第九章 变量之间的关系
第九章变量之间的关系
1 用表格表示变量之间的关系
1.变量、自变量和因变量
在某一变化过程中不断变化的量叫做,若两个变量x,y,其中y随着变量x的变化而变化,则把x叫做,y叫做.
2.常量
在变化过程中数值始终不变的量叫做.
3.用表格表示变量之间的关系
借助表格,我们可以表示随的变化而变化的情况.
变量与常量、自变量与因变量
[典例1]某品牌豆浆机成本为150元,销售商对其销量、定价的关系进行了调查,结果如表:
下列说法正确的是( )
A.定价是常量,销量是变量
B.定价是变量,销量是不变量
C.定价与销量都是变量,定价是自变量,销量是因变量
D.定价与销量都是变量,销量是自变量,定价是因变量
[变式1]“早穿皮袄,午穿纱,围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地区一天中, 随变化而变化,其中自变量是,因变量是.
[变式2]某工厂有一个容积为280 m3的水池,现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水,已知每台抽水机每小时抽水15 m3.
(1)抽水2 h后,池中还有水m3.
(2)在这一变化过程中哪些是变量?哪些是常量?
用表格表示变量之间的关系
[典例2]在烧水时,水温达到100 ℃就会沸腾,下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据:
(1)上表反映了哪两个量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的?
(3)时间每过1 min,水的温度变化情况如何?
(4)时间为8 min时,水的温度为多少?你能得出时间为9 min时水的温度吗?
(5)根据表格,你认为时间为16 min和 18 min 时水的温度分别为多少?
(6)为了节约能源,你认为应在什么时间停止烧水?
[变式3]如表所示为某商店薄利多销的情况.某商品原价为560元,随着不同幅度的降价,日销量(单位:件)发生相应的变化:
这个表反映了个变量之间的关系, 是自变量, 是因变量.从表中可以看出每降价5元,日销量增加件,从而可以估计降价之前的日销量为件;据此估计当售价为500元时,日销量为件.
2 用表达式表示变量之间的关系
表达式是我们表示之间关系的另一种方法,利用表达式,我们可以根据任何一个的值求出相应的的值.
用表达式表示变量之间的关系
[典例]如图所示,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P在BC上运动,点P不与点B,C重合.在点P的运动过程中,△APB的面积随着CP的变化而变化.
(1)在这个变化过程中,CP的长和△APB的面积哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)设CP=x cm,若用y(cm2)表示△APB的面积,则y与x之间的关系式为_____
.
(3)在CP从3 cm变化到6 cm的过程中,△APB的面积从cm2变化到 cm2.
[变式1]某产品每件成本为10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表,下面能表示日销售量y(件)与销售价x(元)的关系式是( )
A.y=x+15
B.y=-x+15
C.y=x+40
D.y=-x+40
[变式2]为了增强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:
(1)该市某户居民5月份用水x t(x>5),应交水费y元,求出y与x之间的关系式.
(2)如果某户居民某月应交水费24元,请你帮忙算出这个月这户居民用了多少吨水.
3 用图象表示变量之间的关系
图象是表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.
在用图象表示变量之间的关系时,通常用的数轴(称为横轴)上的点表示自变量,用的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.
用曲线型图象表示变量之间的关系
[典例1]某地区一天的气温变化较大,如图所示表示该地区一天24小时的气温变化情况.
(1)图中描述的两个变量中自变量是什么?因变量是什么?
(2)一天中哪个时间气温最高、最低?分别是多少?
(3)在什么时间范围内气温上升?什么时间范围内气温下降?
(4)该地区一天的温差是多少?若该地区是一旅游景点,你应向到该地旅游的游客提出怎样的合理化建议?
[变式1]如图所示,是一台自动测温记录仪的图象,它反映了某县冬季某天气温随时间变化而变化的关系,观察图象得到下列信息,其中错误的是( )
A.凌晨4时气温最低,为-3 ℃
B.从0时至14时,气温一直在上升
C.14时气温最高,为8 ℃
D.从14时至24时,气温一直在下降
用直线或折线型图象表示变量之间的关系
[典例2]如图所示的是一辆汽车在行驶途中的速度v(km/h)随时间t(min)的变化示意图,请根据图象回答下列问题:
(1)从点A到点B,点E到点F,点G到点H分别表明汽车是什么状态?
(2)点A表明汽车的速度是多少?点C呢?
(3)汽车在哪段时间停车休息?休息了多长时间?
(4)司机在第28 min时开始匀速先行驶了4 min,之后立即减速行驶2 min停止,请你在图中补上从28 min以后表示汽车速度与行驶时间关系的图象.
[变式2]如图①所示,在长方形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动至点A停止.设点P运动的路程为x,三角形ABP的面积为y,如果y关于x的图象如图②所示,那么长方形ABCD的周长是( )
A.13
B.17
C.18
D.26
参考答案：
第九章变量之间的关系
1 用表格表示变量之间的关系
1.变量自变量因变量
2.常量
3.因变量自变量
[典例1]C
[变式1]气温时间时间气温
[变式2]解:(1)190
(2)在这一变化过程中,水池的容积、抽水机的台数、每台抽水机每小时抽水的量是常量;抽水时间、水池中水的量是变量.
[典例2]解:(1)题中表格反映了水的温度与时间的关系,时间是自变量,水的温度是因变量.
(2)在10 min以前水的温度随着时间的变化而升高,10 min 以后水的温度就确定在100 ℃.
(3)在10 min以前,时间每过1 min,水的温度上升7 ℃,10 min以后水的温度就不再变化了.
(4)时间为8 min时水的温度是86 ℃;时间为9 min时水的温度是93 ℃.
(5)根据表格,时间为16 min和18 min时水的温度均为100 ℃.
(6)为了节约能源,应在10 min时停止烧水.
[变式3]两降价日销量30 750 1 110
2 用表达式表示变量之间的关系
变量自变量因变量
[典例]解:(1)CP的长是自变量,△APB的面积是因变量.
(2)y=24-3x
(3)156
[变式1]D
[变式2]解:(1)y=2.4×5+4(x-5)
=12+4x-20
=4x-8.
(2)2.4×5=12,
因为24>12,
所以用水量超过了5 t,
所以4x-8=24,
解得x=8.
答:这个月这户居民用了8 t水.
3 用图象表示变量之间的关系
水平方向竖直方向
[典例1]解:(1)自变量是时间,因变量是气温.
(2)一天中0时和24时的气温最低,最低气温是 5 ℃;
15时的气温最高,最高气温是40 ℃.
(3)在0时到6时、9时到15时,气温上升;在6时到9时、15时到24时,气温下降.
(4)该地区一天的温差是40-5=35(℃).
该地区一天内的气温变化比较大,建议游客选择6时到12时外出观光.(答案不唯一)
[变式1]B
[典例2]解:(1)从点A到点B表明汽车在匀速运动,点E到点F表明汽车在匀加速运动,点G到点H表明汽车在匀减速运动;
(2)点A表明汽车的速度是30 km/h,点C表明汽车的速度是0 km/h;
(3)汽车在10~12 min这个时间段内停车休息,休息了2 min;
(4)如图所示:
[变式2]C。
初中数学鲁教版六年级下册《第九章 变量之间的关系 2 用表达式表示变量之间的关系》教材教案
《用表达式表示变量之间的关系》教学设计一、教学目标：1、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展学生的符号感。
2、能发现实际情境中的变量及其相互关系，并理解什么是变量、自变量、因变量，并能反映变量之间关系的例子。
3、体验从运动变化的角度认识数学对象的过程，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
4、在探究、学习变量之间关系的过程中，进一步发展学习情趣和增强学好数学的自信心二、教学重难点：教学重点：变量的概念的形成过程。
教学难点：正确理解变量、自变量、因变量的概念。
三、教学过程：环节一：创设情境，引入新课1、多媒体展示图片：富士山2、2、通过观察图片，请同学们回答:“这幅图片展现了一片什么样的景象？3、通过学生的回答总结：山顶上白雪皑皑，而山脚下则绿树成荫。
然后进一步提出问题：是什么原因导致了这种景象的差异？4、通过学生的回答总结：气温随海拔的升高而降低。
在这一个变化过程中就涉及到我们今天所要学习的变量。
从而引出本节课的课题——变量。
环节二：提出问题，探索新知1、问题一：行程问题：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为S千米，行驶时间为t小时。
请根据题意填表：当行驶时间为t时，路程S______.提出问题：请同学们观察这一个变化过程中，有没有始终不变的量？有没有发生变化的量？几个呢？问题二：票房收入问题：已知，每张电影票的售价为30元。
（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是____________________元；（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是______________________元；（3）若一场售出x张电影票，该场的票房收入y元,试用含x的式子表示y._________.提出问题：请同学们观察这一个变化过程中，有没有始终不变的量？有没有发生变化的量？几个呢？问题三：在一根弹簧下端悬挂重物，弹簧的长度因重物质量的变化而变化。
第九章 相关分析
第九章 相关分析
( y y)2
=
( y yc )2
+
( yc y)2
由此可以推导出：
( y yc ) ( y y) ( yc y)
2 2
2
2
Lyy (a bx a b x) Lyy b ( x x)
2 2
Lyy b Lxx
表明两变量完全不相关。 （4）当计算相关系数的原始数据较多（如50项以 上）时，认为相关系数在0.3以下为无相关， 0.3以上为有相关；0.3-0.5为低度相关；0.5-0.8 为显著相关；0.8以上为高度相关。
9
第九章 相关分析
相关系数计算分析例题
生产费用
序 月产量 号 1 1.2 2 2.0 3 3.1 4 3.8 5 5.0 6 6.1 7 7.2 8 8.0 ∑ 36.4
2 2
x n y y
2
2
0.97
说明产量和生产费用之间存在高度正相关。
第九章 相关分析
第三节
回 归 分 析
一、回 归 分 析 的 意 义 回归分析是对具有相关关系的两个或两个以 上变量之间的数量变化的一般关系进行测定，确 立一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来 推测另一个未知量，为估算预测提供一个重要的 方法。 二、回 归 的 种 类 按自变量的个数分 按回归线的形态分 一元回归 多元回归 线性回归 非线性回归
Lxx x b b y Lyy
y br r x
Lyy L21 xx
第九章 相关分析
五 回归分析与相关分析的特点
1、回归分析必须区分自变量和因变量，而相关 分析不必区分。 2、回归分析的两个变量一个是自变量，一个是 因变量，通过给定自变量的值来推算因变量 的可能值；而相关分析的两个变量都是随机 变量。 3、回归分析中对于因果关系不甚明确的两个变量， 可以建立两个回归方程；而相关分析只能计算 出一个相关系数。 4、一种回归方程只能做一种推算，即只能给出自 变量的值来推算因变量的值，不能逆推。
2024届高考数学一轮复习 第九章《统计与成对数据的统计分析》第三节 成对数据的统计分析
2. 已知变量 和 满足关系式 ，变量 与 正相关，则下列结论中正确的是( )
A. 与 正相关， 与 负相关 B. 与 正相关， 与 正相关C. 与 负相关， 与 负相关 D. 与 负相关， 与 正相关
C
3. 变量 与 相对应的一组数据为 ， ， ， ， ；变量 与 相对应的一组数据为 ， ， ， ， 表示变量 与 之间的线性相关系数， 表示变量 与 之间的线性相关系数，则( )
1
2
3
4
5
32.0
31.0
33.0
36.0
37.0
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
6
7
8
9
10
38.0
39.0
43.0
45.0
41.0
42.0
44.0
48.0
（1） 求第10年该城市的居民年收入 ；
[解析] 因为 ，所以 ，解得 .
（2） 若该城市的居民年收入 与该种商品的销售额 之间满足经验回归方程 .
3. （新教材改编题）如图所示的散点图中，两个变量的相关关系为正相关的是________.
图（4）
[解析] 只有题图（4）中随着 的增大， 值也呈现增加的趋势，故题图（4）中变量关系为正相关.
A. B. C. D.
C
4. 一位同学分别对甲、乙、丙、丁四组变量进行线性相关试验，并分别计算出决定系数 ，则线性相关程度最高的一组变量是( )
甲
乙
丙
丁
0.87
0.91
0.58
0.83
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
B
[解析] 越大，两个变量的线性相关程度越高. ，则线性相关程度最高的是乙，故选B.
2022年鲁教版(五四制)六年级数学下册第九章变量之间的关系专题练习练习题(含详解)
六年级数学下册第九章变量之间的关系专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、某地区用电量与应缴电费之间的关系如表：则下列叙述错误的是（ ）A ．若所缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时B ．若用电量为8千瓦·时，则应缴电费4.4元C ．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元D ．所缴电费随用电量的增加而增加2、用圆的半径r 来表示圆的周长C ，其式子为C ＝2πr，则其中的常量为（ ）A ．rB ．πC ．2D ．2π3、佳佳花3000元买台空调，耗电0.7度/小时，电费1.5元/度．持续开x 小时后，产生电费y （元）与时间（小时）之间的函数关系式是（ ）A ． 1.05y x =B ．0.7y x =C ． 1.5y x =D ．3000 1.5y x =+4、设路程为()s km ，速度为()v km h ，时间为()t h ，当50s =时，50t v =，在这个函数关系式中( )A ．路程是常量，t 是s 的函数B ．速度是常量，t 是v 的函数C ．时间是常量，v 是t 的函数D ．50s =是常量，v 是自变量，t 是v 的函数5、骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是( )A ．沙漠B ．体温C ．时间D ．骆驼6、李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用加油机上的显示屏所显示的内容，其中的常量是（ ）A ．金额B ．数量C ．单价D ．金额和数量7、小明家到学校5公里，则小明骑车上学的用时t 与平均速度v 之间的函数关系式是（ ）A ．5t =vB ．5v t =+C ．5t v =D ．5v t= 8、从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前的速度随时间的增加而逐渐增大，这个问题中自变量是（ ）A ．物体B ．速度C ．时间D ．空气9、一辆汽车以50 km/h 的速度行驶，行驶的路程s km 与行驶的时间t h 之间的关系式为s ＝50 t ，其中变量是（ ）A ．速度与路程B ．速度与时间C ．路程与时间D ．三者均为变量10、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂的物体的质量x （kg ）间有下面的关系：下列说法一定错误的是（）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0cmC．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cmD．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（8小题，每小题5分，共计40分）1、一个梯形的高为8厘米，上底长为5厘米，当梯形下底x（厘米）由长变短时，梯形的面积y（厘米）也随之发生变化，请写出y与x之间的关系式________．2、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表：由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶_____小时，油箱的余油量为0．3、某电影院第x排的座位数为y个，y与x的关系如表格所示，第10排的座位数为___．4、如图，在长方形ABCD中，AB=CD=5厘米，AD=BC=4厘米．动点P从A出发，以1厘米/秒的速度沿A→B运动，到B点停止运动；同时点Q从C点出发，以2厘米/秒的速度沿C→B→A运动，到A点停止运动．设P点运动的时间为t秒(t > 0)，当t=____________时，S△ADP=S△BQD．5、甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面100米处，同时出发去距离甲1300米的目的地，其中甲的速度比乙的速度快．设甲、乙之间的距离为y米，乙行驶的时间为x秒，y与x之间的关系如图所示．若丙也从甲出发的地方沿相同的方向骑自行车行驶，且与甲的速度相同，当甲追上乙后45秒时，丙也追上乙，则丙比甲晚出发__秒．6、某电器进价为250元，按标价的9折出售，则此电器的利润y(元)与标价x(元)之间的关系式是_________________________.7、购买单价为每支1.2元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(支)的关系式可表示为y=_____，其中，_____是常量，_____是变量x=，那么输出值y=______.8、按下面的运算程序，输入一个实数3三、解答题（3小题，每小题10分，共计30分）1、某市举行“迷你马拉松”长跑比赛，运动员从起点甲地出发，跑到乙地后，沿原路线再跑回点甲地．设该运动员离开起点甲地的路程s(km)与跑步时间t(min)之间的函数关系如图所示．已知该运动员从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2 km/min，根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）a＝ km；（2）组委会在距离起点甲地3km处设立一个拍摄点P，该运动员从第一次过P点到第二次过P 点所用的时间为24min．①求AB所在直线的函数表达式；②该运动员跑完全程用时多少min？2、下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：(1)时间是8分钟时，水的温度为_____；(2)此表反映了变量_____和_____之间的关系，其中_____是自变量，_____是因变量；(3)在_____时间内，温度随时间增加而增加；_____时间内，水的温度不再变化．3、一销售员向某企业推销一种该企业生产必需的物品，若企业要40件，则销售员每件可获利40元，销售员（在不亏本的前提下）为扩大销售量，而企业为了降低生产成本，经协商达成协议，如果企业购买40件以上时，每多要1件，则每件降低1元．（1）设每件降低x（元）时，销售员获利为y（元），试写出y关于x的函数关系式．（2）当每件降低20元时，问此时企业需购进物品多少件？此时销售员的利润是多少？-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】电量从1千瓦·时到2千瓦·时，电费增加了1.1-0.55=0.55元，从2千瓦·时到3千瓦·时，电费增加了1.65-1.1=0.55元，从3千瓦·时到4千瓦·时，电费增加了2.20-1.65=0.55元，故用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，据此可回答问题.【详解】A. 若所缴电费为2.75元时，电费为2.75÷0.55=5千瓦·时，故本选项错误；B. 若用电量为8千瓦·时，电费为8×0.55=4.4元，故本选项正确；C. 用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，故本选项正确；D. 随着用电量增加，电费在逐渐增长，故本选项正确.所以选A.【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系，解决本类题的关键是要观察表格，因变量是如何随着自变量改变的.2、D【解析】【分析】由常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可求得答案．【详解】∵C＝2πr，π是圆周率，∴2π是常量，C与r是变量．故选：D．此题考查了常量与变量．注意掌握常量与变量的定义是解此题的关键，注意π是圆周率，是常量．3、A【解析】【分析】根据耗电0.7度/小时，电费1.5元/度，列出函数关系式即可．【详解】解：由题意得： 1.50.7 1.05y x x =⨯=，故选A ．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，解题的关键在于能够准确理解题意．4、D【解析】【分析】函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数，结合选项即可作出判断．【详解】 解：在50t v=中，速度和时间是变量，路程S 是常量，t 是v 的函数． 故选D ．【点睛】本题考查了函数关系式的知识，注意等式左边的那个字母表示自变量的函数．5、B【分析】根据自变量和因变量的概念，即可得到答案．【详解】∵骆驼的体温随时间的变化而变化，∴自变量是时间，因变量是体温，故选B．【点睛】本题主要考查函数的因变量和自变量的概念，掌握因变量是随着自变量的变化而变化的，是解题的关键．6、C【解析】【分析】根据常量与变量的概念可直接进行求解．【详解】解：∵在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量，∴其中的常量是单价；故选C．【点睛】本题主要考查了常量与变量，熟练掌握“在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量，数值发生变化的量称为变量”是解题的关键．7、D【解析】根据速度，时间与路程的关系得出5vt=，变形即可．【详解】解：根据速度，时间与路程的关系得5vt=∴5vt =．故选D．【点睛】本题考查列函数关系式，掌握速度，时间与路程的关系得出5vt=是解题关键．8、C【解析】【分析】根据函数的定义解答．【详解】解：因为速度随时间的变化而变化，故时间是自变量，速度是因变量，即速度是时间的函数．故选C．【点睛】本题考查了常量与变量，关键是掌握函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数．9、C【解析】在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断．【详解】解：由题意得：s＝50 t，路程随时间的变化而变化，则行驶时间是自变量，行驶路程是因变量．故选C．【点睛】此题主要考查了自变量和因变量，正确理解自变量与因变量的定义，是需要熟记的内容．10、B【解析】【分析】根据变量与常量，函数的表示方法，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可．【详解】解：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此选项A不符合题意；B．弹簧不挂重物时的长度，即当x=0时y的值，此时y=10cm，因此选项B是错误的，符合题意；C．物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，是正确的，因此选项C不符合题意；D．根据物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，可得出所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，是正确的，因此选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键．二、填空题1、y=4x+20【解析】【分析】根据梯形的面积公式求出y 与x 之间的关系式即可.【详解】解：根据梯形的面积公式得：()584202x y x +=⨯=+， 故答案为：420y x =+.【点睛】本题主要考查了梯形的面积公式，求两个变量之间的函数关系式，解题的关键在于能够熟练掌握梯形的面积公式.2、15【解析】【分析】由表格可知油箱中有油120升，每行驶1小时，耗油8升，则可求解．【详解】解：由表格可知，每行驶1小时，耗油8升，∵t＝0时，y ＝120，∴油箱中有油120升，∴120÷8＝15小时，∴当行驶15小时时，油箱的余油量为0，故答案为：15．【点睛】本题考查了变量与常量，注意贮满120L 油的汽车，最多行驶的时间就是油箱中剩余油量为0的时的t 的值．3、41【解析】【分析】根据表格可以发现，当x每增加1时，y增加2，由此求解即可得到答案.【详解】解：第1排，有23个座位第2排，有25个座位第3排，有27个座位第4排，有29个座位由此可以发现，当x每增加1时，y增加2∴y=2（x-1）+23把x=10代入上式中得y=2×（10-1）+23=41故答案为：41.【点睛】本题主要考查了用表格表示两个量的关系，解题的关键在于能够根据表格发现两个量的关系规律，由此求解.4、107s或4s【解析】【分析】分两种情况：（1）当点Q在CB上时，如图1所示，（2）当点Q运动至BA上时，如图2所示，分别根据三角形的面积公式即可列出关于t的方程，解方程即可．【详解】解：分两种情况：（1）当点Q在CB上时，如图1所示：S△ADP＝12AD×AP＝2t，S△BQD＝12BQ×DC＝52（4﹣2t），则2t＝52（4﹣2t），解得：t＝107；（2）当点Q运动至BA上时，如图2所示：S△ADP＝12AD×AP＝2t，S△BQD＝12BQ×DA＝2（2t﹣4），则2t＝2（2t﹣4），解得：t＝4；综上可得：当t＝107s或4s时，S△ADP＝S△BQD．故答案为：107s或4s．【点睛】本题主要考查了三角形的面积、变量之间的关系和简单的一元一次方程的解法，正确分类、善于动中取静、灵活应用运动变化的观点是解题的关键．5、15【解析】【详解】解：由图可知：①50秒时，甲追上乙，②300秒时，乙到达目的地，∴乙的速度为：1300100300=4，设甲的速度为x米/秒，则50x﹣50×4=100，x=6，设丙比甲晚出发a秒，则（50+45﹣a）×6=（50+45）×4+100，a=15，则丙比甲晚出发15秒.6、y=0.9x-250【解析】【分析】根据利润=售价-成本列出关系式即可．【详解】解：∵利润=售价-成本，∴y=0.9x-250．故答案为：y=0.9x-250．【点睛】本题考查了用关系式表示的变量之间的关系，正确理解题意、列出相应的关系式是关键．7、y=1.2n（n为自然数） 1.2 n、y【解析】【详解】由题意可得：（1）y 与x 间的函数关系是： 1.2y n =；（2）其中常量是：1.2；（3）变量是：n 、y. 故答案为（1） 1.2y n =；（2）1.2；（3）n 、y.8、9【解析】【分析】先根据图表列出函数关系式，然后计算当3x =时y 的值.【详解】当3x =时，(1)25(31)259y x .故填9.【点睛】本题考查程序流程图、代数式求值和用关系式表示变量之间的关系，在本题中根据流程图列函数关系式，要注意减法和乘法要先算减法时，需给减法带上括号.三、解答题1、（1）5千米．（2）直线AB 解析式为s ＝－t ＋．60分. 【解析】【详解】试题分析：（1）根据路程=速度×时间，即可求出a 值；（2）①根据点O 、A 的坐标，利用待定系数法即可求出线段OA 的函数表达式，根据一次函数图象上点的坐标特征可求出第一次经过点P 的时间，进而可得出第二次经过点P 的时间，再根据点A 的坐标及（39，3），利用待定系数法即可求出AB 所在直线的函数表达式；②根据一次函数图象上点的坐标特征，求出AB 所在直线的函数表达式中当s =0时t 的值，此题得解．试题解析：解：（1）∵从甲地跑到乙地时的平均速度是0.2 km /min 用时25分钟，∴a =0.2×25=5（千米）．故答案为5．（2）①设线段OA 的函数表达式为s =mt +n ，将O （0，0）、A （25，5）代入s =mt +n 中，得：0255n m n =⎧⎨+=⎩，解得：150m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴线段OA 的函数表达式为s =15t （0≤t ≤25），∴当s =15t =3时，t =15．∵该运动员从第一次过P 点到第二次过P 点所用的时间为24min ，∴该运动员从起点到第二次经过P 点所用的时间是15+24=39（min ），∴直线AB 经过点（25，5），（39，3）．设AB 所在直线的函数表达式为s =kt +b ，将（25，5）、（39，3）代入s =kt +b 中，得：255393k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：17607k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 所在直线的函数表达式为s =﹣17 t +607． ②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB 与x 轴交点的横坐标，∴当s =0时，﹣17t +607=0，解得：t =60，∴该运动员跑完赛程用时60分钟．点睛：本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）①根据点的坐标，利用待定系数法求出AB 所在直线的函数表达式；③根据一次函数图象上点的坐标特征，求出该运动员跑完全程所用时间．2、（1）100℃（2）温度，时间，时间，温度；（3）0至8分钟，8至12分钟．【解析】【详解】试题解析：（1）第8分钟时水的温度为100℃；（2）反映的温度随着时间的变化而变化的，时间是自变量，温度是因变量；（3）观察表格发现在0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再变化.故答案为（1）100℃；（2）温度，时间，时间，温度；（3）0至8分钟，8至12分钟．3、（1）21600(040)y x x =-≤≤；（2）企业购进60件，销售员利润1200元.【解析】【分析】（1）根据题意每件降低x 元时代表企业在40件的基础上多要x 件，而此时销售员每件可获利为40-x ，由获利=件数⨯每件获利即可得关系式 ；（2）每件降低20元，证明在40件的基础上多要20件，再代入（1）的关系式可得销售员此时获利.【详解】解：（1）根据题意每件降低x 元时代表企业在40件的基础上多要x 件，而此时销售员每件可获利为40-x ，则销售员可获利：2(40)(40)1600y x x x =+-=- ，因题意规定销售员为不亏本的前提，所以自变量0x 40≤≤，综上可知函数关系式为21600(040)y x x =-≤≤；（2）每件降低20元，证明在40件的基础上多要20件，即此时企业需要购进60件，根据（1）的关系式，当x=20时，销售员获利21600201200y =-=.【点睛】本题主要考查了找函数关系式，正确得出y 与x 的函数关系是解题关键．。
数学建模-回归分析
一、变量之间的两种关系 1、函数关系：y = f (x) 。
2、相关关系：X ，Y 之间有联系，但由 其中一个不能唯一的确定另一个的值。 如： 年龄 X ，血压 Y ； 单位成本 X ，产量 Y ； 高考成绩 X ，大学成绩 Y ； 身高 X ，体重 Y 等等。
二、研究相关关系的内容有
1、相关分析——相关方向及程度（第九章）。 增大而增大——正相关； 增大而减小——负相关。 2、回归分析——模拟相关变量之间的内在 联系，建立相关变量间的近似表达式 （经验 公式）（第八章）。 相关程度强，经验公式的有效性就强， 反之就弱。
三、一般曲线性模型 1、一般一元曲线模型
y = f ( x) + ε
对于此类模型的转换，可用泰勒展开 公式，把 在零点展开，再做简单的变 f ( x) 换可以得到多元线性回归模型。 2、一般多元曲线模型
y = f ( x1 , x2源自,⋯ , xm ) + ε
对于此类模型也要尽量转化为线性模 型，具体可参考其他统计软件书，这里不 做介绍。
ˆ ˆ ˆ ˆ y = b0 + b1 x1 + ⋯ + bm x m
2、利用平方和分解得到 ST , S回 , S剩。 3、计算模型拟合度 S ，R ，R 。 （1）标准误差（或标准残差）
S =
S剩 ( n − m − 1)
当 S 越大，拟合越差，反之，S 越小， 拟合越好。 （2）复相关函数
R =
2
仍是 R 越大拟合越好。 注： a、修正的原因：R 的大小与变量的个数以及样本 个数有关； 比 R 要常用。 R b、S 和 R 是对拟合程度进行评价，但S与 R 的分 布没有给出，故不能用于检验。 用处：在多种回归模型（线性，非线性）时， 用来比较那种最好；如：通过回归方程显著性检验 得到：
第九章 变量间的相关关系统计案例
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(2)∵ xiyi＝3 245， x ＝25， y ＝15.43， x2＝5 075,7( x )2＝4 375,7x y＝2 695 i
i＝ 1 i＝ 1
7
7
－－
y xiyi－7 x ·
i＝ 1
7
^ ∴b ＝
≈0.79，
xi2－7 x 2
i＝ 1
7
^＝ y －b x ＝－4.32，∴回归直线方程是y ＝0.79x－4.32. ^ a (3)进店人数80人时，商品销售的件数y＝0.79×80－4.32≈59件．
^ B.y ＝2x＋100 ^ D.y ＝2x－100
^ 解析：B、D为正相关，C中y 值恒为负，不符合题意．
答案： A
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2．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模
型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的 模型是 A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80 C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25 解析：相关指数R2越大拟合效果越好． ( )
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该 项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该 项运动与性别无关”
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[自主解答]
根据独立性检验的定义，由K2≈7.8＞6.635
可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别
^＝ a
^ y －b x .
n
^ ^ Q＝ yi－b xi－a 2 的最小值而得到回归直线的方 3．通过求
i＝ 1
法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平 方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
六年级数学下册第九章变量之间的关系3用图象表示变量之间的关系课件鲁教版五四制
(1)护士每隔几小时给病人量一次体温? (2)这位病人的最高体温是多少摄氏度?最低体温是多少摄氏度? (3)他在4月8日12时的体温是多少摄氏度? (4)图中的横线表示什么? (5)从图中看,这位病人的病情是恶化还是好转?
【解析】(1)由折线统计图可以看出:护士每隔6小时给病人量一 次体温. (2)这位病人的最高体温是39.5摄氏度,最低体温是36.8摄氏度. (3)他在4月8日12时的体温是37.5摄氏度. (4)图中的横线表示正常体温. (5)从图中看,这位病人的病情是好转了.
4.某商店出售茶杯,茶杯的个数与钱数之间的关系,如图所示,由
图可得每个茶杯
元.
【解析】因为横轴表示茶杯个数,纵轴表示钱数.当横轴对应1的 时候,钱数相对应的是2,由此可知每个茶杯2元. 答案:2
5.如图表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系.她9点离开 家,15点回到家,请根据图象回答下列问题: (1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间?她离家多远? (2)她何时开始第一次休息?休息了多长时间? (3)第一次休息时,她离家多远? (4)11点～12点她骑车前进了多少千米? (5)她在9点～10点和10点～10点30分的平均速度各是多少?
【规律总结】 在图象中确定变量之间的关系的“两个注意”
1.找准关键点:注意图象的最高点、最低点、转折点等,并弄清这 些点所表示的意义. 2.分清两个变量:看图象时防止把自变量和因变量看颠倒.
【跟踪训练】 1.(2012·日照中考)洗衣机在洗涤衣服时,每洗涤一遍都经历了 注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水).在这三 个过程中,洗衣机内的水量y(升)与洗涤一遍的时间x(分)之间关 系的图象大致为( )
【解析】(1)由图象可以看出,A对应爷爷,去时耗时长;B对应爸爸, 去时和返回时耗时一样;C对应小明,去时用时短返回用时长. (2)从图象可以看出,家距离目的地1 200 m. (3)小明与爷爷骑自行车的速度是1 200÷6=200(m/min),爸爸 步行的速度是1 200÷12=100(m/min).
第九章散布图法
第九章散布图法一什么是散布图散布图也叫相关图它是用来研究判断两个变量之间相关关系的图我们经常会遇到这样一类问题两个变量之间是否有互相联系互相影响的关系如果存在关系那么这种关系是什么样的关系例如某些食品的水分含量与霉变热处理工艺中淬火温度与淬火硬度酿酒中酒药量与出酒率等等在对两个变量进行分析后可以得出有无关系什么样的关系以及二者之间所存在的相互间关系的规律的结论一两种不同的关系当我们分析研究两个有关系的变量问题时常有两种不同的关系1确定性的函数关系这种关系是两个变量之间存在着完全确定的函数关系例如圆的周长C和圆的直径D之间存在着C=D的关系只要知道圆的直径就能精确地求出圆的周长或者知道圆的周长就可求得圆的直径不管谁来计算答案是唯一的这种变量间的关系是完全确定的关系2非确定性的相关关系这种关系是非确定性的依赖或制约的关系例如儿童的年龄和体重之间虽有一定关系但只能一般地说儿童年龄越大体重也越重然而并不是所有的同龄儿童体重都相同在一些生活顾问手册中常可以见到用这样一个公式来表示儿童的年龄和体重之间的关系儿童体重=年龄2+7千克这是一个统计了很多中国儿童年龄和体重的数据后得到的推荐式虽然不是所有2周岁儿童的体重都是11千克但总是在11千克左右我们把这种关系叫相关关系相关关系是可以借助统计技术来描述这种变量之间的关系散布图法就是解决这个问题的统计技术一散布图的基本形式散布图由一个纵坐标一个横坐标很多散布的点子组成图12一1是某零件在热处理中淬火温度与淬火硬度两个变量之间关系的散布图从散布图上的点子分布状况可以观察分析出两个变量x y之间是否有相关关系以及关系的密切程度如何在质量管理活动中我们可以运用散布图来判断各种因素对产品质量特性有响及影响程度的大当两个变量相关程度很大时则找出他们的关系式无影小y=ax+b然后借助于这一关系式只需观察其中一个变量就可以推断出另一个变量以达到简化和节约的目的还可以从控制一个变量估计另一个变量的数值二散布图的作图方法 明散布图的作图步骤举一个酒厂的实例来说一搜集数据某酒厂为要判定中间产品酒醅中酸度含量和酒度两变量之间有无关系以及存在什么关系使用了散布图法会导致判断不准确数据太多计算的工作量就太大 作散布图的数据一般应搜集30组以上数据太少相关就不太明显因而本例搜集了30组酒醅中酸度和对应酒度的数据填入数据表把酸度定为自变量值x 对应的酒度定为应变量y 值表12一1二打 点 先画纵坐标再画坐横标横坐标为自变量取值范围应包括自变量数值x 值的最大值与最小值越往右取越值大本例中x 值最小为0.5最大为1.6则横.4坐标值从0取到1.8为宜纵坐标为应变量应包括应变量数值Y 值的最大值与最小值越往上取值越大本例中Y 值最小是3.4最大是6.8则纵坐标值从3.0取到7.0为宜把数据表中的各组对应数据一一按坐标位置用坐标点表示出来如果碰上一组数据和另一组完全相同本例的第3 组和第30组数据完全相同则在点上加一个圈表示重复☉,如碰上三组数据相同则加上两重圈表示☉把本例30组数据都打上点后就得到图12一2. 三散布图的判断分析散布图的判断分析方法有两种一对照典型图例法3把画出的散布图与典这是最简单的方法图12一是六种典型散布图例型图个关例对照就可得出两变量之间是否相关及属哪一种相的结论把上述例子与典型图例对照就可以得出酸度与酒度呈负相关的结论二简单象限法以图12一2为例1在图上画一条与Y轴平行的P线使P线的左右两侧的点数相等或大致相等本例各为15个点2在图上再画一条与x轴平行的Q使Q线上下两侧的点数相等或大致相等本例Q线通过两个点两侧各14个点3P Q两线把图形分成四个象限区域分别计数各象限区域内的点数(线上的点不计)得n1=0n2=14n3=1n4=134分别计算对角象限区域内数的点n1+n n2+n4本例为n1+n3=0+1=1+n2n4=14+13=27当n1+n3> n2+n4时为正相关当n1+n3< n2+n4时为负相关应该说明的是用打作图的方再点法进行相关分析是最简单的方法由于分析较为粗糙难以在生产实践中应用当需要进行课题研究时必须应用计可进一步找出变量之间内在联系算的方法比较精确地计算出相关关系还的即回归分析法四散布图法在应用中应注意的事项性的数据分层作图否则将会导致不真实的判断结论1应将不同质2散布图相关性规律的适用范围一般局限于观测值数据的范围内不能任意扩大相关判断范图散布图中出现的个别偏离分布趋势的异常点应在查明原因后予以剔除散布图中出现的个别偏离分布趋势的异常点,应在查明原因后予以剔除.。
第9章 相关分析与一元回归分析
郑州轻工业学院数学与信息科学系第九章：相关分析与一元回归分析概率统计教研组变量之间的关系可以分为函数关系和相关关系两类，函数关系表示变量间确定的对应关系，而相关关系则是变量间的某种非确定的依赖关系．相关分析主要是研究随机变量间相关关系的形式和程度，在相关关系的讨论中，两个变量的地位是同等的，所使用的测度工具是相关系数，而回归分析则侧重考察变量之间的数量伴随关系，并通过一定的数学表达式将这种数量关系描述出来，用于解决预测和控制等实际问题．本章主要学习相关分析和一元回归分析的有关概念、理论和方法．●【回归名称的来历】―回归”这一词最早出现在1885年，英国生物学家兼统计学家——弗朗西斯⋅高尔顿（Francis Galton ）在研究遗传现象时引进了这一名词．他研究分析了孩子和父母身高关系后发现：虽然高个子的父母会有高个子的后代，但后代的增高并不与父母的增高等量．他称这一现象为“向平常高度的回归”．尔后，他的朋友麦尔逊等人搜集了上千个家庭成员的身高数据，分析出儿子的平均身高和父亲的身高x 大致为如下关系：(英寸) 93.33516.0ˆ+=y●【回归名称的来历】这表明：(1)父亲身高增加1英寸，儿子的身高平均增加0.516英寸.(2)高个子父辈有生高个子儿子的趋势，但儿子的平均身高要比于父辈低一些．如x =80，那么低于父辈的平均身高．(3)低个子父辈的儿子们虽为低个子，但其平均身高要比父辈高一些．如x =80，那么高于父辈的平均身高,01.75ˆ=y,01.75ˆ=y●【回归名称的来历】可见儿子的高度趋向于“回归”到平均值而不是更极端，这就是“回归”一词的最初含义．诚然，如今对回归这一概念的理解并不是高尔顿的原意，但这一名词却一直沿用下来，成为数理统计中最常用的概念之一．回归分析的思想早已渗透到数理统计学科的其他分支，随着计算机的发展和各种统计软件的出现，回归分析的应用越来越广泛．主要内容§9.1相关分析§9.2回归分析在大量的实际问题中，随机变量之间虽有某种关系，但这种关系很难找到一种精确的表示方法来描述．例如，人的身高与体重之间有一定的关系，知道一个人的身高可以大致估计出他的体重，但并不能算出体重的精确值．其原因在于人有较大的个体差异，因而身高和体重的关系，是既密切但又不能完全确定的关系．随机变量间类似的这种关系在大自然和社会中屡见不鲜．例如，农作物产量与施肥量的关系，商业活动中销售量与广告投入的关系，人的年龄与血压的关系，每种股票的收益与整个市场收益的关系，家庭收入与支出的关系等等这种大量存在于随机变量间既互相联系，但又不是完全确定的关系，称为相关关系．从数量的角度去研究这种关系，是数理统计的一个任务．这包括通过观察和试验数据去判断随机变量之间有无关系，对其关系大小作出数量上的估计，我们把这种统计分析方法称为相关分析．相关分析通常包括考察随机变量观测数据的散点图、计算样本相关系数以及对总体相关系数的显著性检验等内容．●9.1.1散点图散点图是描述变量之间关系的一种直观方法．我们用坐标的横轴代表自变量X ，纵轴代表因变量Y ，每组观测数据(x i ，y i )在坐标系中用一个点表示，由这些点形成的散点图描述了两个变量之间的大致关系，从中可以直观地看出变量之间的关系形态及关系强度．图9-1 不同形态的散点图(a)(b)(c)(d)●9.1.1散点图图9-1 不同形态的散点图从散点图可以看出，变量间相关关系的表现形态大体上可分为线性相关、非线性相关、不相关等几种．就两个变量而言，如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称为线性相关，如图9-1(a)和(b)；(a)(b)(c)(d)●9.1.1散点图图9-1 不同形态的散点图如果变量之间的关系近似地表现为一条曲线，则称为非线性相关或曲线相关；如图9-1(c)；如果两个变量的观测点很分散，无任何规律，则表示变量之间没有相关关系，如图9-1(d)．(a)(b)(c)(d)●9.1.1散点图图9-1 不同形态的散点图在线性相关中，若两个变量的变动方向相同，一个变量的数值增加，另一个变量的数值也随之增加，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值也随之减少，则称为正相关，如图9-1(a)；(a)(b)(c)(d)●9.1.1散点图图9-1 不同形态的散点图若两个变量的变动方向相反，一个变量的数值增加，另一个变量的数值随之减少，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之增加，则称为负相关，如图9-1(b)．(a)(b)(c)(d)●9.1.1散点图通过散点图可以判断两个变量之间有无相关关系，并对变量间的关系形态做出大致的描述，但散点图不能准确反映变量之间的关系密切程度．因此，为准确度量两个变量之间的关系密切程度，需要计算相关系数．●9.1.2相关系数相关系数是对两个随机变量之间线性关系密切程度的度量．若相关系数是根据两个变量全部数据计算的，称为总体相关系数．设X ，Y 为两个随机变量，由定义4.5知，当D (X )D (Y )≠0时，总体相关系数的计算公式为：其中Cov (X ，Y )为变量X 和Y 的协方差，D (X )和D (Y )分别为X 和Y 的方差．,),(Cov DY DX Y X XY =ρ●9.1.2相关系数设(x i ，y i )，i =1，2，…，n ，为(X ，Y )的样本，记,11∑==n i i x n x ,11∑==ni i y n y ,)(11122∑=--=n i i x x x n s ∑=--=ni i y y y n s 122)(11●9.1.2相关系数【定义9.1】若s x s y ≠0，称为{x i }和{y i }的相关系数（也可简称为样本相关系数）．r xy 常简记为r ．r xy 的性质：(1)|r xy |≤1(2)|r xy |=1时，(x i ，y i )，i =1，2，…，n 在一条直线上．∑∑==----==n i i in i i i y x xyxy y y x xy y x x s s s r 1221)()())((●9.1.2相关系数【定义9.2】当r>0时，称{x i}和{y i}正相关，当r xy<0时，xy}和{y i}负相关，当r xy=0时，称{x i}和{y i}不相关称{xi实际应用中，为了说明{x}和{y i}的相关程度，通常将相i关程度分为以下几种情况：当|r|≥0.8时，可视{x i}与{y i}为高度线性相关；xy0.5≤|r|<0.8时，可视{x i}与{y i}为中度线性相关；xy0.3≤|r|<0.5时，视{x i}与{y i}为低度线性相关；xy当|r|<0.3时，说明{x i}与{y i}的线性相关程度极弱.xy●9.1.2相关系数说明：(1)有时个别极端数据可能影响样本相关系数，应用中要多加注意．(2)r xy=0，只能说明{x i}与{y i}之间不存在线性关系，并不能说明{xi}与{y i}之间无其他关系．(3)一般情况下，总体相关系数ρXY是未知的，通常是将样本相关系数rxy 作为ρXY的估计值，于是常用样本相关系数推断两变量间的相关关系．这一点要和相关系数的显著性检验结合起来应用．9.1.2相关系数【例9-1】用来评价商业中心经营好坏的一个综合指标是单位面积的营业额，它是单位时间内(通常为一年)的营业额与经营面积的比值．对单位面积营业额的影响因素的指标有单位小时车流量、日人流量、居民年平均消费额、消费者对商场的环境、设施及商品的丰富程度的满意度评分．这几个指标中车流量和人流量是通过同时对几个商业中心进行实地观测而得到的．而居民年平均消费额、消费者对商场的环境、设施及商品的丰富程度的满意度评分是通过随机采访顾客而得到的平均值数据．9.1.2相关系数【例9-1】某市随机抽取20个商业中心有关数据图9-2 商业中心经营状况指标与数据9.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．解:设各指标（变量）的变量名分别为：单位面积营业额：y，每小时机动车流量：x1，日人流量：x2，居民年消费额：x3，对商场环境的满意度：x4，对商场设施的满意度：x5，为商场商品丰富程度满意度：x6．(1)利用Excel分别作出y与x1，x2，…，x6的散点图.●9.1.2相关系数【例9-1】解:图9-3 y与x1，x2，…，x6的散点图可以看到，各散点图的散点分布和一条直线相比均有一定差别.●9.1.2相关系数【例9-1】解:图9-3 y与x1，x2，…，x6的散点图其中单位面积营业额（y）与日人流量（x2）、居民年消费额（x3）的线性关系相对较明显一些.●9.1.2相关系数【例9-1】解:图9-3 y与x1，x2，…，x6的散点图y与商场商品丰富程度满意度（x6）有一定的线性关系，而y与其余几个变量的线性关系较弱．●9.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取的20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．解:(1)利用Excel分别作出y与x1，x2，…，x6的散点图.实验操作：编号y x1x2x3x4x5x61 2.50.51 3.9 1.947962 3.20.26 4.24 2.867463 2.50.72 4.54 1.618874 3.4 1.23 6.98 1.92610105 1.80.69 4.210.7184760.90.36 2.910.625657 1.70.13 1.43 1.884928 2.60.58 4.14 1.9971069 2.10.81 4.660.9685710 1.90.37 2.15 1.8749311 3.4 1.26 6.47 2.110101012 3.90.12 5.33 3.475671310.23 2.530.5652414 1.70.56 3.780.7774615 2.6 1.04 5.53 1.3107916 2.7 1.18 5.98 1.2887917 1.40.61 1.27 1.4867118 3.2 1.05 5.77 2.1671099.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取的20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．,x2,…,x6的相关系数解：(2)利用Excel分别计算y与x1A B C D E F G22y与x1y与x2y与x3y与x4y与x5y与x6230.41270.790480.794330.341240.450200.69749=CORREL($B2:$B21,C2:C21)计算准备9.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取的20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．解：(2)利用Excel分别计算y与x,x2,…,x6的相关系数1编号y x1x2x3x4x5x61 2.50.51 3.9 1.947962 3.20.26 4.24 2.867463 2.50.72 4.54 1.618874 3.4 1.23 6.98 1.92610105 1.80.69 4.210.7184760.90.36 2.910.625657 1.70.13 1.43 1.884928 2.60.58 4.14 1.9971069 2.10.81 4.660.9685710 1.90.37 2.15 1.8749311 3.4 1.26 6.47 2.110101012 3.90.12 5.33 3.475671310.23 2.530.5652414 1.70.56 3.780.7774615 2.6 1.04 5.53 1.3107916 2.7 1.18 5.98 1.2887917 1.40.61 1.27 1.4867118 3.2 1.05 5.77 2.16710919 2.9 1.06 5.71 1.7469920 2.50.58 4.11 1.85796y与x1y与x2y与x3y与x4y与x5y与x60.410.790.790.340.450.7计算结果●9.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取的20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．解：(2)利用Excel分别计算y与x1,x2,…,x6的相关系数从相关系数的取值来看，单位面积营业额（y）与日人流量（x2）、居民年消费额（x3）接近高度相关；A B C D E F G 22y与x1y与x2y与x3y与x4y与x5y与x6 230.41280.79050.79430.34120.45020.69749●9.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取的20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．解：(2)利用Excel分别计算y与x1,x2,…,x6的相关系数y与商场商品丰富程度满意度（x6）则属于中度相关；A B C D E F G 22y与x1y与x2y与x3y与x4y与x5y与x6 230.41280.79050.79430.34120.45020.69749●9.1.2相关系数【例9-1】图9-2所示的Excel工作表为从某市随机抽取的20个商业中心有关数据，试据此分析单位面积年营业额与其他各指标的相关关系．解：(2)利用Excel分别计算y与x1,x2,…,x6的相关系数y与每小时机动车流量（x1）、对商场环境的满意度（x4）、对商场设施的满意度（x5）为低度相关；A B C D E F G22y与x1y与x2y与x3y与x4y与x5y与x6 230.41280.79050.79430.34120.45020.69749●9.1.3相关性检验设(xi ，yi)，i=1，2，…，n，为(X，Y)的样本，相关性检验也就是检验总体X，Y的相关系数是否为0，通常采用费歇尔（Fisher）提出的t分布检验，该检验可以用于小样本，也可以用于大样本．检验的具体步骤如下：1)提出假设：假设样本是从不相关的两个总体中抽出的，即H0：ρXY= 0，H1：ρXY≠ 0如果否定了H就认为X，Y是相关的．●9.1.3相关性检验2)可以证明，当H 0成立时，统计量 因为H 0立时，|r xy |应该很小，从而T 的观测值应该取值较小，于是，在显著水平α下H 0的拒绝域是若T 的观测值记为t 0，衡量观测结果极端性的P 值：P = P {| T | ≥ | t 0|} = 2P {T ≥ | t 0 |})2(~122---=n t r n r T xyxy212xyxyr n r t --=)},2(|{|2/-≥n t t α●9.1.3相关性检验【例9-2】利用例9-1的数据，在显著水平 =0.05下，检验单位面积营业额与各变量之间的相关性．解：在例9.1的Excel工作表中继续如下操作:A B C D E F G22y与x1y与x2y与x3y与x4y与x5y与x623r=0.41270.790480.794330.341240.450200.69749 =B23*SQRT(20-2)/SQRT(1-B23^2)24t= 1.9224 5.4756 5.5519 1.5402 2.1391 4.129625P=0.0705 3.36E-05 2.86E-050.14090.46390.0006 =TDIST(B24,20-2,2)计算准备●9.1.3相关性检验【例9-2】利用例9-1的数据，在显著水平 =0.05下，检验单位面积营业额与各变量之间的相关性．解：在例9.1的Excel工作表中继续如下操作:编号y与x1x1x2x3x4x5x61 2.50.51 3.9 1.947962 3.20.26 4.24 2.867463 2.50.72 4.54 1.618874 3.4 1.23 6.98 1.92610105 1.80.69 4.210.7184760.90.36 2.910.625657 1.70.13 1.43 1.884928 2.60.58 4.14 1.9971069 2.10.81 4.660.9685710 1.90.37 2.15 1.8749311 3.4 1.26 6.47 2.110101012 3.90.12 5.33 3.475671310.23 2.530.5652414 1.70.56 3.780.7774615 2.6 1.04 5.53 1.3107916 2.7 1.18 5.98 1.2887917 1.40.61 1.27 1.4867118 3.2 1.05 5.77 2.16710919 2.9 1.06 5.71 1.7469920 2.50.58 4.11 1.85796y与x1y与x2y与x3y与x4y与x5y与x6r=0.412710.790480.794330.341240.45020.69749t= 1.92235 5.47556 5.54751 1.54023 2.13905 4.12956P=0.07053 3.4E-05 2.9E-050.14090.046390.00063计算结果●9.1.3相关性检验【例9-2】利用例9-1的数据，在显著水平 =0.05下，检验单位面积营业额与各变量之间的相关性．解：在例9.1的Excel工作表中继续如下操作:检验结果来看，单位面积营业额（y）与日人流量(x2)、居民年消费额(x3)、商场商品的丰富程度满意度(x6)、A B C D E F G 22y与x1y与x2y与x3y与x4y与x5y与x6 23r=0.41270.790480.794330.341240.450200.69749 24t= 1.9224 5.4756 5.5519 1.5402 2.1391 4.1296 25P=0.0705 3.36E-05 2.86E-050.14090.46390.0006●9.1.3相关性检验【例9-2】利用例9-1的数据，在显著水平α=0.05下，检验单位面积营业额与各变量之间的相关性． 解：在例9.1的Excel 工作表中继续如下操作:对商场设施的满意度(x 5)的相关系数显著不为0(P <α=0.05),即其相关性显著；A B C D E F G 22y 与x1y 与x2y 与x3y 与x4y 与x5y 与x623r =0.41270.790480.794330.341240.450200.6974924t = 1.9224 5.4756 5.5519 1.5402 2.1391 4.129625P =0.07053.36E-052.86E-050.14090.46390.0006●9.1.3相关性检验【例9-2】利用例9-1的数据，在显著水平 =0.05下，检验单位面积营业额与各变量之间的相关性． 解：在例9.1的Excel 工作表中继续如下操作:而不能拒绝y 与每小时机动车流量（x 1）、对商场环境的满意度（x 4）相关系数为0的假设（P >0.05），即其相关性不显著．A B C D E F G 22y 与x1y 与x2y 与x3y 与x4y 与x5y 与x623r =0.41270.790480.794330.341240.450200.6974924t = 1.9224 5.4756 5.5519 1.5402 2.1391 4.129625P =0.07053.36E-052.86E-050.14090.46390.0006回归分析是针对两个或两个以上具有相关关系的变量，研究它们的数量伴随关系，并通过一定的数学表达式将这种关系描述出来，建立回归模型．回归分析中总假设因变量是随机变量，自变量可以是随机变量也可以是一般变量（可以控制或精确测量的变量），我们只讨论自变量为一般变量的情况．为简单起见，以后的所有随机变量及其观测值均用小写字母表示．如果设随机变量y是因变量，x1，x2，…，xn是影响y的自变量，回归模型的一般形式为：y= f (x1，x2，…，x n) + ε其中ε为均值为0的正态随机变量，它表示除x1，x2，…，x n之外的随机因素对y的影响．在回归分析中，当只有一个自变量时，称为一元回归分析；当自变量有两个或两个以上时，称为多元回归分析；f是线性函数时，称线性回归分析，所建回归模型称为线性回归模型；f是非线性函数时，称非线性回归分析，所建回归模型称为非线性回归模型．线性回归模型的一般形式为：其中，β0和βi （i =1，2，…，k ）是未知常数，称为回归系数，实际中常假定ε～N (0，σ2)．一元线性回归模型的一般形式为：由ε～N (0，σ2)的假定，容易推出y ～N (β0+β1x ，σ2)． 本章主要讨论一元线性回归分析和可化为线性回归的一元非线性回归分析.它们是反映两个变量之间关系的简单模型,但从中可了解到回归分析的基本思想、方法和应用,22110εββββ+++++=k k x x x y ,110εββ++=x y ),0(~2σεN●9.2.1一元线性回归分析让我们用一个例子来说明如何进行一元线性回归分析． 为了研究合金钢的强度和合金中含碳量的关系，专业人员收集了12组数据如表9-1所示．表9-1 合金钢的强度与合金中含碳量的关系序号123456789101112含碳量x(%)0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.200.210.23合金钢的强度y(107Pa)42.043.045.045.045.047.549.053.050.055.055.060.0 试根据这些数据进行合金钢的强度y(单位：107Pa)与合金中含碳量x(%)之间的回归分析．●9.2.1一元线性回归分析为了研究这些数据中所蕴含的规律性，首先在Excel中由12对数据作出散点图，如图9-7所示．图9-7 画散点图从图看到，数据点大致落在一条直线附近，这告诉我们变量x和y之间大致可看作线性关系．●9.2.1一元线性回归分析为了研究这些数据中所蕴含的规律性，首先在Excel中由12对数据作出散点图，如图9-7所示．图9-7 画散点图从图中还看到，这些点又不完全在一条直线上，这表明x和y的关系并没有确切到给定x就可以唯一确定y的程度．●9.2.1一元线性回归分析为了研究这些数据中所蕴含的规律性，首先在Excel中由12对数据作出散点图，如图9-7所示．图9-7 画散点图事实上，还有许多其它随机因素对y产生影响．●9.2.1一元线性回归分析如果只研究x 和y 的关系，可考虑建立一元线性回归模型：(9.1)其中ε是除含碳量x 外其它诸多随机因素对合金钢强度y 的综合影响，假定它是零均值的正态随机变量． 由(9.1)式，不难算得y 的数学期望:(9.2)该式表示当x 已知时，可以精确地算出E (y )．称方程(9.2)为y 关于x 的回归方程．,110εββ++=x y ),0(~2σεN x y E 10)(ββ+=●9.2.1一元线性回归分析现对变量x ,y 进行了n 次独立观察，得样本(x i ，y i )(i =1,2,…,n )．据(9.1)式，此样本可由方程(9.3)来描述．这里εi 是第i 次观测时ε的值，是不能观测到的 由于各次观测独立，εi 看作是相互独立与ε同分布的随机变量．即有y i = β0+ β1x i + εi , (9.4)εi 相互独立,且εi ～N (0，σ2),i =1,2,…,ni i i x y εββ++=10●9.2.1一元线性回归分析y i = β0+ β1x i + εi , (9.4)εi 相互独立,且εi ～N (0，σ2),i =1,2,…,n(9.4)给出了样本(x 1，y 1),(x 2，y 2),…,(x n ，y n )的概率性质．它是对理论模型进行统计推断的依据，也常称(9.4)式为一元线性回归模型．要建立一元线性回归模型，首先利用n 组独立观测数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )来估计β0和β1，以估计值和分别代替(9.2)式中的β0和β1，得到(9.5)x y 10ˆˆˆββ+=●9.2.1一元线性回归分析(9.5) 由于此方程的建立有赖于通过观察或试验积累的数据，所以称其为经验回归方程（或经验公式），经验回归方程也简称为回归方程，其图形称为回归直线．当给定x= x0时，称为拟合值（预测值或回归值）．那么，如何利用n组独立观察数据来估计β0和β1呢？一般常用最小二乘估计法和最大似然估计法，下面只介绍β和β1的最小二乘估计法．xy1ˆˆˆββ+=●9.2.1一元线性回归分析1．参数β0和β1的最小二乘估计设对模型(9.1)中的变量x ，y 进行了n 次独立观察，得样本(x i ，y i )(i =1，2，…，n )．由(9.3)式知随机误差εi =y i –(β0+β1x i )．最小二乘法的思想是：由x i ，y i 估计β0，β1时，使误差平方和达到最小的，分别作为β0，β1的估计，并称和为β0和β1的最小二乘估计．∑=+-=n i i i x y Q 121010)]([),(ββββ。
第九章 第三节 变量间的相关关系、统计案例
A．变量x与y正相关，u与v正相关 ．变量 与 正相关 正相关， 与 正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 ．变量 与 正相关 正相关， 与 负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 ．变量 与 负相关 负相关， 与 正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 ．变量 与 负相关 负相关， 与 负相关
[究 疑 点] 究 1．相关关系与函数关系有何异同点？ ．相关关系与函数关系有何异同点？ 提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：(1)函数关系是一种确定关系，相关关系是一 函数关系是一种确定关系， 不同点： 函数关系是一种确定关系 种非确定的关系； 种非确定的关系； (2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因 函数关系是一种因果关系， 函数关系是一种因果关系 果关系，也可能是伴随关系． 果关系，也可能是伴随关系．
2．根据独立性检验的基本思想，得出的两个分类变量有 ．根据独立性检验的基本思想， 关系，这样的结论一定是正确的吗？ 关系，这样的结论一定是正确的吗？ 提示：在实际问题中， 提示：在实际问题中，独立性检验的结论仅仅是一种 数学关系，得出的结论也可能犯错误，比如： 数学关系，得出的结论也可能犯错误，比如：在推测 吸烟与肺癌是否有关时，通过收集、整理、分析数据， 吸烟与肺癌是否有关时，通过收集、整理、分析数据， 我们得到“吸烟与患肺癌有关”的结论， 我们得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有超过 99%的把握说明吸烟与患肺癌有关系，或者这个结论 的把握说明吸烟与患肺癌有关系， 的把握说明吸烟与患肺癌有关系 出错的概率为0.01以下．但实际上一个人吸烟也不一 以下． 出错的概率为 以下 定会患肺癌， 定会患肺癌，这是数学中的统计思维与确定性思维差 异的反映． 异的反映．