洛必达法则与泰勒公式

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给出误差的具体表达式。 ② 给出误差的具体表达式。
f ( x) ≈ a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + ...+ an ( x − x0 )n = pn ( x) 假设 pn ( x ) 在 x 0 处的函数值及它的直到 n 阶导数在 x 0 处的
值依次满足
x →∞
条件（ ）不满足！ 条件（3 不满足！
f '( x) f ( x) lim 不存在， 不存在。 不存在，不能说明 lim 不存在。 F '( x) F ( x) 也许用其它方法能够求 出极限。 出极限。
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（2）用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。 用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。 ∞ ∞ ′ ∞ x2 +1 ∞ x2 +1 x x2 +1 lim = lim = lim = lim =L x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x′ x x 2 + 1 x → +∞
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第二节
0 ∞ 1.未定式 1.未定式： , 未定式： 0 ∞
洛必达法则
两个函数 f ( x )与 F ( x ) 都趋于零 若当 x → a (或x → ∞ )时， f ( x) 或都趋于无穷大， 或都趋于无穷大， 那么极限 xlim 可能存在、也可能不 可能存在、 →a F ( x) ( x→∞ ) 存在， 通常把这种极限叫做未定式。 未定式。 存在， 通常把这种极限叫做未定式
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− cos x =0 − sin x
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例8 求 lim x x
x → +0
解 设 y = x x , ln y = x ln x.
x →+0
lim ln y = lim x ln x = 0
x →+0
∴ lim x x = lim y = lim e ln y = e xlim0 ln y = 1 →+ x → +0 x → +0 x → +0
(
)
x2 +1 1 事实上， = lim 1 + 2 = 1 事实上， lim x → +∞ x → +∞ x2 x 哈哈！ 哈哈！洛必达先生 与其它求极限的方法综合运用，以简便为原则。 （3）与其它求极限的方法综合运用，以简便为原则。 在翻筋斗
x2 +1 = lim x → +∞ x
例9
0 0 tan x − x tan x − x 解 lim 2 = lim ( x → 0, sin x cos 3 x ~ x ) 3 x →0 x sin x cos 3 x x →0 x sec 2 x − 1 tan 2 x 1 = lim = lim = 2 x →0 3 x 2 x →0 3x 3
6x 3 = lim = x→1 6x − 2 2
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π
例3
1 0 x 1 π − − arctan x 2 1 + x 2 = lim x 2 解 lim = lim =1 x→+∞ x → +∞ x→+∞ 1 + x 2 1 1 − 2 x x ∞ ln x 例4 求 xlim n (n > 0) →+∞ x ∞ 1 ln x 1 x 解 xlim n = lim = lim =0 →+∞ x n −1 x → +∞ nx n x → +∞ nx ∞ xn 例5 求 xlim e λ x (n 为正整数 , λ > 0 ) ∞ → +∞ xn nxn−1 n(n −1)xn−2 =L 解 xlim λx = xlim λx = lim λx → +∞ e →+∞ λe x→+∞ λ ⋅ λ ⋅ e n! n ⋅ L ⋅ 1 ⋅ x n− n = lim = lim n λx = 0 (n为正数 ? 如 n = 1.5 ) x →+∞ λ ⋅ L ⋅ λ ⋅ e λx x →+∞ λ e 6
( ξ 在 x 与 a 之间）， 之间），
f (x) f ′(ξ ) f ′(ξ ) 令ξ = x lim f ′( x ) ∴ lim = lim = lim x →a F ′( x ) x →a F ( x ) x → a F ′(ξ ) ξ → a F ′ (ξ )
f '( x) 0 仍属 型未定式， 若 型未定式， 且这时 f '( x) 及 F '( x) 能满足 F ' ( x) 0 定理中 f (x) 及 F(x) 所满足的条件， 可继续施用洛必达法则， 所满足的条件， 可继续施用洛必达法则，
型各种未定式， 用洛必达法则求极限。 ∞ 0型各种未定式，也可以 用洛必达法则求极限。
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3.洛必达法则的证明 3.洛必达法则的证明 证 由于 lim x→ a →
→
f ( x) f (a ) 及 F ( x) 与
无关， F(a) 无关，
δ
（
a ξ
δ
可以假定 f (a ) = F (a ) = 0,
x → +0 x → +0
或 lim x x = lim exp( x ln x ) = exp lim x ln x = 1
x → +0
(
)
ex
又记作 exp( x )
方法： 幂指函数求极限的基本 方法： 由对数基本公式和指数 函数的连续性 lim f ( x ) = lim exp[ln f ( x )] = exp lim [ln f ( x )]
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tan x − x 求 lim 2 x → 0 x sin x cos 3 x
第三节
泰勒公式
用简单函数（多项式） 用简单函数（多项式）近似表示复杂函数 e x ≈ 1 + x , sin x ≈ x , ln(1 + x ) ≈ x 很小时， 如：当 x 很小时， “神州6号”若用此公式进行 神州6 用此公式进行 近似计算，费俊龙、 近似计算，费俊龙、聂海胜 还能回到地球吗？ 还能回到地球吗？ 精确度不高（仅仅是 x的等价无穷小） 不足之处 不能估算误差 问题： 问题： 设函数 f ( x ) 在含有 x 0 的开区间内具有直到 阶导数， 的开区间内具有直到(n+1) 阶导数， 次多项式 试找出一个关于( x − x 0 ) 的n次多项式
sin x 1 1 − cos x x − sinx = = lim = lim lim 2 3 x→0 6 x x →0 x→0 6 6x 3x 3x x
x3 − 3x + 2 0 求 lim 3 x →1 x − x 2 − x + 1 0
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3x − 3 x 3 − 3x + 2 0 lim 3 = lim 2 解 x→1 2 x→1 3x − 2x − 1 x − x − x +1 0
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即
f (x) f ′( x ) f "( x) lim = lim = lim x →a F ( x ) x → a F ′( x ) x →a F " ( x )
4.洛必达法则求极限举例： 4.洛必达法则求极限举例： 洛必达法则求极限举例 x − sin x 0 例1 求 lim x →0 x3 0 解 例2
x
）
由条件（ ）、（ ）、（2） 由条件（1）、（ ）知，f ( x )及 F(x) 在 a的某一邻域内 是这邻域内的一点， 是连续的。 是连续的。 设 x是这邻域内的一点， 则在 x 及 a 为端点的 区间上，柯西中值定理的条件均满足， 区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有
f ′(ξ ) f ( x ) f ( x ) − f (a ) = = F ( x ) F ( x ) − F (a ) F ′(ξ )
x → +∞
求 lim 2
− arctan x 0

x → +∞时， y = e λx (λ > 0 ), y = x α (α > 0 ), y = ln x都是无穷大 , 但增大速度不同， e λx 最快， x α 次之， x与前两者比较最慢。 但增大速度不同， 最快， 次之， 与前两者比较最慢。 ln
f ( x 0 ) = p n ( x 0 ), f ′( x 0 ) = pn ′ ( x 0 ), f ′′( x 0 ) = p n ″ ( x 0 ),
L,
f (n ) ( x 0 ) = p n
(n )
2
(x0 )
n n −1
Q p n ( x ) = a 0 + a1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) + L + a n ( x − x 0 ) p n ' ( x ) = a 1 + 2a 2 ( x − x 0 ) + L + na n ( x − x 0 )
p n ( x ) = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) + L + a n ( x − x 0 ) （1） ）
2 n
f (0 ) = P (0 ), f ′(0 ) = P ′(0 )
要求： 来近似表达 f ( x ), 要求： f ( x ) − pn ( x ) = ο ( x − x 0 ) n ①
1 其它未定式: 0 ⋅ ∞、 ∞ − ∞、0 0 、 ∞ 、 ∞ 0 其它未定式
例6 求 lim x n ln x (n > 0) (0 ⋅ ∞ )
x→+0