第六章 6.2数列

§6.2等差数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系.主要考查等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查．难度为中低档.1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d.3．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示 充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示 不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) 题组二 教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.答案 180解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325答案 D解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，所以875<d ≤325.故选D.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，所以a 8>0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，所以a 9<0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.等差数列1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B.2．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________． 答案 16解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 21＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二 ∵S 9＝a 1＋a 92×9＝27，∴a 1＋a 9＝6，∴a 2＋a 8＝2a 5＝6， ∴a 5＝3，则a 2a 5＋a 8＝3a 2＋a 8＝0， 即2a 2＋6＝0， ∴a 2＝－3，则a 8＝9， ∴其公差d ＝a 8－a 58－5＝2，∴a 1＝－5， ∴S 8＝8×a 1＋a 82＝16.3．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－4n .故选A.4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.答案 4解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1， 即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d5a 1＋5×42d＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4.思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，d ，a n ，S n ，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .等差数列的判定与证明例1 已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．解 (1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4， 又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2， 所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)， 得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为2的等差数列，则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列． 跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .解 (1)∵a n 是1与a n a n ＋1的等差中项， ∴2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴a n ＋1＝2a n －1a n， ∴a n ＋1－1＝2a n －1a n －1＝a n －1a n ，∴1a n ＋1－1＝a n a n －1＝1＋1a n －1，∵1a 1－1＝1， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是首项为1，公差为1的等差数列， ∴1a n －1＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ＋1n .(2)由(1)得1n 2a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西省南昌江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28 答案 C解析 ∵2＋a 5＝a 6＋a 3，∴2＋a 4＋d ＝a 4＋2d ＋a 4－d ，解得a 4＝2， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝14.故选C.命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63 答案 B解析 在等差数列{a n }中， S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列， 即7,14，S 15－21成等差数列， 所以7＋(S 15－21)＝2×14， 解得S 15＝42.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.答案 2 020解析 由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0202 020＝S 11＋2 019d ＝－2 018＋2 019＝1， ∴S 2 020＝1×2 020＝2 020. 思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{a n }中， ①a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)，d ＝a n －a mn －m. ②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1).②依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列．跟踪训练2 (1)(2020·贵州省遵义绥阳中学模拟)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115 答案 A解析 因为等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，S n T n ＝n ＋2n ＋1，所以S n T n ＝n ＋2n ＋1＝n (n ＋2)n (n ＋1)，不妨令S n ＝n (n ＋2)，T n ＝n (n ＋1)，所以a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋2)－(n －1)(n ＋1)＝2n ＋1(n ≥2)， b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n (n ≥2)， 所以a 6b 8＝2×6＋12×8＝1316.故选A.(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．13 答案 B解析 根据S 13>0，S 14<0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8<0，所以可以得到a 7>0，a 8<0，所以S n 取最大值时n 的值为7，故选B.1．(2020·长沙模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 10＝43a 7，则a 2 020等于( )A ．1 348B ．675C ．－1 344D ．－671答案 A解析 由a 10＝43a 7 ，得2＋9d ＝43(2＋6d )，d ＝23，a 2 020＝2＋2 019d ＝1 348.故选A. 2．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 A解析 由等差数列性质可知，S 5＝a 1＋a 52×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7，故d ＝a 6－a 36－3＝3.故选A.3．(2019·贵州省凯里第一中学模拟)在数列{a n }中，已知a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( )A ．2 021B ．2 020C ．4 042D ．4 040答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，∴2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }为等差数列，∵a 1 011＝1，∴S 2 021＝2 021(a 1＋a 2 021)2＝2 021×2a 1 0112＝2 021. 4．已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论： ①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0.其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④答案 C解析 因为a 1＋5(a 1＋2d )＝8a 1＋28d ，所以a 1＝－9d ，a 10＝a 1＋9d ＝0，①正确；由于d 的符号未知，所以S 10不一定最小，②错误；S 7＝7a 1＋21d ＝－42d ，S 12＝12a 1＋66d ＝－42d ，所以S 7＝S 12，③正确；S 20＝20a 1＋190d ＝10d ，④错误．所以正确的是①③，故选C.5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．184答案 D解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996， 解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.则第八个孩子分得斤数为184.6．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )A ．15B ．16C ．17D ．14答案 C解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值，∴等差数列{a n }为递减数列，又a 10a 9<－1，∴a 9>0，a 10<0， ∴a 9＋a 10<0，又S 18＝18(a 1＋a 18)2＝9(a 9＋a 10)<0， S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9>0， ∴S n >0成立的正整数n 的最大值是17.故选C.7．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________. 答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，∴公差d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2， 首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100. 8．(2020·三明质检)在等差数列{a n }中，若a 7＝π2，则sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13＝________.答案 0解析 根据题意可得a 1＋a 13＝2a 7＝π，2a 1＋2a 13＝4a 7＝2π，所以有sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13＝sin 2a 1＋sin(2π－2a 1)＋cos a 1＋cos(π－a 1)＝0.9．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________. 答案 5641解析 在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641. 10．已知数列{a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝1，a 3＝9，则a n ＝________. 答案 (n 2－3n ＋3)2解析 数列{a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝1，a 3＝9， ∴a n ＋1－a n ＝(a 2－1)＋2(n －1)，a 3－a 2＝(a 2－1)＋2，∴3－a 2＝(a 2－1)＋2，∴a 2＝1.∴a n ＋1－a n ＝2n －2，∴当n ≥2时，a n ＝2(n －1)－2＋2(n －2)－2＋…＋2－2＋1＝2×(n －1)n 2－2(n －1)＋1＝n 2－3n ＋3.∴a n ＝(n 2－3n ＋3)2，n ＝1时也成立．∴a n ＝(n 2－3n ＋3)2.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 ∵1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13， ∴b n ＋1－b n ＝13， ∴{b n }是首项为1，公差为13的等差数列． (2)解 由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1， 知b n ＝13n ＋23， ∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2. 12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解 (1)由题意知(a 1＋a 2)(a 1＋a 2＋a 3)＝36，即(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2·2＝n 2. (2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝2m －1＋2(m ＋1)－1＋2(m ＋2)－1＋…＋2(m ＋k )－1＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65，由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，且2m ＋k －1与k ＋1均为整数，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝5，k ＝4.即所求m 的值为5，k 的值为4.13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a 且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于() A ．90 B ．100 C ．110 D ．120答案 A解析 设{a n }的公差为d ，b 2＋b 4b 1＋b 3＝3241331122222222a da a a d a a a a ++++++＝＝2d＝6817＝4， ∴d ＝2，b 1＋b 3＝311122222a a a a d +++＝＝17，∴12a ＝1，a 1＝0，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×92×2＝90，故选A.14．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________. 答案 40解析 设a n ＝2＋(n －1)d ，所以a 2n n ＝[2＋(n －1)d ]2n＝d 2n 2＋(4d －2d 2)n ＋(d －2)2n， 由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列， 所以其通项是一个关于n 的一次函数，所以(d －2)2＝0，∴d ＝2.所以a 20＝2＋(20－1)×2＝40.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( )A ．210 B.1210 C.10 D.3210 答案 D解析 因为在实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，所以设中间三项为a ，b ，c ，由等差数列的性质可得2b ＝x ＋y ，所以b ＝x ＋y 2，同理可得c ＝x ＋3y 4， 所以后三项的和为b ＋c ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋3y 4＋y ＝3x ＋9y 4， 又因为x 2＋y 2＝4，所以可令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以3x ＋9y 4＝32(cos θ＋3sin θ)＝3102sin(θ＋φ) ≤3102.故选D. 16．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a n n，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n －1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．解 由题意得2＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n n， 所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝22n －1(n ≥2，n ∈N *)． 当n ＝1时，a 1＝2，符合上式，所以a n ＝22n －1(n ∈N *)． 又由题意得3＝b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n n， 所以b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n ＝3n ，所以b 1＋3b 2＋…＋3n －2b n －1＝3n －3(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得b n ＝32－n (n ≥2，n ∈N *)．当n ＝1时，b 1＝3，符合上式，所以b n ＝32－n (n ∈N *)．因为c n ＝2a n＋k log 3b n ，所以c n ＝(2－k )n ＋2k －1. 因为对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c 6≥0，c 7≤0，解得135≤k ≤114.。