用泰勒公式巧解未定式极限
导数在求极限中的应用
引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。
在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。
极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。
因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。
本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L ’Hospital 法则，Taylor 展式法及微分中值定理在求极限中的应用。
旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。
达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。
第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数()y f x =在其定义域中的一点0x 处极限存在，则称在0x 处可导，称此极限值为()f x 在0x 处的导数，记为0()f x '.显然，()f x 在0x 处的导数还有如下的等价定义形式：000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-.下面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵例1求极限tan sin 0limsin b x b xx xαα+-→-.解由于tan sin tan sin tan sin tan sin sin b x b xb x b b b xx xxxxαααααα+-+----=+.所以，tan sin tan sin 0tan limlimlimsin tan sin sin b x b xb x b b b xx x x xxxxxαααααα+-+-→→→---=+ln ln 2ln b b b αααααα=+=.例2(本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设(0)f k '=，试证00()()lim a b f b f a k b a-+→→-=-.证明（希望把极限式写成导数定义中的形式）（拟合法思想：把要证的极限值k 写成与此式相似的形式） 两式相减，可得因0a -→，0b +→，所以有0b a >>，1a bb a b a<--又因(0)f k '=，故当0a -→，0b +→时右端极限为零，原极限获证.1.2L ’Hospital 法则本节主要总结了L ’Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的问题，并深入分析了使用L ’Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶.另外还指出L ’Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L ’Hospital 法则L ’Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效的计算出未定式的极限. 关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为0未定型或∞∞未定型.事实上，未定型除以上两种类型外还有0⋅∞，∞-∞，1∞，00，0∞等类型. L ’Hospital 法则： 定理[]4若函数f 和g 满足:①0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；②在点0x 的某空心邻域00()U x 内可导，且()0g x '≠； ③0()lim()x x f x A g x →'='(A 可为有限数或∞)； 则00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 注：以上结论在0x x ±→，或是x →∞（包括+∞和-∞）时也是成立的.2. L ’Hospital 法则的应用a) L ’Hospital 法则能处理的基本未定型极限是00型或∞∞型例1求lim n x x x e λ→∞（n 为正整数，0λ>）.（∞∞型）解连续使用L ’Hospital 法则n 次122(1)!lim lim lim lim 0n n n x x xn x x x x x x nx n n x n e e e e λλλλλλλ--→∞→∞→∞→∞-===⋅⋅⋅==. 从以上例中可看出L ’Hospital 法则的实质是对无穷小或无穷大进行降阶. 下面再看两个L ’Hospital 法则在解含有变限积分问题中的应用.例2求03(1cos )limxx t dt x→-⎰.分析：因为0(1cos )x t dt -⎰可导从而连续，所以此问题属于0型，可用L ’Hospital 法则求解.解032(1cos )(1cos )limlim03xx x t dt t dt x x →→--==⎰⎰.例3求极限110()lim x x f t x dt t αα++→⎰，其中0α>，()f x 为闭区间[]0,1上的连续函数. 解111100()()lim lim 1x x x x f t dt f t t x dt t x αααα++++→→=⎰⎰因0x →时，1x α单调递减趋于+∞， 使用L ’Hospital 法则，则111110001()()()()(0)lim lim lim lim 11xxx x x x f t f x dt f t f x f t x x dt tx xααααααααα+++++++→→→→+-====-⎰⎰. （2）在使用L ’Hospital 法则时，必须验证条件是否满足①所求的极限是否未定型极限；②求完导数后极限是否存在.其中第二条容易忽略.例4设()f x 为可导函数，(0)(0)1f f '==，求极限0(sin )1limsin x f x x→-.解0(sin )1limsin x f x x →-00cos (sin )lim lim (sin )(0)1cos x x x f x f x f x→→'⋅''====. （此题不能用L ’Hospital 法则求解，错误出在题目中没有给出在处连续的条件，所以不知道的极限是否存在，即不满足条件②，题目中只是说在处可导，而定理中要求在的某个邻域中可导） 当求导后的极限不存在时，原极限仍可能有极限，所以求导后极限不存在只能说明此时L ’Hospital 法则失效，不能说原式无极限.（3）对于其他未定型或极限0⋅∞、∞-∞、1∞、00、0∞等类型，可分别通过做商、通分、取对数转化成00型或∞∞型的极限，再使用L ’Hospital 法则.例5求极限1lim(1)tan2x x x π→-.解2111121122lim(1)tanlimlimlim sin 22cotcsc222x x x x xx x x x xπππππππ→→→→---====-.注：这是将0⋅∞型转化成了00型，如果选择不当把它化成∞∞型，则解题过程将会比较复杂.转化时一般规律是选择求导后式子简单的那种类型.例6求极限01limcot x x x→-.解将它改写成1cos sin cot sin x x x x x x x--=就化成了∞∞型，于是有01limcot x x x →-2000cos sin sin cos sin cos lim lim lim 0sin 2x x x x x x x x x x x xx x x x→→→---====. “1∞、00、0∞”可以通过如下转化化成型或型：例7 求极限2lim (arctan )x x x π→+∞.（1∞型）解因为2lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eππ→+∞→+∞=而2lnarctan 2lim ln(arctan )lim1x x x x x xππ→+∞→+∞=所以22lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eeπππ→+∞-→+∞==.例8 求极限1ln 0lim(cot )xx x +→.（0∞型）解因为当0x +→时tan x x :，所以0ln 111lim 1ln ln ln ln 00011lim (cot )lim ()lim ()tan x xxxx xx x x x e e x x+→+++--→→→====.（4）利用L ’Hospital 法则求数列极限——Stolz 公式Stolz 公式可以说是数列的L ’Hospital 法则，它对求数列的极限很有用. 定理1[4]（∞∞型的Stolz 公式） 设{}n x 严格递增（即n N ∀∈有1n n x x +<）且lim n n x →∞=+∞，若①11limn n n n n y y a x x -→∞--=-（有限数），则lim n n nya x →∞=；②a 为+∞或-∞，结论仍然成立.定理2[4]（0型的Stolz 公式）设n →∞时0n y →，{}n x 严格单调下降趋于零，若11limn n n n n y y a x x -→∞--=-，则limnn ny a x →∞=（其中a 为有限数，+∞或-∞）. 例9 求极限limln n n n →∞.解由于1lim lim 1ln x x x x x→+∞→+∞==+∞，所以limln n nn→∞=+∞. 例10证明1121lim 1p p p p n n n p +→∞++⋅⋅⋅+=+（p 为自然数）.证11112(1)lim lim (1)p p p pp p p n n n n nn n +++→∞→∞++⋅⋅⋅++=+- 1(1)1lim (1)1(1)12p n pp n p p p p n n →∞-+==+++++⋅⋅⋅+. 下面说明Stolz 公式必要时可以重复使用例11 02ln nk nk n CS n ==∑（其中(1)(1)12kn n n n k C k-⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅），求lim n n S →∞.解因2n 单调递增趋于+∞，可应用Stolz 公式（再次使用Stolz 公式）1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1limlim(21)(21)22nn n n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+--.例12 求极限121112122223222lim()()()212121n n n n n ---→∞⋅⋅⋅---.解先取对数，再取极限.令121112122223222lim()()()212121n n n n n n x ---→∞=⋅⋅⋅---应用Stolz 公式故,原式1lim 2n n x →∞==.（5）L ’Hospital 法则与其他方法相结合使用，如与无穷小相结合.例13求极限22201cos lim sin x x x x →-.解422240011cos 12lim lim sin 2x x xx x x x →→-==. 有个别题目在使用L ’Hospital 法则时会出现循环现象，此时不能用L ’Hospital 法则求解，如下面一例.例14求极限lim x xx x x e e e e --→+∞-+.解221lim lim11x x xx x xx x e e e e e e ----→+∞→+∞--==++. 第2章Taylor 展式在求极限问题中的应用本节介绍运用Taylor 公式求解一些较复杂的未定型的函数极限及中值点的极限、无穷远处的极限.定理1[4]（带Peano 余项的Taylor 公式）设()f x 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个邻域，对于该邻域中的任一点x ，成立 其中余项()()n r x 满足()0()(())n n r x o x x =- 定理2[4]（带Lagrange 余项的Taylor 公式）设()f x 在[],a b 上有n 阶连续导数，且在(,)a b 上有1n +阶导数.设[]0,x a b ∈为一定点，则对于任意[],x a b ∈，成立其中余项()()n r x 满足(1)()10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+，ξ在x 和0x 之间. 注：函数()f x 在0x =处的Taylor 公式又称为函数()f x 的Maclaurin 公式. 几个常用函数的Maclaurin 公式:（为了便于书写，我们写出带Peano 余项的Taylor 公式）①231()2!3!!nxn x x x e x o x n =++++⋅⋅⋅++;②352122sin (1)()3!5!(21)!n nn x x x x x o x n ++=-+-⋅⋅⋅+-++; ③24221cos 1(1)()2!4!(2)!n n n x x x x o x n +=-+-⋅⋅⋅+-+; ④230123(1)()()()()()()n n nx x x x x o x αααααα+=++++⋅⋅⋅++ 其中α为任意实数，(1)(1)()!k k k αααα-⋅⋅⋅-+=，并规定0()1α=；⑤2341ln(1)(1)()234nn n x x x x x x o x n -+=-+-⋅⋅⋅+-+； ⑥3521122arctan (1)()3521n n n x x x x x o x n +-+=-+-⋅⋅⋅+-++. 1.用Taylor 公式巧解未定型极限由于L ’Hospital 法则的实质是对分子分母进行降阶，这意味着当遇到分子分母都是较高阶的情况时，必须多次应用L ’Hospital 法则，遇到分子分母有带根号项时，会越微分形式会越复杂.而用公式则可进一步到位，所以在求解未定型极限时，应该灵活使用公式法解决.从而避免应用法则出现的解题困难. 例1求极限2240cos limx x x e x -→-.解这是个0未定型极限问题，如果使用L ’Hospital 法则，则分子分母需求导四次，但若使用Taylor公式，则44401()112lim 12x x o x x →-+==-. 例2求极限0x →解这也是个0未定型的极限问题，因2441()624x x o x =-+，4224sin ln(1sin )sin (sin )2x x x o x +=-+用324sin [()]6x x x o x =-+代入，即有42245ln(1sin )()6x x x o x +=-+于是240ln(1sin )1)lim x x x→+- 424244405[()]6[()]76624lim 12x x x x x o x o x x →-+--+==-. 2.用Taylor 公式求中值点的极限例3（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第251页） 设（1）()f x 在00(,)x x δδ-+内是n 阶连续可微函数，此处0δ>； （2）当2,3,(1)k n =⋅⋅⋅-时，有()0()0n f x =但是(1)0()0n f x +≠； （3）当0h δ≠<时有000()()(())f x h f x f x h h hθ+-'=+①其中0()1h θ<<证明：lim ()h h θ→∞=证我们要设法从①式中解出()h θ，为此我们将①式左边的0()f x h +及右边的0(())f x h h θ'+在0x 处展开.由条件（2）知12,(0,1)θθ∃∈使得于是①式变成从而()h θ=因12,()(0,1)h θθθ∈，利用()()n f x的连续性，可得lim ()h h θ→∞=注：此题若用L ’Hospital 法则做将不胜其烦.例4设()()()()(),(01)!n n h f x h f x hf x f x h n θθ'+=++⋅⋅⋅++<<， 且(1)()0n f x +≠，证明：01lim 1h n θ→=+. 提示：1()(1)1()()()()()()!(1)!n n n n n h h f x h f x hf x f x f x o h n n +++'+=++⋅⋅⋅++++ 从而有()()(1)()()()()1n n n f x h f x h hf x o h h n θθθ++-=++. 证明2()11()()()()()2!!n n f x h f x hf x f x h f x h h n θ'''+=+++⋅⋅⋅++ 另0,h →得到(1)(1)01lim ()()1n n h f x f x n θ++→⋅=+，再由(1)()0n f x +≠，两边消去(1)()n f x +，即得到01lim 1h n θ→=+.3.用Taylor 公式求无穷远处的极限例5（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第249页）设函数()x ϕ在[)0,+∞上二次连续可微，如果lim ()x x ϕ→+∞存在，且()x ϕ''在[)0,+∞上有界，试证：lim ()0x x ϕ→+∞'=.证明要证明lim ()0x x ϕ→+∞'=，即要证明：0,0ε∀>∃∆>当0∆>时()x ϕε'<利用Taylor 公式，210,()()()()2h x h x x h h ϕϕϕϕξ'''∀>+=++即11()[()()]()2x x h x h h ϕϕϕϕξ'''=+--①记lim ()x A x ϕ→+∞=因ϕ''有界，所以，0M ∃>使得()x M ϕ''≤,（对x a ∀≥）故由①知211()(()())2x x h A A x Mh h ϕϕϕ'≤+-+-+②对0ε∀>，首先可取0h >充分小，使得2122Mh ε<，然后将h 固定，因lim ()x x A ϕ→+∞=，所以0∃∆>，当0x >时，从而由②式，即得()22x εεϕε'<+=.第3章微分中值定理在求极限问题中的应用微分中值定理是Role 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理和Taylor 中值定理的统称。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应⽤泰勒公式的应⽤内容摘要：泰勒公式是数学分析中⼀个⾮常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及⾏列式的计算等⽅⾯有重要的应⽤。
本⽂着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个⽅⾯进⾏论述。
关键词：泰勒公式⽪亚诺余项级数拉格朗⽇余项未定式⽬录内容摘要 0关键词 01.引⾔ (2)2.泰勒公式 (2)2.1具有拉格朗⽇余项的泰勒公式 (2)2.2带有⽪亚诺型余项的泰勒公式 (2)2.3带有积分型余项的泰勒公式 (2)2.4带有柯西型余项的泰勒公式 (3)3.泰勒公式的应⽤ (3)3.1利⽤泰勒公式求未定式的极限 (3)3.2利⽤泰勒公式判断敛散性 (6)3.3 利⽤泰勒公式证明中值问题 (11)3.4 利⽤泰勒公式证明不等式和等式 (13)4. 结束语 (19)参考⽂献 (20)1.引⾔泰勒公式是数学分析中⼀个⾮常重要的内容，微分学理论中最⼀般的情形是泰勒公式, 它建⽴了函数的增量,⾃变量增量与⼀阶及⾼阶导数的关系，将⼀些复杂的函数近似地表⽰为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有⼒杠杆。
我们可以使⽤泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定⽆穷⼩的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。
本⽂着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个⽅⾯的具体应⽤⽅法。
2.泰勒公式2.1具有拉格朗⽇余项的泰勒公式如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x,在0x 和x 之间⾄少?⼀个ξ使得：当0x =0时，上式称为麦克劳林公式。
2.2带有⽪亚诺型余项的泰勒公式如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数,则对此邻域内的点x 有:2.3带有积分型余项的泰勒公式如果函数f 在点0x 的某邻域()0x U 内具有n+1阶导数,令x ∈()0x U ,则对该邻域内异于0x 的任意点x,在0x 和x 之间⾄少?⼀个t 使得:()()()()()()()()()dt t x t f n x x n x f x x x f x f x f n x x n n n -+-?+-+=?+010000'0!1!)(其中()()()dt t x t fn n x x n -?+01!1就是泰勒公式的积分型余项。
洛必达法则与泰勒公式
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给出误差的具体表达式。 ② 给出误差的具体表达式。
f ( x) ≈ a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + ...+ an ( x − x0 )n = pn ( x) 假设 pn ( x ) 在 x 0 处的函数值及它的直到 n 阶导数在 x 0 处的
值依次满足
x →∞
条件（ ）不满足！ 条件（3 不满足！
f '( x) f ( x) lim 不存在， 不存在。 不存在，不能说明 lim 不存在。 F '( x) F ( x) 也许用其它方法能够求 出极限。 出极限。
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（2）用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。 用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。 ∞ ∞ ′ ∞ x2 +1 ∞ x2 +1 x x2 +1 lim = lim = lim = lim =L x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x′ x x 2 + 1 x → +∞
1
第二节
0 ∞ 1.未定式 1.未定式： , 未定式： 0 ∞
洛必达法则
两个函数 f ( x )与 F ( x ) 都趋于零 若当 x → a (或x → ∞ )时， f ( x) 或都趋于无穷大， 或都趋于无穷大， 那么极限 xlim 可能存在、也可能不 可能存在、 →a F ( x) ( x→∞ ) 存在， 通常把这种极限叫做未定式。 未定式。 存在， 通常把这种极限叫做未定式
2
− cos x =0 − sin x
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例8 求 lim x x
x → +0
解 设 y = x x , ln y = x ln x.
泰勒公式在数值计算中的应用
2.3 泰勒公式在求极限中的应用 对于未定式极限求解时利用洛比达法则，但对于求导计算繁冗的情况， 需要多次使用洛比达法则，运用泰勒公式将会化繁为简. 利用泰勒公式来求极限时，一般运用麦克劳林公式形式.但应注意，当极 限式为分式时，一般需将分子和分母展成同阶麦克劳林公式，通过比较求出 极限. x2 1 1 x2 2 [10] 例4 求极限 lim 2 x 0 (cos x e x ) sin 2 x 解 通过分析，此题满足洛必达法则 x x2 x 1 1 x2 1 x2 = lim 2 2 2 lim x 0 (cos x e x ) sin 2 x x 0 2( sin x 2 xe x ) sin x cos x 可见若用此方法比较繁琐，增加了计算量且易出错，此时就需要用泰勒 公式来计算.已知 x 0 ，则可用麦克劳林公式来进行化简，只需将
12?????????ddddd?8以下求行列式xnd的各阶导数参见华东师大版数学分析上册p117习题9行列式求导有1000001000011xnbxccbbxcbbbxxcccbxccbbbxbcccbbxccbbxcxnn??????dd????????????????????????????12111221nxxxxxxnxnn?????????dddddd?则有113221??????????????nnnnnncbbnnbnnbcbnbbnbdddd?21214321???????????????nnnnncbbnnnbnnbnnbnbdddd211bnnbnn????d
泰勒公式在数值计算中的应用
李珂
（宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013）
摘 要: 本文从泰勒公式的基本内容出发，综述了泰勒公式在近似计算、 求极限、证明不等式、判定 Newton 迭代收敛速度等方面的应用. 关键词: 泰勒公式；数值计算；应用 泰勒公式是一个多项式的拟合问题,而多项式是简单函数， 它的研究对我们 来说是很熟悉的，并且研究也是非常方便的.在处理某些复杂的问题时，如果将 所研究的对象转化为我们熟悉的多项式,那么问题就会比较简单和方便.通过对 泰勒公式和极限运算的简单学习， 我们已经掌握初等函数在某一点的泰勒展式， 但是对于一些高阶的求极限运算，直接求极限有难度，可是利用泰勒公式却能 很方便快捷的得出答案.所以对泰勒公式的更深一步的学习很有实际意义.本文 介绍了泰勒公式的基本概念,相关定理及余项表达式等内容， 然后对泰勒公式在 数值计算中的应用进行了较全面地总结,并且收集了相应的范例,使读者更好地 去理解和感悟泰勒公式在数值计算中的重要性.
泰勒公式例题
泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用1引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大sin* —分v2n+l 1-X量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明.2预备知识定义2.1[1]若函数/在X。
存在〃阶导数，则有= /（兀）+ 晋（―兀）+ -（X - XJ + …+斗％7。
）+©7）”）（1）n\这里0 （（X-X。
）"）为佩亚诺型余项，称⑴f在点X。
的泰勒公式.当兀二0 时，（1 ）式变成f（x） = /（0） + / 丫）x + ' 丫）/ + …+ 一x"+o（x"）,称此式为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.定义2.2[21若函数/在入某邻域内为存在直至” + 1阶的连续导数，则f（x） = f（x0） + f '（x Q）（x-x Q） +丄平（X- X。
）' + ... + -一y（X- X。
）" + 心（X）,2! n\f 5十1）（已（2）这里尺,（x）为拉格朗日余项R代x）= —（A- + x0）w+1,其中点在x与兀。
之间，称（2）仪 + 1）!为/在兀的泰勒公式.当心二0 时，（2）式变成/•（Q = /（O） + /'（O）x+厶岁亍+...+£21H + R“（X）2! n\称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.常见函数的展开式：X ’ X2 X"产…+1e =1 + x+ -------- ・・•+一H------ x ・2! n\（” + 1）!V2 V4工 6 ”曲八亍矿h…+7而+。
泰勒公式在极限中的几种应用
泰勒公式在极限中的几种应用泰勒公式在解决具体的数学问题的时候有着重要的作用，它的一般形式为()()20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中()n R x 为拉格朗日余项()(1)10()()1!n n f x x n ξ++-+或皮亚若余项()()n x x ο-[1].在求极限的过程中就有好几种形式可以借助于泰勒公式来解决，本文主要介绍泰勒公式在极限中的几种具体的应用。
1、利用泰勒展开求极限在求极限的过程中可以将其中一项进行泰勒展开，将原问题转化为多项式的形式求极限。
例1[2] 求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 根据泰勒展开式 ()231111ln 123n x x x x xο⎛⎫+=-+++ ⎪⎝⎭ ， 在本题中，x 的指数最高为2，因此可以展开至2阶就可以了， 原极限222111lim 2x x x x xx ο→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1lim 12x x x ο→∞⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦12=. 2、求满足泰勒公式的θ的极限例2 已知()f x '在D 上连续，()0f x ''≠，对0x h D +∈有()()()()00001f x h f x hf x h θθ'+=++<<，求0lim h θ→. 解 已知()()()000f x h f x hf x h θ'+=++则利用泰勒公式有()()()()20000112f x h f x hf x f x h h θ'''+=+++ 两式相减得到 ()()()2000112hf x h hf x f x h h θθ''''+-=+ 即()()()000112f x h f x f x h h θθ''+-''=+()()()()000100011limlim 22h h f x h f x f x h f x h θθ→→''+-''''=+= 又因为 ()()000limh f x h f x hθ→''+-()()()00000limlim h h f x h f x f x hθθθθ→→''+-''=⋅=⋅最终得到 01lim 2h θ→=. 同样的，若已知()()()()2000012f x h f x hf x f x h h θ'''+=+++ 则利用泰勒公式有()()()()()230000011126f x h f x hf x f x h f x h h θ''''''+=++++两式相减可以得到 ()()()223000113f x hh f x h f x h h θθ'''''''+-=+ 即()()()000113f x h f x f x h h θθθθ''''+-'''⨯=+()()()0001001limlim 3h h f x h f x f x h hθθθθ→→''''+-'''⨯=+ 得到 ()()00001lim lim3h h f x f x θ→→''''''= 最终得到 01lim 3h θ→=. 3、泰勒公式在变上限积分的等价无穷小替换中的应用在变上限积分()()x f t dt ϕ⎰中，如果()0x ϕ→，那么该变上限积分就是一个无穷小，对被积函数()f t 进行泰勒展开，则()200000000()()()()()()()()(())2!!n n n f t f t f t f t f t t t t t t t t t n ο'''=+-+-++-+-我们可以展开2阶得到000()()()()f t f t f t t t '≈+- 则()()()()()()()()()20000001()2x x f t dt f t f t t t dt f t x f t x ϕϕϕϕ''≈+-≈+⎡⎤⎣⎦⎰⎰又因为()()()()()()200()lim12x x f t dtf t x f t x ϕϕϕϕ→'+⎰()()()()()()()000limx f x x f t x f t x x ϕϕϕϕϕϕ→'⎡⎤⎣⎦='''+()()()()()000limx f x f t f t x ϕϕϕ→⎡⎤⎣⎦='+1=得到 ()()()()()20001()2x f t dt f t x f t x ϕϕϕ'+⎰例如()0sin x tdt ϕ⎰中，当()0x ϕ→时，我们可以取00t =，得到()()201sin ~2x tdt x ϕϕ⎰同理得到()()201tan ~2x tdt x ϕϕ⎰；()()201arcsin ~2x tdt x ϕϕ⎰；()()201arctan ~2x tdt x ϕϕ⎰；()()()2011~2x te dt x ϕϕ-⎰； ()()()201ln 1~2x t dt x ϕϕ+⎰； ()()()3011cos ~6x t dt x ϕϕ-⎰；()()()20[11]~2x t dt x ϕααϕ+-⎰． 例3求()21cos 0arctan lim1x xx tdt dt-→⎰⎰解： 在2arctan x tdt ⎰中，()2x x ϕ=，当0x →时，根据公式，2401arctan ~2x tdt x ⎰；在)1cos 01xdt -⎰中，()1cos x x ϕ=-，当0x →时，根据公式得)()1cos 240111~1cos ~416xdt x x --⎰；极限()2401cos 0041arctan 2limlim 81116x xx x x tdtdt x -→→==⎰⎰． 除了在极限中，泰勒公式在求导数、定积分的证明、不等式的证明、级数敛散性判断、求近似值等一系列题型中都有着广泛的应用。
泰勒公式例题
泰勒公式例题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n x n xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e -分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得 2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx,xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,于是例利用泰勒展开式再求极限。
极限运算时最容易忽略的两个问题
㊀㊀㊀解题技巧与方法１３７㊀㊀极限运算时最容易忽略的两个问题极限运算时最容易忽略的两个问题Һ丁艳风㊀（郑州升达经贸管理学院基础部，河南㊀郑州㊀４５１１９１）㊀㊀ʌ摘要ɔ极限是分析学科的工具．本文主要论述了初学者在求极限时易忽略的两种情况：首先分析了等价无穷小代换在加减中怎么使用，从而避免学生在求极限时发生类似的错误；其次分析了当函数表达式复杂时，如何使用泰勒公式简化函数，便于求极限，同时总结了使用泰勒公式的技巧，为学生后续求极限提供了解题效率更高的方法．ʌ关键词ɔ极限；等价无穷小代换；泰勒公式；麦克劳林公式引㊀言高等数学的研究对象是函数，而研究函数的工具是极限．这就决定了高等数学中的许多基本概念都以极限思想为基石，因此，学好极限对高等数学的学习有着举足轻重的作用．函数的极限运算是高等数学的核心内容之一，而选择极限的计算方法的合适与否，直接关系到计算过程是否简便快捷及计算结果是否正确．笔者通过大量的实践教学发现：在求极限的过程中，学生最易忽略也最易出错的两个问题：一㊁等价无穷小代换在加减中的使用；二㊁泰勒公式在求极限中的化繁为简的运用．针对以上两个问题笔者利用例子来分析和研究．一㊁等价无穷小代换在加减中的使用等价无穷小代换是解决 ００ 型未定式极限的一个非常有效的途径和手段．在高等数学教材中，等价无穷小代换定理仅仅以极限积或商的形式表现等价无穷小代换，并没有给出该方法的使用局限性和适用范围．特别是对于解决 ０－００ 或 ０＋００ 型未定式极限时，学生在利用等价无穷小代换定理计算极限时往往容易出错，究其原因是学生没有弄清楚代换的条件及对象．另外就是对无穷小的等价概念模糊不清，导致出现许多学生乱套公式的现象．因此，教师应对此问题加以强调和关注．１．几种常见的等价无穷小首先弄清楚一个概念：无穷小是相对于一个极限过程而言的，一个变量在某个极限过程中是无穷小量，在另一个极限过程中就不一定是无穷小量了．如ｓｉｎｘ在ｘң０时是无穷小量，但是在ｘң１或ｘңπ２时，都不是无穷小量，所以在使用等价无穷小代换时首先应准确判断一个量是否为无穷小量．其次熟记常见的几个等价无穷小代换公式：当ｘң０时，ｓｉｎｘ ｘ；ａｒｃｓｉｎｘ ｘ；ｔａｎｘ ｘ；ａｒｃｔａｎｘ ｘ；ｅｘ－１ ｘ；ｌｎ（１＋ｘ） ｘ；１－ｃｏｓｘ ｘ２２；ｎ１＋ｘ－１ ｘｎ．以上公式不仅要熟记，对于公式的推广形式更要会灵活运用：在ｘ的某个变化过程中，只要关于ｘ的函数φ（ｘ）ң０，则上面公式中的所有ｘ都可以换为φ（ｘ）．即：当ｘң （表示任何过程）时，有φ（ｘ）ң０，则有ｓｉｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ａｒｃｓｉｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ｔａｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ａｒｃｔａｎφ（ｘ） φ（ｘ）；ｅφ（ｘ）－１ φ（ｘ）；ｌｎ［１＋φ（ｘ）］ φ（ｘ）；１－ｃｏｓφ（ｘ） ［φ（ｘ）］２２；ｎ１＋φ（ｘ）－１ φ（ｘ）ｎ．在此基础上也能推出许多其他公式，因此，我们要熟记上述公式．２．等价无穷小代换在加减中的使用等价无穷小代换定理只给出了函数在乘除之间可以使用，在加减中是否能使用没有给出明确的说明，致使有些学生在做练习时出现如下解法：如：求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ．虽然上式分子是相减的形式，但有的学生看都不看就将其写成如下形式：ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ＝ｌｉｍｘң０ｘ－ｘｘ３＝０．显然上述方法是错误的，原因在哪里呢？原因主要在于初学者在使用课本中的等价无穷小代换定理时没有注意：用等价无穷小代换时需要换掉整个分子或分母，而不能只换掉分子或分母的一部分．那么，我们遇到这种问题时该如何处理呢？下面的定理就告诉我们该怎么做！定理１㊀设α（ｘ），β（ｘ），αᶄ（ｘ），βᶄ（ｘ），γ（ｘ），γᶄ（ｘ）（均不为０）都是同一变化过程中的无穷小量，已知α（ｘ） αᶄ（ｘ），β（ｘ） βᶄ（ｘ），γ（ｘ） γᶄ（ｘ），（１）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ－１，则有ｌｉｍα（ｘ）＋β（ｘ）[]ｇ（ｘ）γ（ｘ）＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）＋βᶄ（ｘ）[]ｇ（ｘ）γᶄ（ｘ）．（２）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ１，则有ｌｉｍα（ｘ）－β（ｘ）[]ｇ（ｘ）γ（ｘ）＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）－βᶄ（ｘ）[]ｇ（ｘ）γᶄ（ｘ）．该定理的证明许多文献中都有介绍，这里只给出定理的应用．此定理告诉我们若分子为某两个无穷小量的和或差时，只要满足条件就可以使用等价无穷小代换．如前面的例子：求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ．上式的分子为两个无穷小量的差，但是ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｔａｎｘ＝１，不满足定理的条件，所以不能直接使用等价无穷小代换．事实上，我们可以先对分母进行等价无穷小代换，再使用洛必达法则或者把分子化为两个因式乘积的形式再使用等价无穷小代换．正确的解法：ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘｓｉｎ２ｘ＝ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ－ｔａｎｘｘ３＝ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ（ｃｏｓｘ－１）ｘ３＝ｌｉｍｘң０－ｘｘ２２ｘ３＝－１２．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３８㊀例１㊀求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎ２ｘ－ｔａｎｘ３１＋ｘ－１．解㊀当ｘң０时，ｓｉｎ２ｘ ２ｘ，ｔａｎｘ ｘ，３１＋ｘ－１ｘ３，因为ｌｉｍｘң０ｓｉｎ２ｘｔａｎｘ＝ｌｉｍｘң０２ｘｘ＝２ʂ１（满足定理的条件），所以ｌｉｍｘң０ｓｉｎ２ｘ－ｔａｎｘ３１＋ｘ－１＝ｌｉｍｘң０２ｘ－ｘｘ３＝３．显然，我们在满足定理条件时使用等价无穷小代换就不会出错了．其实，除了分子是某两个等价无穷小量的和或差可以用等价无穷代换外，分母是两个无穷小量的和或差也有相同的结论，因为有下面的定理．定理２㊀设α（ｘ），β（ｘ），αᶄ（ｘ），βᶄ（ｘ）（均不为０）都是同一变化过程中的无穷小量，已知α（ｘ） αᶄ（ｘ），β（ｘ） βᶄ（ｘ），（１）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ－１，则有ｌｉｍα（ｘ）＋β（ｘ）[]＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）＋βᶄ（ｘ）[]．（２）若满足ｌｉｍβ（ｘ）α（ｘ）ʂ１，则有ｌｉｍα（ｘ）－β（ｘ）[]＝ｌｉｍαᶄ（ｘ）－βᶄ（ｘ）[]．例２㊀求极限ｌｉｍｘң０ｓｉｎ５ｘ２－ｔａｎｘ２ｓｉｎ２ｘ２＋ｔａｎｘ２．解㊀当ｘң０时，因为ｌｉｍｘң０ｓｉｎ５ｘ２ｔａｎｘ２＝５ʂ１，ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ２ｓｉｎ２ｘ２＝１２ʂ－１（满足定理的条件），所以ｌｉｍｘң０ｓｉｎ５ｘ２－ｔａｎｘ２ｓｉｎ２ｘ２＋ｔａｎｘ２＝ｌｉｍｘң０５ｘ２－ｘ２２ｘ２＋ｘ２＝４３．当然，若先使用换元法把ｘ２化为ｔ，再使用洛必达法则也很容易就能解决本题；也可以使用泰勒公式进行计算，这就是我们接下来要讲的另一个学生不易想到的问题．二㊁泰勒公式在求极限中的化繁为简的运用求函数极限的方法有很多，对于 ００ ɕɕ等型未定式，我们常用的是洛必达法则，此法则简单易掌握，但具有一定的局限性，即对于繁杂的函数并不适用．当遇到使用洛必达法则求极限越求导越麻烦时，我们不妨换一下思路，利用泰勒公式进行求解，因为泰勒公式不仅能起到化繁为简的作用，也能解决大多方法解决不了的问题．接下来，我们将对利用泰勒公式计算 ００型未定式极限的方法进行探讨．１．泰勒公式和麦克劳林公式在利用泰勒公式求解函数极限时，我们通常采用带有佩亚诺余项的泰勒公式．即：ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ｆᶄ（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆᵡ（ｘ０）２！（ｘ－ｘ０）２＋ ＋ｆ（ｎ）（ｘ０）ｎ！（ｘ－ｘ０）ｎ＋ｏ（（ｘ－ｘ０）ｎ）．（１）令ｘ０＝０，则（１）式为ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｆᶄ（０）ｘ＋ｆᵡ（０）２！ｘ２＋ ＋ｆ（ｎ）（０）ｎ！ｘｎ＋ｏ（ｘｎ）．（２）（２）式称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式．２．无穷小量的运算想要熟练掌握泰勒公式，还需掌握下面的运算．无穷小量的运算：ｍ，ｎ为正整数，ｑ＝ｍｉｎ｛ｍ，ｎ｝，则有下列式子成立：ｏ（ｘｍ）ʃｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｘｑ），ｏ（ｘｍ）ｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｘｍ＋ｎ），ｘｍｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｘｍ＋ｎ），ｋｏ（ｘｎ）＝ｏ（ｋｘｎ）＝ｏ（ｘｎ）．３．例题解析我们下面结合着可以使用泰勒公式的例子来对此法做一个分析：例３㊀求极限ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４．分析㊀分式的分母为ｘ４，因此解答本题的关键是将ｓｉｎｘ２，ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘｓｉｎｘ进行泰勒展开并确定其具体展开到第几项．我们先把２ｃｏｓｘｓｉｎｘ利用倍角公式化为ｓｉｎ２ｘ．ｓｉｎｘ２，ｓｉｎｘ，ｓｉｎ２ｘ的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式展开式分别为ｓｉｎｘ２＝ｘ２－ｘ６３！＋ｘ１０５！－ ＋（－１）ｎｘ４ｎ＋２（２ｎ＋１）！＋ｏ（ｘ４ｎ＋２）．（３）ｓｉｎｘ＝ｘ－ｘ３３！＋ｘ５５！－ ＋（－１）ｎｘ２ｎ＋１（２ｎ＋１）！＋ｏ（ｘ２ｎ＋１）．（４）ｓｉｎ２ｘ＝２ｘ－（２ｘ）３３！＋（２ｘ）５５！－ ＋（－１）ｎ（２ｘ）２ｎ＋１（２ｎ＋１）！＋ｏ［（２ｘ）２ｎ＋１］．（５）ａ．若将它们最低分别展开到ｘ的２阶㊁３阶㊁３阶：ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘ＝ｘｓｉｎｘ２－２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝ｘ３＋５ｘ３３＋ｏ（ｘ３）．（６）则ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４＝ｌｉｍｘң０８３ｘ３＋ｏ（ｘ３）ｘ４极限不存在．ｂ．若将它们最低分别展开到ｘ的６阶㊁５阶㊁５阶：ｘｓｉｎｘ２－２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝－ｘ７６＋ｘ５４＋ｏ（ｘ５），则ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４＝ｌｉｍｘң０－ｘ７６＋ｘ５４＋ｏ（ｘ５）ｘ４＝０．ｃ．若将它们最低分别展开到ｘ的１０阶㊁７阶㊁７阶：ｘｓｉｎｘ２－２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝－２３ｘ７１２０＋ｘ５４＋ｏ（ｘ７），则ｌｉｍｘң０ｘｓｉｎｘ２－２（１－ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｘ４＝ｌｉｍｘң０－２３ｘ７１２０＋ｘ５４＋ｏ（ｘ７）ｘ４＝０．由ａ，ｂ和ｃ可知，由于每个函数变量的幂次不同，它们展开的次方也多少有点差异．若将三个函数展开到ｘ的３阶以下，无法求出正确的极限；若将三个函数展开到ｘ的６阶以上，可以正确求出极限，但ｘ６后面的更高阶的因式与ｘ４作商求极限后均为０，无计算的必要，所以三个函数ｓｉｎｘ２，ｓｉｎｘ，ｓｉｎ２ｘ分别展开到６阶㊁５阶㊁５阶最合适．故由例３可以总结如下：利用泰勒公式对形如 ００型未定式求极限，遵循 上下几乎同阶原则 ，即将分子上的函数展开到与分母同幂次或接近的项即可．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［２］张卓奎，王金金．高等数学［Ｍ］．北京：北京邮电大学出版社，２０１７．［３］陈大桥，等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广［Ｊ］．成都师范学院学报，２０１４，３０（５）：１１７－１１９．［４］刘艳．泰勒公式在函数极限计算中的方法探讨［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（２８）：３２８－３２９．。
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科技信息２００８年第５期
ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
●科
在函数极限运算中，不定式极限的计算始终为我们所注意，因为这是比较困难的一类问题。
计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。
但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解，会更简单，明了。
下面我们就例题进行探讨。
例１．求解ｌｉｍ
ｘ→０
ｘ－ｓｉｎｘｘ２（ｅｘ－１）
分析：本题属于０
０
型未定式，若单使用洛必达法则计算（下面解
法一），计算过程较为繁琐。
若配合等价无穷小代换，计算较为简捷（下面解法二）。
解法一：单纯使用洛必达法则１
即：ｌｉｍ
ｘ→０
ｘ－ｓｉｎｘ
ｘ２（ｅｘ－１）
＝ｌｉｍ
ｘ→０
１－ｃｏｓｘ
２ｘ（ｅｘ－１）＋ｘ２ｅｘ
＝ｌｉｍ
ｘ→０
ｓｉｎｘ
２ｘ（ｅｘ－１）＋４ｘｅｘ＋ｘ２ｅｘ
＝ｌｉｍ
ｘ→０
ｃｏｓｘ
２ｅｘ＋４ｅｘ＋４ｘｅｘ＋２ｘｅｘ＋ｘ２ｅｘ
＝ｌｉｍ
ｘ→０
ｃｏｓｘ
６ｅｘ＋６ｅｘ＋ｘ２ｅｘ
＝１
６
解法二：在洛必达法则基础上，将ｅｘ－１用其等价无穷小ｘ替换
即：ｌｉｍ
ｘ→０
ｘ－ｓｉｎｘｘ２（ｅｘ－１）
＝ｌｉｍ
ｘ→０ｘ－ｓｉｎｘｘ３
＝ｌｉｍ
ｘ→０１－ｃｏｓｘ３ｘ２
＝ｌｉｍ
ｘ→０ｓｉｎｘ６ｘ
＝ｌｉｍ
ｘ→０ｃｏｓｘ６
＝１
６
我们在寻找等价无穷小时，如：ｅｘ－１￣ｘ，ｓｉｎｘ￣ｘ只利用了等价无穷
小ｅｘ－１＝ｘ＋ｏ（ｘ）的一阶性质。
事实上，ｅｘ－１＝ｘ＋ｘ２
２!
＋ｏ（ｘ２）也可以ｅｘ－１＝ｘ＋
ｘ２２!＋ｘ３
３!
＋ｏ（ｘ３）……可以看出更精细的极限需用泰勒公式解决。
因此，
我们有了下面解法三。
解法三：为方便计算，我们仍将ｅｘ－１用其等价无穷小ｘ替换，则分母为ｘ３项，此时只需将分子ｓｉｎｘ在ｘ＝０点的麦克劳林式展开到ｘ３即可。
即：ｓｉｎｘ＝ｘ－ｘ３
３!
＋ｏ（ｘ４）故有
ｌｉｍ
ｘ→０
ｘ－ｓｉｎｘ
ｘ２（ｅｘ－１）
＝
ｘ－ｘ＋ｘ
３
３！
＋ｏ（ｘ４）
ｘ３
＝ｌｉｍ
ｘ→０
１
３！
＋ｏ（ｘ）
＝１
６
再看一例：
例２．
ｌｉｍ
ｘ→０
１＋ｘ
#＋１－ｘ
#－２
ｘ２
分析：此题可用洛必达法则直接求解，此处不作详细解答。
我们是用泰勒公式法求解。
解：将１＋ｘ
#、１－ｘ
#在点的麦克劳林式展开到ｘ２项
１＋ｘ
#＝１＋ｘ
２
－ｘ２
８
＋ｏ（ｘ２）１－ｘ
#＝１－ｘ
２
－ｘ２
８
＋ｏ（ｘ２）
故有
ｌｉｍ
ｘ→０
１＋ｘ
#＋１－ｘ
#－２
ｘ２
＝ｌｉｍ
ｘ→０
－ｘ２
４
＋ｏ（ｘ２）
ｘ２
＝－１
４
由于洛必达法则的实质是同时使分子分母的无穷小的阶数降低一阶，遇到分子分母阶数都是较高的无穷小的话，必须进行多次洛必达法则，，遇到分子分母含有带根号项时，会越微分形势越繁琐。
而用泰勒公式，则可一步到位。
所以在求解未定式极限时，应该灵活使用泰勒公式法解决。
从而避免应用洛必达法则出现的解题困难。
【参考文献】
［１］詹瑞清，卢海敏．高等数学全真课堂［Ｍ］：北京．学苑出版社．
作者简介：崔春红、刘亚，女，河北农业大学中兽医学院基础部，助教。
［责任编辑：田瑞鑫］
用泰勒公式巧解未定式极限
崔春红刘亚
（河北农业大学中兽医学院河北定州０７３０００）
【摘要】高等数学中求解未定式极限是极限运算中的典型问题。
本文将在洛必达法则以及等价无穷小方法基础上，探讨用泰勒公式求解未定式极限的技巧。
【关键词】未定式极限；洛必达法则；等价无穷小；泰勒公式
●科
（上接第１７６页）爱教育工作；２）有良好和谐的人际关系：３）能正确地了解自我、体验自我和控制自我；４）具有教育的独创性；５）在教育活动和日常生活中均能重视感受情绪并恰如其分地控制情绪。
因此，良好的心理健康状况是教师职业规范的需要，更是教师个体发展和自我追求的需要。
（三）理解与对话：建设民主平等的师生关系
师生之间实际上是一种自发的人际交往。
教师作为学生生活和成长中的“重要他人”，师生之间在传递知识的过程中，还有丰富的精神上的交流和完整人格相互的交流，师生关系是具有重要教育意义的教育活动。
因此，充分认识师生关系的教育价值，努力建立以理解与对话为特征的民主平等的师生关系，有利于实现教育的完整性、和谐性，防止片面的知识教育中师生关系的弊端。
【参考文献】
［１］宋宏福．教师行为问题矫治．〔Ｊ〕改革与战略．２００４．５．
［２］沈杰等．中学教师行为问题的初步调查．〔Ｊ〕教育探索．２００５．１．
［３］唐松林．教师行为研究．〔Ｍ〕湖南师范大学出版社．２００５．
［责任编辑：田瑞鑫］●
○高校讲坛○１７８。