江西省九校2020届高三联考理科数学试题Word版含答案

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2023年江西省五市九校协作体高考数学第二次联考试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年江西省五市九校协作体高考数学第二次联考试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足为虚数单位，则下列说法正确的是( )A. z的虚部为B.C. D. z在复平面内对应的点在第二象限3. 若，是第三象限的角，则( )A. 2B.C.D.4. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为( )A. 壬午年B. 癸未年C. 己亥年D. 戊戌年5. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，点P在双曲线C的右支上，且，双曲线C的一条渐近线方程为，则k的最小值为( )A. B. C. D.6. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有( )A. 450种B. 72种C. 90种D. 360种7. 已知椭圆的一个焦点为F，点P是椭圆C上的一个动点，的最小值为，且存在点P，使得点O为坐标原点为正三角形，则椭圆C的焦距为.( )A. 2B.C.D. 48. 关于曲线C：，下列说法正确的是( )A. 曲线C可能经过点B. 若，过原点与曲线C相切的直线有两条C. 若，曲线C表示两条直线D. 若，则直线被曲线C截得弦长等于9. 已知函数，则下列说法中正确的是( )A. 是偶函数B. 的图像关于直线对称C. 的值域为D. 在上有5个零点10. 如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为( )A. 5052B. 5057C. 5058D. 506311.在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，下列结论正确的是( )A. 若，则四面体的体积为定值B. 若平面，则AQ的最小值为C. 若的外心为M，则为定值2D. 若，则点Q的轨迹长度为12. 已知，，，，则( )A. B. C. D.13.已知非零向量，满足，，则向量，的夹角是______ .14. 已知，则______ .15. 已知实数a，b满足，，，则的最小值为______ .16. 已知设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为______ .17.已知中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为的角平分线．求证：AD：：CB；若且，求的面积．18. 如图，在梯形ABCD中，，，四边形ACFE为矩形，且平面ABCD，求证：平面BCF；点M在线段含端点上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．19. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为单位：元请用表示；设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.20. 过坐标原点O作圆C：的两条切线，设切点为P，Q，直线PQ恰为抛物线E：的准线.求抛物线E的标准方程；设点T是圆C的动点，抛物线E上四点A，B，M，N满足：，，设AB中点为证明：TD垂直于y轴；设面积为S，求S的最大值.21. 已知函数讨论函数的单调性；若函数存在两个极值点，，且恒成立，求实数k的最小值.22. 以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为为参数，，曲线C的极坐标方程为求曲线C的直角坐标方程；设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求的最小值．23. 已知a，b，c均为正实数，且证明：；答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意可知，集合，或，，故选：利用集合的交集的概念及运算求解即可．本题考查集合的交集的概念及运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，的虚部为，故选项A错误，，故选项B正确，，故选项C错误，z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项D错误，故选：先利用复数的除法运算法则求出z，再结合复数虚部的定义，复数模长的定义，以及共轭复数的定义逐个判断各个选项即可．本题主要考查了复数的四则运算，考查了复数的模长，以及共轭复数的概念，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由，是第三象限的角，可得，故选：将表达式式中的正切化成正余弦，由，求出，即可得到结论．本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力，还要注意条件中的角与待求式中角的差别，注意转化思想的应用．4.【答案】B【解析】解：由题意可知，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于…4，余数为4，故100年后地支为未，综上，100年后的2123年为癸未年．故选：根据题意，天干和地支的年份分别是以10和12为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解．本题考查逻辑推理，等差数列的简单应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为，且，所以，，因为，所以，即，由题得双曲线的渐近线方程为，即，又因为双曲线C的一条渐近线方程为，所以，因为所以所以所以k的最小值为，故选：由及得出和，根据求出e 的范围，再根据，求出k的范围，即可求出k的最小值．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．6.【答案】A【解析】解：由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种，分人数为的三组，共有种；第二种，分人数为的三组，共有种；所以不同的安排方法共有种．故选：利用分组和分配的求法求得6名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得．本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的性质及正三角形的性质，属于中档题．由椭圆的性质可得的值，再由点O为坐标原点为正三角形可得P点的坐标，将P 的坐标代入可得a，b，c之间的关系，再由椭圆中a，b，c之间的关系求出c的值，进而求出焦距的值．【解答】解：由椭圆的定义可得，①要使点O为坐标原点为正三角形，则存在，，即，将P代入椭圆的方程，②又，③由①②③可得：，即，可得焦距故选8.【答案】B【解析】解：将点代入曲线C：可得，整理得，即，显然此方程无解，即曲线C一定不过点，A 错误；时，易得曲线C是圆心为，半径为的圆，此时原点和圆心之间的距离为，，故原点在圆外，过原点有两条直线与曲线C相切，B正确；时，曲线C：，则，解得，则曲线C表示一个点，C错误；时，曲线C：，圆心在直线上，则直线被曲线C截得弦长即为圆的直径等于2，D错误．故选：直接将点代入曲线C方程，由方程无解即可判断A选项；先由原点到圆心的距离判断出原点在圆外即可判断B选项；代入曲线C解出即可判断C选项；先求出圆心在直线上结合直径即可判断D选项．本题考查了曲线与方程，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数的定义域为，因为，所以，，所以，所以不是偶函数，A错误；当时，，当时，，若函数的图像关于直线对称，则，又，，矛盾，所以函数的图像不关于直线对称，B错误；时，的值域是，时，的值域是，C正确；时，，有无数个零点，函数在上有无数个零点，D错误．故选：根据偶函数的定义判断A，对给定函数式按及两段化简，结合对称的性质利用反证法判断B，再结合正弦函数的性质，判断C，本题主要考查了函数的奇偶性，对称性的判断，还考查了函数值域及零点个数的求解，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：根据杨辉三角的性质，，所以，由题意得：数列的整数项为2，3，7，8，12，13，，其规律为各项之间以，，，，，，，单调递增，因此，数列的奇数项是以5为公差，2为首项的等差数列，偶数项是以5为首项，3为首项的等差数列；即，所以故选：直接利用杨辉三角的性质和对数的运算求出数列的奇数项是以5为公差，2为首项的等差数列，偶数项是以5为首项，3为首项的等差数列，进一步求出结果．本题考查的知识要点：杨辉三角的性质，等差数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．11.【答案】ABD【解析】解：在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，，对于A，因为，所以Q，C，三点共线，所以点Q在，因为，平面，平面，所以平面，所以点Q到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确；对于B，取，DC的中点分别为M，N，连接AM，MN，AN，则，因为平面，平面，所以平面，因为，，所以，因为平面，平面，平面，因为，MN，平面AMN，所以平面॥平面，因为平面AMN ，所以AQ平面，所以当时，AQ最小，因为，，所以，，所以，所以Q，M重合，所以AQ的最小值为，所以B正确；对于C，若的外心为M，过M作于H，因为，所以，所以C错误，对于D，过作于点O，因为则可得平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，在，上取点，，使得，则，所以若，则Q在以O为圆心，2为半径的圆弧上运动，因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，故选：对于A，由，可得Q，C，三点共线，可得点Q在，而由直四棱柱的性质可得平面，所以点Q到平面的距离为定值，而的面积为定值，从而可进行判断；对于B，取，DC的中点分别为M，N，连接AM，MN，AN，由面面平行的判定定理可得平面平面AMN，从而可得平面，进而可求得AQ的最小值；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断；对于D，在，上取点，，使得，可得点Q的轨迹为圆弧，从而可进行判断．本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：对于A，，，，令，则，所以在单调递减，在上单调递增，且，故，令，，则，所以在上单调递减，且，，，，，，即，故A错误；对于B，，，，令，则，所以在单调递增，在上单调递减，且，故，令，，所以在上单调递减，且，，，，，，即，故B错误；对于C，，，，又在单调递增，，，故C错误；对于D，由C可知，，，又在单调递减，，故D正确．故选：先构造函数，通过函数的单调性确定a，b的大致范围，再构造，通过函数的单调性确定d与的大小关系，进而得到A选项；先构造函数，通过函数的单调性确定c，d的大致范围，再构，通过函数的单调性确定d与的大小关系，进而可知B选项错误；通过，得到，进而可得与d的大小关系，进而可知C选项错误；D与C选项同样的方法即可判断．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：已知非零向量，满足，又，则，即，则，又，则，则向量，的夹角是，故答案为：由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属基础题．14.【答案】132【解析】解：，…，故答案为：由，继而根据展开式的特点求出答案．本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．15.【答案】2025【解析】解：，因为，所以，，，故，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，故，即的最小值为故答案为：先对式子变形得到，由基本不等式求出，从而求出的最小值．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．16.【答案】【解析】解：当时，，即或，即，当时恒成立，故成立；当时，时，递减，可得，故恒成立；当时，，当时，递增；当时，递减．①当时，在递增，可得，恒成立；②当时，在处取得最小值，当时，，则恒成立；当时，，则不恒成立；故时，则恒成立；当时，在递增，可得，即，此时，，所以；时，递增，，故恒成立．综上可得，a的取值范围是故答案为：对a讨论，分，，，考虑和时，的单调性，求得最值，解不等式，求并集可得所求范围．本题考查分段函数的运用，以及函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于难题．17.【答案】解：证明：由题意可得，因为BD为的角平分线，则，在中，，则，同理可得，因此；设，则，因为，即，因为，则，则，，即，可得，，所以，，【解析】结合正弦定理以及角平分线性质即可得到结论，设，则，利用，求出，进而求解结论．本题主要考查正弦定理以及诱导公式在解三角形中的应用，属于基础题目．18.【答案】解：在梯形ABCD中，，，又，，…分…分平面ABCD，平面ABCD，，…分而，平面…分，平面…分由可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示建立空间直角坐标系，令，则，，，，…分，，设为平面MAB的一个法向量，由得取，则，…分是平面FCB的一个法向量，，当时，有最小值，…分点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为【解析】在梯形ABCD中，通过，求出，通过证明，证明，推出平面BCF，即可证明平面由可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示建立空间直角坐标系，求出平面MAB的一个法向量，求出平面FCB的一个法向量，通过向量的数量积，推出平面MAB 与平面FCB所成二面角，然后求解二面角的余弦值．本题考查平面向量的数量积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：因为，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，所以，，，，所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为：X0123P控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为：，；升级改造后单位时间内产量的分布列为：产量4a0设备运行概率所以升级改造后单位时间内产量的期望为；产品类型高端产品一般产品产量单位：件利润单位：元21设备升级后单位时间内的利润为，即；因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为；第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为；所以，则，所以当时，，单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当时，，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为，所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．【解析】由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解；先写出升级改造后单位时间内产量的分布列congestion求出设备升级后单位时间内的利润，即为；分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论．本题考查二项分布的概率及期望的求解，离散型随机变量的分布列及概率的最值问题，化归转化思想，属难题．20.【答案】解：设直线PQ与x轴交于S，则，由圆的方程知：圆心，半径，为圆C的切线，，又，∽，，即，解得：，抛物线E的标准方程为：设，，，证明：由知：M为TA中点，且在抛物线E上，即，又，，整理可得：；由知：N为TB中点，且在抛物线E上，同理可得：；，是方程的两根，，，点的纵坐标为，直线TD的斜率为0，即TD垂直于y轴．，，，在圆C上，，，则当时，，【解析】设直线PQ与x轴交于S，由三角形相似关系可得，由此可构造方程求得p的值，从而得到抛物线方程；根据共线向量可知M，N为TA，TB中点，结合点在抛物线上可确定，为方程的两根，由此可得韦达定理的结论；根据D点纵坐标可知TD斜率为零，由此可得结论；由，代入韦达定理，结合点T在圆C上，可化简得到，根据二次函数最值的求法可求得结果．本题考查了抛物线的方程、直线与抛物线的综合问题，考查了圆锥曲线中的最值求解，属于中档题．21.【答案】解：函数的定义域为，则，，令，则，当，即时，恒成立，则，所以在上单调递增，当，即或时，①当时，是开口向上且过的抛物线，对称轴为，函数的两个零点为和，所以在上，单调递增，在上，单调递减，在上，单调递增，②当时，是开口向上且过的抛物线，对称轴为，在上恒成立，所以，单调递增，综上所述，当时，函数在上单调递增，当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．由知当时，有两个极值点，，则，是方程，是方程的两个根，所以，，所以，所以恒成立转化为恒成立，令，不等式转化为，所以，所以，即，令，则不等式化为，因为，所以当时，，单调递增，所以，即，令，，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以，所以，即时，实数k取得最小值，所以实数k的最小值为【解析】求导得，，令，则，分两种情况：当，当，分析的符号，的符号，进而可得的单调性．由知当时，有两个极值点，，则，是方程，是方程的两个根，由韦达定理可得，，则，则恒成立转化为恒成立，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；把直线l的参数方程为为参数，，代入方程；得到，整理得，，故，当时，最小值为【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】证明：因为a，b，c都为正实数，且，，，，当且仅当时，取等号，所以，可得，当且仅当时“=”成立，所以由题意得，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，由①+②+③，得，当且仅当时等号成立．又，当且仅当时等号成立．所以【解析】利用重要不等式结合已知条件，推出结果即可．通过，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，累加，转化求解证明即可．本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

2020届江西九校联考数学试题(文理各一套)

求 [10,12]小组中至少有 1 人发言的概率？
19.（本小题满分 12 分）
如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AB // DC ，∠BAD = 900 ，AB = 4 ，AD = 2 ，DC = 3 ，
点 E 在 CD 上，且 DE = 2 ，将 ∆ADE 沿 AE 折起，得到四棱锥 D − ABCE （如图 2）.
一、选择题
2020 届九校联考文科数学试题
{ } 1.已知集合 M = {x | x < 1}， N = x x2 − x < 0 ，则（）
A. M I N = {x x < 1} B. M U N = {x x > 0} C. M ⊆ N
D. N ⊆ M
2．设复数 z 满足： (1+ i)z = 2 − i ，则 z 的虚部为（）
=
1 27
，则 a6 的值为（
）
A． 1 27
B． 1 81
C． 1 243
D． 1 729
4. 右图的框图中，若输入 =
A．3 B．4 C．5 D．6
，则输出的值为（）
5.已知 a = log3 0.8 ， b = 30.8 ， c = 0.32.1 ，则（
）
A． a < ab < c
B． ac < b < c
的极坐标方程为 ρ 2
=
12 3 + sin 2 θ
.
（1）求 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求曲线 C 上的点到 l 距离的最大值及该点的直角坐标.
23.[选修 4-5：不等式选讲]
已知点 P(x, y) 的坐标满足不等式： x −1 + y −1 ≤ 1.

2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。

江西省重点中学协作体2020届高三第二次联考数学(理科)试题 Word版含解析

江西省重点中学协作体2020届高三年级第二次联考数学试卷（理科）满分：150分时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2,,0A a a =，{}1,2B =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A. 1-B. 0C. 1D. ±1【答案】A 【解析】【分析】根据{}1A B ⋂=，得1A ∈，根据元素的互异性可知1a =- 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈，又2a a ≠，所以0a ≠且1a ≠，所以21a =，所以1a =-(1a =已舍)，此时满足{}1A B ⋂=. 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 2. 设312iz i-=+，z 的虚部是（） A.75i B. 75C. 75i -D. 75-【答案】B 【解析】【分析】算出1755z i =-即可【详解】因为()()()()31231717=121212555i i i i z i i i i ----===-++-所以z 的虚部是75故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算及复数的概念，较简单.3. 已知0.23a -=，3log 6b =，2log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D.b c a <<【答案】B 【解析】【分析】利用指数和对数的性质，判断三个数值的范围，即可得出结果.【详解】解：因为0.20-<，且函数3xy =在R 上单调递增，所以0.203103-<=<，即01a <<，因为函数3log y x =在(0,)+∞上单调递增，且322363<<，所以322333log 3log 6log 3<<，所以33log 622<<，即322b <<，因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且23272<<，所以23222log 2log 7log 2<<，所以22log 73<<，所以2131log 7<22<，即231log 2<，31<2c < 所以a c b <<，故选：B【点睛】此题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.4. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（）A. 0，3B. 0，4C. 2，3D. 2，4【答案】C 【解析】【分析】执行循环，直至a b =终止循环输出结果.【详解】执行循环，得1,2;2,4;3,2i b i a i a ======，结束循环，输出2,2a b ==，此时3i =,选C.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（）A.14B.13C.23D.16【答案】B【分析】设AC的中点为点E，则可以推得23BP BE=，故得点P为ABC的重心，即可得答案.【详解】设AC的中点为点E，则有2BA BC BE+=，又3BA BC BP+=，所以23BP BE=，则点P在线段BE上，因为D为BC的中点，所以得点P为ABC的重心，故ABP△与ABC面积之比为13.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的运算，三角形重心的性质，属于基础题.6. 某几何体的三视图如图所示（网格中的每个网格小正方形的边长为单位1），则该几何体的体积为（）A. 163B. 6C.203D.223【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由正方体截割去1个三棱锥所得到的几何体，由此求出几何体的体积.【详解】解：由三视图，可知该几何体是由正方体截割去1个三棱锥所得到的几何体，如图所示：因为网格中的每个网格小正方形的边长为单位1，所以三棱锥的体积为112212323V=⨯⨯⨯⨯=三棱锥，2228V=⨯⨯=正方体所以该几何体的体积为222833 V V-=-=正方体三棱锥【点睛】此题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，属于基础题. 7. 已知数列{}n a 满足11a =，1()31nn n a a n N a ++=∈+，则数列{}1n n a a +的前10项和10S =（） A.928B.2728C.1031D.3031【答案】C 【解析】【分析】先给1()31n n n a a n N a ++=∈+两边取倒数，得+1113n n a a -=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求出113(1)32n n n a =+-=-，得132n a n =-，于是可求出数列{}1n n a a +的通项，再利用裂项相消求和法可求得10S 的值. 【详解】解：因为1()31nn n a a n N a ++=∈+，所以+13111=3n n n n a a a a +=+，即+1113n na a -=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为公差，1为首项的等差数列，所以113(1)32n n n a =+-=-，所以132n a n =-，所以11111(32)(31)33231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以101111111111101=1343473283133131S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项公式，考查了裂项相消求和法，属于基础题.8. 已知平面四边形ABCD 是菱形，3BAD π∠=，AB =ABD △沿对角线BD 翻折至A BD '的位置，且二面角A BD C '--的平面角为23π，则三棱锥A BCD '-的外接球的表面积为（） A. 16πB. 24πC. 28πD. 32π【答案】C 【解析】【分析】设ACBD E =，由四边形ABCD 是菱形，可得'A EC ∠为二面角A BD C '--的平面角，故'23A EC π∠=.过三棱锥A BCD '-的外接球的球心O 作'OO ⊥面BCD ，垂足为'O ，则'O 是等边BCD 的中心. 作'A F AC ⊥，垂足为F ，可证'A F ⊥面ABCD ，故''//A F OO .作//OG AC 交'A F 于点G ，则四边形'OGFO 是矩形. 设外接球的半径为',R OO x =，则224R x =+，222522R x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出x ，即求2R ，进而求出外接球的表面积. 【详解】设ACBD E =，四边形ABCD 是菱形，',,AC BD A E BD CE BD ∴⊥∴⊥⊥，'A EC ∴∠为二面角A BD C '--的平面角，'23A EC π∴∠=. ,3BAD BCD π∠=∴是等边三角形.过三棱锥A BCD '-的外接球的球心O 作'OO ⊥面BCD ，垂足为'O ，则'O 是等边BCD 的中心. 如图所示''32123,3,2,133BC AB EC O C EC O E EC ==∴=∴====. 设外接球的半径为',R OO x =，则2224R OC x ==+. 作'A F AC ⊥，垂足为F .'',,,A E BD CE BD A E CE E BD ⊥⊥⋂=∴⊥面'A EC ，即BD ⊥面'A FC ，'BD A F ∴⊥.又',A F AC AC BD E ⊥⋂=，'A F ∴⊥面'',//ABCD A F OO ∴.作//OG AC 交'A F 于点G ，则四边形'OGFO 是矩形，'GF OO x ∴==.''2,33A EC A EF ππ∠=∴∠=. ''3333,,2A E EC EF A F ==∴==''35331,222OG O F AG AF GF x ∴==+=∴=-=-. 222'22'253322R OA OG AG x ⎛⎫⎛⎫∴==+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又224R x =+，222533422x x ⎛⎫⎛⎫∴+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23,7x R =∴=.∴三棱锥A BCD '-的外接球的表面积2428==ππS R .故选：C .【点睛】本题考查二面角，考查直线与平面的位置关系，考查空间几何体的外接球，属于较难的题目.9. 已知直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且120x x >，若4OA OB ⋅=-，且AOB 的面积为23，则E 的离心率为（） A. 2 B. 3C. 2D. 5【答案】C 【解析】【分析】作示意图，设AOx θ∠=，根据面积公式和向量数量积的运算，列出方程组，求得tan θ，即可得,a b 的等量关系，再转化为离心率即可. 【详解】作示意图如图所示，设02AOx πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，由题意可得cos24OA OB θ=-，1sin 2232OA OB θ= 所以sin 2tan 23cos 2θθθ==-，又02πθ<<，得3πθ=又因为tan 3b a θ==3b a =，则222c a b a =+=，故2ce a==.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及向量的数量积运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，属综合基础题.10. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,]99D. 8(0,]9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<，若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，当k =0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k =1时，得153232ω<<，解得101093ω<<，综上：函数()g x 在3(,)22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<，所以函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，409ω<≤. 所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.11. 已知函数11sin(1)()x x ex f x e----=，若22(2019)(2018)(2021)2020()1f f f a b -+-++=++，,a b ∈R ．则a b -+的最大值为（）A. 2+B. 2+C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】分析函数11sin(1)()x x ex f x e----=，可得()(2)2f x f x +-=，再令S =(2019)(2018)(2021)f f f -+-++，用倒序相加法可得4041S =，即化简条件为222a b +=，根据直线与圆的位置关系求-a b的范围，再求得a b -+的最大值.【详解】由题1sin(1)()1x x f x e--=-，则()(2)2f x f x +-=,令S =(2019)(2018)(2021)f f f -+-++，则S =(2021)(2020)(2019)f f f +++-240412S =⨯，得4041S =，则222020()1a b ++4041=，则222a b +=，令u a b =-，则0a b u --=，(,)a b 是圆心为(0,0)，半径为r =0a b u --=与圆有公共点，则圆心到直线0a b u --=的距离d =，由d r ≤≤得22u -≤≤，即22a b -≤-≤，故22a b -+≤-+≤+22a b -+≤-+≤+，故a b -+的最大值为2+.故选：A【点睛】本题考查了观察和分析能力，根据()f x ，得到()(2)2f x f x +-=是解决本题的关键，再利用直线与圆的位置关系求最值,是一道综合应用能力较强的题目.12. 已知函数13()2ln ()m x f x x x m x e -=--，当x e ≥时，()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A. (,4]e -∞B. (,3]e -∞C. (,2]e -∞D. 3(,]2e -∞ 【答案】B【解析】【分析】先分析0m ≤，易得()0f x ≥恒成立，再分析0m >，将问题转化为2ln 12ln (1)xm x m xe e x -≥-，x e ≥恒成立，再构造函数()x g x xe =，即(2ln )(1)m g x g x≥-，x e ≥恒成立，可利用()g x 的单调性，转化为则2ln 1,m x x e x≥-≥恒成立，再转化为得2ln ,m x x x x e ≤+≥恒成立，再构造函数()u x =2ln ,x x x x e +≥，利用导数得到min ()u x ，则m ≤min ()u x .【详解】当0m ≤，x e ≥时，()0f x ≥显然恒成立；当0m > 时，由题，则132ln ()m xx x m e x -≥-恒成立，得2ln 12ln (1)x mx m xe e x -≥-，x e ≥恒成立，令()x g x xe =，则(2ln )(1),m g x g x e x ≥-≥恒成立，则()(1)0x x x g x e xe x e '=+=+>，故()g x 在(1,)-+∞递增，则2ln 11,m x x e x≥->-≥恒成立，得2ln ,m x x x x e ≤+≥恒成立，令()u x =2ln ,x x x x e +≥，则()2ln 3u x x '=+0≥，即()u x 在[),e +∞递增，故min ()()3u x u e e ==，故03m e <≤，综合得3m e ≤.故选：B.【点睛】本题考查了分析观察能力，利用导数研究函数的性质，反复构造函数利用函数的单调性转化恒成立问题是解决问题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1326S =，则91032a a -=_________．【答案】2【解析】【分析】根据1326S =，利用等差数列的性质求得72a =，再利用通项公式求解.【详解】因为1326S =，所以()113137131322262a a a S ⨯==+=，所以72a =，所以()()1790772323322a a a a d d a -+-+===.故答案为：2【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式，通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14. 已知实数x ，y 满足条件20220230x y x y x y +->⎧⎪--<⎨⎪+-<⎩，则22x y z xy +=的取值范围为_________．【答案】5(2,)2【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，设1,.y t z t x t ==+再求出112t <<，最后利用导数求出函数的最值即得解. 【详解】不等式组对应的可行域如图所示，22x y y x z xy x y +==+，设1,.y t z t x t=∴=+ 联立20220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得42(,)33A ，联立20+230x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)C ，所以11,1,122OA OC k k t ==∴<<. 所以11(1)2z t t t =+<<，. 因为2110z t '=-≤，所以函数1z t t =+在1(,1)2单调递减. 所以5(2,)2z ∈.所以22x y z xy +=的取值范围为5(2,)2. 故答案为：5(2,)2.【点睛】本题主要考查线性规划问题，考查斜率的应用，考查导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.15. 已知1182)n x dx π-=⎰，则(1n x -的展开式中的常数项为_________．【答案】24【解析】【分析】根据题意，由定积分计算公式可得n 的值，进而由二项式定理分析(1n x的展开式中的常数项，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意， 11121111112)(2)()|48882n x dx dx x dx x ππππ----⎡⎤⎡⎤==-=⨯⨯-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰， 41x⎛- ⎝的通项为12441(1)2rr r r r r r xT x C x C -+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝⋅，当2r 时，有243424C xT ⋅==，则1n x⎛ ⎝的展开式中的常数项为24；故答案为：24【点睛】本题考查定积分的计算以及二项式定理的应用，关键是求出n 的值，属于基础题．16. 在平面四边形ABCD 中，60A ∠=︒，75B C ∠=∠=︒，=BC AB 的取值范围是_________．【答案】(2,3+【解析】【分析】首先将平面四边形补形为三角形，成为等腰三角形BCE ∆，在BCE ∆内平移直线AD 使之能满足条件，通过数形结合，分析两个临界点得到AB 的取值范围.【详解】如图所示，延长,BA CD 交于E ，平移AD ，当A 与点E 重合时，BA 最长(此时为临界位置，不能取)在BCE 中，75B C ∠=∠=︒，30E ∠=︒，6=BC ，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o 6sin 75BE =，由()o o o 26sin 75sin 4530+=+=，解得BE =3+3，平移AD ，当D 与点C 重合时，BA 最短，此时与BA 交于F ，在BCF △中，75,60B BFC ∠=︒∠=︒,45FCB ∠=︒，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o 6sin 45BF =，解得2BF =(此时为临界位置，不能取)所以BA 的取值范围为()2,33+故答案为：()2,33+【点睛】本题考查求几何图形中长度计算，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，考查正弦定理解三角形，本题的关键是通过平行移动AD ，根据临界点分析出AB 的长度，属于难题.二、解答题：（本大题共6小题，共70分，17-21题每题12分，选做题10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，已知2cos 2a C b c =+．（1）求A ；（2）若AM 是角A 的平分线，23AM =，且2CM MB =，求三角形ABC 的面积．【答案】（1）23π；（2）273．【解析】【分析】（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin A C B C =+，结合三角形内角和即可求得1cos 2A =-，由此可求出答案；（2）由题意得，2AC AB=，过M 作MD//AC 交AB 于D ，易知AMD 为正三角形，由此得23AD =，再根据三角形面积公式即可求出答案．【详解】解：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin A C B C =+，又()B A C π=-+，∴()2sin cos 2sin sin A C A C C =++，即2cos sin sin 0A C C +=，∴1cos 2A =-，又因为0A π<<，∴23A π=；（2）由AM 是BAC ∠的角平分线以及2CM MB =知，2AC AB =，过M 作MD//AC 交AB 于D ，易知AMD 为正三角形，∴23AD =33AB =63=AC ∴ABC 的面积1273sin 22ABC S AB AC A =⋅=．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查角平分线定理，属于基础题．18. 如图：在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，30ACP ∠=︒，且12AC =，6AB AP ==．（1）若点D 为BP 上的一动点，求证：PC AD ⊥；（2）若2CE EP =，求二面角A EB C --的平面角的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）24-【解析】【分析】（1）在APC △中，易得AP PC ⊥，再由平面PAC ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，利用面面垂直的性质定理得到AB ⊥平面APC ，从而有AB PC ⊥，然后由线面垂直的判定定理证明.（2）根据平面PAC ⊥平面ABC ，在平面PAC 中过A 点作AC 的垂线l ，则l 垂直平面ABC ，以l 为z 轴，AB ，AC 为x ，y 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面EAB 的一个法向量(,,)m x y z =和平面EBC 一个法向量(,,)n x y z =，代入公式cos ,m nm n m n ⋅=⋅求解.【详解】（1）在APC △中由正弦定理612sin 30sin APC=︒∠，得90APC ∠=︒，即AP PC ⊥， ∵平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC ，90BAC ∠=︒，故AB ⊥平面APC ，则AB PC ⊥，又APAB A =，∴PC ⊥平面ABP ，而AD ⊂平面ABP ，所以PC AD ⊥．（2）∵平面PAC ⊥平面ABC ，在平面PAC 中过A 点作AC 的垂线l ，则l 垂直平面ABC ，以l 为z 轴，AB ，AC 为x ，y 轴建立空间直角坐标系．由2CE EP =知，E 为PC 的三等分点，易得3)E ，(0,3,33)P ，()6,0,0B ，()0,12,0C ，()0,0,0A ，设平面EAB 的一个法向量为(,,)m x y z =，由00m AE m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得300z x +==⎪⎩，令1y =-，则3z =(0,3)m =-，设平面EBC 一个法向量为(,,)n x y z =，由00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2030x y z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则3z =2x =，(2,1,3)n =．则2cos ,4m nm n m n ⋅==⋅，设二面角A EB C --的平面角为α，则2cos α=．【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想，逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，1)P -．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且在y 轴上有一点()0,2M m ，当ABM 面积最大时，求m 的值．【答案】（1）22184x y +=．（2）m =．【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率可得,a b 关系，据此设22,(0)21x y λλ+=>，代入点1)P -即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示出弦长，由点到直线距离求出三角形高，可得ABM S △，由基本不等式可求最值.【详解】（1）由离心率为2c e a==，可设椭圆方程为22,(0)21x y λλ+=>又椭圆C 过点1)P -，∴4λ=．②由①②解得椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）直线l 的方程为y x m =+，则()0,2m 到直线l 的距离d =，将y x m =+代入椭圆方程22184x y +=，得2234280x mx m ++-=，由判别式221612(28)0m m ∆=-->，解得m -<设()()1122,,,A x y B x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -= 由弦长公式||AB ===，1||||2ABM S AB d m ===≤当且仅当m =取等号．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，基本不等式，属于中档题.20. 甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为n P （120n ≤≤），其中11P =，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第n 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由（2）①求第二轮答题中2P ，3P ；②求证12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n P （120n ≤≤）的表达式.【答案】（1）第二轮最先开始答题的是甲；详见解析（2）①213P =，359P =②证明见解析；1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（120n ≤≤）【解析】【分析】 (1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则2~(3,)3B ξ,设甲第一轮答题的总得分为x ,则1515x ξ=-,1515Ex E ξ=-,设乙第一轮得分为y ,求出y 的分布列,得到Ey ,比较两者大小即可得出结论;(2)①依题意得11P =,213P =,再利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出3P ;②1111212(1)(2)3333n n n n P P P P n ---=⨯+-⨯=-+,从而1111()232n n P P --=--,2n ,由此能证明1{}2n P -是等比数列,并求出(120)n P n 的表达式. 【详解】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设甲第一轮答题的总得分为x ,则105(3)1515x ξξξ=--=-, 所以2151515315153Ex E ξ=-=⨯⨯-=; (或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x ,则x 的所有可能取值为30,15,0,-15, 且33328(30)327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 2231212(15)3327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 213126(0)3327P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 30311(15)327P x C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭, 故得分为x 的分布列为:812130151515272727Ex=⨯+⨯-⨯=;)设乙的第一轮得分为y,则y的所有可能取值为30,15,0,则33351(30)10CP yC===,2132356(15)10C CP yC===,1232353(0)10C CP yC===, 故y的分布列为:故163015121010Ey=⨯+⨯=,∵Ex Ey>,所以第二轮最先开始答题的是甲.(2)①依题意知11P=,213P=,31122533339P=⨯+⨯=,②依题意有()111121213333n n n nP P P P---=⨯+-⨯=-+(2n≥),∴1111232n nP P-⎛⎫-=--⎪⎝⎭,(2n≥),又11122P-=,所以12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项,13-为公比的等比数列,∴1111223n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭, ∴1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭(120n ≤≤).【点睛】本题考查概率､离散型随机变量的分布列､数学期望的求法及应用,考查等比数列,需要学生具备一定的运算求解以及分析理解能力,属于中档题.21. 已知函数()xf x e x =-，()()2()(24)h x af x f x a x =+-+-（a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数）．（1）讨论函数()y f ax =的单调性；（2）当0x ≥时，()(2)cos h x a x ≥+恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）[2,)]+∞【解析】【分析】（1）由()ax f ax e ax =-，求导得到()(1)axf ax a e '=-，再分0a >和0a <讨论求解.（2）由2x π=时，根据()02h π≥，得到0a >．然后令()()(o 2c s )g x h x a x =-+，求导()'g x 2e 2(2)(2)sin e x xa a a x -=+-++，分2a ≥和02a <<讨论求解. 【详解】（1）易知()(1)axf ax a e '=- ①若0a >，则当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，②若0a <，则当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减．（2）当2x π=时，22()2(2)022h ae e a ππππ-=++-≥，即222()02e a e ππππ+≥->，所以0a >．令()()(o 2c s )g x h x a x =-+2(2)c (2s )o x x ae e a x x a -=++--+，则()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x -'=-+-++，2e 2(2)(2)sin ex x a a a x -=+-++，若2a ≥，则当[0,]x π∈时，()0g x '≥，所以()g x 在[0,]π上单调递增；当(,)x π∈+∞时，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x -'=-+-++e 2e (2)(2)x x a a a -≥-+--+224444ae e a ππ->-->--，所以当[0,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≥=．若02a <<，则()()0220g a '=-<，()e 2e (2)(2)sin x x g x a a a x -'=-+-++e 2e (2)(2)x x a a a -≥-+--+e 2e 4x x a -=--，由240x x ae e ---=得2ln 0x a+=>，所以0g '≥，所以020,ln x a ⎛+∃∈ ⎝⎦，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()00,x x ∈上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00g x g <=，不合题意．综上，a 的取值范围为2a ≥．【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立以及零点存在定理，还考查了分类讨论思想，运算求解的能力，属于难题.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第题计分.22. 如图所示的丘比特爱神之箭是由一颗爱心与一支箭组成，象征着高尚的爱情或强烈的欲望.在极坐标系中，爱心曲线C 的极坐标方程为2(1cos sin )1ραα-⋅=，[0,2)απ∈，0ρ>箭所在的直线l 的方程为：αθ=，[0,]2πθ∈.（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．请写出爱心曲线C 的普通方程；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求2AB 的取值范围【答案】（1）22||10x y x y +--=；（2）2843||4,3AB ⎡+∈⎢⎣⎦ 【解析】【分析】（1）由cos x ρα=，sin y ρα=，222x y ρ=+代入即可求得曲线C 普通方程；（2）设1,()A ρθ，2,()B ρθπ+，求得111cos sin ρθθ=-211cos sin ρθθ=+ 代入到2212||()AB ρρ=+211(cos sin )t θθ=-，利用二次函数的性质可求得答案．【详解】解：（1）由cos x ρα=，sin y ρα=，222x y ρ=+可得，爱心曲线C 的普通方程为：22||10x y x y +--=；（2）由于,A B 在直线l 上，故可设1,()A ρθ，2,()B ρθπ+，代入2(1|cos |sin )1(0)ρααρ-⋅=>，可得1ρ=，2ρ=∴221222||()1(cos sin )AB ρρθθ=+=+-,t t ⎡==∈⎢⎣，则22||2()AB t t =+211222t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡∈⎢⎣⎦．【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标系下极径的应用，属于中档题．23. 已知函数()21,0f x x x a a =+-->（1）当2a =时，解不等式()8f x <；（2）若()f x 的图像与x 轴围成三角形的面积不小于6，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()12,4-；（2）[2,)+∞．【解析】【分析】（1）分类讨论法解不等式即可；（2）去掉绝对值化简函数()f x 的解析式，依次求出函数()f x 与x 轴的交点，根据三角形面积公式即可求出答案．【详解】解：（1）当2a =时，不等式()8f x <等价于2128x x +--<，①当–1x ≤时，2228x x --+-<，解得121x -<≤-，②当12x -<≤时，2228x x ++-<，解得12x -<≤，③当2x >时，2228x x +-+<，解得24x <<，综上，不等式()8f x <的解集为()12,4-；（2）因为2,1()32,12,x a x f x x a x a x a x a ---≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪++>⎩，∴函数()f x 的图像与x 轴围成三角形的三个顶点坐标分别为()2,0A a --，()1,1B a ---，2(,0)3a C -， ∴212||||(1)623AB B CS AC y a ==+≥，得2(1)9a +≥，解得2a ≥，或4a ≤-（舍去），∴实数a 的取值范围为[2,)+∞．【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式的解法，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．。

2020江西九校高三联考数学试卷(理科)

2020届江西九校联考数学试卷（理科）一．选择题：（每题5分，共60分）1.已知集合A ={}1->Z ∈x x ，集合B ={}2log 2<x x ，则=⋂B A （）A ．{}41<<-x xB ．{}40<<x x C ．{}3,2,1,0 D ．{}3,2,1 2.设复数()1z bi b R =+∈且234z i =-+，则z 的虚部为（） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2- 3.在等比数列{}n a 中，11a =，6835127a a a a +=+，则6a 的值为（）A ．127B ．181C ．1243D ．17294. 右图的框图中，若输入x =1516，则输出的i 值为（）A ．3B ．4C ．5D ．65.已知8.0log 3=a ，8.03=b ，1.23.0=c ，则（）A ．c ab a <<B ．c b ac <<C ．c a ab <<D ．b ac c <<6.已知某函数的图像如图所示，则下列函数中图像最契合的函数是：（）A .)sin(xxe e y -+= B.)sin(xxe e y --= C.)cos(xxe e y --= D.)cos(xxe e y -+=7.《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式23112v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） A ．227 B ．258 C ．289 D ．82278.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，)1(+x f 是偶函数，且当时，]1,0(∈x23)(-=x x f ，则=+)2020()2019(f f （）A ．1-B ．0C ．1D ．29.甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球贏球的概率为25，则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为（） A ．225 B ．310 C ．110 D ．32510.已知()()0,0,21x B x A 、两点是函数()()1sin 2++=ϕϖx x f ()()πϕϖ,0,0∈>与x 轴的两个交点，且满足3min21π=-x x ,现将函数()x f 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（） A ．6π B ．3π C ． 32π D ．65π11.已知直线a x 2=与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左，右焦点分别为1F ,2F ，且41cos 12-=∠F PF ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．x y 15±=B ． x y 11153±= C ． x y 11152±= D ． 1115315±=±=y x y 或 12.已知R k ∈，设函数⎩⎨⎧>+--≤+-=1,)1(1,22)(32x e e k x x k kx x x f x ，若关于x 的不等式0)(≥x f 在R x ∈上恒成立，则k 的取值范围为（）A ．],0[2e B ．],2[2e C ．]4,0[ D ．]3,0[ 二．填空题：（每题5分，共20分）13.已知向量)1,1(-=，向量)1,0(==-__________.14.已知抛物线)0,(:2≠∈=m R m mx y C 过点)4,1(-P ，则抛物线C 的准线方程为__________.15.已知数列{}{}n n b a ,，其中数列{}n a 满足)(10++∈=N n a a n n ，前n 项和为n S 满足)10,(21212≤∈+--=+n N n n n S n ；数列{}n b 满足：)(12++∈=N n b b n n ，且11=b ，)12,(,11≤∈+=++n N n b n nb n n ，则数列{}n n b a ⋅的第2020项的值为16.如图，四棱锥ABCD P -中，底面为四边形ABCD .其中ACD ∆为正三角形，又AB DB DC DB DB DA ⋅=⋅=⋅3.设三棱锥ABD P -，三棱锥ACD P -的体积分别是21,V V ，三棱锥ABD P -，三棱锥ACD P -的外接球的表面积分别是21,S S .对于以下结论：①.21V V <； ②21V V =； ③21V V >；④21S S <；⑤21S S =；⑥21S S >.其中正确命题的序号为三．解答题：（共70分）17.（满分12）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，若2cos 3A =，2B A =，8b =. （1）求边长a ；（2）已知点M 为边BC 的中点，求AM 的长度.18.（满分12）已知，图中直棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，其中.421===BD AC AA 又点Q P F E ,,,分别在棱1111,,,DD CC BB AA 上运动，且满足：,DQ BF ==-BF CP 1=-AE DQ .（1）.求证：Q P F E ,,,四点共面，并证明PQB EF 平面//.（2）.是否存在点P 使得二面角E PQ B --的余弦值为？55如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由。

江西省樟树中学等九校2020届高三数学联合考试试题理(含解析)

江西省樟树中学等九校2020届高三联合考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合A，求对数函数定义域求得集合B，由此求得两个集合的交集【详解】由解得，由解得，故，故选C.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查对数函数定义域，考查集合的交集，属于基础题2.已知复数，则复数的虚部为A. 1B.C. iD.【答案】A【解析】【分析】化简复数，求出其共轭复数，由此得到的虚部.【详解】依题意，故，其虚部为，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题.3.抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D.【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.4.下列命题中正确的是（）A. 若为真命题，则为真命题B. “”是“”的充要条件C. 命题“，则或”的逆否命题为“若或，则”D. 命题：，使得，则：，使得【答案】B【解析】【分析】根据且、或命题真假性判断A选项真假，根据充要条件知识判断B选项真假，根据逆否命题的概念判断C选项真假，根据特称命题的否定是全称命题判断D选项真假.【详解】对于A选项，当真时，可能一真一假，故可能是假命题，故A选项为假命题.对于B选项，根据基本不等式和充要条件的知识可知，B选项为真命题.对于C选项，原命题的逆否命题为“若且，则”，故C选项为假命题.对于D选项，原命题为特称命题，其否定是全称命题，要注意否定结论，即：，使得.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查还有简单逻辑连接词真假性，考查充要条件，考查逆否命题，考查特称命题的否定是全称命题等知识，属于基础题.5.等差数列前项和为，，则（）A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质求得，利用前项和公式求得.【详解】由于数列为等差数列，故，所以，故选A. 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.所以解有关等差或者等比数列的题目时，先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系.6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )A. 2020B. 2020C. 2020D. 2020 【答案】B【解析】【分析】运行程序，找出规律，当不满足时，退出循化，输出的值.【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，……，依次类推，当为奇数时，为，当为偶数时，为，，判断否，输出，故选B.【点睛】本小题主要考查程序框图的运算结果，考查合情推理，属于基础题.7.设，，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的正负，计算出的值，由此比较出三者的大小.【详解】由于，故，，故，而，故，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段函数的概念与性质，属于中档题.8.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】由，可求得其周期T，继而可求得，再利用函数的图象变换及可求得答案．【详解】解：由图知，，，；又，，又，，，，为了得到的图象，则只要将的图象向左平移个单位长度．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象变换，求得是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用底面的外心和高的一半求得球的半径，由此求得球的表面积. 【详解】画出几何体的直观图如下图所示，设球心为，底面等边三角形的外心为，由三视图可知，设球的半径为，则，故球的表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体外接球的有关计算，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.要找到几何体外接球的球心，主要根据几何体的结构，利用球心到球面上的点的距离相等，通过解直角三角形来求解出半径，从而求得球的表面积或者体积.10.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.11.已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】D【解析】【分析】先将种产品分成三组，然后存放在三个仓库，由分步乘法计数原理求得安全存放的方法种数. 【详解】设种产品分别为，画出图像如下图所示，根据题意，安全的分组方法有，，，，共种，每一种分组方法安排到个仓库，有种方法，故总的方法种数有种，故选D.【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，属于中档题.12.设为不超过x的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确个数的有（1）（2）是数列中的项（3）（4）当时，取最小值A. 1个B. 2个C. 3个D. 4【答案】C【解析】【分析】先求得的结果，归纳推理得到个数的表达，即的值，由此对四个结论逐一分析，从而得出正确选项.【详解】当时，，故.当时，，，，，故.当时，，，，故，共有个数，即，故（1）结论正确.以此类推，当，时，，，故可以取的个数为，即，当时上式也符合，所以；令，得，没有整数解，故（2）错误.，所以，故，所以（3）判断正确.，，当时，当时，故当时取得最小值，故（4）正确.综上所述，正确的有三个，故选C. 【点睛】本小题主要考查取整函数的理解，考查分析和推理的能力，考查裂项求和法，考查数列最小值的求法，综合性很强，属于难题.当数列的通项公式是两个等差数列相乘的倒数时，求前项和的方法是裂项相消求和法.基本不等式等号不成立时，可在附近的整数点来求取本题（4）所要求的最小值.二、填空题（本大题共4小题）13.设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为______．【答案】-1【解析】【分析】利用，得到，由此计算出，进而求得向量在向量方向上的投影. 【详解】由于，所以，即，，所以向量在向量方向上的投影为.【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量投影的计算，属于基础题.14.已知实数，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】12【解析】【分析】画出可行域，由此判断出目标函数在在点处取得最大值，并求得最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.【点睛】本小题主要考查线性规划可行域的画法，考查非线性目标函数的最大值，属于基础题.15.已知的展开式中含项的系数为-14，则______．【答案】【解析】【分析】根据乘法分配律求得系数的表达式，由此求得的值，利用几何意义计算出定积分.【详解】根据乘法分配律得，，.，，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.当时，，故.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查利用几何意义计算定积分，属于中档题.16.在棱长为1的正方体中，设以上、下底面各边中点为顶点的正四棱柱为，以左、右侧面各边中点为顶点的正四棱柱为，则正方体体对角线在，公共部分的长度为______．【答案】【解析】【分析】画出图像，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，根据比例计算出在，公共部分的长度.【详解】画出图像如下图所示，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，，设在，公共部分的长度为，由平行线分线段成比例和正方形的对称性得，故.【点睛】本小题主要考查正方体的几何性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于难题.三、解答题（本大题共7小题）17.已知锐角面积为，，，所对边分别是，，，，平分线相交于点，且.求：（1）的大小；（2）周长的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式和余弦定理化简已知条件，求得的值进而求得的大小.（2）设周长为，，利用正弦定理求出的长，由此求得周长的表达式，利用辅助角公式化简后，根据三角函数求最值的方法求得周长的最大值.【详解】（1）∵，∴，故：.（2）设周长为，，则，∵、分别是、的平分线，，∴.由正弦定理得，，.∵，∴，当时，周长的最大值为.【点睛】本小题主要考查正弦定理的应用，考查余弦定理和三角形面积公式的应用，考查三角恒等变换，属于中档题.18.某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以如表：反馈点数t 1 2 3 4 5销量百件天 1经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量千件与返还点数t之间的相关关系请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品每天销量；若节日期间营销部对商品进行新一轮调整已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间百分比频数20 60 60 30 20 10求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到；将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：，；．【答案】(1)，2百件(2)(i) 平均值6,中位数 (ii)见解析【解析】【分析】利用已知条件，求出线性回归的对称中心的坐标，然后求解回归直线方程，，通过返回6个点时求解该商品每天销量；根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X的平均值，然后求解中位数的估计值即可．抽取“欲望膨胀型”消费者人数为，求出X的可能值，然后求解概率，即可求解期望．【详解】解：易知，，，，则y关于t的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X的平均值，及中位数的估计值分别为：，中位数的估计值为抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，“欲望膨胀型”消费者人数为．，，故随机变量X的分布列为X 0 1 2P【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19.已知斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直，侧棱与底面所在平面成角，，，，．求证：平面平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，结合证得平面，由此证得平面平面.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，来计算出二面角的余弦值.【详解】（1）∵平面平面且平面平面，且，∴平面，∴，又∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，侧棱与底面所在平面成，∴，又∵，，如图建立空间直角坐标系，，，，由，得，设平面，平面的法向量分别为，，，，，，，得，，得，设二面角的大小为，二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆：，离心率，是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，，直线：.（1）求椭圆方程；（2）直线过点与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点，试问：以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）以为直径的圆能过两定点、【解析】【分析】（1）根据以及，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，两点的坐标，根据直线的方程求得两点的坐标，由此求得以为直径的圆的方程.联立直线的方程和椭圆的方程，利用韦达定理写出两点坐标的关系，代入圆的方程进行化简，由此求得圆和轴交点的坐标.当直线斜率不存在时，求得点的坐标，求得为直径的圆的方程，由此求得该圆也过直线斜率存在时的两个点.由此判断出圆过定点，并得到定点的坐标.【详解】（1），得，所求椭圆方程：.（2）当直线斜率存在时，设直线：，、，直线：，令，得，同理，以为直径的圆：，整理得：①，得，，②将②代入①整理得：，令，得或.当直线斜率不存在时，、、、，以为直径的圆：也过点、两点，综上：以为直径的圆能过两定点、.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆交点的求法，考查已知圆直径端点的坐标求圆的方程的方法，综合性较强，需要一定的运算求解能力.直线和圆锥曲线联立方程，消元后得到的一元二次方程往往含有参数，此时一般考虑用韦达定理表示两根之间的关系.21.已知函数，.（1）当，时，求函数在处的切线方程，并求函数的最大值；（2）若函数的两个零点分别为，，且，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）当时，求得斜率和切点的坐标，利用点斜式写出切线方程.根据函数的导数求得函数的单调区间，由此求得函数的最大值.（2）将两个零点代入函数的解析式，将得到两个方程相减，化简为的表达式，通过令，将所要证明的不等式转化为证明，构造函数，利用导数证明，由此证得原不等式成立.【详解】（1）解：当，时，，，则，切点为，故函数在处的切线方程为. 令，则在是减函数，又，∴，，，，，，在上是增函数，在是减函数，.（2）证明：∵，是的两个零点，不妨设，∴，，，∴，，相减得：，，∴，令，即证，，，令，，，在上是增函数，又∵，∴，，命题得证.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数证明不等式，综合性较强，属于难题.在求解有关函数零点的问题过程中，要注意利用在零点位置函数值为零这一特点来列方程，得到两个零点的关系式，再转化为题目所要求证的问题来解决.22.在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知与，的公共点分别为，，，当时，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用，求得的极坐标方程.先将的参数方程消参得到直角坐标方程，再根据求得的极坐标方程.（2）将代入的极坐标方程，求得的表达式，代入，由此计算出的值.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即.曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知，，∴，∵，∴，，由，知，当，∴.【点睛】本小题主要考查直角坐标方程、参数方程转化为极坐标方程的方法，考查利用极坐标的概念求解有关边长比值的问题，属于中档题.23.已知函数．求的解集；若关于x的不等式能成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用绝对值不等式，去掉绝对值符号，然后转化求解不等式即可．不等式化为能成立，可得能成立，利用换元法以及绝对值不等式的几何意义，求解即可．【详解】解：（1），可得或或，解得，故的解集为（2）由，能成立，得能成立，即能成立，令，则能成立，由知，，又，，实数m的取值范围：【点睛】本题考查绝对值不等式的几何意义，考查最值思想以及计算能力，分类讨论思想的应用．。

2020届高三联考数学理科试题(含答案)

2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于，______(3)mn a m =≥.（） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是（请选择正确标号填空）（1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

江西省重点中学协作体九校2023届高三第一次联考数学(理科)试卷

江西省重点中学协作体2023届高三第一次联考数学（理科）试题2023.2命题人：九江一中李群抚州一中邓述程凌泽广满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合{}8|,|14,1A x N N B x N x x ⎧⎫=∈∈=∈-≤≤⎨⎬+⎩⎭则A B = ()A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{1,2,3}D.{1,2,4}2.已知复数z 满足|||4|(),z z i i =-为虚数单位则z 的虚部是()A.2i- B.2iC.2- D.23.已知βα，是两个不同的平面，c b a ,,是三条不同的直线，则下面说法中正确的是（）A.若,,αα⊂⊂b a 且,,b c a c ⊥⊥则α⊥cB.若,α⊂a 且,a b ⊥则α⊥b C.若,α⊥b 且,b c ⊥则//c αD.若,,βα⊥⊥b a 且,//,//b c a c 则βα//4.已知单位向量,a b ，满足a a b =+ ，则向量12a b ⎛⎪⎭+⎫ ⎝与b的夹角是（）A.120︒B.60︒C.90︒D.30︒5.2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课．某中学组织全校学生观看了此次授课，三位太空老师介绍展示了中国空间站的工作生活场景，演示了微重力环境下细胞学实验、物理运动、液体表面张力等现象，并与地面课堂进行了实时交流，极大地激发了学生探索科学的兴趣．为了解同学们对“天宫课堂”这种90人进行调查，已知该校学生共有3600人，30人，则该校高二年级学生共有（）A ．800人B ．1000人C ．1200人D ．1400人6.在三棱锥P ABC -中，6,8,210,30,PA AB PB BC BPC ====∠=︒则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A ．100πB ．5003πC ．1253πD ．25π7.若x ，y 满足约束条件222022x y y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y =+的最小值为（）A ．2-B ．0C ．4D ．168.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F 点M 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线上，若5sin ,13PMF ∠=则sin PFM ∠=()A.813B.1213C.512D.349.已知函数(1011)f x +是定义在R 上的奇函数，若()()sin 1g x f x x π=++，则2022()k g k =∑的值是()A ．2022-B ．2022C ．2023-D ．202310.已知数列21443n n ⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*N n ∈，不等式263n T a a <-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.[)2,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ B.(]2,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C.2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.()2,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭11.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，则(,)F x y =（）A.4B.2+C.3+D.4+12.已知函数2()|2|x f x a x x e =--在区间[)0,+∞上的最大值为0，则实数a 的取值集合是()1.2A e⋅⎨⎪⎪⎩⎭21.2B e⋅⎨⎪⎪⎩⎭211.22C e e⎫-+⎪⋅⋅⎬⎪⎪⎩⎭21.2D e ⎫+⋅+∞⎪⎪⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.已知随机变量),,(~),,6(~2σμN Y p B X 且),()(,21)4(Y E X E Y P ==≥则=p ____.14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若4T 是{}n T 中唯一的最小项，则满足条件的{}n a 的通项公式可以是_____________(写出一个即可)．15.已知直线:2l y x t =+与双曲线2222:1x y C a b -=的两条渐近线(0,0)a b >>分别交于点,A B (不重合)，与直线:m y x =交于点M ，若AM MB =，则双曲线的离心率为_________．16.已知ABC ∆中，2||29,||3AB AB AC BC +⋅==，则ABC ∆面积的最大值是___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知,A C c <=sin (cos sin )C A B -cos (sin cos )C A B =-.(1)若2C π≤，求角C 的值；(2)若23C π=，求ABC ∆的面积.18.卡塔尔世界杯在今年11月21日至12月18日期间举行，赛程如下：第一轮中先将32个国家随机分为ABCDEFGH 8个小组，每个小组中4个国家进行循环积分赛，在积分赛中，每局比赛中胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，积分前两名者晋级下一轮淘汰赛；每组的循环积分赛分3轮，其中C 组国家是阿根廷，墨西哥，波兰，沙特，第一轮是阿根廷VS 沙特，墨西哥VS 波兰；第二轮是阿根廷VS 墨西哥，沙特VS 波兰；第三轮是阿根廷VS 波兰，墨西哥VS 沙特。

2023年江西省九所重点中学高考数学第二次联考试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年江西省九所重点中学高考数学第二次联考试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，( )A. B. C. D.3. 《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l 是八尺时注：一尺等于十寸，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为( )A. B. C. D.4. 已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则( )A. B. C. D.5. 已知抛物线C：的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点.若，则抛物线C的方程是( )A. B. C. D.6. 已知圆C：上的点均满足，则r的最大值为( )A. B. C. D.7. 一袋中有大小相同的3个白球和4个红球，现从中任意取出3个球，记事件A：“3个球中至少有一个白球”，事件B：“3个球中至少有一个红球”，事件C：“3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是( )A. 事件A与事件B不为互斥事件B. 事件A与事件C不是相互独立事件C. D.8.中，已知的面积为，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于( )A. 2B. 4C.D.9. 将边长为4的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A. B. C. D.10. 已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，记的最小正周期为T，则当取最大值时，的值为( )A. 1B.C.D.11. 已知双曲线C：，若直线l：与双曲线C交于不同的两点P，Q，且P，Q与构成的三角形中有，则t的取值范围是( )A. B.C. D.12. 已知函数，，的定义域均为R，为的导函数.若为偶函数，且，则以下命题错误的是( )A. B. 关于直线对称C. D.13. 在的展开式中，常数项为______请用数字作答14. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于______ .15. 已知某圆锥的侧面积等于底面面积的4倍，直线l是底面所在平面内的一条直线，则该直线l与母线所成的角的余弦值的取值范围为______ .16. 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______ .17. 已知数列和满足，且满足，，求数列，的通项公式；设数列的前n项和为，求当时，正整数n的最小值.18. 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩，且笔试成绩高于70分的学生进入面试环节.从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：若，则，，，19. 如图，在几何体ABCDE中，，，已知平面平面ACD，平面平面BCE，平面ABC，证明：平面ACD；若，设M为棱BE上的点，且满足，求当几何体ABCDE的体积取最大值时AM与CD所成角的余弦值.20. 设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为求椭圆的方程；若动直线l与椭圆E交于P，Q两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由.21. 已知函数，，其中a为实数，e为自然对数底数，….已知函数，，求实数a取值的集合；已知函数有两个不同极值点、①求实数a的取值范围；②证明：22. 在平面直角坐标系xoy中，圆O的方程为，圆E以为圆心且与圆O 外切.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求圆E的参数方程与极坐标方程.若射线与圆O交于点A，与圆E交于点B，C，且，求直线BC的斜率.23. 已知正数a，b，c满足求证：若正数m，n满足，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，故选：求出集合P，Q，利用交集定义求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，则，故，所以故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：如图所示，设，则，所以故选：可设，先根据条件求出，然后利用二倍角公式求出结果．本题考查解三角形知识、三角恒等变换的方法在实际问题中的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设收集的48个准确数据为，，⋯，所以，所以，所以，又，故选：根据数据总和不变，则平均数不变，再结合方差公式，即可求解．本题主要考查方差公式的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：过点M作，垂足为点D，点是抛物线C上一点，，①，由题意可得，，，，，解得②，由①②，解得舍去或故抛物线C的方程为过点M作，垂足为点D，由已知可得，由，可得，求解可得抛物线C的方程．本题考查求抛物线的方程，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．6.【答案】A【解析】解：圆心到直线：的距离，点到直线：的距离，，的最大值为故选：求得圆心C到两直线的距离，可求r的最大值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离，属基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，取出的3个球的可能情况为：3个红球；1个红球2个白球；2个红球1个白球；3个白球．故事件A包含：1个红球2个白球；2个红球1个白球；3个白球，且；事件B包含：1个红球2个白球；2个红球1个白球；3个红球，且；事件C包含：1个红球2个白球；2个红球1个白球，且所以，，，因为，则事件A与事件B不为互斥事件，A选项正确；，故事件A与事件C不是相互独立事件，B正确；，故D错误；，故C正确；根据题意，取出的3个球的可能情况为：3个红球；1个红球2个白球；2个红球1个白球；3个白球，进而依次分析事件A、事件B、事件C，及其概率，再讨论各选项即可得答案．本题考查条件概率，互斥事件，独立事件，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：的面积为，，在中，由余弦定理得，，即，当且时，则，此时，不符合题意，，解得，将代入，解得，是BC边的中点，，，故选：利用三角形的面积公式和余弦定理可得，当时不符合题意，则，求出A，利用向量的线性运算可得，即可得出答案．本题考查平面向量数量积的性质和余弦定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：在边长为4的正方形ABCD中，设E、F分别为AB、BC的中点，、、分别沿DE、EF、FD折起，使A，B、C三点重合于点，满足题意，如下图所示：翻折前，，，翻折后，则由，，，将三棱锥补成长方体，其中，，设三棱锥的外接球的半径为R，则，，故该三棱锥的外接球的表面积为故选：作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果．本题考查了三棱锥的外接球的表面积计算，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：，函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，，解可得，则当取最大值时，的最小正周期，则故选：先结合和差角，辅助角公式对已知函数进行化简，由题意可知，解不等式可求的范围，进而即可求解．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，解题中要注意性质的灵活应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：联立直线与双曲线C：，可得，则，即，且，①设，，可得，由P，Q与构成的三角形中有，可得为等腰三角形，且，设PQ的中点为N，则，又PQ的中点N的坐标为，直线MN的斜率为，所以，化为，②，③由①②③解得或，故选：联立直线l的方程与双曲线的方程，运用判别式大于0，结合中点坐标公式求得线段PQ的中点N的坐标，再由题意可得为等腰三角形，由，结合两直线垂直的条件可得k，t的方程，即可得到所求取值范围．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由，，可得，则与为常数，令，则，，则，故关于直线对称，故B正确；为偶函数，，，则为奇函数，故，即，则是以4为周期的周期函数，由，令，则，可得，故，故A正确；由，令，则，即，令，则，即，故，则，由，得，则，由于无法得出的值，故C错误；，故D正确．故选：由已知等式可得，继而得到，即可判断B；由为偶函数可得为奇函数，继而得到是以4为周期的周期函数，即可判断本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数图象的对称性，考查函数的导函数的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．13.【答案】60【解析】【分析】考察了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．求出展开式的通项，然后令x的指数为0，进而可以求解．【解答】解：二项式的展开式的通项为，，1，2，，6，令，解得，所以展开式的常数项为，故答案为：14.【答案】6【解析】解：由题意得，，故答案为：根据向量数量积的定义，即可求解．本题考查向量数量积的概念，化归转化思想，属基础题．15.【答案】【解析】解：已知圆锥的侧面积等于底面面积的4倍，设圆锥底面圆半径为r，母线长为，则，解得，直线l与母线所成的最小角为母线与圆锥底面所成角，即；当直线l为DE时，且满足，又底面圆O，底面圆O，所以，，所以平面OAC，平面OAC，所以，即直线l与母线AC垂直，直线l与母线所成的角最大，余弦值为所以直线与与母线所成的角的余弦值的取值范围为故答案为：直线l与母线所成的最小角为母线与圆锥底面所成角，当直线l与一条母线垂直时所成的角最大，即可得解．本题考查了直线与平面所成的角以及异面直线所成的角的问题，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设，则，故，则，又因为，即，所以，，所以当时，恒成立，即当时，恒成立，即当时，恒成立，构造，则，令得：，当得：，当得：，故在处取的极小值，也是最小值，所以，即，故，故，实数a的取值范围为故答案为：先构造函数，利用，最终求得，即当时，恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的最值和极值，属于难题．17.【答案】解：已知数列和满足，，，则，，又满足，数列为等比数列，又，，；由可得，又，，又，，即正整数n的最小值为【解析】由题意可知数列为等比数列，结合已知条件求出数列和的通项公式即可；由可得，然后结合等差数列及等比数列的求和公式求解即可．本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了分组求和及公式法求和，属基础题．18.【答案】解：由题意可知，，则，所以，从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，这10人中至少有一人进入面试的概率为由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3、4，则，，，，，所以，随机变量X的分布列如下表所示：X01234P故【解析】计算出试点高校每名学生进入面试的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；分析可知随机变量X的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进一步可求得的值．本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．19.【答案】证明：过点D作，与AC交于点O，平面平面ACD，且两平面的交线为AC，由面面垂直的性质定理可得平面ABC，又平面ABC，，又且，由线面垂直的判断定理可得平面解：过点E作交BC与点N，连接ON，平面平面BCE，且两平面的交线为BC，平面ABC，又平面ABC，，E到平面ABC的距离相等，且，平面ACD，，，，又，令，则，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，据此可知当，即时取得最大值，如图所示，以点O为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，因为M为棱BE上的点，且满足，所以，，，设AM与CD所成角为，则，即当几何体ABCDE体积最大时，AM与CD所成角的余弦值为【解析】由题意通过面面垂直的性质得到平面ABC，然后结合线面平行可得，进而根据线面垂直的判定定理即可证明平面ACD；过点E作交BC与点N，连接ON，据此可得四边形ODEN为平行四边形，然后把多面体ABCDE分为两个三棱锥求体积，令，把求体积的最大值转化为求关于x的函数的最大值，利用导数研究其最值，然后以点O为原点建立空间直角坐标系，通过向量法求AM与CD所成角的正切值．本题主要考查线面垂直的证明，锥体体积的相关计算，利用导数求最值的方法，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．20.【答案】解：设点M的坐标为，点M在线段AB上，满足，，，故，，，，解得，椭圆的方程的方程为；当直线斜率不存在时，直线l的方程为，，，此时，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，，原点O到直线l的距离为d，，整理得，由，可得，，，，，，，恒成立，恒成立，，，定圆的方程为当时，存在定圆C与直线l相切，其方程为【解析】设点M的坐标为，由已知可得，，结合已知可得，求解即可；当直线斜率不存在时，直线l的方程为，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，，联立方程可得，，进而由，可求解．本题考查求椭圆的方程，考查求圆的方程，考查运算求解能力，属中档题．21.【答案】解：由，得，当时，为增函数，因为，所以当时，，不合题意；当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，要使，只需，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，则由，得，，故实数a的取值的集合为；①由已知，，函数有两个不同极值点、有两个零点，若时，则在R上单调递增，在R上至多一个零点，与已知矛盾，舍去，当时，由，得，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，当，，，，故实数a的取值范围；②证明：设由①得，，，，取对数得，令，，则，即，令，则，，在上单调递减，在上单调递增，令，则，在上单调递增，又，时，，即，，，在，上单调递增，，，即，故成立．【解析】求出函数的导数，分类讨论可得函数的单调区间，进而分析可得答案；由已知得有两个零点，分类讨论，结合构造函数可证不等式成立．本题考查导数的综合应用，考查构造函数证明不等式，属难题．22.【答案】解：因为圆E以为圆心且与圆O外切，所以其半径为所以圆E的普通方程为圆E的参数方程为为参数，由，得由，得圆E的极坐标方程为由题意得，所以把代入，得，则，是的两个根，所以，解得，所以，所以，所以直线BC的斜率为【解析】根据直角坐标方程和参数方程与极坐标方程的转化关系即可；根据极坐标方程的几何意义，求出直线BC的倾斜角即可．本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，考查极坐标的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．23.【答案】证明：因为a，b，c为正数，所以当且仅当时，取等号，同理可得当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，因为正数a，b，c满足，所以当且仅当时取等号；因为正数a，b，c满足，所以，因为正数m，n满足，所以当且仅当时取等号【解析】首先根据题意得到，再利用不等式的性质即可证明；首先根据三个正数均值不等式得到，再根据证明即可．本题考查了不等式的性质和正数均值不等式，属于中档题．。

2020年高考理科数学江西卷(word版含答案)

普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试题分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3页至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。

第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，若在试题卷上作答，答题无效。

3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：样本数据()()1122x y x y +++，…，()n n x y +的线性关系数()()ni ix x y y r --=∑ 锥体体积公式V=13Sh 其中 ,n n x x x y y y x y n n 1212++++== 其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若12i z i+=，则复数z -= A. 2i -- B. 2i -+ C. 2i - D. 2i +2.若集合{}1213A x x =-≤+≤，20,x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则A B ⋂= A.{}10x x -≤< B..{}01x x <≤C. {}02x x ≤≤D. {}01x x ≤≤3.若()f x =，则()f x 的定义域为A. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()0,+∞ 4.若()224ln f x x x x =--则()f x ＞0的解集为A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-⋃+∞C. ()2,+∞D. ()1,0-5.已知数列 ∣n a ∣的前n 项和n s 满足：n s +m s =n m s +，且1a =1，那么10a =( )A.1B.9C.10D.556.变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5），变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数 ( )A. 2r < 1r <0B. 0<2r < 1rC. 2r <0<1rD. 2r =1r7、观察下列各式：55=3125, 56=15625, 57=78125，···，则52011 的末四位数字为( _A 、3125B 、5625C 、0625D 、81258、已知是三个相互平行的平面，平面之间的距离为，平面之前的距离为，直线与分别相交于.那么“”是“”的( )A 、充分不需要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件9. 若曲线：+—2x=0与曲线:y(y+mx -m)=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A. (—，）B. （—，0）∪（0，）123,,ααα12,αα1d 23,a α2d l 123,,ααα123,,P P P 123,,P P P 12d d =1C x 2y 2C 233333333C. [—，]D.( －∞, －)∪(,+∞)10.如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点。

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数学试卷（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.
2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的. 1．已知集合21A x x ⎧⎫
=>⎨⎬⎩⎭
，{}(2)(1)0B x x x =+->，则A
B 等于（）
A ．(0,2)
B ．(1,2)
C ．(2,2)-
D ．(,2)(0,)-∞-+∞
2．设(12)i x x yi +=+，其中y x ,是实数，则
y
i x
=+（） A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
3．下面框图的S 的输出值为（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．13
4．已知随机变量X 服从正态分布2
(2,)N σ且(4)0.88P x ≤=，则(04)P x <<=（）
分宜中学玉山一中临川一中
2018年江西省南城一中南康中学高安中学高三联合考试
彭泽一中泰和中学樟树中学
A ．0.88
B ．0.76
C ．0.24
D ．0.12
5．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2
201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且
20182018b a =，则220172019log ()b b 的值为（）
A ．1
B ．2 C. 4 D ．8
6．下列命题正确的个数是（）
（1）函数2
2
cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的充分不必要条件是“1a =”. （2）设1{1,1,,3}2
a ∈-，则使函数a
y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为
1,1,3-.
（3）已知函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，则0a ≥.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
7．已知向量2
(,2),(3,1),(1,3)a x x b c =+=--=，若//a b ，则a 与c 夹角为（）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线所画出的是某几何体的三视图，则该几何体的
各条棱中最长的棱长为（）
A.52
B.24
C.6
D.34
9．若关于x 的不等式a x a a sin )6(2
<-+无解，则=a （） A.3- B.2- C.2 D.3
10．若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是抛物线2
4y x =上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范
围是（）
A ．
∞⋃∞（-,-6）[10,+) B ．∞⋃∞（-,-6](8,+)
C ．
∞⋃∞（-,-5][8,+)
D ．
∞⋃∞（-,-5][10,+)
11．已知动点),(y x P 满足：24
02323x y y x x y x --+≤⎧⎪
≥⎨⎪+≥+⎩
，则22+4x y y +的最小值为（）
A ．2
B ．24-
C ． 1-
D ．2-
12．已知函数()f x ＝20540.
x e e x x x x ⎧⎪
≥⎨⎪+<⎩，，+，（e 为自然对数的底数），则函数
(())()y f f x f x =-的零点的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．3
)12)(1
(x
x x x -+的展开式中的常数项为 .
14．已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A 、B 两点，BF 1交y 轴于点C ，
若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为 .
15．已知矩形ABCD 的两边长分别为3=AB ，4=BC ，O 是对角线BD 的中点，
E 是AD 边上一点，沿BE 将ABE ∆折起，使得A 点在平面BDC 上的投影恰
为O （如右图所示），则此时三棱锥BCD A -的外接球的表面积是 . 16．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，sin 1cos ,2sin cos A b A
b a C B
-=
=，
则有如下结论：（1）1c =;（2）ABC S ∆的最大值为
14
;
（3）当ABC S ∆取最大值时，53
b =
. 则上述说法正确的结论的序号为 .
三、解答题：共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）若数列{}n a 是正项数列，且n n a a a a n +=++++2
321 ，
（1）求{n a }的通项公式；（2）设21
4
n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD
BC ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====.
（1）求二面角B PD A --的大小；
（2）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?
若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由.
19．（本小题满分12分）汽车的普及给人们的出行带来了诸多方便，但汽车超速行驶也造成了诸多隐患.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示.
200辆汽车的平均时速.
对于超速行驶，交警部门对超速车辆
有相应处罚：记分（扣除驾驶员驾照的分数）和罚款.罚款情
况如下：
②该路段车流量比较大，按以前统计该路段每天来往车辆约2000辆.试预估每天的罚款总数.
20．（本小题满分12
（1
（2）
21．（本小题满分12
(1)
切线方程..
(2)试比较
小，并说明理由.
（二）选考题：共10分。

请考生在22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
为参数）.
(1)
(2).
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设.
（1）求的解集;
（2x的取值范围.
九校联考理科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1—5：BDABC 6—10：BACAA 11—12：DD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.we,c
13.
14.
16.（1）（3） . 三、解答题：共70分。