圳市2009 届高三九校联考 数学(理科)
广东省深圳市九校2009届高三联考数学（理科）试题2008.10.28命题学校：深圳市教苑中学 命题教师：徐荣生 本试卷共4页，20个小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1.已知集合{1,1}M =-，11{24,}2x N xx Z +=<<∈，则M N 等于（ ）A ．{1,1}-B ．{0}C ．{1}-D ．{1,0}-2.下图是函数()f x 的图像，它与x 轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数()f x 在区间（ ）上的零点A ．--[ 2.1,1]B ．[1.9,2.3]C ．[4.1,5]D ．[5,6.1] 3.n 个连续自然数按规律排成下表根据规律，从2007到2009的箭头方向依次为（ ） A.↓→ B. →↑ C. ↑→ D. →↓4.设α、β是方程20-+=x mx n 的两个实根。
那么“2>m 且1>n ”是“两根α、β均大于1”的（ ）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.若函数b bx x x f 36)(3+-=在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 （ ）A.（0，1）B.（－∞，1）C.（0，+∞）D.（0，21）6.在∆A B C 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,,,1,3a b c A a b π===则c =A.1B.2 1 D.37.式1019113sin)tan()3423πππ----的值是（ ）A.1B.1- 1 D.1-8.已知定义域为R 的函数()f x 在(8)+∞，上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则 A.(6)(7)f f > B.(6)(9)f f > C.(7)(9)f f > D.(7)(10)f f > 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分． 9.曲线cos ([,])22y x x ππ=∈-与x 轴所围成的封闭图形的面积是 .10.把函数()2cos(2)6π=--f x x 的图像向左平移6π个单位，再把所得图像上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，那么所得到的图像的函数解析式是 .11. 已知等差数列{}n a 中，25a = ，411a =，则前10项和=10S . 12.不等式143x x +-->的解集为 .13.已知[0,]π∈x .若向量(2cos 1,2cos 22)=++ a x x 和向量(cos ,1)=-b x 垂直，则x 的值为 .14．已知)(x f 是定义域为R 的奇函数)(x f ，若当(0,)∈+∞x 时，()lg =f x x ，则满足()0>f x 的x 的取值范围是 ．三、解答题:本大题共6个小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知实数0a >且1a ≠，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值比与最小值大12，求实数a 的值.16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足121+=-n n a a ，13=a . (Ⅰ)求证：数列{1}-n a 是等比数列； (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .17．（本小题满分14分）在∆A B C 中，已知31tan ,21tan ==B A ，该三角形的最长边为1.(Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)求∆A B C 的面积S.18．（本小题满分14分）若函数2()sin sin cos (0)f x ax ax ax a =->的图象与直线y m = （m 为实常数）相切，并且从左到右切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列.(Ⅰ)求m 和a 的值；(Ⅱ)若点00(,)A x y 是()y f x =图象的对称中心，且]2,0[0π∈x ，求点A 的坐标；(Ⅲ)写出函数()y f x =-的所有单调递增区间；19．（本小题满分14分）2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。
2009年全国高中联合竞赛一试试题
2009年全国高中联合竞赛一试试题、参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、填空(共8小题，每小题7分，共56分)1.若函数且，则f(99)(1)=____.[答案].[解析]，…….故.2.已知直线L：x+y-9=0和圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在△ABC 中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为_________.[答案][3,6].[解析]设A(a,9-a)，则圆心M到直线AC的距离d=|AM|sin45°，由直线AC与圆M相交，得d≤ .解得3≤a≤6.3.在坐标平面上有两个区域M和N，M为，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f(t)=_______________.[答案].[解析]由题意知f(t)=S阴影部分面积=S△AOB-S△OCD-S△BEF.4.使不等式对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为____.[答案]2009.[解析]设.显然f(n)单调递减，则由f(n)的最大值，可得a=2009.5.椭圆(a＞b＞0)上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|·|OQ|的最小值为____.[答案].[解析]设P(|OP|cosθ，|OP|sinθ)，.由P，Q在椭圆上，有, ①. ②①+②得.于是当时，|OP||OQ|达到最小值.6.若方程lgkx=2lg(x+1)仅有一个实根，那么k的取值范围是____________. [答案]k＜0或k=4.[解析]当且仅当kx＞0，①x+1＞0，②x2+(2-k)x+1=0. ③对③由求根公式得，④.(ⅰ)当k＜0时，由③得所以x1，x2同为负根.又由④知所以原方程有一个解x1.(ⅱ)当k=4时，原方程有一个解.(ⅲ)当k＞4时，由③得所以x1，x2同为正根，且x1≠x2，不合题意，舍去.综上可得k＜0或k=4为所求.7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是_______.(可以用指数表示)[答案]101×298.[解析]易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为d1=1，d2=2，d3=22，…，d99=298.(ⅲ)a100为所求.设第n(n≥2)行的第一个数为a n，则a n=a n-1+(a n-1+2n-2)=2a n-1+2n-2=2[2a n-2+2n-3]+2n-2=22[2a n-3+2n-4]+2×2n-2+2n-2=23a n-3+3×2n-2……=2n-1a1+(n-1)×2n-2=(n+1)2n-2,故a100=101×298.8.某车站每天8：00～9：00，9：00～10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为一旅客8：20到车站，则它候车时间的数学期望为___________(精确到分).[答案]27.[解析]旅客候车的分布列为×××候车时间的数学期望为.二、解答题1.(本小题满分14分)设直线l：y=kx+m(其中k，m为整数)与椭圆交于不同两点A，B，与双曲线交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.由消去y化简整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则,△1=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-48)＞0. ① ……4分由消去y,化简整理得(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0.设C(x3,y4)，D(x4,y4)，则,△2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)＞0. ② ……8分因为，所以(x4-x2)+(x3-x1)=0，此时(y4-y2)+(y3-y1)=0.由x1+x2=x3+x4得.所以2km=0或.由上式解得k=0或m=0.当k=0时，由①和②得.因m是整数，所以m的值为-3，-2，-1，0，1，2，3.当m=0，由①和②得.因k是整数，所以k=-1，0，1.于是满足条件的直线共有9条.………14分2.(本小题15分)已知p，q(q≠0)是实数，方程x2-px+q=0有两个实根α，β，数列{a n}满足a1=p，a2=p2-q，a n=pa n-1-qa n-2(n=3,4,…).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式(用α，β表示)；(Ⅱ)若p=1，，求{a n}的前n项和.方法一：(Ⅰ)由韦达定理知α·β=q≠0，又α+β=p，所以a n-px n-1-qx n-2=(α+β)a n-1-αβa n-2，(n=3,4,5,…)整理得a n-βa n-1=α(a n-1-βa n-2).令b n=a n+1-βa n，则b n+1=αb n(n=1,2,…).所以{b n}是公比为α的等比数列.数列{b n}的首项为：b1=a2-βa1=p2-q-βp=(α+β)2-αβ-β(α+β)=α2.所以b n=α2·αn-1=αn+1，即a n+1-βa n=αn+1(n=1,2,…).所以a n+1=βa n+αn+1(n=1,2,…).①当△=p2-4q=0时，α=β≠0，a1=p=α+α=2α，a n+1=βa n+αn+1(n=1,2,…),变为a n+1=αa n+αn+1(n=1,2,…).整理得(n=1,2,…). 所以数列成公差为1的等差数列，其首项为.所以.于是数列{a n}的通项公式为a n=(n+1)αn.……5分②当△=p2-4q＞0时，α≠β，a n+1=βa n+αn+1整理得(n=1,2,…).所以，数列成公比为β的等比数列，其首项为.所以.于是数列{a n}的通项公式为.……10分(Ⅱ)若p=1，，则△=p2-4q=0，此时.由第(Ⅰ)步的结果得，数列{a n}的通项公式为.所以，{a n}的前n项和为,.以上两式相减，整理得,所以.………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知α·β=q≠0，又α+β=p，所以a1=α+β，a2=α2+β2+αβ.特征方程λ2-pλ+q=0的两个根为α，β.①当α=β≠0时，通项a n=(A1+A2n)αn(n=1,2,…).由a1=2α，a2=3α2得解得A1=A2=1.故 a n=(1+n)αn.……5分②当α≠β时，通项a n=A1αn+A2βn(n=1,2,…).由a1=α+β，a2=α2+β2+αβ得解得，.故.……10分(Ⅱ)同方法一.3.(本小题满分15分)求函数的最大和最小值.函数的定义域为[0,13].因为≥=,当x=0时等号成立.故y的最小值为.……5分又由柯西不等式得≤,所以y≤11. ……10分由柯西不等式等号成立的条件，得4x=9(13-x)=x+27，解得x=9.故当x=9时等号成立.因此y的最大值为11.……15分。
深圳市2009年高中阶段学校招生考试
深圳市2009年高中阶段学校招生考试数学模拟试卷说明： 1． 全卷23题，共8页，考试时间90分钟，满分100分．2． 答题前，请将考场、试室号、座位号、考生号和姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上做任何标记．3． 做选择题时，请将选项的字母代号写在“答题表一”内；做填空题时，请将答案写在“答题表二”内；做解答题时，请将解答过程和结果写在指定的位一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题给出4个答案，其中只有一个是正确的．请把正确答案的字．．．．．．．．代号填在下．．．．．面的答题表一内．．．．．．．，否则不给分．答题表一1. 下列各式正确的是（ ）（A ）4222)(y x y x +=+ （B ）23(2)()2y y y ⋅-=- （C ）623b b b ÷= （D ）-2222a a a +=2．2008年我市深入实施环境污染整治，某经济开发区域经的40家化工企业中已关停、整改32家，每年排放的污水减少了大约61067.1⨯吨。
则该数据精确到的位数是（ ） （A ）个位 （B ）百分位 （C ）万位 （D ）万分位3. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“加”字所在面的对面所标的 字是（ ）（A ）北 （B ）京 （C ）奥 （D ）运4. 如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，那么它的侧面积等于 2cm ． （A ）218cm π （B ）236cm π （C ）227cm π （D ）29cm π5. 在下列命题中，正确的是（A ）一组对边平行的四边形是平行四边形 （B ）有一个角是直角的四边形是矩形（C ）有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （D ）对角线互相垂直平分的四边形是正方形6. 调查表明，2008年某市城镇家庭年收入在2万元以上的家庭户数低于40％. 据此判断，下列说法正确的是( )（A ） 家庭年收入的众数一定不高于2万 （B ） 家庭年收入的中位数一定不高于2万 （C ） 家庭年收入的平均数一定不高于2万（D ） 家庭年收入的平均数和众数一定都不高于2万7. 若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm 、深约为2 cm 的小坑，则该铅球的直径约为( ) （A ） 10 cm （B ） 14.5 cm （C ） 19.5 cm （D ） 20 cm8．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则cos AOB ∠的值为（ ）（Ｃ）12（Ｄ）2（第8题图）（第9题图）9. 如图，把矩形纸条ABCD沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处，若90FPH =∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）（Ａ）20（Ｂ）22（Ｃ）24（Ｄ）30ABOMN10. 如下图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请将答案填在答题表一内相应的题号下，否则不给分．．．．．．11.函数x y 21-=的自变量x 的取值笵围是__________；12.同时投掷两枚普通的正方体骰子，所得两个点数之和大于9的概率是________；13. 如图,△ABC 中,点Ｄ在ＡＢ上,请填上一个你认为适合的条件____________________ 使得 △ACD ∽△ABC ．（第13题图） （第14题图）14．如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为____________t（A ）． t（B ）t（C ）t（D ）（第16题图）15．观察下列图形，根据变化规律推测第100个与第_______个图形位置相同。
深圳外语学校2009届高三数学月考试题及答案(理科)1
深圳外国语学校2008—2009学年高三年级第一次月考理科数学试题及答案 第一部分 选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合P ＝{ 0，m }，Q ＝{x │Z x x x ∈<-,0522}，若P ∩Q ≠Φ，则m 等于 （ D ）(A) 1 (B) 2 (C) 1或25(D)1或22．下述函数中，在)0,(-∞上为增函数的是（ C ）A ．y=x 2－2B ．y=x3 C ．y=x --21 D ．2)2(+-=x y3. ()()6411x x +- 的展开式中含3x 的项的系数是（ C ）A. 15B. 4-C. 8-D. 60-4．函数xe xf x1)(-=的零点所在的区间是（ B ） A ．)21,0( B ．)1,21( C ．)23,1( D ．)2,23(5．若)(),()(12x f N n x x f n n则∈=++是（ A ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数或偶函数D ．非奇非偶函数 6. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足：)(1)2(x f x f -=+，当2≤x ≤3，f (x )=x ，则f (5.5)=（ D ）A ．5.5B ．－5.5C ．－2.5D ．2.57．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，设),21(log 8f a =b= f (7.5)，c= f (－5)，则a 、b 、c 的大小关系是（ A ） A ．a >b>c B ．a > c > b C ．b>a > cD ．c> a >b8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-+-=a a x xx f 3)(222))0,((2)),0[(-∞∈++∞∈x x 在区间),(+∞-∞是增函数，则常数a 的取值范围是 （ A ） A ．1≤a ≤2B ．a ≤1或a ≥2C ．1<a <2D ．a <1或a >2第二部分 非选择题（共110分）二、填空（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准(A卷)
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x ()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x ==， ()()()2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99f x =故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a ba b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k ．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y=【解析】函数的定义域为[]013，.因为y=当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+． 则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o dk p ≡． 即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由 11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合 {}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈． 故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3． 下面证明33⨯数表 ***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表 111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．。
广东省深圳外国语学校2009届高三第二次统测
2009石楼中学综合测试理科基础试题（广东省深圳外国语学校2009届高三第二次统测理科基础）1.2008年北京奥运会上古巴选手博尔特以9秒69的成绩打破世界记录并获得男子110米栏金牌，博尔特之所以能够取得冠军是因为A.冲刺时的末速度大B.平均速度大C.起跑时的初速度大D.起跑时的加速度大2.有关物理史实正确的说法是A.电子的电荷量是由汤姆生通过实验测出的B.电子的电荷量是密立根通过油滴实验测得的C.库仑是第一位提出用电场线描绘电场性质的科学家D.牛顿除了在力学上有伟大贡献以外还发明了避雷针3.有关电势能的理解正确的是A.带电体在电场中的电势能是增加还是减少，关键看电场力做功的正负情况B.电势能是矢量，是有方向的C.电势能是标量，所以电势能是没有正负之分的D.电荷在电场中某点的电势能是由电场的性质决定的，与放入该电荷无关4.理想实验是物理学上常用的一种科学方法，以下属于理想实验的是A.探究电阻率大小的决定因素B.伽利略的斜面实验C.验证力的平行四边形定则D.用打点计时器测物体的加速度5.如右上图所示，物块从A处自由下落，经过水平放置的粗糙半圆形固定曲面BC后恰能上升至D处，若h AB=2h CD，则物块从D处自由下落后，下面说法正确的是A.能到达A处B.能到达AB之间C.恰能到达B处D.能上升到A点的上方6.下列运动过程中机械能守恒的是A.降落伞的匀速下降过程 B．关闭油门后汽车最终在平直公路上停下来C.作平抛运动的物体 D．考虑阻力条件下滑雪者沿斜面下滑过程7.小明在游乐场里玩过山车，有关下列分析正确的是A.小明在最高点时肯定只能受重力的作用B.在最高点时若不是因为保险带拉住，小明就会掉下来C.小明在最低点时对座位的压力可以小于重力D.小明在最高点时仍可能对座位产生压力8.质子以某一速度垂直进入一匀强磁场（不计质子重力），则A.质子将做匀速直线运动B.磁场对质子的作用力是一恒力C.质子将做匀变速运动D.质子的动能将保持不变9.如图所示的电路中，电源的电动势为E，内阻为r。
2009年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)
2009年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 2009.5一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，则2i (1i)1i-+=+ A ．1- B ．1 C ．i - D ．i2．设集合2{|4,M x x =<且}x ∈R ，{|2}N x x =<，那么“M a ∈”是“N a ∈”的.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件3．已知2log 3a =，0.78b -=，16sin 5c π=，则,,a b c 的大小关系是.A a b c >> .B a c b >> .C b a c >> .D 4．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的 部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流程图如右图所 示，则①处应填.A 0.85y x =.B 500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯ .C 0.53y x = .D 500.530.85y x =⨯+5.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形, 则此四棱锥的体积为.A .B .C 13.D 6.已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动,当24xy+取最小值时,过点(,)P x y 引圆22111:(()242C x y -++=的切线,则此切线长等于.A 12 .B 32 .C .D 7.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，(1)1,f -=则DACB E(1)(2)(3)(2009)f f f f ++++ 的值为.A －1 .B 0 .C 1 .D 28.如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是.A 37 .B 47.C 114.D 1314二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分． （一）必做题：第9、10、11、12题为必做题，每道试题考生都必须做答9.已知0,2a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当0(cos sin )a x x dx -⎰取最大值时，a =_____________. 10.已知数列{}n a 的前n 项和(20)n S n n =-，则当10n n a a +<时，n =______. 11抽查了20位工人某天生产该产品的数量.量的分组区间为[)45,55，[)[)55,65,65,75[)75,85,[)85,95图,[)55,7012.已知(,)P x y 是抛物线22y x =和直线220x y +-=围成的封闭区域(包括边界)内的点，则x y +的最小值为 ___________.（二）选做题：第13、14、15题为选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分． 13.设c b a ,,为正数,且,14=++c b a 则c b a 2++的最大值是___________.14.已知过曲线()⎩⎨⎧≤≤==πθθθθ0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是___________.15.如图,AB 是两圆的交点,AC 是小圆的直径,D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点, 已知10,4==BE AC ,且AD BC =, 则DE =___________.111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且4,a =2,C A =3cos 4A =． (Ⅰ) 求sinB ； (Ⅱ) 求b 的长.17．（本小题满分12分）某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为21，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望.18．（本小题满分14分）如图一，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，60,90,A C ∠=︒∠=︒2CD =．把ABD ∆沿BD 折起（如图二），使二面角C BD A --的余弦值等于33．对于图二，完成以下各小题： （Ⅰ）求C A ,两点间的距离；（Ⅱ）证明：⊥AC 平面BCD ；（Ⅲ）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值．CBDA 图1BCDA图2211a a a 312321a a a a a a (1)111211++-+n n n n n n a a a a a a a a a………………………………………… 19．（本题满分14分）已知M 是以点C 为圆心的圆22(1)8x y ++=上的动点，定点(1,0)D .点P 在DM 上，点N 在CM上，且满足2,0DM DP NP DM =⋅=．动点N 的轨迹为曲线E .（Ⅰ）求曲线E 的方程；(Ⅱ)线段AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求AOB ∆面积S 的取值范围.20．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：21,121==a a ，且=+2n a 121+++n n n a a a （*N ∈n ）．（Ⅰ）求证：数列}{1+n na a 为等差数列；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求下表中前n 行所有数的和n S ．21．（本题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =-(常数0)a >.(Ⅰ) 当3a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数()f x 在区间(1,)ae 上零点的个数（e 为自然对数的底数）.2009年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)答案及评分标准二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分． 9．4π． 10．10． 11． 52.5％． 12． 12-.13 14．⎪⎭⎫⎝⎛512512， ． 15．36． 三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且4,a =2,C A =3cos 4A =． (Ⅰ) 求sinB ； (Ⅱ) 求b 的长.解：(Ⅰ)在ABC ∆中，3cos ,24A C A == .2231cos cos 22cos 12()148C A A ∴==-=⋅-=. …………………………2分从而sin A C == …………………………6分∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+1384=+=……9分(Ⅱ)由正弦定理可得sin sin a b A B =， sin 5.sin a Bb A∴== ………………………12分 17．（本小题满分12分）某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为21，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望. 解：(Ⅰ)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4.…………………………1分411(0)()216P ξ===，144141(1)()2164P C ξ====，244163(2)()2168P C ξ====344141(3)()2164P C ξ====，44411(4)()216P C ξ===. …………………4分其分布列为：…………………………6分(Ⅱ)1~(4,)2B ξ ， 1422E ξ∴=⨯=. ……………………8分 由题意可知ξη1002300-=， ………………………10分230010023002002100E E ηξ∴=-=-=元. …………………………12分18．如图一，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，2,90,60=︒=∠︒=∠CD C A ．把ABD ∆沿BD 折起（如图二），使二面角C BD A --的余弦值等于33．对于图二，完成以下各小题： （Ⅰ）求C A ,两点间的距离；（Ⅱ）证明：⊥AC 平面BCD ； （Ⅲ）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值．（图一） （图二） 解：（Ⅰ）取BD 的中点E ，连接CE AE ,，由CD CB AD AB ==,，得：BD CE BD AE ⊥⊥,AEC ∴∠就是二面角C BD A --的平面角， 33cos =∠∴AEC ………………………2分 在ACE ∆中，2,6==CE AE ，AEC CE AE CE AE AC ∠⋅⋅-+=cos 2222C BD ABC DAE43326226=⨯⨯⨯-+=2=∴AC …………4 分 （Ⅱ）由22===BD AD AC ，2===CD BC AC∴,222AB BC AC =+,222AD CD AC =+∴︒=∠=∠90ACD ACB …………………………6分,AC BC AC CD ∴⊥⊥， 又C CD BC = AC ∴⊥平面BCD ．…………………8分（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知⊥BD 平面ACE ，⊂BD 平面ABD ∴平面⊥ACE 平面ABD ………………10分平面 ACE 平面AE ABD =，作CF AE ⊥交AE 于F ，则CF ⊥平面ABD ，CAF ∠就是AC 与平面ABD 所成的角，……………12分sin sin CE CAF CAE AE ∴∠=∠==． ..................14分 方法二：设点C 到平面ABD 的距离为h ， ∵BCD A ABD C V V --= (10)分1111602223232h ∴⨯⨯︒⋅=⨯⨯⨯⨯3h ∴=………………12分于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦为 33sin ==AC h θ． ………………………14分 方法三：以CA CD CB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系xyz C -，则)0,2,0()0,0,0(),0,0,2(),2,0,0(D C B A ． ………10分设平面ABD 的法向量为n ),,(z y x =，则n 0=⋅， n 0=⋅，⇒022,022=-=-z y z x 取1===z y x ，则n )1,1,1(=， ----------12分 于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦即3323|200|||||sin =⨯++==CA n CA n θ． ……………14分 19．(本题满分14分)已知M 是以点C 为圆心的圆22(1)8x y ++=上的动点，定点(1,0)D .点P 在DM 上，点N 在CM上，且满足2,0DM DP NP DM =⋅=．动点N 的轨迹为曲线E .（Ⅰ）求曲线E 的方程；(Ⅱ)线段AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求AOB ∆面积S 的取值范围.解：（Ⅰ）2,0.DM DP NP DM =⋅=∴NP 为DM 的垂直平分线，∴||||ND NM =,又|||||||| NM CN DN +=+=> ………………………………3分∴动点N 的轨迹是以点(1,0),(1,0)C D -为焦点的长轴为.∴轨迹E 的方程为.1222=+y x ………………………………………………………5分 (Ⅱ) 解法一∵线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A O B 、、能构成三角形，则弦AB 不能与x 轴垂直，故可设直线AB 的方程为y kx b =+，由22,1.2y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理，得222(12)4220.k x kbx b +++-=设),(11y x A ，),(22y x B ，则122412kbx x k +=-+，21222(1)12b x x k-=+ …………………………………………8分 ||2,AB =2.=221212(1)()44k x x x x ⎡⎤∴++-=⎣⎦，2222248(1)(1)4,1212kb b k k k ⎡⎤-⎛⎫∴+--=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦2212(1)1b k ∴=-+， …………………11分 211k +≥ 2112b ∴≤<. ……………………12分又点O 到直线AB的距离h =， 1||2S AB h ∴=⋅h = 22S h ∴=222(1)b b =-22112()22b =--+ …………13分2102S ∴<≤，0S ∴<≤. ………………14分解法二：∵线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A O B 、、能构成三角形，则弦AB 不能与x 轴垂直，故可设直线AB 的方程为y kx b =+，由22,1.2y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理，得 222(12)4220.k x kbx b +++-=设),(11y x A ，),(22y x B ，则122412kbx x k +=-+，21222(1)12b x x k-=+ ………………8分||2,AB =211a a a 312321a a a a a a ……………………………1111211++-+n n n n n n a a a a a a a a a…………………………………………2.=221212(1)()44k x x x x ⎡⎤∴++-=⎣⎦，2222248(1)(1)4,1212kb b k k k ⎡⎤-⎛⎫∴+--=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦22221,2(1)k b k +∴=+ …………………………11分 又点O 到直线AB的距离h =，1||2S AB h ∴=⋅h = 22S h ∴=221b k =+22212(1)k k +=+221112(1)k k =-++，设211t k =+，则 221(01)2S t t t =-+<≤2102S ∴<≤，02S ∴<≤. ………………14分（注：上述两种解法用均值不等式求解可参照此标准给分）20．(本题满分14分)已知数列}{n a 满足：21,121==a a ，且=+2n a 121+++n n n a a a （*N ∈n ）．（Ⅰ）求证：数列}{1+n na a 为等差数列；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求下表中前n 行所有数的和n S ．解：（Ⅰ）由条件21,121==a a ，=+2n a 121+++n n n a a a ，得=++12n n a a 11+++n n n a a a ⇒-++21n n a a11=+n n a a ………………………2分 ∴ 数列}{1+n na a 为等差数列． …………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得11)1(211+=⋅-+=+n n a aa a n n ……………………………………4分 ∴⋅=211a a a a n ⋅32a a !321n n a a n n =⋅⋅⋅=⋅- ……………………………………7分∴!1n a n =…………………………………… 8分 （Ⅲ）=++-11n k n k a a akn C k n k n 1)!1(!)!1(+=+-+ (n k ,,2,1 =) ………………………10分∴ 第n 行各数之和1111211++-++++n n n n n n a aa a a a a a a 22112111-=+++=++++n n n n n C C C （ ,2,1=n ）……………………12分 ∴ 表中前n 行所有数的和)22()22()22(132-++-+-=+n n S 231(222)2n n +=+++- 22(21)221n n -=--2224n n +=--. ……………………14分21. (本题满分14分)已知函数2()ln f x x a x =-(常数0)a >.(Ⅰ) 当3a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数()f x 在区间(1,)a e 上零点的个数（e 为自然对数的底数）.解：(Ⅰ)当 3a =时，2()3ln f x x x =-，3()2f x x x'∴=-. ……………………1分 (1)1f '∴=-. 又(1)1f = ， ∴曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程为1(1)y x -=--. 即20x y +-=. ………………………3分(Ⅱ)（1）下面先证明：> (0)a a a ≥e ．设 () (0)a g a a a =-≥e ，则0() 1 10 (0)a g a a '=-≥-=≥e e ，且仅当()00g a a '=⇔=，所以，()g a 在),0[+∞上是增函数，故()(0)10g a g ≥=>．所以，0a a ->e ，即> (0)aa a ≥e ． …………………5分（2）因为2()ln f x x a x =-，所以22()2a x a f x x x x -'=-=2(22x x x-+=.因为当0x <<()0f x '<，当x >()0f x '>.又2 (0,2)2a a a a a a a a <<<≥<⇒<e e e ， 所以()f x在⎛⎝⎦上是减函数，在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是增函数. 所以，min ()()(1ln ).222a a f x f ==- …………………………9分 （3）下面讨论函数()f x 的零点情况． ①当(1ln )022a a ->，即02a e <<时，函数()f x 在(1,)a e 上无零点； ②)当(1ln )022a a -=，即2a e =时，2=12a e << 而(1)10f =>，(02f =()0,a f e >∴()f x 在(1,)a e 上有一个零点； ③当(1ln )022a a -<，即2a e >时，1a >>>e , 由于01)1(>=f，(1ln )022a a f =-<， 2()ln a a a f e e a e =-22()()0a a a e a e a e a =-=-+>，所以，函数()f x 在(1,)a e 上有两个零点. ………………………………………………………13分综上所述，()f x 在(1,)ae 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()f x 无零点；当2a e =时，函数()f x 有一个零点；当2a e >时，函数()f x 有两个零点. ………………………………14分解法二：(Ⅱ)依题意，可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a x a f x x x x-'=-=2(22x x x+=. …………………5分∴当02x <<()0f x '<，当2x >()0f x '>.()f x ∴在0,2⎛ ⎝⎦上是减函数，在2⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是增函数.min ()(1ln ).22a a f x f ∴==- ………………………………………6分 设()bxx g x e b =-（0x ≥，常数1)b ≥.21()1(),x b bx b e g x be b b -'=-= ∴当[)0,x ∈+∞时，()0,g x '≥且仅当0,1x b ==时，()0,g x '=()g x ∴在[)0,+∞上是增函数.∴当[)0,x ∈+∞时，()(0)1g x g ≥=，∴当1,0b x ≥>时，10bx x e b->>取2,b x a ==，得20,2a a e ->由此得a e >. ………………………………9分 取1,b x a ==得0,a e a ->由此得2()ln a a a f e e a e =-22()()0a a a e a e a e a =-=-+>. …………………………10分(1)当(1ln )022a a ->，即02a e <<时，函数()f x 无零点； ………………………11分(2)当(1ln )022a a -=，即2a e =时，2=12a e <<而(1)10f =>，(02f =()0,a f e >∴函数()f x 有一个零点； ………………12分(3)当(1ln )022a a -<，即2a e >时， 1>>.而(1)10,f =>0f <，()0,a f e > ∴函数()f x 有两个零点. ………………………………………13分综上所述，当02a e <<时，函数()f x 无零点，当2a e =时，函数()f x 有一个零点，当2a e >时，函数()f x 有两个零点. ………………………………14分。
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)(含答案解析)
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________则集合二、填空题三、解答题（I）证明：M是侧棱SC的中点；22．设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点（Ⅰ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点区域；参考答案：设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为分别在1Rt A AD 和1Rt A DB V 中，由勾股定理，可知211222A B BD A D =+=，在1A AB △中，由余弦定理，得11cos 2θ+=所以异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为故选：D ．8．A【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解【详解】因函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点于是得(2),6k k Z πϕπ=--∈，显然(k ϕ=而2k =时，6πϕ=-，||6πϕ=，当3k =时，所以|φ|的最小值为6π.故选：A 9．B【详解】设切点00(,)P x y ，则，又00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=，故答案选10．C11．D【详解】[方法一]：(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x --=--，∴函数()f x 关于点2[1(1)]4T =--=的周期函数.(f x ∴--奇函数.故选D.[方法二]：(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x --=--，由(1)f x ∴-+=由(1)(1)f x f x --=--，得()f x f =-进而可得()()4f x f x +=，可见(f 不成立，而D 成立的理由如下：(f【详解】设MN x =，则NC EB ==在RT MEB ∆中， MBE ∠在RT MNE ∆中由2ME NE =解得1x =，从而12MN SD =（Ⅱ）建系如图）得，又，，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即，∴的大小．由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式()知,=而,又是一个典型的错位相减法模型易得=）（（））联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（Ⅱ）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）22．（Ⅰ）（II ）证明见解析．【详解】分析（I ）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力．大部分考生有思路并能够得分．()2363f x x bx c =++'由题意知方程()0f x ¢=有两个根12x x 、1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈则有()10f '-≥，()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有下图中阴影部分即是满足这些条件的点(),b c 的区域．(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度．主要原因是含字母较多，不易找到突破口．此。
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深圳中学2009年高一理科竞赛班选拔考试
数 学
总分:120分 考试时间： 2009-8-20 8：30—10：00 注意：请考生将答案填写在答题卷上，否则无效。
一．选择题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．已知11a a -=，则1
a a
+的值为（ ）
A.
B.
1
C.
D.
2．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图1，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）
（A ）120°，180°，60°（B ）108°，144°，108° （C ）90°，180°，90° （D ） 72°，216°，72° 3．已知a 、b 为实数，
且1=b a ，1≠a ，设1
1++
+=b b
a a M ，1
1
11++
+=
b a N ，则N M -的值等于（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．0或1
4．如图，正方形ABCD 的边长是4㎝，以B 为圆心，BC 的长为
半径画弧交对角线BD 于E 点，连结CE ，P 是CE 上任意一点，
PM ⊥BC ，PN ⊥BD ，垂直分别为M 、N ，则PM ＋PN 的值为（ ）
A ．
B ． 1㎝
C ．3㎝
D ．2㎝
5．已知a+b+c ≠0，且
a+b c =b+c a =a+c
b =p ，则直线y=px+p 不经过（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
6．如图，一张长方形纸沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折 线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠
OCD
C
D
第4题
图2
等于（ ）。
O
A ．108° B. 144° C. 126° D ．129°
二、填空题：(本大题有10小题,每小题5分,共50分)
7．对于任意实数a 、b 、c 、d 规定了一种运算a b
ad bc c d
=-,则当
2
4
2535
x -=-时，x =______________. 8．计算：2009
20112011
2011
2011
73153735
+⎛⎫
⨯ ⎪
+⎝⎭
= . 9、已知正△ABC 的面积是1，P 是平面上一点，并且△PAB 、△PBC 、△PCA 的面积相等，那么满足条件的点P 共有 个；△PAB 的面积是 10．已知方程2
10x mx m +-+= (m 是整数)有两个不等的正整数根，则m=______. 11．对于正整数k ，记直线y ＝－
k k ＋1x ＋ 1
k ＋1
与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ ．
12．如果a 是方程x 2
-3x+1=0的根，那么分式2a 5-6a 4+2a 3-a 2-1
3a
的值是 ；
13．分解因式：22
()()1ab a b a b +-++=
14．在边长为1的正方形ABCD 的边AB 上取点P ，边BC 上取点Q ，边CD 上取点M ，边AD 上取点N。
如果QN PM ⊥，求CM
CQ AN AP +++的值
为 。
15．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，
若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．
16．若关于x 的方程 1 x －1－ a 2－x ＝ 2(a ＋1) x 2－3x ＋2
无解，则a ＝________．
深圳中学2009年高一理科竞赛班选拔考试 数学答题卷
总分:120分 考试时间： 2009-8-20 8：30—10：00
得分:
7． 8 9． 10
11．
12
13． 14
15． 16 三、解答题（第17、18、19、20小题每题各10分，本大题共40分） 17．已知函数T=79x x -+-
(1)求函数T 的最小值；
(2)若对任何实数y 都有T ≥()
2
2m y y -+成立，求实数m 的最大值.
解:
18．如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE．请证明：
(1)∠CAD=2∠DBE；
(2)AD 2-AB 2=BD·DC．
证明：
19．已知实数a 、b 、c 、d 使得方程
()()24()()x a x b x c x d -+-=++
对一切实数x 均成立，那么当代数式
22224488110a b c d ab cd a b c d +++++--+++
取到最小值时，672a ＋b ＋c ＋d 的值为多少？
解:
20．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．
解：。