14.10量子物理之氢原子的电子云图和概率密度等值面图

对于4d态电子，当m = 0时， 概率密度分为上下双峰，上下 还有两包，左右还有四双包。 彩色电子云图分上下左右八片， 上下的中间两片比较鲜艳。 概率密度的等值面是六个曲面，上下 四个是封闭曲面，中间两个是环面。
对于4d态电子，当m = ±1时，概 率密度分为对称的四峰和四包。 彩色电子云图分为四角对称的八片。 概率密度的等值面是 上下四个分立的环面。
对于4f态电子，当m =±2时，概率 密度分为上下左右四峰和左右两包。 彩色电子云图分上下左右 六片，上下四片比较鲜艳。 概率密度的等值面是三个曲面，上下 两个是封闭曲面，中间一个是环面。
对于4f态电子，当m = ±2时， 概率密度分为对称的四峰，与m = ±1的3d态电子类似。 彩色电子云图分为四角对称的四片。 概率密度的等值面是上下两个分 立的环面，其形状与3d态(m = ±1)电子的概率密度形状相似。
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第十四章结束 湖南大学物电院 子，当磁量子数m = 0时，概 率密度曲面形成上下双峰，峰顶比较圆。 上下两片电子云是双峰的投影， 等值线分别围绕着两个峰。 概率密度的等值面是两个分立的闭合曲 面，由此可知：上下两片电子云是分立。
对于2p态电子，当m = ±1时，概 率密度曲面分为左右双峰。 在彩色电子云图中，左右 两片电子云是双峰的投影。 概率密度的等值面是中间空心的环面， 左右两片电子云是绕z轴联成一体的。
对于4p态电子，当m = 0时，概率密度 除了上下双峰之外，还有四个波包， 比m = 0的3p态电子多两个波包。 彩色电子云图分为上下六片，相 邻的波峰和波包是分开的，等值 线分别围绕着各自的波峰和波包。 概率密度的等值面是上 下六个分立的闭合曲面。
对于4p态电子，当m = ±1时，概 率密度分为左右双峰和四个波包， 比m = ±1的4p态电子多一对波包。 彩色电子云图分为左右对称的六片。 概率密度的等值面是三个 空心的环面，环面层层相 套，三个环面是相似的。
对于4d态电子，当m = ±2时，概 率密度分为左右双峰和双包，与m = ±1的3p态电子的概率密度类似。 彩色电子云图分为左右对称的四片。 概率密度的等值面是两个空 心的环面，并且外环面套着 内环面，两个环面是相似的。
对于4f态电子，当m = 0时，概率 密度分为上下双峰和左右四包。 彩色电子云图分上下左右 六片，上下两片比较鲜艳。 概率密度的等值面是四个曲面，上下 两个是封闭曲面，中间两个是环面。
对于2p态电子，当m = ±1时，概率密度分为左右两片，每一 片都有一个中心，随着到中心距离的增加，点数不断减小。
*{范例14.10} 氢原子的电子云图和概率密度等值面图
根据氢原子的薛定谔方程的解，求概率密度。 (1)为什么说用点的疏密表示的概率密度称为电子云图？ (2)氢原子的概率密度曲面是什么形状？彩色电子云图是 如何分布的？通过氢原子最大概率密度的百分之一的等 值曲面，说明概率密度的三维形状。 [解析](2)由于概率密度是轴对称的，可取一个 截面，例如O-xz截面，求出每一点概率密度。 在概率密度的O-xz截面上取一条等值曲线，例如 最大值的1%，由于概率密度是轴对称的，将曲 线绕z轴旋转，就形成概率密度的三维曲面。 三维概率密度曲面反映了概率密度的空间分布形状。
对于3d态电子，当m = ±2时， 概率密度分为左右双峰。 彩色电子云图分为左右两片。 概率密度的等值面是一个环 面，其形状与2p态(m = ±1) 电子的概率密度形状相似。
4s态电子的概率密度曲面与3s 态电子的概率密度曲面类似。 尖峰外面的峰环太低无法用不同颜色显示。 彩色电子云图除了中间彩色部分 外，只能显示一个淡蓝色的环。 取最大概率密度的1%，4s态电子 的概率密度的等值面是三个球面。 如果取最大概率密度的0.1%，4s态电子 的概率密度还可显示多个等值球面。
2s态电子的概率密度曲面关于中心轴对称，尖峰的概率密度 最大，但是只有1s态的最大概率密度的1/8；随着距离的增加， 概率密度先减小再增加，达到次级最大值之后再减小。 次级最大值相对中心峰值是很小的，所以次级峰附近圆环呈浅蓝色。 2s态电子的彩色电子云图的概率密度等值线也是圆，最 外面三条等值线的值是相等的，都只有最大值的1%。 取最大概率密度的1%，2s态电子的概率密度的 等值面是三个球面。如果概率密度取大一些， 只能显示一个球面。因此，最大概率密度的1% 的等值曲面可基本反映概率密度的立体形状。
对于3d态电子，当m = 0时，概率 密度分为上下双峰和左右双包。 彩色电子云图分上下左右 四片，上下两片比较鲜艳。 概率密度的等值面是三个曲面，上下 两个是封闭曲面，中间一个是环面。
对于3d态电子，当m = ±1时， 概率密度分为对称的四峰。 彩色电子云图分为四角对称的四片。 概率密度的等值面是 上下两个分立的环面。
*{范例14.10} 氢原子的电子云图和概率密度等值面图
根据氢原子的薛定谔方程的解，求概率密度。 (1)为什么说用点的疏密表示的概率密度称为电子云图？ (2)氢原子的概率密度曲面是什么形状？彩色电子云图是 如何分布的？通过氢原子最大概率密度的百分之一的等 值曲面，说明概率密度的三维形状。 氢原子中的电子在体积元dV之中出现的概率为 wnlmdV = |ψnlm|2dV = |Rnl|2|Θlm|2|Φm|2dV， 由于|Φm(φ)|2 = 1/2π，所以电子出 现在原子核周围的概率密度为 1 1 | Θlm (θ ) |2 wnlm (r ,θ , ϕ ) | Rnl (r ) |2 = 2 wnl (r ) wlm (θ ) 2π r wlm(θ) = |Θlm(θ)|2/2π是角向概率密度， wnl = |Rnl(r)r|2是径向概率密度。 当主量子数和角量子数确定之后，径向概率密度就 确定了，磁量子数不同，概率密度的分布就不同。
对于4f态电子，当m = ±3时， 概率密度分为左右双峰。 彩色电子云图分为左右两片。 概率密度的等值面是一个环 面，其形状与2p态(m = ±1) 电子的概率密度形状相似。
当主量子数大于4的时候，对于不同的轨道量子 数和磁量子数，概率密度可呈现更多的波峰和 波包；概率密度的等值面可呈现更多的形式， 而基本形状是闭合面(包括球面)和环面 。
*{范例14.10} 氢原子的电子云图和概率密度等值面图
根据氢原子的薛定谔方程的解，求概率密度。 (1)为什么说用点的疏密表示的概率密度称为电子云图？ (2)氢原子的概率密度曲面是什么形状？彩色电子云图是 如何分布的？通过氢原子最大概率密度的百分之一的等 值曲面，说明概率密度的三维形状。 [解析](1)玻尔理论认为电子具有确定的轨道。 量子力学中得出电子出现在某处的概率。 为了形象地表示电子的空间分布规律，通常将概率大 的区域用较多的点，将概率小的区域用较少的点表示 出来，如同天空中的星云一样，称为电子云图。 注意：电子云并不表示电子真的像一团云雾罩在原子 核周围，而是电子概率密度分布的一种形象化的描述。
对于3p态电子，当m = 0时，概率密度 除了上下双峰之外，还有两个波包。 由于波包的概率密度相对于 波峰较小，所以颜色较暗。 彩色电子云图分为上下四片，相 邻的波峰和波包是分开的，等值 线分别围绕着各自的波峰和波包。 概率密度的等值面是上下四个分立的闭合曲面。
对于3p态电子，当m = ±1时， 概率密度分为左右双峰和双包。 彩色电子云图分为左右对称的四片。 概率密度的等值面是两个空 心的环面，并且外环面套着 内环面，两个环面是相似的。
1s态电子的概率密度曲面关于中心轴 对称，尖峰是概率密度最大处；随 着距离的增加，概率密度单调减小。 曲面的投影就是用颜色表示的概率密度，不妨 称为彩色电子云图，概率密度等值线是圆。 取最大概率密度的1%，1s态电 子的概率密度的等值面是球面。 其实，不论取多大的概率密 度，其等值面都是单一球面。
1s态电子云是球对称分布的，点数表示 概率密度。中间点数多，周围点数少。
2s态电子云 也是球对称 分布的，中 间点数最多， 随着距离的 增加，点数 先减小再增 加，达到最 大值之后再 减小。
对于l = 0的s态电子，电子云转动的角动量为零，表 示电子云不转动，所以电子云的分布具有球对称性。
对于2p态电 子，当m = 0 时，电子云 分为上下两 片，每一片 都有一个中 心，点数最 多，随着到 中心距离的 增加，点数 不断减小。
3s态电子的概率密度曲面关于中心轴对称，尖峰 的概率密度最大，但是比2s态的最大概率密度小。 尖峰外面有两个峰环，但是外面峰环 的高度太小，无法用不同颜色显示。 彩色电子云图除了中间彩色部分 外，只能显示一个淡蓝色的环。 取最大概率密度的1%，3s态电子的 概率密度的等值面是三个球面。 如果取最大概率密度的0.1%，3s态电 子的概率密度的等值面是五个球面。