微积分31中值定理、洛必达法则与泰勒公式
中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式一、中值定理中值定理，也称为拉格朗日中值定理，是微分学的基本定理之一、它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
中值定理有三种形式：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理之间存在递进和包含关系，其中拉格朗日中值定理是最常用的。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理适用于满足以下三个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导；3）f(a)=f(b)。
罗尔中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明，如果一个函数在两个端点具有相同的函数值，并且在中间一些地方导数为零，那么在这个导数为零的点附近，函数的变化是很小的。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理适用于满足以下两个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导。
拉格朗日中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，拉格朗日中值定理说明，如果一个函数在一个闭区间上连续且可导，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点连线斜率的平均值。
3.柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于满足以下两个条件的函数f(x)和g(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，并且g(x)不为零。
柯西中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a))]=f'(c)/g'(c)。
简单来说，柯西中值定理说明，如果两个函数在一个闭区间上连续且可导，并且其中一个函数在这个区间两个端点的导数不为零，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数的比值等于两个函数在这个区间两个端点连线斜率的比值。
洛必达法则和泰勒公式的区别与联系
洛必达法则和泰勒公式的区别与联系
洛必达法则和泰勒公式都是数学中的重要定理，用于求解函数的极限问题。
它们的区别和联系如下：
1. 区别：
- 洛必达法则（L'Hôpital's rule）用于解决形如"0/0"或者"∞/∞"的不定式极限问题。
它利用了两个函数在某个点处的导数的极限与函数值的极限之间的关系，从而求解极限。
洛必达法则适用的情况有限，只能用于求解特定类型的不定式极限问题。
- 泰勒公式（Taylor series）是一种用多项式逼近函数的方法。
它将一个光滑的函数表示为无限多个项相加的形式，每个项都是函数在某个点处的导数与对应的阶乘之积，从而近似表示函数在这个点附近的行为。
泰勒公式适用的范围更广，可以用于近似计算各种函数的值。
2. 联系：
- 虽然洛必达法则和泰勒公式解决的问题类型不同，但它们的原理都基于导数的性质。
洛必达法则依赖于函数的导数极限，而泰勒公式则利用了函数在某个点处的导数来近似该点附近的函数值。
- 在某些情况下，洛必达法则和泰勒公式可以结合使用。
例如，当计算某个函数在某个点处的极限时，可以先利用洛必达法则求出该点的导数极限，再利用泰勒公式对函数进行近似，从而求得极限值。
总之，洛必达法则和泰勒公式是数学中常用的工具，它们在求解函数的极限问题中有各自的用途和优势。
微分中值定理与泰勒展开
微分中值定理与泰勒展开微分中值定理和泰勒展开是微积分中重要的概念和理论。
它们在分析函数的性质和求解实际问题中起着至关重要的作用。
本文将介绍微分中值定理和泰勒展开的概念、原理以及应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微分学中最基本的定理之一，它包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在连续和可导的条件下的一些特性。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基础的定理。
它表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数的导数在c点的值等于函数在[a, b]区间端点处的导数值之差的商。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且其中一个函数在开区间(a, b)内不恒为零，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得两个函数的导数的商等于函数值的商。
数学表达式为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在一个介于a和b之间的数c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊情况。
罗尔中值定理表明，如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数在c 点的导数等于零。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a)=f(b)，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=0。
中值定理泰勒公式罗必塔法则的统一证明
中值定理泰勒公式罗必塔法则的统一证明中值定理泰勒公式罗必塔法则（MVTFLR）是在微积分领域具有重要意义的三个公式，它们通常被称为“三大定理”。
它们存在于数学中已有一段时间，并且被广泛用于解决各种数学问题，如求解微分方程等。
本文尝试用统一的方法来证明这三个定理，从而为这些定理的应用提供更有效的证明。
首先，我们考虑中值定理。
中值定理可以简单地说是：“如果一个函数在给定区间上连续，则必存在某一个点，其函数值与该区间的上、下限的平均值相等。
”为了证明这一定理，我们需要引入定义域的概念。
定义域是指函数的定义范围，它可以被定义为一个集合，即所有可以作为函数输入值的数。
在中值定理中，我们考虑由[a,b]作为定义域，其中a<b。
根据函数值的定义，我们可以得出：函数值=定义域点f(x)将函数值表示成f(x)后，我们可以将中值定理表示成：存在x∈[a,b],使得f(x)=(b-a)/2经过上述推理，中值定理就可以转化为证明存在定义域中某一点的函数值等于该定义域的上、下限的平均值，即证明函数值连续的定理。
其次，考虑泰勒公式。
泰勒公式可以简单地说是：“任何一个函数都可以在某一点附近用其一阶导数的无穷级数表示，而该无穷级数的和即为函数本身。
”为了证明泰勒公式，我们首先考虑一般函数在点上函数值的定义。
我们可以将函数值表示成f(x)，将函数在某一点p处的导数表示成f’(p)。
如果函数f(x)在点p处是连续的，那么存在一个正数T使得： |f(x)-f(p)|<T*|x-p|如果对于给定的T，我们可以将此式变换为f(x)=f(p)+T*(x-p)+O(|x-p|^2)接下来，我们将上述式子展开：f(x)=f(p)+f(p)*(x-p)+1/2f(q)*(x-p)^2其中q是[p,x]上的某一点。
同样的推理过程，我们也可以得出f(x)的三阶、四阶等等，即f(x)可以表示成f(p)+f(p)*(x-p)+1/2f(q)*(x-p)^2+...+f^(n)(p)*(x-p)^n+O(|x-p|^(n+1))，因此我们就可以证明函数f(x)可以用其一阶导数的无穷级数表示，即泰勒公式的证明。
3-1中值定理与洛必达法则
练习
P.64 7(2,7,8)
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0
1. 0 型
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 0 ( ), ( ) 的类型: . 0
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 x 2e x . ( 0 ) 例7 求 xlim x x x ( e ) e e lim lim 解: 原式 lim 2 x ( x ) x 2 x x x 2 x
0 0
例12
解 原 式 lim 1 sin x lim (1 sin x).
x
x cos x 求 lim . x x
极限不存在
x
1
洛必达法则失效。
1 实际上 原 式 lim (1 cos x ) 1. x x
小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
例
证明 cos x cos y x y
设 f ( t ) cos t
当x y时 f ( x ) 在 以x与y为 端 点 的 区 间 上 满足拉格朗日中值定的 理条件
证:
f ( x ) f ( y ) f ( )( x y ), ( 在x与y之 间)
cos x cos y sin ( x y ),
第三章 导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 函数之商 应用
0 及 0
型的极限
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
§3.1 中值定理与洛必达法则
(一)中值定理
微积分中的微分中值定理和洛必达法则
微积分中的微分中值定理和洛必达法则微积分是数学的一个分支，它主要研究函数的极限、导数和积分，以及它们之间的关系。
微分中值定理和洛必达法则是微积分学的两个重要的定理，它们在计算函数的极限值和导数时非常有用。
下面，我们将介绍微分中值定理和洛必达法则的定义和应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，它表述了函数在某个区间上的导数至少在一个点等于该区间两个端点的函数值之差除以区间的长度。
这个定理有两个不同的版本，分别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称为有限增量定理，它表明，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则在(a,b)至少存在一个点c，使得$$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$其中，a<b。
该定理的证明需要使用罗尔中值定理，因为罗尔定理可以将f(x)的在a和b处的导数相等的情况排除掉。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的加强版，它表明，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一个点c，使得$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$其中，a<b。
该定理的证明需要使用拉格朗日中值定理，因为拉格朗日定理只能刻画单个函数的增量，而柯西定理刻画的是两个函数的比值所对应的增量。
二、洛必达法则洛必达法则是微积分学中的重要工具之一，它用于计算一些不定形式的极限，可以有效地避免不必要的推导和繁琐的计算。
它的基本思想是将一个复杂的极限转化为一个简单的比值的形式，然后计算这个比值的极限。
下面，我们介绍一下洛必达法则的具体应用方法：1. 分子分母都趋于无穷或者零如果一条极限式子的分子和分母都趋于正无穷或负无穷或者都趋于零，那么我们就可以利用洛必达法则计算它的极限。
微分中值定理与导数应用
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
洛必达法则与泰勒公式
1
第二节
0 1.未定式： , 0
洛必达法则
两个函数 f ( x )与F ( x ) 都趋于零 若当 x a(或x )时，
1 n n f x 0 x x 0 （2） n! 泰勒中值定理 设函数 f ( x ) 在含有 x 0 的某个开区间 (a , b )
内具有直到(n+1)阶导数，则当 x (a, b) 时，f ( x ) 可表示为
( x x 0 ) 的一个n 次多项式与一个余项 Rn ( x ) 之和：
4.洛必达法则求极限举例： x sin x 0 例1 求 lim x 0 x3 0 解
例2
1 cos x x sinx lim lim 3 x 0 x 0 3x2 x
sin x 1 lim x 0 6 x 6
x3 3x 2 0 求 lim 3 x 1 x x 2 x 1 0
pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 an x x0 （1）
2 n
f 0 P 0, f 0 P0
来近似表达 f ( x ), 要求： n f ( x ) p ( x ) ( x x ) n 0 ①
f '( x) 0 仍属 若 型未定式， 且这时 f ' ( x ) 及 F ' x 能满足 F '( x) 0 定理中 f ( x ) 及 F ( x ) 所满足的条件， 可继续施用洛必达法则，
4
即
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f (1) f (2 ) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) . 即 f ( x) 0 至少有二个实根 .
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
Q f ( x) 是三次多项式 , f ( x) 是二次多项式 ,
f ( x) 0 至多有二个实根 .
f ( x) 0 仅有二个实根
微积分31中值定理、洛 必达法则与泰勒公式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月13日星期一
一、费马(Fermat)引理
y f (x) 在 ( x0 )有定义,
且 f (x) f (x0 ) , f (x0 ) 存在
(或 )
f (x0 ) 0
即：可导的极值点处，导数为零
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例如
f
(
x)
x, 0 ,
0 x1 x 1
y o
y
1x
y
f (x) x
f (x) x
x [1,1]
1 o
1x
x [0,1] o
1x
2) 定理条件只是充分条件
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例1 f (x) x2 2x 3 验证它在区间[1，3]上满足罗尔定理.
证 Q f ( x) x2 2x 3,它是多项式，所以连续可导 且f (x) x2 2x 3 (x 1)(x 3),
F( x) C[a, b] , F( x) 在 (a, b) 内可导 ,
又 F (a) F (b) a2 f (b) b2 f (a)
由罗尔定理, 至少存在一点 (a, b) 使得 F( ) 2 ( f (b) f (a)) (b2 a2 ) f ( ) 0
即 方程在 (a, b) 内至少有一根 .
1637年费马研究丢番图的《算术》时, 写下了著名的
费马大定理 :
不存在满足 xn yn zn (n 2) 的正整数 x, y, z . 路漫漫其修远兮, 费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” .
吾将上下而求索
费马(Fermat)引理的证明
y f ( x)在 ( x0 ) 有定义 ,且 f ( x ) f ( x0 ) (或 f ( x ) f ( x0 ) ),
f (x) (x a)(x b)(x c) ,
证明方程 f ( x) 0 仅有二个实根, 并指出根所在区间 .
证 f (x) C( [a, b],[b, c] ) ,又 f (a) f (b) f (c) 0 , f ( x) 是三次多项式, 故它在 ( , ) 内可微,
分别在 [a, b] ,[b, c] 上运用罗尔中值定理 , 得
(1) 若 M m
m min f (x) x[a, b]
m f (x) M x [a, b]
f (x) m x [a, b]
故 (a, b) , 均有 f ( ) 0 .
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(2) 若 m M (即 M m) f (x) C([a, b]) f (x) 必在 [a, b] 上取到它的最大值、 又 f (a) f (b) ,
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例4. 证明方程 x5 5x 1 0
有且仅有一个小于1 的正实根 .
证: 1) 存在性 . f ( x ) x 5 5 x 1 , f (0) 1, f (1) 3. x0 (0 ,1) , 使 f ( x0 ) 0,
即方程有小于 1 的正根 x0 .
故 f (x) 不能同时在 x a 和 x b 处分别取到M和m .
即至少存在一点 (a, b), 使得 f ( ) M 或 f ( ) m.
该点是极值点，由费马定理可知：
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f ( ) 0 (a, b) .
注意:
1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.
f (x0 ) 存在
f (x0 ) 0
证: 设 x0 x ( x0 ) , f ( x0 x) f ( x0 ) ,
则
f (x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) 0 ,
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
即
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( ) f ( ) f (b) f (a) 0
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)
推论 1 f ( x ) 0 f ( x ) C
推论 2
x1 x2 f (x2 ) f (x1) f ( ) x2 x1 =0
f (x2 ) f (x1) f (x) C
证 令 f (x) ln(1 x) , g(x) x , x [0, ) . 1 x
则 f (x), g(x) 在 (0, ) 内可导, f (0) g(0) 0 .
则至少存在一点 (a, b), 使
f ( ) f (b) f (a)
ba
几 何 意 义
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y
o a
y f (x)
bx
f ( ) f (b) f (a)
ba
证法1:
问题转化为证
f ( )
f (b) f (a) 0 ba
作辅助函数
(x)
f (x)
f (b) f (a) 勇功于的开路始b，才a能找到成x
例3 设 f (x)C([a, b]) , 在 (a, b) 内可导, 证明 2x ( f (b) f (a)) (b2 a2 ) f (x)
在 (a, b) 内至少有一根 . 证 令 F (x) x2 ( f (b) f (a)) (b2 a2 ) f (x) 则由 f (x) 的连续性和可导性 , 得
x 1 ln x ln1.
令 f (t) ln t t [1, x], 则由拉格朗日中值定理
得 ln x ln1 1 (x 1) x 1, (1 x).
故当 x 1时, ex ex.
证2 令 f x = e x ex， f x = ex e 0 x 1
f x在1, 上单调增加
取 x x
arccos
2 x
x (1, 1) .
2
由 (arcsin x arccos x) C( [1, 1] ) , 可得
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arcsin x arccos x x [1, 1].
2
例8 证明：x 0 时 , x ln(1 x) .
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罗
y
尔
定
理
y f (x)
的
几
何 意
A
B
义
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Oa
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
证 f (x) C([a, b])
f (x) 必在 [a, b] 上取到它的最大值、
最小值至少各一次.
令 M max f (x) , x[a, b]
f (x) 0 f (x) 0
x I , 则 f (x2 ) f (x1) , x I , 则 f (x2 ) f (x1) ,
例5
证明：当0 a b 时 , b a ln b b a .
b
aa
证 即要证 1 (b a) ln b ln a 1 (b a)
b
a
令 f (x) ln x , x [a, b] ,
拉格朗日有限增量公式 f (x x) f (x) f (x x)x (0 1)
y f ( )x ( 在 x 与 x x 之间)
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证法2
y
切线与弦线 AB 平行
y f (x) B
A
Oa
弦 AB 的方程： y f (a) f (b) f (a) (x a)
显然 , ( x ) C [a , b] D a , b
且 (a) b f (a) a f (b) (b) ,
ba
由罗尔定理知至少存在一点 (a , b ) ,
使 ( ) 0 , 即定理结论成立 .
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不论 a b 还是 a b 定理中的公式均可写成 f (b) f (a) f ( )(b a) ( 在 a, b 之间)
f (x0 ) 0 ,
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f (x0 ) 0
二. 罗尔中值定理
定理 设 (1) f (x) C([a, b]) ; (2) f (x) 在 (a, b) 内可导 ; (3) f (a) f (b) ,
则至少存在一点
(a, b) , 使得 f ( ) 0 .
证1 令 f (x) x ln(1 x) , x [0, ) ,
则 f (x) C( [0, ) ) , f (0) 0 ,
又 f (x) 1 1 0 , (x 0 时) , 1 x
故 f (x) [0, ) , 从而 f (x) f (0) 0 ,
(x 0) ,
即 x 0 时 , x ln(1 x) .
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
f 1 = 0 x 1时,f x f 1 = 0
例7
证明：arcsin x arccos x , x [1, 1].
2
证 当 x [1, 1] 时 ,
(arcsin x arccos x) 1 ( 1 ) 0 ,
1 x2
1 x2
故 arcsin x arccos x C x (1, 1)
2) 唯一性 .
假设另有 x1 (0 , 1) , x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0 ,