动点运动的轨迹
七年级几何动点知识点
七年级几何动点知识点
几何学中，动点是指在空间中不断移动的点，与静态点相比，它具有更加丰富的几何性质。
在七年级几何学习中，了解动点的概念及特性是非常重要的。
本文将为您介绍七年级几何动点知识点。
一、动点的定义
动点是指在空间中不断移动的点。
它不同于静态点，它可以沿直线或曲线做任意运动。
二、动点的特性
1. 动点的轨迹：动点按照一定轨迹运动，其轨迹可以是一条直线、一条曲线或者是一些点的集合。
2. 动点的运动方向：动点的运动方向可以是直线或曲线，也可以是退化成点。
3. 动点的运动速度：动点可以以任意速度进行运动。
4. 动点的终止条件：动点可以在任意时刻停止运动。
三、动点的应用
动点不仅仅是一个几何概念，它还具有广泛的应用。
下面将为
您介绍动点在几何学中的应用。
1. 动点应用于轨迹绘制：几何学中的轨迹绘制就是一个动点的
概念，可以通过动点的运动绘制出轨迹来，如绘制圆、椭圆、双
曲线等等。
2. 动点应用于自由曲面绘制：在几何学中，自由曲面是由两个
动点所生成的曲面，其中每个动点的运动轨迹与另一个动点平行。
3. 动点应用于轴对称图形的绘制：轴对称图形是通过一个动点
的轨迹复制生成的图形，这种图形在几何学中应用广泛。
4. 动点应用于直线交叉产生角度：几何学中的角度定义是两条
直线交叉所产生的角度，这个概念就是通过动点来生成的。
综上所述，动点是在几何学中不可或缺的概念，掌握了动点的应用，可以更好地理解几何学中的概念，更好地解决问题。
希望本文能对您有所帮助。
§11-2研究点的运动的自然坐标法
υ=
ds = 2t − 4 dt
t=3=2×3-4=2（cm/s）
在第3s时 υ|
点的切向加速度为
dυ aτ = = 2(cm / s 2 ) dt
切向加速度为常数，即第3s时切向加速度为2cm/s² 第3s时点的法向加速度为
22 2 an = = = 0.8(cm / s ) R 5
υ2
aτ = lim ∆υ τ ∆t r = lim
当∆t→0时 ∆t→
r
r
r
r
υ1 − υ
∆t
r
r = lim
∆υ dv = ∆t dt
(11-9)
它的方向为∆t→0时∆Vτ的方向即为M点的切线方向aτ方向又叫切向加速度。 当aτ和υ同号时，动点的运动方向和加速方向一致，动点作加速运动。当aτ和υ异 号时，动点的运动方向和加速方向相反，动点作减速运动。
§11-2 用自然法研究点的平面曲线运动 11一、自然法 1、轨迹：动点运动时，所经过的路线称为动点的轨迹。 动点作如图11-4所示曲线运动。在轨迹AB上任取一点O作为自然法的坐标原点， 并在两侧规定出正负方向。动点M的位置，由弧长OM来表示。OM是一个代数量。图 示OM为正。弧长OM称为动点的弧坐标或自然坐标。弧坐标的大小能唯一确定动点所 在的位置。这种确定动点位置的方法称为自然法。弧长S显然是时间的函数。即 S=f(t) 这就是自然法所表达的运动方程。 已知运动方程，就能确定动点在任意时 刻所在的位置。 二、位移和路程 1、位移：起始时刻和结束时刻动点所在位 置之间的距离。 2、路程：是指动点在某一时间间隔内所经 过的轨迹的长度。 例如，如图11-4所示，在某一时间间隔内动 点M从原点起，先沿负向运动到A点，（OA=S1）再从A移动到B点（OB=S）动点的 始末位置是O、B，则点的位移为，而路程是弧长（）。
怎样求动点的轨迹方程
思路探寻在解题时，我们经常会遇到求动点的轨迹方程问题.此类问题主要考查圆锥曲线的定义、图形以及几何性质，对同学们的想象与计算能力都有较高的要求.在解答此类问题时，需根据题目中所给的条件建立起各个变量之间的联系，得到关于动点的关系式，进而求得动点的轨迹方程.本文主要谈一谈动点的轨迹方程的几种求法.一、直接法直接法是求动点的轨迹方程的基本方法.通常要先设出动点的坐标；然后根据题目中所给的条件，利用相关的公式、定义、性质列出有关动点坐标的关系式；再通过化简、消元、变形，得到动点的轨迹方程；最后验证所得的结果是否满足题目的条件.例1.已知两定点A (-2,0)，B (2,0)，动点P 满足 PA ∙PB =0.由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，若 PM = MQ ，求点M 的轨迹方程.解：设M (x ,y )，P (x 1,y 1)，则Q (x 1,0)，因为 PA ∙PB =0，所以x 12+y 12=4.因为PM ⊥x 轴， PM = MQ ，所以x 1=x ，y 1=2y ，所以点P 的坐标为（x ,2y ）.又因为点P在圆x 12+y 12=4上，所以x 2+4y 2=4，所以点M 的轨迹方程为x 24+y 2=1.本题较为简单，可采用直接法求解.题目的条件中已明确给出了动点的几何关系，只要设出动点的坐标，根据已知条件建立关于点M 的坐标的关系式，即可得到点M 的轨迹方程.二、相关点法若一动点P 随着另一动点Q 的变化而变化，且已知另一动点Q 的运动轨迹，就可以利用相关点法，根据另一动点Q 的轨迹来求得动点P 的轨迹方程.在解题时，需先建立两个动点坐标之间的联系，求得另一动点Q 的轨迹方程；然后用动点P 的坐标表示相关点Q 的坐标，将其代入相关点Q 的轨迹方程，即可求得动点P 的轨迹方程.例2.从圆x 2+y 2=1上的任意一点P 向y 轴作垂线，求该垂线段中点M 的轨迹方程.解：设点P 为（x 0,y 0），点M 为（x ,y ），由题意知：ìíîïïx =x 02，y =y 0，即{x 0=2x ，y 0=y .因为点P 在圆上，所以x 02+y 02=1，可得4x 2+y 2=1，所以点M 的轨迹为椭圆，其轨迹方程为4x 2+y 2=1.分析题意可知，点M 随着点P 的变化而变化，需采用相关点法解答.先设出点M 和P 的坐标，并根据二者之间的联系建立关系式；然后用点M 的坐标表示P 点，通过P 点的轨迹方程间接求得M 点的轨迹方程.三、交轨法如果动点是两条曲线的交点，就可以采用交轨法来求动点的轨迹方程.先选出一个适当的参数表示动点；再根据题目中的条件建立关于参数的式子；然后通过恒等变换，逐步消去参数，得到所求点的轨迹方程.例3.已知动点P 在直线l ：x -y -2=0上运动，过P 点作抛物线C :y =x 2的两条切线PA ,PB ，与抛物线C分别相切于A ,B 两点，求△APB 的重心G 的轨迹方程.解：设切点A ,B 的坐标分别为(x 1,x 12)和(x 2,x 22)，则切线PA ,PB 的方程分别为：2x 1x -y -x 12=0，2x 2x -y -x 22=0，可得x p =x 1+x 22，y p =x 1x 2.设G 的坐标为(x ,y )，根据三角形重心的坐标公式可得：x =x 1+x 2+xp 3=x p ①，y =y 1+y 2+y p 3=4x p 2-y p3②.又因为点P 在直线l ：x -y -2=0上运动，所以x p -y p -2=0③，由①②③可得△APB 的重心G 的轨迹方程是：y =43x 2-13x +23.解答本题，首先要根据题目中所给的条件设出切点的坐标，通过对抛物线的方程求导，得到切线的方程，并求出点P 的坐标；然后设出重心G 的坐标，根据中点的坐标公式和重心的坐标公式建立关系式，即可利用交轨法求得重心G 的轨迹方程.求动点的轨迹方程问题的难度往往不大，但解题时的计算量较大，同学们在解题时要谨慎计算，注意检验，避免出错.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）史玉蕾48Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
例谈动点的轨迹方程的四种求法
思路探寻求动点的轨迹方程问题经常出现在解析几何试题中，这类问题侧重于考查同学们的推理、分析以及运算能力.求解这类问题的主要方法有定义法、参数法、相关点法和交轨法.下面结合实例，谈一谈这四种方法的特点以及应用技巧.一、定义法定义法是指运用圆锥曲线的定义解题.若发现动点的轨迹形如椭圆、圆、双曲线、抛物线或其中的一部分曲线，就可以根据椭圆、圆、双曲线、抛物线的定义，确定定点、焦点、焦点与动点之间的关系，求得椭圆、圆、双曲线、抛物线方程中的各个参数，便可以快速确定曲线的轨迹方程.例1.如图1所示，已知圆C1：x2+（y+4）2=25和圆C2：x2+（y-4）2=1，某动圆C分别与圆C1和圆C2外切，求动圆圆心C的轨迹方程.图1解：由题意知两圆的圆心为C1(0,-4)，C2(0,4)，半径为r1=5，r2=1，设动圆C的半径为r，因为圆C分别与圆C1和圆C2外切，所以||CC1=r+5，||CC2=r+1，所以||CC1-||CC2=4<8，即点C到两定点C1、C2的距离之差为常数4，所以动圆圆心C的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的上支，可得2a=4，2c=||C1C2=8，所以b2=c2-a2=12.所以动圆圆心C的轨迹方程是y24-x212=1(y≥2).结合图形分析动圆C与圆C1、圆C2的位置关系，即可发现||CC1=r+5，||CC2=r+1，即可得出||CC1-||CC2=4<8，由此可联想到双曲线的定义，即平面内到两定点的距离之差为定值的点的轨迹，确定动点的轨迹，求得a、b、c值，即可求得动点的轨迹方程.二、参数法参数法是解答数学问题的重要方法.若动点受某些变量的影响，而我们又无法确定这些变量的取值，则需运用参数法，即用参数表示出变量，设出直线的斜率、点的坐标、曲线的方程等，然后将其代入题设中，建立关系式，通过恒等变换消去参数，即可求得动点的轨迹方程.例2.已知抛物线y2=4px(p>0)的顶点为O，A,B是抛物线上的两个动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程.解：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b，因为OA⊥OB，所以k=-xy，由ìíîy2=4px，y=kx+b，得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0，所以x1x2=-b2k2，y1y2=-4pb k，因为OA⊥OB，所以y1y2=-x1x2，所以-4pbk=-b2k2，即b=-4kp，所以直线AB的方程为y=kx+b=k(x-4p)，将k=-xy代入，得x2+y2-4px=0(x≠0)，即所求点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0).解答本题主要运用了参数法，即先引入参数x、y，49k 、b 、x 1、x 2、y 1、y 2，设出动点M 的坐标、直线AB 的方程以及A 、B 两点的坐标；然后将直线与抛物线的方程联立，根据一元二次方程的根与系数的关系建立关系式；最后通过恒等变换消去参数，得到关于x 、y 的方程，即为动点的轨迹方程.三、相关点法若两个动点之间存在某种特定的关系，则可以采用相关点法求解.先分别设出两个动点的坐标，并根据二者之间的关系，用所求动点的坐标表示另一个动点的坐标；然后根据另一个动点的几何关系，建立关于所求动点坐标的关系式，从而求得动点的轨迹方程.运用相关点法解题，要注意寻找两个动点之间的联系，并确定另一个动点所满足的几何关系.例3.如图2所示，在圆x 2+y 2=4上任意选取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD中点M 的轨迹方程.图2解：设点M (x ,y )，P (x 0,y 0)，因为M 为线段PD 的中点，所以ìíîïïx =x 0，y =y 02，得{x 0=x ，y 0=2y ，又因为点P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=4上，所以x 02+y 02=4，将{x 0=x ，y 0=2y ，代入上述方程中，得x 24+y 2=1，所以点M 的轨迹为一个椭圆，其方程为x 24+y 2=1.本题中P 、M 均为动点，且点M 随着点P 的运动而变化，需采用相关点法求解，先分别设出P 、M 两点的坐标；然后用M 点的坐标表示P 的坐标；再将其代入点P 的轨迹方程，即可确定点M 的轨迹及其方程.四、交轨法当问题中所求的动点为两条动曲线的交点时，往往需采用交轨法，即将两条动曲线的方程联立，消去其中的参数，得到的关于x 、y 的方程即为所求的动点的轨迹方程.例4.如图3所示，已知双曲线C ：y 24-x 23=1与y轴交于点A 1(0,-2)与点A 2(0,2)，直线l ：y =m 与双曲线交于点P ,Q ，直线A 1P 与直线A 2Q 相交于点M ，试求点M 的轨迹方程.图3解：设P (x 1,m )，Q (-x 1,m )，M (x ,y )，因为点P 在双曲线上，所以m 24-x 123=1.当x 1≠0时，直线PA 1的方程为y +2=m +2x 1x ，直线QA 2的方程为y -2=2-m x 1x，可得y 2-4=4-m 2x 12x 2，所以x 12=3m 2-124，将其代入y 2-4=4-m 2x 12x 2，得y 2-4=-43x 2，化简整理得y 24+x 23=1.当x 1=0时，点M 的坐标满足方程y 24+x 23=1.综上所述，点M 的轨迹方程为y 24+x 23=1.仔细分析题意可知，M 为直线A 1P 与直线A 2Q 的交点，且点A 1、A 2、P 、Q 都满足双曲线的方程，于是采用交轨法，求得两动直线A 1P 与A 2Q 的方程，再将两方程联立，消去参数，即可求出交点M 的轨迹方程.总之，求动点的轨迹方程，关键是要根据题目中的几何条件，寻找动点的横坐标与纵坐标之间的关系，建立关于动点的横坐标与纵坐标的方程.求动点的轨迹方程的方法很多，同学们需熟练掌握一些常用方法的特点、适用情形、解题思路，才能将其灵活地应用于解题中.（作者单位：江苏省南通市海门实验学校）思路探寻50。
动点轨迹方程求解的常见方法
动点轨迹方程求解的常见方法符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。
轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
重点要掌握常用求轨迹方法，难点是轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论。
动点轨迹方程求解的常见方法一、动点轨迹方程解题步骤1、建系——建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;2、设点——设轨迹上的任一点P(x，y)，写出点P的集合;3、列式——列出动点p所满足的关系式;4、代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，化简方程为最简形式;5、证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
二、动点轨迹方程求解常见的6种方法动点轨迹方程的求解方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
1、直译求解法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
2、定义求解法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
几何动点运动轨迹及最值
几何动点运动轨迹及最值一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线； 1．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，2），点M 的坐标为39(1,)44m m −−−(其中m 为实数)，当PM 的长最小时，m 的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A (1，4)，B (3，2)，C (m ，－4m ＋20)，若OC 恰好平分四边形．．．OACB ．．．．的面积，求点C 的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交边BC 或CD 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为___________.ABDCEFPM ABDCEFPM yxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长； （2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积． 变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。
动点在定直线上轨迹方法
动点在定直线上轨迹方法在数学领域中，研究动点在定直线上的轨迹问题是一项有趣且具有挑战性的任务。
本文将详细介绍一种求解动点在定直线上轨迹的方法，帮助读者更好地理解这一数学问题。
一、问题背景在数学中，动点在定直线上的轨迹问题是指在一定条件下，动点在直线上的运动路径。
求解这类问题有助于我们了解动点的运动规律，为实际问题提供理论依据。
下面，我们将介绍一种求解此类问题的一般方法。
二、轨迹方法1.建立坐标系首先，我们需要在定直线上建立一个合适的坐标系。
通常情况下，我们可以选择定直线为x轴或y轴，以便简化问题。
坐标系建立后，我们可以用坐标表示动点的位置。
2.设定动点运动方程设动点的初始位置为P0(x0, y0)，运动时间为t，速度为v，动点的运动方程可以表示为：x = x0 + vxty = y0 + vyt其中，vx和vy分别为动点在x轴和y轴方向上的速度分量。
3.引入约束条件在动点运动过程中，可能存在一些约束条件，如动点在某一时刻必须经过某一点，或者动点在某一段时间内速度保持不变等。
根据实际问题，我们需要引入这些约束条件，从而确定动点的轨迹。
4.求解轨迹方程根据动点的运动方程和约束条件，我们可以求解出动点的轨迹方程。
具体步骤如下：（1）将动点的运动方程代入约束条件中，得到关于t的方程。
（2）解出t的值，将其代入动点的运动方程，得到动点在各个时刻的位置坐标。
（3）将所有位置坐标连成一条曲线，即为动点在定直线上的轨迹。
三、实例分析假设有一动点P，初始位置为P0(0, 1)，在x轴上以速度v = 1m/s匀速运动，求动点在y = 1这条直线上的轨迹。
1.建立坐标系以y = 1为x轴，建立坐标系。
2.设定动点运动方程x = ty = 13.求解轨迹方程由于动点在y = 1这条直线上运动，所以轨迹方程为：y = 1四、总结本文介绍了求解动点在定直线上轨迹的一种方法，通过建立坐标系、设定动点运动方程、引入约束条件和求解轨迹方程等步骤，可以有效地解决这类问题。
求动点的轨迹方程常用的四种方法
O
x
这个式子说明动点P到定点O , A的距离之差的绝 对值等于2（小于|OA|);所以点P的轨迹是双曲线。
该双曲线的两焦点为O , A(4, 0) ，中心在线段OA的中点 O(2, 0) 此时c = 2 , a = 1，所以 b 3 所以所求的双曲线方程为：
O
2
y
y ( x 2) 1 3
这样就有点M到点A的距离等于点M到 直线 x 2 的距离，这符合抛物线的定 O 义，所以点M的轨迹就是以点A为焦点， x 2 以直线 x 2为准线的抛物线。
A
x
即所求的轨迹方程为： y 2 8x( x 0)
或 y 0( x 0)
三、代入法
当主动点P在某曲线 f ( x, y ) 0 上移动时，与P具备相关 关系的因动点M随其移动而形成曲线，求动点M的轨迹 方程 g ( x, y) 0的方法叫代入法。分析关系如下：
例1 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为
Y
1、如图所示建立直角坐标系
2、利用命题所给条件建立等量关系
| MA | | MB |
M ( x, y )
A(a,0)
( x a)2 y 2 ( x a) y
2 2
O
B(a, 0) x
3、把|MA|，|MB|转换代数式
a 2 4c 2 a 2c | CD | 4c c c 2 2 3 3 ( x 1) ( y 2) 1 2 F ( x, 2 y) 2 2 4 2 9( y 3 ) 2 ( x 1) 1 化简得: 4
二、定义法
1、熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的第一、第 二定义；以及初三时学习的六种基本轨迹定义。 2、分析命题给出的条件符合那种曲线的定义。 3、解题步骤：①定形——利用定义确定曲线类型 ②定位——利用条件确定曲线位置 （此时可确定曲线的待定系数方程） ③定大小——求方程中的待定系数。
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4__． 运动的总路程为__
点拨：在 Rt△AOB 中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO ＝ 22－12＝ 3，①当点 P 从 O→B 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的 路程为 3； ②当点 P 从 B→C 时， 如图 3 所示， 这时 QC⊥AB， 则∠ACQ ＝90°，∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝ CQ CQ 30°，∴cos30°＝AQ，∴AQ＝ ＝2，∴OQ＝2－1＝1，则点 Q cos30° 运动的路程为 QO＝1；③当点 P 从 C→A 时，如图 3 所示，点 Q 运动的 路程为 QQ′＝2－ 3；④当点 P 从 A→O 时，点 Q 运动的路程为 AO＝1， ∴点 Q 运动的总路程为 3＋1＋2－ 3＋1＝4，故答案为 4
例3：（2013浙江湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 3 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N．若点P是线 段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上 运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时， 点B运动的路径长是_____________．