3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(人教A必修4)
[研一题]
[例 2] 已知
π 3 π 3π α＋ ＝ ， ≤α＜ ，求 cos 4 5 2 2
π cos2α＋4 的值．
[自主解答]
π 3π 3π π 7π ∵ ≤α< ，∴ ≤α＋ < . 2 2 4 4 4
π 3π π 7π α＋ >0，∴ <α＋ < . ∵cos 4 2 4 4 π ∴sinα＋4 ＝－
[通一类] 1．求sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．
解：原式＝sin 6° 48° 24° 12° cos cos cos 24sin 6° 6° 12° 24° 48° cos cos cos cos ＝ 24cos 6° 23sin 12° 12° 24° 48° cos cos cos ＝ 16cos 6° 22sin 24° 24° 48° 2sin 48° 48° cos cos cos ＝ ＝ 16cos 6° 16cos 6° sin 96° cos 6° ＝ ＝ 16cos 6° 16cos 6° 1 ＝ . 16
第 三 章
三 角 恒 等 变 换
读教材·填要点
3.1 两角 和与 差的 正弦 、余 弦和 正切 公式
3.1.3
二倍 角的 正弦、 余弦、 正切 公式
课前预习·巧设计
小问题·大思维
考点一
名师课堂·一点通
考点二
考点三 解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
NO.2课下检测
[读教材·填要点]
二倍角的正弦、余弦、正切公式
ห้องสมุดไป่ตู้
1 ＝ cos 2α 2 1 ＝ . 6 1 ∴cos 2α＝ ， 3 7 cos 4α＝2cos 2α－1＝－ . 9
2
[研一题]
[例 3] 1＋sin α 化简 ＋ 1＋cos α－ 1－cos α
1－sin α 3 ，α∈(π， π)． 2 1＋cos α＋ 1－cos α 3 π α 3 [自主解答] ∵π<α< π，∴ < < π， 2 2 2 4
2
∴cos
π π 2x0＝cos 2x0＋6－6
π π π π ＝cos2x0＋6 cos ＋sin2x0＋6 sin 6 6
4 3 3 1 3－4 3 ＝－ × ＋ × ＝ . 5 2 5 2 10
1 化简：sin αsin β＋cos αcos β－ cos 2αcos 2β. 2 1 2 2 2 2 [ 解 ] 法 一 ： 原 式 ＝ sin αsin β ＋ cos αcos β － (2cos2α － 2
π 2x＝2sin2x＋6，
π 3 ∴sin2x0＋6 ＝ . 5
π π π 2π 7π 又∵x0∈4 ，2 ，∴2x0＋ ∈ 3 ， 6 . 6 π ∴cos2x0＋6 ＝－
π 4 ＝－ . 1－sin 2x0＋6 5
2 2α 2α
[通一类]
2．已知
π π 1 f(α)＝sin4 ＋αsin4 －α＝ ，求 6
cos 4α 的值．
π π 解：∵f(α)＝sin4 ＋αsin4－α π π ＝sin4＋αcos4＋α 1 π ＝ sin2＋2α 2
3 7 2 ＝ . ＝1－2× 5 25 π ∴cos2α＋4 ＝
2 2 cos 2α－ sin 2α 2 2
2 24 7 31 2 － － ＝－ ＝ × 25 25 . 2 50
cos 2α 在本例条件下，求 的值． π sin －α 4 π π 解：∵cos( ＋α)＝sin( －α)， 4 4
π 3 ∴sin( －α)＝ . 4 5 24 又由例 2 知 cos 2α＝－ ， 25 24 － 25 cos 2α 24 5 8 ∴ ＝ ＝－ × ＝－ . π 3 25 3 5 sin －α 4 5
[悟一法]
给值求值问题要注意二倍角公式的正用、逆用、变形用， 常见的变形有： 1± 2α＝sin2α± sin 2sin αcos α＋cos2α＝(sin α± α)2， cos 1＋cos α＝2cos ，1－cos α＝2sin ， 2 2 1 1 2 cos α＝ (1＋cos 2α)，sin α＝ (1－cos 2α)． 2 2
2
2π
2π
－2 ＝－2× ＝ ＝－2 3. π 3 tan 6 3 1
[悟一法]
1．解决此类问题要根据三角函数式的特征，经过适当变形， 进而利用公式，获得三角函数式的值． 2．解答此类题目要注意角的倍数关系，对“二倍角”应该有 α 3α 广义的理解，如：4α 是 2α 的二倍角，α 是 的二倍角，3α 是 的 2 2 二倍角等．
∴ 1＋cos α＝ 1－cos α＝
α 2cos 2 ＝－
α 2cos ， 2
α 2sin2 ＝
α 2sin . 2
1＋sin α 1－sin α ∴ ＋ 1＋cos α－ 1－cos α 1＋cos α＋ 1－cos α 1＋sin α 1－sin α ＝ α α ＋ α α － 2cos 2 ＋sin2 2sin2 －cos2
2 2 2 2 2
1 2
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－ 1 ＝sin β＋cos β－ 2
2 2
1 2
1 1 ＝1－ ＝ . 2 2
1 法二：原式＝sin αsin β＋(1－sin α)cos β－ cos 2αcos 2β 2
2 2 2 2
1 ＝cos β－sin α(cos β－sin β)－ cos 2αcos 2β 2
π 1－cos α＋ 4
2
＝－
3 4 1－52＝－ . 5
∴cos
π 2α＝sin2α＋2
π π ＝2sinα＋4 cosα＋4 4 3 24 ＝2×－5× ＝－ ， 25 5
sin
π π 2 2α＝－cos2α＋2 ＝1－2cos α＋4
③对于二次根式，注意倍角公式的逆用．
④注意利用角与角之间的隐含关系． ⑤注意利用“1”的恒等变形．
[通一类]
6 3． 已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos x－1(x∈R)． f(x0)＝ ， 若 5
2
π π x0∈4，2 ，求
cos 2x0 的值．
解：∵f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 ＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝ 3sin 2x＋cos
π π 2π 2sin cos cos 5 5 5 [自主解答] (1)原式＝ π 2sin 5 2π 2π 4π sin cos sin 5 5 5 ＝ ＝ π π 2sin 4sin 5 5 π sin 5 1 ＝ ＝ . π 4 4sin 5
1－2cos 2cos －1 8 8 (2)原式＝ ＝－ 2 2 1 π 2 ＝－ cos ＝－ . 2 4 4 π 2π tan －1 1－tan 12 12 (3)原式＝ ＝－2· π π tan 2tan 12 12
2 2 2 2
1)(2cos2β－1) 1 ＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ (4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) 2 ＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－ 1 2
＝sin2αsin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－ 1 ＝sin αsin β＋cos αsin β＋cos β－ 2
提示： 先由 sin α 求出 cos α， α， tan 再代入相应公式求解． 也 sin 2α 可以用 cos 2α＝1－2sin α，tan 2α＝ 求 sin 2α 和 tan 2α. cos 2α
2
[研一题]
[例 1] 求下列各式的值： π 2π (1)cos cos ； 5 5 1 2π (2) －cos ； 2 8 π 1 (3)tan － . 12 π tan 12
[小问题·大思维] 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式与两角和的正弦、 余弦、正切公式有什么关系？ 提示：在两角和的公式中β＝α即可得二倍角公式，即二 倍角公式是和角公式的特殊情况．
2．写出由sin α求sin 2α，cos 2α，tan 2α的过程．由sin α
的值怎样求sin 2α，cos 2α，tan 2α？
2
1 ＝ . 2
[点评]
在对三角函数作变形时，以上四种方法提供
了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“
幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究．这也是研究
其他三角问题时经常要用的变形手法．此外还需熟知对化
简结果的要求．
2 2 2 2
1 ＝cos β－sin αcos 2β－ cos 2αcos 2β 2
2 2
1 ＝cos β－cos 2β(sin α＋ cos 2α) 2
2 2
1＋cos 2β 1 2 ＝ －cos 2β[sin α＋ (1－2sin2α)] 2 2 1＋cos 2β 1 1 ＝ － cos 2β＝ . 2 2 2
1－cos 2α 1－cos 2β 1＋cos 2α 1＋cos 2β 1 法三：原式＝ · ＋ · － 2 2 2 2 2 cos 2αcos 2β 1 1 ＝ (1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋ (1＋cos 2αcos 2β 4 4 1 ＋cos 2α＋cos 2β)－ cos 2αcos 2β 2 1 1 1 ＝ ＋ ＝ . 4 4 2
α α2 α α2 cos ＋sin sin －cos 2 2 2 2 ＝ α α ＋ α α － 2cos2 ＋sin2 2sin2 －cos2
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人教A版数学必修4课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
人教A版高中数学必修四课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
探究：你能用以上公式推导出
的公式吗？ zxxk
分析：令 ，代入上述三式可得.
1.理解二倍角公式的推导. 2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式.(重点） 3.能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明.
(重点、难点） z,xxk
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
二倍角公式的应用 1.公式的直接应用
注意
的范围
还可以把 看作
2.公式的逆用
3.公式的活用
3.求下列各式的值.
1.二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
2.公式的正用 、逆用、灵活应用
二倍角的正弦公式. 简记为
二倍角的余弦公式. 简记为ຫໍສະໝຸດ 二倍角的正切公式. 简记为
倍角公式
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三 倍角”等名词时，“三”字等不能省去.
公式说明 1.角的倍半关系是相对而言的, 的二倍, 二倍等; 2.当 求 时， 的值不存在， 是 的二倍, 是 是 的
的值可利用诱导公式.
探究：你能用以上公式推导出
的公式吗？ zxxk
分析：令 ，代入上述三式可得.
1.理解二倍角公式的推导. 2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式.(重点） 3.能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明.
(重点、难点） z,xxk
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
二倍角公式的应用 1.公式的直接应用
注意
的范围
还可以把 看作
2.公式的逆用
3.公式的活用
3.求下列各式的值.
1.二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
2.公式的正用 、逆用、灵活应用
二倍角的正弦公式. 简记为
二倍角的余弦公式. 简记为ຫໍສະໝຸດ 二倍角的正切公式. 简记为
倍角公式
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三 倍角”等名词时，“三”字等不能省去.
公式说明 1.角的倍半关系是相对而言的, 的二倍, 二倍等; 2.当 求 时， 的值不存在， 是 的二倍, 是 是 的
的值可利用诱导公式.
高中数学 3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课件 新人教A版必修4
α
.
所
以
tanπ4＋α＝tanπ2＋22α＝1＋sincoπ2s＋π2＋2α2α＝1－cossin2α2α＝1－n m与 A 对应； 而 tanπ4＋α有意义时，只需π4＋α≠kπ＋π2(k∈Z)， 即 α≠kπ＋π4(k∈Z)就可以了．
第二十一页，共24页。
可见已知条件 sin 2α＝sin2kπ＋π4＝sin2kπ＋π2＝m≠1， 即1－n m的分母不为零，故选 A. 但是，当 α＝34π＋kπ(k∈Z)时 cos 2α＝n＝0，即 B 不正确； 当 α＝π2＋kπ 时(k∈Z)，sin 2α＝m＝0，cos 2α＝n＝－1，此时 1－m＋n＝0，即 C 不正确； 当 α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝m＝0，cos 2α＝n＝1，此时 m＋n －1＝0，即 D 不正确．故选 A. 答案：A
2 2 cos
α－
2 2 sin
α＝35，
2 2 sin
α＋
2 2 cos
α＝－45.两
式相加得 cos α＝－102，两式相减得 sin α＝－7102.
而 cos
2α＋π4＝
22cos
2α－sin
2α，cos
2α＝－
1022－－7102
2＝－2245，sin
2α＝2×－
102×－7102＝275.
第二页，共24页。
自主探究 sin2 α·sin2 β＋cos2 αcos2β－12cos 2αcos 2β 等于一个常数吗？若 等于一个常数，请把这个常数求出来；若不是一个常数，请化简一 下．
第三页，共24页。
解：此式等于一个常数，这个常数是12.求解过程如下：
原
式
＝
sin2α·sin2β
高中数学 3.13.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必修4
栏
目
∴π2＜θ＜34π，2θ∈π，32π，
链 接
将 sin θ＋cos θ＝ 22，两边平方得 sin 2θ＝－12，
∴cos 2θ＝－ 1－sin22θ＝－ 23.
点评：注意利用(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ 的关系解题．
第二十三页，共40页。
跟踪
训练
2．已知 cosx－π4＝ 102，x∈π2，34π. (1)求 sin x 的值；
栏 目
链
解析：(1)∵cos α＝－1123，α∈π，32π，
接
∴sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－－11232＝－153，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×－153×－1123＝112609，
第二十一页，共40页。
跟踪
训练
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×－1532＝111699，
解析：(1)∵tanα2＝2，
α
∴ tan α＝1－2tatann22α2＝21×－24＝－43，
栏 目
链
∴tanα＋π4＝1t－antaαn＋αttaannπ4π4
接
＝1ta－n tαa＋n α1＝－143＋＋431＝－17.
第十九页，共40页。
(2)由(1)知， tan α＝－34，
∴36ssiinnαα－＋2ccoossαα＝63ttaann
栏 目
链
(2)cos215°－sin215°；
接
2tan 15° (3)1－tan215°.
第十五页，共40页。
自测 自评
解析：(1)sin 75°cos 75°＝12215°－sin215°＝cos
30°＝
3 2.
高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必修4
2 2，
x
|
x
16
k , k 2
Z.
第三十一页，共36页。
1.sin 15°sin 75°的值为( )
A. 1
B. 3
C. 1
D. 3
【解2 析(jiě xī)2】选C.sin 145°sin 75°=s4in 15°cos 15°
= sin 30°=
1
1.
2
4
第三十二页，共36页。
2.在△ABC中， cos( A) 5则，cos2A=(
1 cos 2 2cos 2，cos 2 1 cos2，sin 2 1 cos2 .
2
2
第十七页，共36页。
类型 三 利用二倍角公式化简与证明
【典型例题(lìtí)】
1．化简cos2α+2sin2α得( )
A.0
B.1
C.sin2α
D.cos2α
2. cos cos 2的值为(
A. 5 5 B.
4
13
A. 120
B. 120
【解16析9 (jiě xī)】1选69A.
C. 135 169
△ABC中，
则
cos( A) 5 ，
4
13
sin( A) 12 ,sin( 2A)
4
13 2
2sin( A)cos( A) 120 ,
4
4
169
cos2A sin( 2A) 120 .
8
8
3. 答案：
sin
1 cos2
1 ( 1) 8
3.
2
2
4
tan15 1 2tan15 1
3
1
tan 215
数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-3二倍角的正弦-余弦-正切公式课件(29张)
∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4
＝2×－45×35＝－2245，
sin 2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4 ＝1－2×352＝27
2 2 sin
2α
＝
22×－2245－275＝－3150
2 .
(2)∵sin 2α＝－cos2α＋π2 ＝－2cos2α＋π4－1， sinα－π4＝－sinπ4－α＝－cosπ2－π4－α ＝－cosπ4＋α， ∴原方程可化为 1－2cos2α＋π4＝－cosα＋π4， 解得 cosα＋π4＝1 或 cosα＋π4＝－12. ∵α∈－π2，π2，∴α＋π4∈－π4，34π， 故 α＋π4＝0 或 α＋π4＝23π，即 α＝－π4或 α＝51π2.
[导入新知] 二倍角公式
[化解疑难] 细解“倍角公式” (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义． (2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等 于 2 的情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是32α的 2 倍．这 里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述 两个数量之间的关系的． (3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
(2)由(1)知 cos A＝12，
所以 f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝
－2sin
x－122＋32.
因为 x∈R，所以 sin x∈[－1,1]，
因此，当 sin x＝12时，f(x)有最大值32.
当 sin x＝－1 时，f(x)有最小值－3.
所以所求函数 f(x)的值域是－3，32.
2．已知 sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，求锐角 α. 答案：π6
新人教版高中数学必修四3.1.3《二倍角的正弦、余弦、正切公式》课件(新人教A版必修4)
cos10 3 sin10 sin 50 cos10 2sin 40 sin 50 cos10 2sin 40 cos 40 cos10 sin 80 1 cos10
注意：
切化弦
四、课堂练习
1 1、若 sin cos 2, tan 的值 2 1 tan
5 （ ，）， 例2、已知 sin ， 13 2 求 sin 2 , cos 2 , tan 2 的值。 解： sin 5 ， （ ，）， 13 2 12 cos 13 5 12 120
sin 2 2 sin cos 2
cos2 cos sin (C2 )
2 2
2 tan tan 2 1 tan 2
cos2 1 2 sin 2 cos2 2 cos 1 1 cos 2 2 sin 2 2 2 cos sin 1
2
(T2 )
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六、作业
P144 、练习A 2、3、4
练习B 2、3
原式 sin
2 2 2 5 7 cos sin 4 2 4 2 2
cos
cos
sin
2
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五、归纳总结
1、二倍角公式是和角公式的特例，体现将 一般化归为特殊的基本数学思想方法。 2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反 映的都是如何用单角的三角函数值表示 复角（和、差、倍）的三角函数值，结 合前面学习到的同角三角函数关系式和 诱导公式可以解决三角函数中有关的求 值、化简和证明问题。
新课标人教版课件系列
《高中数学》
注意：
切化弦
四、课堂练习
1 1、若 sin cos 2, tan 的值 2 1 tan
5 （ ，）， 例2、已知 sin ， 13 2 求 sin 2 , cos 2 , tan 2 的值。 解： sin 5 ， （ ，）， 13 2 12 cos 13 5 12 120
sin 2 2 sin cos 2
cos2 cos sin (C2 )
2 2
2 tan tan 2 1 tan 2
cos2 1 2 sin 2 cos2 2 cos 1 1 cos 2 2 sin 2 2 2 cos sin 1
2
(T2 )
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六、作业
P144 、练习A 2、3、4
练习B 2、3
原式 sin
2 2 2 5 7 cos sin 4 2 4 2 2
cos
cos
sin
2
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五、归纳总结
1、二倍角公式是和角公式的特例，体现将 一般化归为特殊的基本数学思想方法。 2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反 映的都是如何用单角的三角函数值表示 复角（和、差、倍）的三角函数值，结 合前面学习到的同角三角函数关系式和 诱导公式可以解决三角函数中有关的求 值、化简和证明问题。
新课标人教版课件系列
《高中数学》
高中数学人教A版必修4第三章：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
2
1 sin 2 (sin cos )2
注意：
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。
②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如 4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,……所有这些都可 以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义， 即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关 系的就可以应用二倍角公式。
2
2
1 sin 22
=－cosα
1 tan2 3
(3)
2
(4) sin(
) cos(
)
tan 3 2
2
tan 3
4
4
1 cos 2 2
(5)、cos cos 5 1 (6)、cos 36 cos 72 1
12 12 4
4
（7）cos 40 cos 20 cos10 (8) 1 sin 400
例题拓展
例1 化简sin 50o (1 3 tan10o )
解:原式
sin
50o
cos10o 3 sin cos10o
10o
sin
50o
2sin 40o cos10o
cos
40o
2sin 40o cos10o
sin 80o 1 cos10o
例2 求证：1 sin 2 cos 2 tan 1 sin 2 cos 2
1.二倍角正弦、余弦和正切公式
sin 2 2sin cos
倍角公式
cos 2 cos2 sin 2
cos 2 2 cos2 1
cos 2 1 2sin2 1 tan 2
2.二倍公式角的运用
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(人教版必修4)
• 3．1.3 二倍角，熟练掌握二倍角公 式．(重点) • 2．熟记二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、 正切公式．(易混点) • 3．二倍角公式及变形公式的应用．(难点)
• 二倍角公式
• 对于α∈R，sin 2α＝2sin αcos α恒成立．在 什么情况下，sin 2α＝2sin α成立？ • 提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α， • 只有当α＝2kπ(k∈Z)时， • sin 2α＝2sin α才成立．
π π 又∵2α∈0，2，β∈2，π，
9分
∴2α－β∈(－π，0)， 3 ∴2α－β＝－4π. 12 分
• 【题后总结】在给值求角时，一般选择一个 适当的三角函数，根据题设确定所求角的范 围，然后再求出角．确定角的范围是关键的 一步．
1 1 3．已知 tan α＝2，tan β＝7，并且 α，β 均为锐角，求 α ＋β.
若
π 4 5π 7π － x cos 4 ＝－5， 4 ＜x＜ 4 ，且
3 x≠2π.
sin 2x－2sin2 x 求 的值． 1＋tan x
π 【思路点拨】化简所求式，使其出现角4－x，整体代
入求解．
sin 2x－2sin2 x 解： 1＋tan x 2sin xcos x－sin xcos x ＝ cos x＋sin x sin 2xcos x－sin x ＝ cos x＋sin x
• 【题后总结】根据三角函数式的特征，经过 适当变形，进而利用公式，获得三角函数式 的值，在变形中一定要整体考虑式子的特 征．
1．求下列各三角函数式的值． (1)cos 72° cos 36° ； 1 3 (2)sin 50° ＋cos 50° .
2sin 36° cos 36° cos 72° 解：(1)cos 36° cos 72° ＝ 2sin 36° 2sin 72° cos 72° sin 144° 1 ＝ 4sin 36° ＝4sin 36° ＝4.
• 二倍角公式
• 对于α∈R，sin 2α＝2sin αcos α恒成立．在 什么情况下，sin 2α＝2sin α成立？ • 提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α， • 只有当α＝2kπ(k∈Z)时， • sin 2α＝2sin α才成立．
π π 又∵2α∈0，2，β∈2，π，
9分
∴2α－β∈(－π，0)， 3 ∴2α－β＝－4π. 12 分
• 【题后总结】在给值求角时，一般选择一个 适当的三角函数，根据题设确定所求角的范 围，然后再求出角．确定角的范围是关键的 一步．
1 1 3．已知 tan α＝2，tan β＝7，并且 α，β 均为锐角，求 α ＋β.
若
π 4 5π 7π － x cos 4 ＝－5， 4 ＜x＜ 4 ，且
3 x≠2π.
sin 2x－2sin2 x 求 的值． 1＋tan x
π 【思路点拨】化简所求式，使其出现角4－x，整体代
入求解．
sin 2x－2sin2 x 解： 1＋tan x 2sin xcos x－sin xcos x ＝ cos x＋sin x sin 2xcos x－sin x ＝ cos x＋sin x
• 【题后总结】根据三角函数式的特征，经过 适当变形，进而利用公式，获得三角函数式 的值，在变形中一定要整体考虑式子的特 征．
1．求下列各三角函数式的值． (1)cos 72° cos 36° ； 1 3 (2)sin 50° ＋cos 50° .
2sin 36° cos 36° cos 72° 解：(1)cos 36° cos 72° ＝ 2sin 36° 2sin 72° cos 72° sin 144° 1 ＝ 4sin 36° ＝4sin 36° ＝4.
#3.1.3《二倍角的正弦、余弦、正切公式》(新人教A版必修4)
sin4 x
tanx
例4 已知 sina + cosa = 1，且α ∈(0， π )，求cos2α 的值. 3
- 17 9
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α 是α
的两倍,
4α
是2α
的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，பைடு நூலகம்题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
思考4：如何推导sin3α ，cos3α 与α 的 三角函数关系？
探究（二）：二倍角公式的变通
思考1：1＋sin2α 可化为什么？ 1＋sin2α ＝(sinα ＋cosα )2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα ， cosα 与cos2α 的关系分别如何？
sin2a= 1- cos2a 2
cos2a= 1+cos2a 2
2tana sin2a = 1+tan2a
理论迁移
例1
已知
sin 2 5
13
， 4
2
求 sin4，cos4，tan4的值.
例2 在△ABC中,cos A = 4 , tanB = 2,
5
求 tan2C 的值.
- 44 117
例3 化简 (sin2 x+c o s2 x-1 )(sin2 x-c o s2 x+1 )
.
cos2α ＝cos2α －sin2α ；
tan2 2tan 1tan2
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α ，C2α ，T2α ，利用平方关系， 二倍角的余弦公式还可作哪些变形？
tanx
例4 已知 sina + cosa = 1，且α ∈(0， π )，求cos2α 的值. 3
- 17 9
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α 是α
的两倍,
4α
是2α
的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，பைடு நூலகம்题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
思考4：如何推导sin3α ，cos3α 与α 的 三角函数关系？
探究（二）：二倍角公式的变通
思考1：1＋sin2α 可化为什么？ 1＋sin2α ＝(sinα ＋cosα )2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα ， cosα 与cos2α 的关系分别如何？
sin2a= 1- cos2a 2
cos2a= 1+cos2a 2
2tana sin2a = 1+tan2a
理论迁移
例1
已知
sin 2 5
13
， 4
2
求 sin4，cos4，tan4的值.
例2 在△ABC中,cos A = 4 , tanB = 2,
5
求 tan2C 的值.
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例3 化简 (sin2 x+c o s2 x-1 )(sin2 x-c o s2 x+1 )
.
cos2α ＝cos2α －sin2α ；
tan2 2tan 1tan2
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α ，C2α ，T2α ，利用平方关系， 二倍角的余弦公式还可作哪些变形？