(完整版)泰勒公式求极限部分资料
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是微积分中一个非常重要的概念，它可以用来将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。
这种展开式在数学和物理学中有着广泛的应用，可以用来近似计算函数在某一点的取值，也可以用来推导一些复杂的数学关系。
在本文中，我们将介绍泰勒公式的基本概念，并给出一些常见函数的泰勒展开式，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
泰勒公式的基本形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(x) \) 是要展开的函数，\( a \) 是展开点，\( f'(a) \)、\( f''(a) \)、\( f'''(a) \) 分别是函数在点\( a \)处的一阶、二阶、三阶导数。
展开式右侧的无穷级数部分则是函数在点\( a \)处的泰勒展开式。
接下来，我们将给出一些常见函数的泰勒展开式。
1. 指数函数\( e^x \)的泰勒展开式：\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]2. 三角函数\( \sin x \)的泰勒展开式：\[ \sin x = x \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \frac{x^7}{7!} + \cdots \]3. 对数函数\( \ln(1+x) \)的泰勒展开式：\[ \ln(1+x) = x \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \frac{x^4}{4} + \cdots \]4. 余弦函数\( \cos x \)的泰勒展开式：\[ \cos x = 1 \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \frac{x^6}{6!} + \cdots \]以上是一些常见函数在零点处的泰勒展开式，通过这些展开式，我们可以近似计算这些函数在零点附近的取值。
用泰勒公式求函数极限的方法
科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界0引言对于求解函数极限的方法,有很多版本的数学分析书本中都谈到,很多参考文献和报刊中都详细的讲解了关于幂函数、指数函数极限的求解方法.裴礼文教授也详细的讲述了关于用洛必达法则来求函数的极限.而对于陈文灯教授也讲述了关于用等价无穷小与泰勒公式来求解函数的极限.以上关于用泰勒公式求函数极限的方法,本人也做了一些总结.1准备工作在我们所学的微积分中,其所研究的对象是函数.对于变量之间是否有函数关系,就是要看是否存在一种对应原则,使得按照这个对应规则,当其中一个变量或几个变量(称为自变量)的取值确定之后,余下的另一个变量(称为因变量)的取值就被确定了.只有一个自变量的函数称为一元函数,有多个自变量的函数称为多元函数.函数极限的两个定义:(1)设f 是在[a ,+∞)上的一个函数,A 是一个已经确定的数.如果对任意所给的ε>0,都存在一个正数M ,其中M 大于或等于a ,使得当x>M 时有f (x )-A <ε,则称函数f 当x 趋向+∞时它是以A 为它的极限值,我们记为f (x )→A (x →+∞).在上述中正数M 的作用和函数极限的定义差不多,表明x 是充分大的程度;x 是比M 大的所有实数,而不只是一个正整数,因此,当x 趋向正无穷大时,函数f 以a 为极限那么:a 的很小的领域内必含有f 在正无穷大的一个领域内的全部函数值.(2)设函数f 在以点a 的某一个U o (a ,δ′)空心领域内有定义,其中A 是一个定数,如果对于任意的一个ε>0,存在正数δ(<δ′),使得当0<x-a <δ时有f (x )-A <ε,那么称函数f 当x 趋于a 时,是以A 为极限的,记作:lim x →af (x )=A 或者f (x )→A (x →a ).2利用泰勒公式求极限2.1以下是一些常见的:(1)e x =1+x +…+1n !x n +o (x n ),x ∈(-∞,+∞);(2)cos x=1-12!x 2+…+(-1)n 1(2n )!x 2n +o (x 2n+1),x ∈(-∞,+∞);(3)sin x =x -13!x 3+…+(-1)n -11(2n -1)!x 2n-1+o (x 2n ),x ∈(-∞,+∞);(4)(1+x )α=1+αx +…+α(α-1)…(α-n +1)n !+o (x n ),x ∈(-1,+1);(5)ln(1+x )=x -12x 2+…+(-1)n -11nx n +o (x n ),x ∈(-1,+1].2.2利用泰勒公式求不确定的式子中的极限设f (x )与g (x )在x=a 的泰勒公式分别是f (x )=A (x-a )n +o ((x-a )n ),g (x )=B (x-a )m +o ((x-a )m ),其中A ≠0,B ≠0,则:lim x →a =f (x )g (x )=lim x →a A (x-a )n +o ((x-a )n)B (x-a )m +o ((x-a )m )=A B,m=n 时;lim x →a f (x )g (x )=lim x →a A (x-a )n +o ((x-a )n)B (x-a )m +o ((x-a )m )=0,n>m 时;lim x →a f (x )g (x )=lim x →a A (x-a )n +o ((x-a )n)B (x-a )m +o ((x-a )m )=∞,n<m 时.当易求f (x ),g (x )的泰勒公式,而f (x ),g (x )的导数计算比较复杂时,可以运用泰勒公式来计算极限lim x →a f (x )g (x )的值.例1求J =lim x →0x 22+1-1+x 2√(cos x-e x)sin x 2的值是多少?解:因为x 22+1-1+x 2√=x 22+1-1+12x 2-18x 4()+o (x 4)=18x 4+o (x 4)cos x-e x =1-12x 2()-(1+x 2)+o (x 2)=-32x 2+o (x 2)又因为sin x 2~x 2(x →0)所以J =limx →018x 4+o (x 4)-32x 2+o (x 2)[]x 2=18-32=-112例2利用泰勒公式求lim n →∞n-n 2ln 1+1n ()[]的值.解由于ln(1+x )=x -12x 2+o (x 2)(x →0),令x =1n,即得ln 1+1n()=1n -121n()2+o 1n 2()(n →∞)故lim n →∞n-n 2ln 1+1n ()[]=lim n →∞n-n 21n -121n()2+o 1n 2()()[]=lim n →∞12+n 2o 1n 2()[]=12.3总结用泰勒求极限的方法,在我们具体遇到问题时要灵活运用它.对与常见的几种函数的泰勒公式展开式要记住,并灵活运用.总之,对求解函数的极限,我们对具体问题运用什么方法要具体对待.[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993:49.[2]陈文灯.高等数学辅导[M].北京:世界图书出版社,2004:90-102.[3]刘玉琏,付沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2010:13-21.[责任编辑:汤静]用泰勒公式求函数极限的方法芮小飞(阜阳师范学院附属中学,安徽阜阳263041)【摘要】在数学分析中,函数极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现,因此掌握好函数极限的求解方法是学习好数学分析的关键环节.本文就用泰勒公式求极限给予一个简单的概括,望对读者有所帮助.【关键词】函数;极限;泰勒公式279. All Rights Reserved.。
利用泰勒公式求极限分母的余项证明处理
泰勒公式是一种用于近似复杂函数的方法，它基于函数的导数信息在某一点附近展开函数。
泰勒公式的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)^2 + ... + f^n(a)/n!(x-a)^n + R_n(x)
其中，f^n(a) 表示函数 f 在点a的n阶导数，R_n(x) 是泰勒公式的余项，它表示了泰勒展开式与实际函数值之间的误差。
在求极限的过程中，我们有时需要处理分母含有泰勒公式的余项的情况。
为了处理这种情况，我们通常会使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）或者泰勒公式的余项性质。
洛必达法则允许我们在极限表达式中分子和分母同时求导，从而简化表达式。
如果分子和分母在某一点的导数都存在，并且分母在该点的导数不为零，那么极限值就等于分子和分母在该点的导数的商的极限值。
对于泰勒公式的余项，如果我们知道它的阶数（即n的值），我们可以利用这个信息来估计余项的大小。
例如，如果余项是O((x-a)^(n+1))，那么当x趋近于a时，余项将趋近于零，因为任何正数的(n+1)次方在x趋近于a时都会趋近于零。
在处理含有泰勒公式余项的极限时，我们通常会结合使用洛必达法则和泰勒公式的余项性质。
首先，我们尝试使用洛必达法则简化表达式。
然后，我们利用泰勒公式的余项性质来估计余项的大小，从而确定极限的值。
请注意，这里提供的是一种一般性的方法，具体的处理步骤可能会因具体的函数和极限表达式而有所不同。
在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活应用这些方法。
泰勒公式求极限题目
泰勒公式求极限题目以泰勒公式求极限计算是近代数学上一个重要的课题。
它不仅可以帮助我们计算复杂的函数表达式的极限，而且可以更深入地探讨数学中的各类概念。
本文旨在介绍如何用泰勒公式求极限，分析它的使用场景。
泰勒公式是由18世纪英国数学家约翰科斯特泰勒提出的。
它是一种应用多项式近似来分析函数曲线的算法。
其具体形式为：$ f(x)=f(a)+frac{f(a)(x-a)}{1!}+frac{f(a)(x-a)^2}{2!}+frac{ f(a)(x-a)^3}{3!}+cdots+frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}+O((x-a)^ {n+1})$其中$f(x)$为函数的导数，$f(x)$为二阶导数，$f^{(n)}$为n 阶导数，$n$为任意正整数，$O$表示无穷小项。
泰勒公式可以帮助我们计算函数的极限，这是其最重要的应用之一。
当$a$是函数$f(x)$在$x=a$时的上下极限时，若$f(x)$在$x$的邻域内可以用泰勒公式来近似，则$f(x)$的极限存在，并且等于： $ displaystyle lim_{x to a} f(x) =f(a)+frac{f(a)(x-a)}{1!}+frac{f(a)(x-a)^2}{2!}+frac{f(a)(x-a)^3}{3!}+cdots+frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!} $事实上，泰勒公式的应用不仅仅局限于求极限这一类。
它也可以用来分析函数表达式在不同区间内的变化趋势，以及用来证明某一函数及其极限的准确性等。
比如，当我们需要证明某一函数及其极限的准确性时，可以首先用泰勒公式以多项式的形式表示出来，然后比较形式之间的差距，最后结论出给定的函数及其极限是否满足条件。
此外，泰勒公式也可以用来求函数表达式在某一区间内的变化趋势。
下面我们将以一维函数为例，详细分析如何运用泰勒公式。
在这里，我们拟定一维函数$f(x)=sin(x)$，它在$[-3,3]$区间内变化如下：当$ -3 leq x leq -2 $时，由于函数有一个拐点，所以函数值随着$x$增大而减小。
泰勒公式
泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。
这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。
多元函数的Taylor公式与极值问题课件
实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物 理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性 对极值分析的影响。
模型的适用性
在应用极值理论时，需要考虑模型的适用性，确保模型能够准确 地反映实际情况。
07
与望
05
利用Taylor公式求解极
方法概述
定义
Taylor公式是用于近似表达一 个多元函数在某点附近的行 为
的公式。
形式
Taylor公式的一般形式为 f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)+12f''(a) (x−a)2+…+1n!f(n)(a)(x−a)n
+…。
应用
利用Taylor公式，我们可以找 到函数在某点的极值。
06
极求解的注事与 技巧
常见错误分析
忽视函数的定义域
在求解极值问题时，必须先确定函数的定义域，否 则可能导致错误的结论。
对导数的理解不足
导数描述了函数在某一点的切线斜率，若对导数的 理解不准确，可能导致错误的极值点判断。
未考虑多极值点的情况
在某些情况下，函数可能有多个极值点，需要全面 考虑，避免遗漏。
定义
一元函数在某点的Taylor公式是 该函数在该点附近的一个多项式 近似表示。
形式
一元函数的Taylor公式的一般形 式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x -a)^n/n! + Rn(x)
CH174泰勒公式与极值问题
每瓶卖 元y，则每天可卖出
70 5x 4 y
瓶本地牌子的果汁， 80 6x 瓶 7外y地牌子的果
汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁
可取得最大收益？
每天的收益为 f ( x, y) ( x 1)(70 5x 4 y) ( y 1.2)(80 6x 7 y)
求最大收益即为求二元函数的最大值.
则仅需 z f (x, y) 在点(x0, y0) 的某一邻域内有
直到 n 阶连续偏导数 ,便有
f (x0 h, y0 k) f (x0, y0 )
n
1 P!
(h
x
k
y
)
P
f
( x0 ,
y0 )
o
n
P1
18
(3) 当 n = 0 时, 得二元函数在凸域上的拉格朗日中值公式:
f (x0 h, y0 k) f (x0, y0 )
例3. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w, 2w .
x x z
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
3
例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
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关于用泰勒公式求极限的部分讲解
1. 用奏勒必丸求收曝
【例2. 23】求械般liml ；―J —L - —U1 .
工 ＜ 111(1 一 工・) SHL - X )
【分析与解苔】请对照若本眩的解答过理去看题斥的【注】并棒刻题佥* 申极炭=恤号吟
「呼1+于＞ —一 •泄!二!坦丄土4
O (.T X )]
+ 卜'—-J-J* —◎(*)]
........ .... ......... ..... ......... . 1 lim zT lll( 1 + J- >- Sin J- .2 MJ —lin
(2〉若所展園数为丙个以上审数的代数和■应展开到鼻为几次穿？原则圧：分别展
开到它们的系数消不掉的丁次数展低项为止.例如山一"2=工- 4-T 3+O (J 3)即町・ 0
呆话需要宙出无穷小的运算规则：讼为正能数•则
(Do(r-) ±。
(*) =/>(./) • / =
(加减法时低阶-吸收•'角阶) ②o(广)• o(j n ) = o(x^) x R •o(x -) =o(工f)(義除法时阶数-累加”)
Oo(JLr-) =▲ •。
(二・)一 o(J)M H 0，为計数(非冬常敷不影响阶数)
/解了乗勒公式的使用•接下来我们去处理常见的泰勒公式•去休脸其魅力•熟记下而 一组公
式’
'十❶(j?)
ln( 1+工)=工一• r 2~o(j 2) ⑤
【拄】(1)対以上公式踐坝•可以鮒到一纠爭函敎的尊价无穷小.
依次可彳孕： 二】< —r 1 ・arcsitkr — 4-./* ・ i ：m ：—』■-寺“"■ «r —srctanx 〜寺工'■ x hi(l t 丄〉~
・
(2)變学会对这组叢旳数的尊价尢穷小公式广义化•例如：当 LC 时•若柯-0•则
ill x — stnor P ■可得，狗— bin 向 豹' ■迸咅自己去举一反二.
【分析与解答】因 x-^Otftinjr-^Ot
由狗一Nn 殉〜*(殉)珂狗~0)
丄
故原极^ = lim- sin.r=.r — -^-T 3 4-n( r*) 6
arcsinx —JC -討+心)②
【例2.2J 】求lim Mnr[：sirKr-Bin«eirxr)]
4/ sin.r —sin(sinj-) —(sirvr)3 b (sinr)1
丄
7* taiu -• J
x**O
【例2・26俅I E 些口泌二彳咲
i •oarctaivr — tanx [分析与解答】因 j —K) H4 •arcsinr—siar^yj 3 > arctaar —tan.T
3
訐 1 故原极限= lim 」L = — +・
3
堆续看一个综合题.
【例2・27】当文~0时・f(x) = J — (ox 十昴iikz)COSJ 3P 是符价无穷小•求常数a ■ b. 【分析与解答】因为 Sinx = JT — ryX S + n(J 3 ) • COSJ = 1 —-JrJ 2 +<)&)•
3!
Z! _£，)+o(F )](1 -芥2 +o(z ：))
(“一&)』一 -|-&z 1 十 O (P 川】一)j
ff +fk +o (y )
, 故 1 —(a +厶)=0
¥ +专=】. 丁是 a =— 2 ■b = 3• 2. 乙知权眼反求手裁
处理比类何削恋用的方法为结论：
a •若 lim “V? = c 存任•则 limx;(二)一 0= lim/(x)= 0. * -□ g (x ) < <-*C J
b ・若lim 今丄-
c ,0 ♦则 lim/(/)■ 0= lim 呂(工)■ 0. Jf ■口 g (工) 上・口 * •口
^lim/(r)=co»hm^( r) = oo t BU 二者为同阶无穷大. r-«n JT •口 c. 若 linij (J )^(X )= c 存任•则 lim/ (x)= 80 lim^(x)= U ・ z-*0 z->C d. 若lirn( f (x)—g(x))存妊•则lim/(_r)=8nlim£(Q- •一者为同阶入. L 口 L 口 X*U
••若lim /a? [£(・")=< 存在•在分n 中加减一些项•使分了中出现一些典型的差所 A
(J -) 数的形式，使lim 八护⑴=lirn ⑴)一小厂厂&⑴=I 诚川打仁)- h (r) 一口 A (J ) ••匚 h (x)
OJC =(1 — (a 十 b)Xr +
»（『）一厂）
h（r）
拆分后•其中束项可用泰衲公式直接得结果•见例2.30的解法二.
【1 2・ 28】若lim （J £ + jr + 1" + ax +，»） = 0 •求a ・/>・
【分析与解答】由（c）结论•腺示「此题的突慨I」金尸式子圧边提取8这坝.
故原极限=■】im（—x）（J1 +丄+当—“ 一=
lim f /1 + —
上―8r z丿
b =— lim （+ 丁 + 】+ r）=— lim …"〒丄 ------- =
■一冷 +工 + 1 —a* 2
【例2. 29】若lim （z•十7工’十1 ）* —J = b • < n > 4 ft -A 0 ）•求m
■ rt、【分析与樓答】此极限为—8”型・口极限存在•那么在丹> 4 （h + 7h + l）
・的工的最髙次呈为工E •如=1 •舍则祓限一定不存在.于是原极限■ lim （/•十
7+十1 —工）=〃
jrf 8 '
的条件下.
71十M十丄_]
LV 亍才
7 1
因而川—1=4・；1 = 5・〃=一•加==・
V V
[例2・30】i殳皿】叫1+匸）_冲4心 =2 ■则a =
"■•o jr
lim x
【分析与解答】解法一：使用祭勒公式
原极限=lim
—o
x ---- —x2 + o(x2)—ar —6tr2
___ 一
7
(1 — )r — ( -y + 6 lr s + o (J* )
lim ---------------- ' . 2 ------
LO JC9
因而1 —a = 0 • — (+ 十町=2=>a = 1.6 =—亍.。