离散数学课后习题答案

1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}⊆S,{{a},1,3,4}⊂R,R=S,{a}⊆S,{a}⊆R,φ⊆R,φ⊆{{a}}⊆R⊆E,{φ}⊆S,φ∈R,φ⊆{{3},4}。

解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ⊆ S ，{{a}，1，3，4 } ⊂ R ，R = S ，{a}⊆S ，{a}⊆ R ，φ⊆ R ，φ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ E ，{φ} ⊆ S ，φ∈R ，φ⊆ {{3}，4 } 2写出下面集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；(4)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。

举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x⊆A。

由于A⊆B，故x⊆B，从而x∈ρ(B)，于是ρ(A)⊆ρ(B)。

充分性，任取x∈A，知{x}⊆A，于是有{x}∈ρ(A)。

由于ρ(A)⊆ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A⊆B。

（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X⊆A或X⊆B∴X⊆(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X⊆A且X⊆B∴X⊆ A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y⊆ A∩B∴Y⊆A且Y⊆B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。

举例：A={1}，B={a}则ρ(A)={ φ，{1}}，ρ(B)={ φ，{a}}ρ(A)∪ρ(B) = { φ，{1}，{a}}A∪B={1，a}ρ( A∪B)={ φ，{1}，{a}，{1，a}}可见{1，a}∈ρ( A∪B)，{1，a}∉ρ(A)∪ρ(B)所以ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)(4)对任意的集合x，若x=φ，则x∈ρ( A-B) 且x∈(ρ( A) -ρ( B))∪{φ}。

若x≠φ，则x∈ρ( A-B)当且仅当x⊆( A-B)当且仅当x⊆A∧x⊈B当且仅当x∈ρ( A)∧x∉ρ( B) 当且仅当x∈(ρ(A)-ρ(B))。

综上所述，可知ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。

4.设A,B,C为任意三个集合，下列各式对否？并证明你的结论。

（1）若A∈B且B⊆C，则A∈C；（2）若A∈B且B⊆C，则A⊆C；（3）若A⊆B且B∈C，则A∈C；（4）若A⊆B且B∈C，则A⊆C。

解：（1）正确；（2）不正确，举一个反例即可；（3）不正确，举一个反例即可；（4）不正确，举一个反例即可。

1.3.1习题1.2解答3.R，S是集合A上的两个关系。

试证明下列等式：（1）(R•S)-1= S-1•R-1（2）(R-1)-1= R（3）(R∪S)-1= R-1∪S-1（4）(R∩S)-1= R-1∩S-1证明：（1）先证(R•S)-1⊆ S-1•R-1，对任意(x，y) ∈(R•S)-1，则(y，x) ∈(R•S)，则存在a∈A，满足(y，a) ∈R且(a，x) ∈S，那么(x，a) ∈S-1且(a，y) ∈R-1，所以(x，y) ∈ S-1•R-1，因此(R•S)-1⊆S-1•R-1；再证S-1•R-1⊆(R•S)-1，对任意(x，y) ∈ S-1•R-1，则存在a∈A，满足(x，a) ∈S-1且(a，y) ∈R-1，所以(y，a) ∈R且(a，x) ∈S，所以(y，x) ∈(R•S)，所以(x，y) ∈(R•S)-1，因此S-1•R-1⊆(R•S)-1。

（2）先证(R-1)-1⊆ R，对任意(x，y) ∈(R-1)-1，则(y，x) ∈ R-1，则(x，y) ∈ R，所以(R-1)-1⊆R；再证R ⊆(R-1)-1，对任意(x，y) ∈ R，则(y，x) ∈ R-1，则(x，y) ∈(R-1)-1，所以R ⊆(R-1)-1。

故(R-1)-1= R得证。

（3）先证(R∪S)-1⊆ R-1∪S-1，对任意(x，y) ∈(R∪S)-1，则(y，x) ∈ R∪S，则(y，x) ∈ R 或(y，x) ∈S，则(x，y) ∈R-1或者(x，y) ∈S-1，所以(x，y)⊆ R-1∪S-1，所以(R∪S)-1⊆ R-1∪S-1；再证R-1∪S-1⊆(R∪S)-1，对任意(x，y) ∈ R-1∪S-1，则(x，y) ∈R-1或者(x，y) ∈S-1，则(y，x) ∈R或(y，x) ∈S，所以(y，x) ∈ R∪S，所以(x，y) ∈(R∪S)-1，所以R-1∪S-1⊆(R∪S)-1。

故(R ∪S)-1= R-1∪S-1得证。

（4）先证(R∩S)-1⊆ R-1∩S-1，对任意(x，y) ∈(R∩S)-1，则(y，x) ∈ R∩S，则(y，x) ∈ R 且(y，x) ∈S，则(x，y) ∈R-1且(x，y) ∈S-1，所以(x，y)⊆ R-1∩S-1，所以(R∩S)-1⊆ R-1∩S-1；再证R-1∩S-1⊆(R∩S)-1，对任意(x，y) ∈ R-1∩S-1，则(x，y) ∈R-1且(x，y) ∈S-1，则(y，x) ∈ R 且(y，x) ∈S，所以(y，x) ∈ R∩S，所以(x，y) ∈(R∩S)-1，所以R-1∩S-1⊆(R∩S)-1。

故(R∩S)-1= R-1∩S-1得证。

1.3.3习题1.3解答2.将集合M中元素映射到自身的变换称为同一变换，记为I。

设σ，τ是集合M上的两个变换，如果σ•τ=τ•σ=I，则σ，τ是1–1变换，并且τ=σ-1。

证明：（1）先证σ、τ分别是单映射。

对任意x1，x2∈M，如果σ(x1)= σ(x2)，则有x1=I(x1)= (τ•σ) (x1)= τ(σ(x1) )= τ(σ(x2) )= (τ•σ) (x2) =I(x2)= x2所以σ是单映射。

同理可证τ是单映射。

（2）再证σ、τ分别是满射。

因为σ和τ都是M到M的单映射，所以有σ(M) ⊆ M，τ (M) ⊆ M，于是M =I (M)= (σ•τ) (M)= σ (τ (M) ) ⊆σ(M)，同理A=I (M)= (τ•σ) (M)= τ (σ (M) ) ⊆τ (M)，所以σ(M) = M，τ (M)= M，即σ、τ是满射。

（3）往证τ=σ-1。

由σ是1–1映射，故存在σ-1，对任意x ∈M，σ-1(x)= I (σ-1(x))= (τ•σ) (σ-1(x))= τ(σ (σ-1(x))= τ(x)故τ=σ-1。

2. 说出下述每一命题的逆命题和逆否命题：（1）如果天下雨，我将不去。

（2）仅当你去我将逗留。

（3）如果n是大于2的正整数，则方程x n+y n=z n无正整数解。

（4）如果我不获得更多帮助，我不能完成这个任务。

解：（1）逆命题为：如果我不去，那么天下雨；逆否命题为：如果我去，那么天不下雨。

（2）逆命题为：仅当我将逗留你去；逆否命题为：你不去我将不逗留。

（3）逆命题为：如果方程x n+y n=z n无正整数解，则n是大于2的正整数；逆否命题为：如果方程x n+y n=z n有正整数解，则n是不大于2的正整数。

(4)逆命题为：我不能完成这个任务，因为我没有获得更多帮助。

逆否命题：如果我完成了任务，则我获得了更多帮助。

3. 给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值：a) (P∧(Q∧R))∨⌝((P∨Q)∧(R∨S))b) (⌝(P∧Q)∨⌝R)∨(((⌝P∧Q)∨⌝R)∧S)c) (⌝(P∧Q)∨⌝R)∨((Q↔⌝P)→(R∨⌝S))d) (P∨(Q→(R∧⌝P)))↔(Q∨⌝S)解：a)令G= (P∧(Q∧R))∨⌝((P∨Q)∧(R∨S))则：T I(G) = (1∧(1∧0))∨⌝((1∨1)∧(0∨0))= 0∨⌝0=1b)令G=(⌝(P∧Q)∨⌝R)∨(((⌝P∧Q)∨⌝R)∧S)则：T I (G) = (⌝(1∧1)∨⌝0)∨(((⌝1∧1)∨⌝0)∧0)= 1∨0=1c) 令G =(⌝(P∧Q)∨⌝R)∨((Q↔⌝P)→(R∨⌝S))=(⌝(P∧Q)∨⌝R)∨( ⌝ ( (⌝Q∨⌝P) ∧(P ∨Q)) ∨(R∨⌝S))=(⌝P∨⌝Q∨⌝R)∨( (Q∧P) ∨ (⌝P ∨⌝Q) ∨(R∨⌝S))则：T I (G) =(⌝1∨⌝1∨⌝0)∨( (1∧1) ∨ (⌝1 ∨⌝1) ∨(0∨⌝0)) = 1∨1=1d) 令G =(P∨(Q→(R∧⌝P)))↔(Q∨⌝S)=(P∨(Q→(R∧⌝P)))↔(Q∨⌝S)=(P∨(⌝Q∨(R∧⌝P)))↔(Q∨⌝S)=(⌝ (P∨(⌝Q∨(R∧⌝P))) ∨ (Q∨⌝S)) ∧(⌝ (Q∨⌝S) ∨ (P∨(⌝Q∨(R∧⌝P))))=(⌝ P ∧ (Q∧ (⌝R∨P))) ∨ (Q∨⌝S)) ∧((⌝ Q∧S) ∨ (P∨(⌝Q∨(R∧⌝P)))) T I (G) =(⌝ 1 ∧ (1∧ (⌝0∨1))) ∨ (1∨⌝0)) ∧((⌝1∧0)∨ (1∨(⌝1∨(0∧⌝1))))=1 ∧1=13. 对P和Q的所有值，证明P→ Q与⌝P∨Q有同样的真值。

证明（P→ Q）↔（⌝P∨Q）是恒真的。

解：对P→ Q的任意解释I，若I使P→ Q为真，则I使P为假或P和Q同时为真，若I使P为假，则使⌝P，此时⌝P∨Q为真，若I使P和Q同时为真，则Q为真，此时⌝P∨Q为真，也就是说P→ Q为真时⌝P∨Q为真。

若I使P→ Q为假，则I使P为真Q为假，此时⌝P∨Q 为假，也就是说P→ Q为假时⌝P∨Q为假。

综上知P→ Q与⌝P∨Q同真同假，由定义知（P→Q）↔（⌝P∨Q）是恒真的。

习题2.3解答2设S={G1，…，G n}是命题公式集合。

试求出在不增加新原子的情况下从S出发演绎出的所有命题公式。

提示：考虑G1∧…∧G n的主合取范式。

解：任设一公式G’为从S出发演绎出来的公式。