工程力学：第16章 压杆稳定
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
工程力学——压杆稳定
Pcr 2 EI 2E I 2E 2 2E cr i 2 2 2 2 A ( l ) A ( l ) A ( l )
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
工程力学第16章(压杆稳定问题)
杆长l = 700mm ，截面直径d = 45mm ，杆承受Fmax = 100kN 。稳定安全因数nst = 2.5。试校核此杆的稳定性。
解：⑴ 计算压杆柔度
i d 11.25mm 4
两端为铰链约束
1
il11.1 2 5 0.1 70362.2
P
2E P
2200109
200106 100
62.2
压杆平衡稳定
压力小于一定的数值
时，压杆的直线平衡是 稳定的。
压杆平衡非稳定
当压力达到一定数值，压 杆仍具有直线平衡方式；在 外界扰动下，压杆偏离直线 平衡位置，但当扰动除去后， 在某一弯曲状态下达到新的 平衡
压力达到一定的数值时， 压杆存在直线和弯曲两种平 衡形式，压杆的直线平衡是 不稳定的。
压杆失稳
解： ⑴ 梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合） 经过分析，AB 的危险截面为C 截面
F N F c o s 3 0 o 2 5 0 .8 6 6 2 1 .6 5 k N
M y F s i n 3 0 o l 1 2 5 0 .5 1 .2 5 1 5 .6 3 k N m 查型钢表
1 0 5 .5 2
4 7 3 k N
钢柱的许可载荷
F2 F nsctr
473157.7kN 3
例：图所示结构中，梁AB 为No.14 普通热轧工字钢，支承的杆 直径d = 20mm ，二者的材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A 、B 、C 三处均为球铰约束。已知F = 25kN ，l1 = 1.25m ，l2 = 0.55m ，E = 206GPa 。规定稳定安全因数nst = 2.0 ，梁的许用应力 [σ] = 170MPa 。试校核此结构是否安全。
解：⑴ 压杆稳定校核(折减因素法）
解：⑴ 计算压杆柔度
i d 11.25mm 4
两端为铰链约束
1
il11.1 2 5 0.1 70362.2
P
2E P
2200109
200106 100
62.2
压杆平衡稳定
压力小于一定的数值
时，压杆的直线平衡是 稳定的。
压杆平衡非稳定
当压力达到一定数值，压 杆仍具有直线平衡方式；在 外界扰动下，压杆偏离直线 平衡位置，但当扰动除去后， 在某一弯曲状态下达到新的 平衡
压力达到一定的数值时， 压杆存在直线和弯曲两种平 衡形式，压杆的直线平衡是 不稳定的。
压杆失稳
解： ⑴ 梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合） 经过分析，AB 的危险截面为C 截面
F N F c o s 3 0 o 2 5 0 .8 6 6 2 1 .6 5 k N
M y F s i n 3 0 o l 1 2 5 0 .5 1 .2 5 1 5 .6 3 k N m 查型钢表
1 0 5 .5 2
4 7 3 k N
钢柱的许可载荷
F2 F nsctr
473157.7kN 3
例：图所示结构中，梁AB 为No.14 普通热轧工字钢，支承的杆 直径d = 20mm ，二者的材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A 、B 、C 三处均为球铰约束。已知F = 25kN ，l1 = 1.25m ，l2 = 0.55m ，E = 206GPa 。规定稳定安全因数nst = 2.0 ，梁的许用应力 [σ] = 170MPa 。试校核此结构是否安全。
解：⑴ 压杆稳定校核(折减因素法）
工程力学：第16章 压杆稳定
IminI z 3.8910 8 m4
(4545 6)
等边角钢
图(b)
FPcr
2 Imin E (2l)2
20.389200 (20.5)2
76
.8kN
12.2.3 超过比例极限时压杆临界应力
一、 基本概念
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr
FPcr A
2.细长压杆的临界应力： cr
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡:在平衡状态受扰动后无法回复到原状态
2. 稳定平衡:在平衡状态受扰动后物体将回复到原状态
3. 稳定性：构件在何在作用下保持其原有平衡状态（构形）的能力
4. 稳定性判据：构件丧失稳定性的条件 5. 失稳或屈曲：构件丧失稳定能力的现象 5. 临界荷载（屈曲荷载）：构件由稳定平衡状态转化为不稳 定平衡状态时荷载
cr 235 0.006682 MPa <c 123
对于16Mn钢（E=206MPa， s=343MPa ），有
cr 343 0.014472 MPa <c 109
例4 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰
支，压力F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式
A 3.35103m2, imin 21.2mm
所以，若选用No.20a工字钢作立柱，其柔度及横截面的工作应力 分别为
l
imin
0.6 3 21.2 103
84.9
F A
250 103 3.55 103
70.4 106 Pa
查表12-3查得，对应于=84.9 的折减系数为
1
0.731
0.731 0.669 10
材料力学之压杆稳定课件
变形量等，绘制 压力与变形关系曲线。
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
《工程力学》第十六章 压杆稳定
力，称为压杆的临界应力，并以σlj表示。 则细长压杆的临界应力为
• 式中：I和A都是与截面有关的几何量，如果将 惯性矩写成横截面面积与某一距离平方的乘积， 即I=Ai2。i称为此横截面面积对于某一轴的惯性 半径。如果截面对y轴或z轴的惯性半径分别为
• 其量纲为长度一次方。常见图形的惯性半径 可从有关手册中查到。将I=Ai2代入(a)式得
•或
• 式中 P——工作压力； • Plj——压杆临界压力； • nw——压杆工作时实际具有的稳定安全
系数； • ［nw］——规定的稳定安全系数。 • 也可采用应力形式表示压杆稳定性条件，
将式(16-10)及式(16-11)，同除以压杆 的横截面面积A得
•或
• 式中［σw］——稳定许用应力。
• 二、折减系数法 • 由式(16-12)可知，压杆的稳定条件为
• 一、减小压杆的支承长度
• 由大柔度杆的临界应力公式
可
知在压杆材料一定的条件下，临界应力与
柔度的平方成反比，压杆的柔度愈小，相
应的临界应力愈高。而柔度
与压
杆长
• 度l成正比，减小压杆支承长度是降低柔度的方 法之一，在条件允许的情况下，应尽可能地减 小压杆的长度。例如，钢铁厂无缝钢管车间的 穿孔机的顶杆(图16-14)，为了提高其稳定性， 在顶杆中段增加一个抱辊装置，这就达到了提 高顶杆稳定性的目的。
于是，压杆稳定性条件可以写成
• 对于已有压杆，其λ已知，可直接查表163得φ，代入式(16-14)进行稳定性校核。至
于设计截面尺寸，可采用逐次逼近法，即先
设定一个φ值，由式(16-14)计算出A值，然
后进行验算、调整，使杆件的工作应力逐渐 靠近许用应力。
表16-3.tif
• 式中：I和A都是与截面有关的几何量，如果将 惯性矩写成横截面面积与某一距离平方的乘积， 即I=Ai2。i称为此横截面面积对于某一轴的惯性 半径。如果截面对y轴或z轴的惯性半径分别为
• 其量纲为长度一次方。常见图形的惯性半径 可从有关手册中查到。将I=Ai2代入(a)式得
•或
• 式中 P——工作压力； • Plj——压杆临界压力； • nw——压杆工作时实际具有的稳定安全
系数； • ［nw］——规定的稳定安全系数。 • 也可采用应力形式表示压杆稳定性条件，
将式(16-10)及式(16-11)，同除以压杆 的横截面面积A得
•或
• 式中［σw］——稳定许用应力。
• 二、折减系数法 • 由式(16-12)可知，压杆的稳定条件为
• 一、减小压杆的支承长度
• 由大柔度杆的临界应力公式
可
知在压杆材料一定的条件下，临界应力与
柔度的平方成反比，压杆的柔度愈小，相
应的临界应力愈高。而柔度
与压
杆长
• 度l成正比，减小压杆支承长度是降低柔度的方 法之一，在条件允许的情况下，应尽可能地减 小压杆的长度。例如，钢铁厂无缝钢管车间的 穿孔机的顶杆(图16-14)，为了提高其稳定性， 在顶杆中段增加一个抱辊装置，这就达到了提 高顶杆稳定性的目的。
于是，压杆稳定性条件可以写成
• 对于已有压杆，其λ已知，可直接查表163得φ，代入式(16-14)进行稳定性校核。至
于设计截面尺寸，可采用逐次逼近法，即先
设定一个φ值，由式(16-14)计算出A值，然
后进行验算、调整，使杆件的工作应力逐渐 靠近许用应力。
表16-3.tif
《工程力学》压杆稳定
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
§９-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
.
§９-1 压杆稳定的概念 §９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §９-3 其他支座条件下压杆的临界压力 §９-4 压杆的临界应力 §９-5 压杆的稳定校核 §９-6 提高压杆稳定性的措施
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
§９-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
.
§９-1 压杆稳定的概念 §９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §９-3 其他支座条件下压杆的临界压力 §９-4 压杆的临界应力 §９-5 压杆的稳定校核 §９-6 提高压杆稳定性的措施
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
建筑力学压杆稳定课件
由此可以计算压杆在保证稳定的前提下，能承受的最大轴压力，又称为压杆的临界荷载 或容许荷载。当施加的压力小于容许荷载时，构件不会发生失稳破坏，反之，构件将发生失
稳破坏。对于此类问题，一般也要首先计算出压杆的长细比 ，根据 查出相应的折减系 数 ，再按照上式进行计算。
建筑力学压杆稳定
3. 对压杆进行截面设计
建筑力学压杆稳定
• 应用压杆的稳定条件，可以进行三个方面的问题计 算：
• 1. 稳定校核 • 已知压杆的截面形状和尺寸，杆件长度及支承条件
，杆件的轴心压力，根据公式（9－16）即可以验证 压杆是否会发生失稳破坏，即验证其稳定性。
建筑力学压杆稳定
例 9－4 如图 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢，直径
立，由此可得的适用条件为：
cr
2E 2
p
令
p
2E p
则
p
（9－7） （9－8）
式(9-8)是欧拉公式适用范围的柔度表达形式，表明只有当压杆的实际柔度 p 时，才能
用欧拉公式来计算其临界应力和临界力。显然， p 是应用欧拉公式的最小柔度。压杆的实
际柔度 λ 随压杆的几何形状尺寸和杆端约束条件变化，但 p 是仅由材料性质确定的值。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
建筑力学压杆稳定
解：(1)计算各杆承受的压力 取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
建筑力学压杆稳定
第二节 临界力和临界应力 1、影响临界力的因素 实践表明，影响细长压杆临界力的主要因素是材料的特性、截面几何形状和杆件的长度， 以及压杆两端的约束条件。 （1）材料的特性 对于两个截面几何形状及杆件长度相同的木杆和钢杆，受轴向压力 作用，木杆会先失稳，即木杆的临界力比钢杆的小，说明弹性模量 E 小的材料，其临界力也 小。 （2）截面几何形状 当截面尺寸相同，而截面形状不同时，其临界力也会不相同。影 响临界力的截面参数是截面惯性矩，惯性矩越大，杆件就越不容易失稳，说明截面的惯性矩 大，临界力也大。 （3）杆件的长度 其他条件相同时，长杆比短杆更易失去稳定，故临界力要小些。 （4）压杆两端的约束条件 对同一根细长压杆，两端的约束越强，压杆的轴心受压承 载力越大，因而，压杆两端的约束条件对压杆的稳定临界力也有很大的影响。当其他条件相 同时，一端固定、而一端铰支的压杆比两端铰支的更不容易失稳，说明两端支承越牢固，压 杆的临界力就越大。
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IminI z 3.8910 8 m4
(4545 6)
等边角钢
图(b)
FPcr
2 Imin E (2l)2
20.389200 (20.5)2
76
.8kN
12.2.3 超过比例极限时压杆临界应力
一、 基本概念
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr
FPcr A
2.细长压杆的临界应力： cr
第12章 压杆稳定
§12–1 压杆稳定性的概念 §12–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §12–3 超过比例极限时压杆临界应力 §12-4 压杆的稳定校核及其合理截面
12.1 压杆稳定性的概念 构件的承载能力： ①强度
②刚度 ③稳定性
工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
②挠曲线近似微分方程：
y M FP y EI EI
y FP y y k 2 y 0 EI
其中:k 2
FP EI
③微分方程的解： ④确定积分常数：
yAsinxBcosx y(0)y(L)0
即:
A0B0 As ink LBc osk
L0
0
1
0
sinkL coskL
sinkL0
k
n
L
AD
F
Pcr
2EI
(0.5l)
2
l
C
B
4 一端固定另端自由
F Pcr
F
Pcr
2EI
(2l)2
FP
FPcr
2 EI min ( L)2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当
长度 l 。
FPb 18.45 kN FPcr 1 kN
工程实例
拱合梁的失稳
压杆的稳定性试验
工程实例
工程实例
12.2 细长压杆临界力的欧拉公式 12.2.1 两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。
FP FP
y
x M
FP x
FP ①弯矩：M ( x, y) FP y
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力FPce 欧拉公式
FPcr
2EI l2
FPcr
2EI (0.7l)2
FPcr
2EI (0.5l )2
FPcr
2EI (2l )2
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
FPcr
2EI l2
=1
约束在不同方向对失稳的影响
例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力
(0.7 L1 )2
y
③压杆的临界力 FPcr min(FPcry , FPcrz )
例3 求下列细长压杆的临界力。
解：图(a)
P
P
I
m
in
5010 12
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 30
z
y
FPcr
(2I1mli)n2E
24.17200 (0.70.5)2
67
.14
kN
图(b)
L L
图(a)
FPcr A
2EI (L)2 A
2E (L /i)2
2E 2
即： cr
2E 2
i I ——惯性半径。 A
3.柔度： L ——杆的柔度（或长细比）
i
12.3 压杆的临界应力总图
12.3.1大柔度杆的分界：
cr
2E 2
P
2E P
P
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆），其临界力用 欧拉公式求。
图12–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
FPce
FPce
FPceFPceFra bibliotekFPce
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
12.2 压杆的失稳或屈曲 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
FP FPcr
FP FPcr
FP FPcr
稳
不
定
稳
平
定
衡
平
衡
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力
临界状态
稳
定 平
过
衡
对应的 压力
临界压力:
不 稳 度定 平 衡 Pcr
失稳与强度破坏的区别
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡:在平衡状态受扰动后无法回复到原状态
2. 稳定平衡:在平衡状态受扰动后物体将回复到原状态
3. 稳定性：构件在何在作用下保持其原有平衡状态（构形）的能力
4. 稳定性判据：构件丧失稳定性的条件 5. 失稳或屈曲：构件丧失稳定能力的现象 5. 临界荷载（屈曲荷载）：构件由稳定平衡状态转化为不稳 定平衡状态时荷载
2 l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。
2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别 计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对 中性轴的惯性矩。
FP EI
临界力 FPcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
FPcr
2 EI min
L2
FPcr
2 EI min
L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
12.2.2 其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
F
F
EIy M (x) Fy M0
M0
令:k 2 F
EI
x
Fx
y k 2 y k 2 M 0
M0
F
yccoskxdsinkx
L
M0 F
M0 F
边界条件为:
x0,yy0;xL,yy0
c
M F
,d
0 , kL 2n
并 kL n
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
FPcr
2 EI min ( L)2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
12.2.2 其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
1 两端绞支
2EI
F l Pcr
2
2 一端固定另端铰支
C为拐点
F Pcr
F
Pcr
2EI
(0.7l)
2
A
FP
l
C
B
3 两端固定
F Pcr
FP
C，D为拐点
所以，临界力为：
kL2
FPcr
4 2EI
L2
2EI
(L / 2)2
= 0.5
例2 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
解：①绕 ②绕
y z
L2
轴，两端铰支： =1.0， I y
轴，左端固定，右端铰支：
=0.7，
I
z
bh3 12
,
b3h , 12
b 2EI
FPcry L22
FPcry
2EI z