洛必达法则 泰勒公式
洛必达公式 泰勒公式 柯西中值定理 罗尔
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则和导数应用
1 cos x cos 3 x 3 x cos 2 x sin x lim cos 1 x 0 6x2 1 cos x[sin x 3 x cos x sin x ] lim cos 1 x 0 6x2 1 cos x sin 2 x 3 x cos 2 x sin x lim[ ] 2 2 cos 1 x 0 6x 6x
x x
x
0 型 0
e x e x xe x 1 lim 12 x x 0 12
1 f ( x )在点x 0处可导, 且f (0) . 12
例4
x
lim ln(1 e
2x
2 ) ln(1 ) x
lim
ln(1 e
2x
)
注 本题可以用拉格朗日中值定理来证明
二. 函数的极值,最值
例11 若a1 0, an1 f (an )(n 1,2,3,), 其中函数
f ( x )可导，且 ( x ) 0，f ( x ) 0, f (0) 1，则 f
( A)• {an }单调递增； (B)• {an }单调递减； (C )• {a2n }单调递增 , {a2n1 }单调递减 ; ( D)• {a2n }单调递减 , {a2n1 }单调递增 .
x2 x2
x2 x2
x2
x2
lim (e t e t ) 2
t 0
解法二 lim e
e x 0 sec x cos x
x2 2 x2
x2
x2
e (e 1) lim x 0 sec x (1 cos 2 x )
e 2 x2 lim lim x 0 sec x x 0 sin 2 x
辽宁工业大学高数习题课(3)
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
诺比达法则公式
诺比达法则公式
x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
在点a的某去心邻域内f（x）与f（x）都可导，且f（x）的导数不等于0；
x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存有或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
洛必达（l＇hopital）法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未
定式值的方法。
洛必达法则（定理）设立函数f（x）和f（x）满足用户以下条件
⑴x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
⑵在点a的某回去心邻域内f（x）与f（x）都可微，且f（x）的导数不等同于0；
⑶x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存在或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
注意事项：
求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求
极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。
洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式
极限。
⑴ 在著手谋音速以前，首先必须检查与否满足用户或型构型，否则误用洛必达法则
可以失效（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。
当不存有时（不
包含情形），就无法用洛必达法则，这时表示洛必达法则不适用于，需从另外途径谋音速。
比如说利用泰勒公式解。
⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
洛必达法则与泰勒公式
[
]
11
给出误差的具体表达式。 ② 给出误差的具体表达式。
f ( x) ≈ a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + ...+ an ( x − x0 )n = pn ( x) 假设 pn ( x ) 在 x 0 处的函数值及它的直到 n 阶导数在 x 0 处的
值依次满足
x →∞
条件（ ）不满足！ 条件（3 不满足！
f '( x) f ( x) lim 不存在， 不存在。 不存在，不能说明 lim 不存在。 F '( x) F ( x) 也许用其它方法能够求 出极限。 出极限。
9
（2）用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。 用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。 ∞ ∞ ′ ∞ x2 +1 ∞ x2 +1 x x2 +1 lim = lim = lim = lim =L x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x′ x x 2 + 1 x → +∞
1
第二节
0 ∞ 1.未定式 1.未定式： , 未定式： 0 ∞
洛必达法则
两个函数 f ( x )与 F ( x ) 都趋于零 若当 x → a (或x → ∞ )时， f ( x) 或都趋于无穷大， 或都趋于无穷大， 那么极限 xlim 可能存在、也可能不 可能存在、 →a F ( x) ( x→∞ ) 存在， 通常把这种极限叫做未定式。 未定式。 存在， 通常把这种极限叫做未定式
2
− cos x =0 − sin x
7
例8 求 lim x x
x → +0
解 设 y = x x , ln y = x ln x.
高级数学公式
高级数学公式
高级数学公式有很多，以下列举一些常用的公式：
1.欧拉公式：e^(iπ) + 1 = 0，它将三角函数和复数、指数函数联系在一起。
2.洛必达法则：当x→a时，(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x))/(g(x))^2。
它是求极限的重要工具之一。
3.泰勒公式：对于一个函数f(x)，在某点x=a处有无限多项展开式，可以将f(x)表示为一系列的多项式之和，即
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(
x-a)^n/n!+...。
4.傅里叶变换：将一个函数表示为无穷多个简单正弦波的叠加，这些正弦波的频率、幅度和相位都不同。
5.拉普拉斯变换：将一个函数表示为无穷多个简单指数函数的叠加，这些指数函数的幅度和相位都不同。
6.麦克斯韦方程组：是电磁学的核心方程，它描述了电磁波的性质和行为。
7.哈密顿算子：是一个数学上的操作符，用于微分和积分运算，通常写作amiltonian或者。
在物理上，哈密顿算子通常用于描述粒子的动量和能量等性质。
这只是高级数学公式的一小部分，高等数学还有很多其他复杂的公式和定理。
这些公式在不同的数学领域和物理领域都有广泛的应用。
洛必达法则和泰勒公式的区别与联系
洛必达法则和泰勒公式的区别与联系
洛必达法则和泰勒公式都是数学中的重要定理，用于求解函数的极限问题。
它们的区别和联系如下：
1. 区别：
- 洛必达法则（L'Hôpital's rule）用于解决形如"0/0"或者"∞/∞"的不定式极限问题。
它利用了两个函数在某个点处的导数的极限与函数值的极限之间的关系，从而求解极限。
洛必达法则适用的情况有限，只能用于求解特定类型的不定式极限问题。
- 泰勒公式（Taylor series）是一种用多项式逼近函数的方法。
它将一个光滑的函数表示为无限多个项相加的形式，每个项都是函数在某个点处的导数与对应的阶乘之积，从而近似表示函数在这个点附近的行为。
泰勒公式适用的范围更广，可以用于近似计算各种函数的值。
2. 联系：
- 虽然洛必达法则和泰勒公式解决的问题类型不同，但它们的原理都基于导数的性质。
洛必达法则依赖于函数的导数极限，而泰勒公式则利用了函数在某个点处的导数来近似该点附近的函数值。
- 在某些情况下，洛必达法则和泰勒公式可以结合使用。
例如，当计算某个函数在某个点处的极限时，可以先利用洛必达法则求出该点的导数极限，再利用泰勒公式对函数进行近似，从而求得极限值。
总之，洛必达法则和泰勒公式是数学中常用的工具，它们在求解函数的极限问题中有各自的用途和优势。
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用上述 的一次多项式去近似表达函数 存在两点不足：
(1) 精确度不高，它所产生的误差仅是比 高阶的无穷小；
(2) 用它做近似计算时，不能具体估算出误差大小．
除了 和 型未定式外，还有 型的未定式．这些未定式可转化为 或 型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明．
例7求 ．
分析因为 ， ，所以 是 型未定式．又因为 ， ．
而 是 型未定式， 是 型未定式，所以 型未定式可以转化为 或 型未定式去计算．
解 .
例8求 ．
分析因为 ， ，所以 是 型未定式．又因为
．
而 是 型未定式，所以上述 型未定式可以转化为 型未定式来计算．
解 ．
注讨论 型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论．
例9求 .
分析这是一个幂指函数求极限的问题，由于 ，所以 是一个 型未定式．又因为 ，
而 是 型未定式，所以上述 型未定式可以转化为 或 型未定式来计算．
.
型未定式向 或 型未定式的转化可形式地表示为：
或 ；
(或 )；
(或 )；
(或 ) ．
最后我们指出，洛必达法则是求未定式极限的一种方法．当定理的条件满足时，所求的极限当然存在(或为 )，但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在．也就是说，当 不存在时(无穷大的情况除外)， 仍可能存在,见下面的例题．
一、洛必达法则
在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为 和 ．
由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当 时， 型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理．
定理 1 设
(1) 当 时，函数 及 都趋于零；
(2)在点 的某去心邻域内， 及 都存在，且 ；
解 .
例10求 ．
分析由于 ， ，所以 是一个 型未定式．又因为 ，
而 是 型未定式，所以上述 型未定式可以转化为 或 型未定式来计算．
解 .
由于
,
所以
．
例11求 .
分析由于 ， ，所以 是一个 型未定式．又因为 ，而 是 型未定式，所以上述 型未定式可以转化为 或 型未定式来计算．
解 ．
由于
，
所以
例2求 ．
解 .
注例２中我们连续应用了两次洛必达法则．
例3求 ．
解 .
例4求 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解 .
注(1) 在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子 ，则在应用洛必达法则时需要计算导数 ，从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化．课后请同学们自己学习教材136页上的例10 ．
又因为极限 存在(或为无穷大)，所以
．
故定理1成立．
注若 仍为 型未定式，且此时 和 能满足定理1中 和 所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定 ，从而确定 和 ，即
．
且这种情况可以继续依此类推．
例1求 ．
分析当 时，分子分母的极限皆为零，故属于 型不定式，可考虑应用洛必达法则．
解 .
注最后一个求极限的函数 在 处是连续的．
第三章微分中值定理与导数的应用
第二讲洛必达法则泰勒公式
目的1．使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；
2．理解泰勒中值定理的内涵；
3． 了解 等函数的麦克劳林公式；
4．学会泰勒中值定理的一些简单应用．
重点1．运用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；
2．使学生理解泰勒中值定理的内涵．
难点使学生深刻理解泰勒中值定理的精髓．
例12求 .
解这是一个 型未定式，我们有
．
由于上式右端极限 不存在，所以未定式 的极限不能用洛必达法则去求，但不能据此断定极限 不存在．这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极限．
．
由此可见极限 是存在的．
二、泰勒公式
把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达．说到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单．那么是否任意一个函数都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似计算中讨论过．设函数 在 点的某个邻域内可导，且 ，则在该邻域内
定理3 设
(1)当 (或 )时，函数 及 都趋于无穷大；
(2)在点 的某去心邻域内(或当 时)， 及 都存在，且 ；
(3) 存在(或为无穷大)，
则
．
例5求 .
解 .
例6求 .
解 .
事实上，例6中的 不是正整数而是任何正数其极限仍为零．
注由例5和例6可见，当 时，函数 都是无穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的， 最快，其次是 ，最慢的是 ．
(2) 例４中的极限 已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果．以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则．
对于 时的未定式 有以下定理．
定理2设
(1)当 时，函数 及 都趋于零；
(2) 当 时， 与 都存在，且 ；
(3) 存在(或为无穷大)，
则
．
同样地,对于 (或 )时的未定式 ，也有相应的洛必达法则．
证因为求极限 与 及 的取值无关，所以可以假定 ．于是由条件(1)和(2)知， 及 在点 的某一邻域内是连续的．设 是这邻域内一点，则在以 及 为端点的区间上，函数 和 满足柯西中值定理的条件，因此在 和 之间至少存在一点 ，使得等式
( 在 与 之间)
成立．
对上式两端求 时的极限，注意到 时 ，则
．
(3) 存在(或为无穷大)，
则
．
也就是说，当 存在时， 也存在，且等于 ；当 为无穷大时， 也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达(L’Hospital)法则．
下面我们给出定理1的严格证明：
分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理．