离散数学第五版课后答案

离散数学第五版课后答案【篇一：离散数学课后答案(四)】txt>4.1习题参考答案-------------------------------------------------------------------------------- 1、根据结合律的定义在自然数集n中任取 a,b,c 三数，察看 (a。

b)。

c=a。

(b。

c) 是否成立？可以发现只有 b、c 满足结合律。

晓津观点：b)满足结合律，分析如下： a) 若有a,b,c∈n，则(a*b)*c =(a-b)-c a*(b*c) =a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。

b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。

a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。

此运算是可结合的。

c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。

d)运用同样的分析可知其不是可结合的。

-------------------------------------------------------------------------------- 2、d)是不封闭的。

--------------------------------------------------------------------------------其不满足交换律、满足结合律、不满足幂等律、无零元、无单位元晓津补充证明如下：(1)a*b=pa+qb+r 而b*a=pb+qa+r 当p,q取值不等时，二式不相等。

因此*运算不满足交换律。

(2)设a,b,c∈r则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r 而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r 二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。

(3)a*a=pa+qa+r≠a 所以运算不满足幂等律。

(4)反证法。

设有单位元e,则应有a*e=pa+qe+r=a, e*a=pe+qa+r=a,可知e=(a-pa-r)/q 或e=(a-qa-r)/p 当p,q,r ,a取值不同时，可得不同的e,这与单位元若有时只是唯一的定理相矛盾。

(5)反证法。

设有零元o,则应有a*o=pa+qo+r=o ,o*a=po+qa+r=o ，同上分析，零元不止一个，因此与零元唯一的定理相矛盾。

-------------------------------------------------------------------------------- 5、 (a) : 可交换、具有幂等性、有幺元 a 、c是b的逆元晓津答案：可交换，但不具有幂等性。

幺元e=a,表中有a*a=a,b*c=a,c*b=a,则可得a的逆元是a,b有逆元c,c有逆元b.(b) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a , 因为a*a=a,b*b=a,所以a有逆元a,b有逆元b.(c) : 不可交换、具有幂等性,无幺元。

(d) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,a有逆元a.-------------------------------------------------------------------------------- 6、证明：设a,b,c∈i+ a*(b△c)=a^(b.c)(a*b)△(a*c)=(a^b).(a^c)=a^(b+c)可见：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c) 根据：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c)可知*对△是不可分配的-------------------------------------------------------------------------------- 7、解：晓津证明如下：(1)我们先证明n=1时,该运算*在z1 上的运算是可结合的：此时，设有a,b,c∈z1 则有a=0,b=0,c=0 (a*b)*c=(((a.b)mod n).c )modn=0 a*(b*c)=(a.((b.c)mod n) )mod n=0两式相等，因此当n=1时，*运算是可结合的。

(2)由上可设当n=k时，*运算是可结合的。

(3)设n=k+1时，有：(a*b)*c= (((a.b) mod (k+1)).c )mod (k+1) =(a.b.c mod (k+1) )mod (k+1) a*(b*c)=(a.((b.c)mod (k+1)) )mod (k+1) =(a.b.c mod(k+1) ) mod (k+1)可见两式是完全相同的结果。

因此有当n=k+1时，*运算满足结合律。

所以对于任意n∈n,*在zn上是可结合的。

4.2节习题参考答案-------------------------------------------------------------------------------- 1、解： zn={0,1,2,3}(1)我们先证明k=1时,该运算*在z1 上的运算是可结合的：此时，设有a,b,c∈z1 则有a=0,b=0,c=0 (a*b)*c=(((a.b)mod k).c )mod k=0 a*(b*c)=(a.((b.c)mod k) )mod k=0两式相等，因此当k=1时，*运算是可结合的。

(2)由上可设当k=k 时，*运算是可结合的。

(3)设k=k+1时，有：(a*b)*c= (((a.b) mod (k+1)).c )mod (k+1)=(a.b.c mod (k+1) ) mod (k+1) a*(b*c)=(a.((b.c)mod (k+1)) )mod (k+1)=(a.b.c mod (k+1) ) mod (k+1)可见两式是完全相同的结果。

因此有当k=k+1时，*运算满足结合律。

所以对于任意k∈k,*在zk上是可结合的。

由此可知其是个半群。

-------------------------------------------------------------------------------- 2、证明：二元运算□是可结合的。

根据结合律：(x□y)□z=x□(y□z)(x□y)□z=(x*a*y)*a*z x□(y□z)=x*a*(y*a*z) 由于*满足结合律，故：(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z) = (x□y)□z=x□(y□z) = 二元运算□是可结合的-------------------------------------------------------------------------------- 3、构成一个半群,证明详见第一题，其具有封闭性、结合性。

-------------------------------------------------------------------------------- 4、(1)、由运算。

可知，a。

b∈r ，可知其在r上具有封闭性。

（2）、对于任意 a,b,c∈r(a。

b)。

c=(a+b+ab)。

c=a+b+ab+c+ac+bc+abc a。

(b。

c)=a。

(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc 可见： (a。

b)。

c=a。

(b。

c)即。

在r上是可结合的。

(3) 因为 [0]。

[i]=i ,所以[0]是r,o上一个幺元根据上述 r,o是独异点晓津认为题中所给r,o中的o应为o；答案中的(3)幺元是0,而不是[0]. -------------------------------------------------------------------------------- 5、晓津证明如下：反证法：若v不是独异点，则v不存在幺元. 而因为x是任意的，则当x=a时，有 a*u=v*a=a即此时u,v分别是a的右、左幺元。

因为在一个系统中若同时存在左右幺元，则二者必相等，因此此时u=v=e。

这与假设矛盾，因此由v是一个半群，又v具有幺元，得知v是独异点。

-------------------------------------------------------------------------------- 6、证明： v=s,o是半群,故。

在s上是可结合的x。

ol=ol。

x 根据定义4.1.5可知：ol。

x=ol故x。

ol也是一个左零元晓津不同意见：可结合不等于可交换。

在这里应当把(x。

ol)看作一个元素，这整个元素是一个左零元。

另，题中s,o应为s，。

证明如下：因为v是半群，所以运算是封闭的,可结合的。

若有x,y,ol∈s，则有x。

ol∈s且有(x。

ol)。

y=x。

(ol。

y)=x。

ol 即x。

ol是s中任意y的左零元。

-------------------------------------------------------------------------------- 7、解：子半群如下：v1=z1,,v2=z2,,v3=z3,,v4=z4,其中v1,v2,v3 ,v4都是v的子独异点，因为这四个半群中均有幺元e=1。

-------------------------------------------------------------------------------- 8、证明如下：设s,*为一个独异点，则它有一个幺元.设在s,*中e是关于*的幺元，若对于任意a∈s，存在b∈s且b*a=e，则b是a的左逆元。

令左逆元的集合为l，则ls, 所以*在l 上是结合的。

对任意的a，b∈l,则必存在x,y∈s,使a*x=e，b*y=e; 则(a*b)*(y*x)=a*(b*y)*x=a*e*x=a*x=e; 故a*b是y*x的左逆元，∴a*b∈l∴*在l上是封闭的 (本段证明由阮允准补充)即l,*是一个半群。

因为e是s中关于*的幺元，所以它同时也是l中关于*的幺元。

因此l,*是一个子独异点。

-------------------------------------------------------------------------------- 9、答：从表中看：4.3习题参考答案证明：根据定理4.3.4，设g,*是一个群，对于a,b∈g。

必存在惟一的x∈g,使 a*x=b 设 a*b=g 因为 a*b=a*c 所以 a*c=g由于 b在a中是惟一的，而c在a中也是惟一。

所以 b=c晓津的证明如下：已知a,*为群，则对于任意a,必逆元a-1和幺元e，则有： a-1*(a*b)=a-1*(a*c) 即有(a-1*a)*b=(a-1*a)*c e*b=e*c 所以有b=c证明：根据定理4.2.2设h,*是独异点，对于a,b∈h,且a,b均有逆元。