高等数学-第3章 3.1 洛必达法则
高等数学洛必达法则
x ( 1)
lim x
x
x
1
1 x2
1 x2
x2
lim x 1
x2
lim x
1 1 x2 1
1.
4
例3 求 lxim 1 x3x3x23xx21 . 解 lxi m 1 x3x3x23xx21 00 lxim 1(x(3x3x23xx2)1)
lnsinax xl im0 lnsinbx,(
)
1
定理 设 limf(x)0，limg(x)0，
xa
xa
在 U(aˆ,) 内，f(x)，g(x)都存在，且 g(x)0，
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)
lim
xa
g( x)
存在（或无穷大），
则 limf(x)limf(x) xa g(x) xa g(x)
但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
10
例9
求
tanxx lx i m 0 x2 tanx
.
解
0
原式 lx i0 m taxx n3x 0 lxim0 s
e
c2 x 1 3x2
0
lim
x0
tan2 x 3x2
0 l i m2sec2 xtanx
x0
6x
1
1x
lim( 3x0 c
2.每次使用前都应检查是否为
0 0
，其它两个条件在计算
中可得到检验（是否可导，lim xa
f F
( (
x) x)
是否存在）.
3.当x a，x a，x， x ， x 时，
该法则仍然成立.
4.xa，x时的未定式
《洛必达法则》课件
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
洛必达法则
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
洛必达法则的原理及应用
洛必达法则的原理及应用一、洛必达法则的原理洛必达法则，又称为洛必达规则或洛必达法则，是微积分中应用极限概念的一种方法，用于求解极限的一种计算技巧。
其原理基于导数和极限的关系，通过对函数的导数进行运算，可简化求解复杂极限的过程。
洛必达法则的核心原理是，如果一个函数在某个点的极限不存在或者为无穷大，但是该函数的导数在该点存在，则可以通过对该函数及其导函数进行比较，从而确定极限的值。
二、洛必达法则的公式洛必达法则有两种常见的表达方式：1.使用洛必达法则的第一种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = 0且lim(x->a) g(x) = 0，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]，其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
2.使用洛必达法则的第二种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = ±∞且lim(x->a) g(x) = ±∞，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]。
三、洛必达法则的应用示例以下是几个洛必达法则的具体应用示例：1.求解极限lim(x->∞) [x^2 / e^x]：根据洛必达法则，可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->∞) [x^2 / e^x] = lim(x->∞) [2x / e^x] = lim(x->∞) [2 / e^x] = 0。
所以，lim(x->∞) [x^2 / e^x] = 0。
2.求解极限lim(x->0) [(sinx - x) / x^3]：可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->0) [(sinx - x) / x^3] = lim(x->0) [(cosx - 1) / 3x^2] = lim(x->0) [-sinx / 6x] = -1/6。
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
高等数学第三章
(2) f(x)f(x0), 则称 x 0为 f (x)的极小值点 , 称 f (x0)为函数的极小值 .
极大值点与极小值点统称为极值点 .
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 .
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x 3 不是极值点
oax 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x
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定理 2 若函数 f (x) 在点 x 0 处有极值，
且 f (x0) 存在，则 f (x0)0
使 f(x0)0 的点 x 0 称为函数f (x)的驻点
y
oax 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b x
例1. 确定函数 f(x ) 2 x 3 9 x2 1x2 3 的单调区间. 解: f(x)6x21x812 6 (x 1 )x ( 2 )
令 f(x)0,得 x1,x2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2,) f (x) 0 0
f (x)
3) 列表判别
x (,0) f (x) f (x)
0
(0
,
2 5
)
2 5
(52, )
0
0
0.33
x0是极大值点，其极大值为 f(0)0
x
2 5
是极小值点，其极小值为 f(52)0.33
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定理2 (极值第二判别法) 设函 f(x)数 在x点 0处具
二阶导数 , 且 f(x0)0,
(1 )若 f(x 0 ) 0 ,则 f ( x)在点 x 0 取极大值 ; (2 )若 f(x 0 ) 0 ,则 f ( x)在点 x 0 取极小值 .
洛必达法则课件
lim
sin x
0.
x0 2cos x x sin x
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【阐明】 上式中 lim x sin x 可结合等价无穷小 x0 x sin x
代换更简朴。先代换，再用洛必达法则
sin x ~ x ( x 0)
lim
x0
x sin x x sin x
lim
x0
二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0 型未定式解法
【关键】将以上其他类型未定式化为洛必达法则可 处理旳类型 ( 0 ), ( )
0
1. 【0·∞】型
注：下列写法仅是记号
【环节】 0 1 , 或 0 0 1 0 .
00
【例8】 求 lim x2e x . x
( 0 )
【解】
显然
lim
x
f ( x) g( x)
lim 1
x
cos 1
x
极限不存在．
但
lim
x
f (x) g( x)
x sin x
lim
1
x
x
极限存在．
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x
x
极限振荡不存在
【解】 原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).
x 1
x
故洛必达法则失效。但
原式 lim(1 1 cos x) 1.
x
x
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三、小结
洛必达法则
型
f
g1
g1
f
0 ()
1 g1 f 0
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
取对数 uv evlnu
洛必达法则的内容
洛必达法则
一、洛必达法则的基本形式
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
其基本形式为：如果函数f(x)和g(x)满足以下条件：
1. f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内可导；
2. g'(x)不等于0；
3. 存在一个实数点b，使得f(b)=0；
4. 存在一个实数点c，使得g(c)=0。
那么，当x趋近于a时，f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
二、洛必达法则的推导过程
洛必达法则的推导过程涉及到极限、导数和微分的知识。
其证明过程为：根据泰勒公式，f(x)和g(x)都可以展开为泰勒级数，然后通过比较系数，可以证明f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
三、洛必达法则的应用范围
洛必达法则可以应用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
具体来说，当分母或分子为无穷大时，可以通过求导数的方法来解决极限问题。
此外，洛必达法则还可以应用于一些其他类型的极限问题，例如求定积分、不定积分等。
四、洛必达法则的局限性
虽然洛必达法则是微积分中的一个重要定理，但是它也存在一些局限性。
首先，洛必达法则只适用于0/0或无穷/无穷的极限问题，对于其他类型的极限问题无法应用。
其次，在使用洛必达法则时需要注意满足其前提条件，否则可能导致错误的结果。
此外，洛必达法则也无法应用于一些复杂的极限问题，例如涉及到多个变量或多个函数的极限问题。
因此，在使用洛必达法则时需要结合其他方法来解决复杂的极限问题。
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第3章 导数的应用
本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。
§3.1 洛必达法则
如果当0x x →（或x →∞）时，函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，则极限0
()lim
()
x x f x g x →（或()
lim ()x f x g x →∞）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未
定式，并分别记为00或∞
∞。
例如，极限0sin lim x x x →是00型未定式，极限221
lim 23x x x →∞-+是∞∞
型未定式。
在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。
下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。
一、 00型与∞
∞
型未定式
定理3.1 设函数()f x 、()g x 满足： （1）0
lim ()0x x f x →=，0
lim ()0x x g x →=；
（2）在点0x 的某去心邻域内，()f x '及()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）0
()
lim
()
x x f x g x →''存在（或为∞）； 则 ()()=→x g x f x x 0
lim
()()
x g x f x x ''→0lim 。
证明从略.
这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称 为洛必达法则。
注：（1）在定理3.1中,把“0x x →”换成“x →∞”（或其他情形）时，结论也成立。
（2）定理3.1中的条件(1)，若改为
lim x x →)(x f ＝∞, 0
lim x x →)(x g ＝∞，
则定理仍成立.
（3）如果0
()lim
'()
x x f x g x →'仍是00
型或∞∞型未定式，并且函数)(x f '、'()g x 满足定
理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有
()()
lim
x x f x g x →=0()lim
'()x x f x g x →'0''()
lim ''()x x f x g x →== . 例1 求0ln(1sin )
lim
x x x →+.
解 这是0
型未定式,应用洛必达法则,得
000cos ln(1sin )cos cos01sin lim lim lim 111sin 1sin 0
x x x x
x x x x x →→→++====++. 注:上式中的0cos lim 1sin x x
x
→+已经不是未定式,不能再对它应用洛必达法则,否则
会得出错误的结论；事实上，利用初等函数的连续性即可求出它的值。
例2 求()
2
1
1ln lim
x x
x -→.
解 这是0
型未定式,应用洛必达法则,得
()()()
∞=--=--=-→→→x x x x x x
x x x 11lim 21121
lim 1ln lim
112
1
.
例3 求332132
lim 1
x x x x x x →-+--+.
解 这是0
型未定式,连续应用洛必达法则两次,得
32322111323363lim lim lim 1321622
x x x x x x x x x x x x x →→→-+-===--+---.
例4 求arctan 2
lim x x x
π
→+∞
-。
解 这是0
型未定式,应用洛必达法则,得
2222
1arctan 12lim lim lim 111
1x x x x
x x x x x
π
→+∞→+∞→+∞--+===+-。
例5 求2lim x
x e x
→+∞。
解 这是
∞
∞
型未定式, 连续应用洛必达法则两次,得 2lim lim lim 22
x x x
x x x e e e x x →+∞→+∞→+∞===+∞。
例6 求 x
x
x ln cot ln lim 0
+
→. 解 这是
∞
∞
型未定式，应用洛必达法则,得 x
x x ln cot ln lim 0+→=x
x x x 1)csc (tan lim 20-⋅+→=-x x x x sin cos lim 0⋅+→＝-x x x x x sin lim cos 1lim 00++→→⋅ =-1.
洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，使用时，一方面要与其它求极限的方法结合使用；另一方面能化简时应尽可能化简，以使运算尽可能简捷。
例7 求x
x x 2
1lim
++∞
→。
解 此极限虽然是
∞
∞
型未定式，但用洛必达法则求不出极限的值，洛必达法则失效！可用如下方法求得：
lim lim lim 1x x x x →+∞===。
二、其它类型的未定式
未定式除00型或∞
∞
型外，还有0⋅∞、∞-∞、1∞、0∞、00等类型。
一般地，
这些类型的未定式通过变形总可以化为00型或∞
∞
型，然后用洛必达法则求极限。
例8 求0
lim ln x x x +
→。
解 这是∞⋅0型未定式，将乘积变为除，转化为
∞
∞
型未定式计算，得 00002
1
ln lim ln lim lim lim()011x x x x x x x x x x x
+++
+
→→→→===-=-。
注：本题不宜化为0
型未定式计算。
例9 求⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→111
lim 0x x e x 。
解 这是∞-∞型未定式，通分化为0
型未定式计算，得
⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111
lim 0x x e x =)
1(1lim 0---→x x x e x x e =x x x x xe e e +--→11lim 0 =x x x
x xe e e +→2lim 0=2
121lim 0=+→x x 。
例10 求x
x x 1
)sin
1(lim +→。
解 这是1∞
型未定式，利用公式ln N
e N =将1(1sin )x x +化为ln(1sin )
x x
e
+，其中
ln(1sin )x x +是00型未定式，由例1知，0ln(1sin )
lim
1x x x
→+=。
所以，0
1
ln(1sin )
ln(1sin )
lim
10
lim(1sin )lim x x x x x
x
x x x e
e
e e →++→→+====。
例11 求0
lim x x x +→。
解 这是00型未定式，用与例10同样的方法，并利用例8的结果，得
0lim ln ln 00
lim lim 1x x x
x x x
x x x e e
e +
→++
→→====。
例12 求tan 01lim x
x x +→⎛⎫
⎪⎝⎭。
解 这是0∞型未定式，用与例10同样的方法，得
tan 000tan 1/1ln sin lim ln lim lim sin 0cot csc 00
1lim lim 1x
x x x x
x x x x x x x x x x e e
e
e
e x +++→→→++
⎛
⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝
⎭→→⎛⎫====== ⎪⎝⎭。