第十一章 三角形 全章知识梳理总结

第十一章三角形
1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组
成的图形叫做三角形。

2、三角形两边的和大于第三边；三角形的两边的差小于第三边。

3、判定三条线段能否围成三角形的简易方法：较小两边之和大于第
三边（最大边）。

4、三角形四心：（1）重心：三条中线交点；（2）垂心：三条高的交
点；（3）内心：三个角平分线的交点；（4）外心：三边垂直平分线的交点。

5、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º。

6、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

7、直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

8、三角形的一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角。

9、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。

10、由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

11、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多
边形的对角线。

多边形一个顶点对角线为：（n－3）条多边形对角线总条数为：n(n－3)÷2 条
12、正多边形定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多
边形。

13、多边形内角和公式：n边形内角和等于（n－2）×180 º
14、多边形的外角和等于360 º。

第十二章全等三角形
1、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

3、把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重
合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

4、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对
应角相等。

5、三角形全等的判定定理：
（1）SSS三边分别相等的两个三角形全等。

（2）SAS两边和它们的夹角分别相等的两个三角形等。

（3）ASA两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

（4）AAS两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

（5）HL斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

（直角三角形的判定）
6、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

【（1）角相等且两垂直；（2）垂线段相等】
7、角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在
角的平分线上。

【（1）两垂直且垂线段相等；（2）角相等】
第十三章轴对称
1、一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（一个图形）
2、一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，
那么就说这两个图形关于这条直线（成）轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

（两个图形）3、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；
把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。

4、线段垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫
做这条线段的垂直平分线。

5、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是
任何一对对应点所连线段的重直平分线。

（两个图形）
6、轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所
连线段的垂直平分线。

（一个图形）
7、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两
个端点的距离相等。

8、线段的垂直平分线的判定定理：与一条线段的两个端点距离相等
的点，在这条线段的垂直平分线上。

9、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x， y）；
点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（－x，－y）；
10、等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（三线合一）
11、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这
两个角所对的边也相等（等角对等边）。

12、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角
都等于60°.
13、等边三角形的判定定理：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

14、30°的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

15、最短路径问题：
（1）两点的所有连线中，线段最短。

（两点之间，线段最短。

）（2）连接直线外的一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

（垂线段最短）
第十四章整式的乘法与因式分解
1、同底数幂的乘法：a m•a n= a m+n (m,n都是正整数)。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、同底数幂相除除法公式：a m÷a n = a m-n (a≠0，m,n都是正整数，
并且m＞n)。

同底数幂相乘，底数不变，指数相减。

3、幂的乘方：（a m）n= a mn(m,n都是正整数)。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

4、积的乘方：(ab)n= a n b n (n是正整数)。

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

5、a0=1(a≠0)
任何不等于0的数的0次幂都等于1。

6、分式乘方法则：n=
7、整式的乘法
单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq
8、整式的除法
单项式除以单项式：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

9、乘法公式：
（1）平方差公式：（a＋b）(a－b) = a2－b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

(2) 完全平方公式：（a＋b）2 = a2＋2ab＋ b2
（a－b）2 = a2－2ab＋ b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

（3）（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq
10、添括号法则：添括号时,如果括号前面是正号,括到括号的各项都
不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
11、因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，叫做这个
多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

12、因式分解的方法：
（1）提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形
式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）公式法：
平方差公式：a2－b2=（a＋b）(a－b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

完全平方公式：a2＋2ab＋ b2 =（a＋b）2
a2－2ab＋ b2 =（a－b）2
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。

等于这两个数的和（或差）的平方，
十字相乘法公式：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
第十五章分式
1、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

(C≠0)
2、分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式
的约分。

最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

3、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母
的积作为积的分母。

4、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

5、分式乘方法则：n= 分式乘方要把分子、分母分别乘方。

6、分式的加减法法则：
（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

7、a-n=
8、除以一个数等于乘以这个数的倒数。

除以一个数等于乘以这个数的指数的相反数。

9、将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

10、解分式方程的步骤：（1）方程两边乘以最简公分母（去分母）（2）解得（3）检验当时，最简公分母≠0（或最简公分母=0）。