预处理子空间迭代法的一些基本概念
CG 算法的预处理技术：、
为什么要对A 进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A 的特征值分布
特征值如影响收敛性：特征值分布在较小的围，从而加速CG 的收敛性
特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）
求解特征值和特征向量的法：Davidson 法：Davidson 法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里 D 是 A 的对角元所组成的对角矩阵。θ是由 Rayleigh-Ritz 过程所得到的A 的近似特征值。
什么是子空间法： Krylov 子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的程，A 是一个n*n 的矩阵，当n 充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov 法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov 姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A 的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。
如取正定矩阵Mk 为：
Span 是什么？:设 ,称它们的线性组合 为向量
的生成子空间，也称为由成的子空间。记为，也可以记为
什么是Jacobi 迭代法：
什么是G_S 迭代法：请见PPT 《迭代法求解线性程组》
什么是SOR 迭代法：
什么是收敛速度：称收敛速度。度，简
为迭代法的渐近收敛速)(ln )(:5定义B B R ρ-=
什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix ）和可约矩阵（reducible matrix ）两个相对的概念。
定义1：对于 n 阶阵 A 而言，如果存在一个排列阵 P 使得 P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。
定义2：对于 n 阶阵 A=(aij) 而言，如果指标集 {1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集 J 和 K ，使得对任意的 j ∈J 和任意的 k ∈K 都有 ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。
n 阶矩阵A 是不可约的当且仅当与矩阵A 对应的有向图是强连通的。
什么是正交？：在三维向量空间中， 两个向量的积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。 什么是正交矩阵？：如果：AA'=E （E 为单位矩阵，A'表示“矩阵A 的转置矩阵”。）或A ′A=E ，则n 阶实矩阵A 称为正交矩阵， 若A 为单位正交阵，则满足以下条件:
1) AT 是正交矩阵
2)（E 为单位矩阵）
3) A 的各行是单位向量且两两正交
4) A 的各列是单位向量且两两正交
5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y ∈R
6) |A| = 1或-1
倒着写的A 和E 都是什么意思啊？：反着的E:谓词逻辑 存在量词 ? x: P(x) 意味着有至
少一个 x 使 P(x) 为真。 n ∈ N: n 是偶数。
倒着的A:任意的
∧ 逻辑合取 述 A ∧ B 为真，如果 A 与 B 二者都为真；否则为假。 n < 4 ∧ n >2 ? n = 3 当 n 是自然数的时候。
与命题逻辑 ∨ 逻辑析取 述 A ∨ B 为真，如果 A 或 B (或二者)为真；如果二者都为假，则述为假。 n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ? n ≠ 3 当 n 是自然数的时候。
迭代法与直接法比较优劣是什么？：
对称正定的定义是什么？：设M 是n 阶阵，如果对任非零向量z ，都有 z'Mz > 0，其中z' 表示z 的转置，就称M 正定矩阵。
判定定理1：对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶顺序主子式都为正。
迭代法求解稀疏矩阵时是否有填充元问题？：
CG 法求解线性矩阵时有无误差问题？：有。误差可能导致收敛变慢甚至无法求解。
什么是Krylov 子空间法？：设要求解线性代数程组Ax=b ，取00010(,)(,,...,)m m m K K A r Span r Ar A r -==，其中
00r b Ax =-，且0x 为初始解，从0m x K +中寻找近似解m x ，使相应的残向量与另某个子
空间
m L 正交，即m m m r b Ax L =-⊥ 则称m K 为Krylov 子空间，且上述法称为Krylov 子空间法。
GMRES 法的缺点是什么？：因为它实际上求式AZ=r 的解等价在在 Krylov 子空间中极小化残余向量的||.||数。但 GMRES 会有失去超线性收敛性、可能产生停滞、GMRES 每迭代一步都要进行 Arnoldi 过程中都要消耗大量的计算时间、随着子空间维数的增大，引起存储空间过多的需求，每次迭代正交化过程所需代价显著增长等缺点。
矩阵右上角有个H ，这是什么矩阵呢？（有个T 是转置，有个H 是什么）: 一般来讲A^T 表示转置，A^H 表示转置共轭，对实矩阵而言是一回事，对复矩阵而言转置共轭比单纯的转置更常用一些，比如酉变换、Hermite 型等。
什么是正交投影法和斜投影法？：从n 维向量空间中找出一个子空间h ，从其中寻找近似解，子空间h 常称为搜索空间。如果dim m =h ，则为在h 中求出一个近似解，显然要有m 个闲置条件，通常采用m 个正交性条件，特别地，可以采用残向量r b Ax =-与m 个线性无关向量正交的条件，这m 个线性无关向量就定义了另外一个m 维子空间l ，通常称之为限制子空间或左子空间，同时称该限制条件为Petrov-Galerkin 条件。当≠h l 时，称对应的投影法为斜交投影法，否则称为正交投影法。
什么是Hessenberg 矩阵？：假设一个N*N 矩阵A ， 在i>j+1时，它的a （i,j ）=0。（A 的i,j 项=0），那么这个矩阵A 就叫做HESSENBERG MATRIX 。
常用数有哪些？：这里以Cn 空间为例，Rn 空间类似。
最常用的数就是p-数。若，那么
可以验证p-数确实满足数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski ）不等式。
当p 取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：
1-数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-数：║x║2=（│x1│2+│x2│2+…+│xn│2）1/2
∞-数：║x║∞=max（│x1│，│x2│，…，│xn│）
共轭梯度法的原理是什么？：请见PPT《共轭梯度法》
自己理解的预条件技术？：对线性程组AX=b，对A进行一些变换，例如LAL-1，使LAL-1的特征值变得相对集中，提高投影算法（CG，PCG）的收敛性。对A进行的变化就称为预条件技术。
什么是Petrov-Galerkin条件？：
预条件技术有几种？：有五种
（1）对角预处理法：若A是格对角占优的矩阵，则可以选择M=diag（a11，a22，…a nn）,可以通过初等矩阵变换，将A变换成M矩阵的形式。
（2）基于经典迭代的预处理法（矩阵分裂法）：Jacobi，GS，Sor
（3）多项式预处理法：选择一个多项式s（x）预处理矩阵选择为M-1=s(A)，具体做法如下：将预处理矩阵取为一个低次的矩阵多项式M-1=s(A)，原程变为：s(A)Ax=s(A)b，然后用迭代法求解。（见兰的论文）
（4）无填充不完全分解预处理法：以系数矩阵的因子分解为基础得到的预处理，这是一种比较有效的预处理程，主要有不完全LU分解，不完全Cholesky分解以及相应的块不完全分解等。
（5）子结构、区域分裂、EBE预处理途径（见永杰论文）。
什么是左预条件？：如果将迭代法应用于M-1Ax=M-1b,则称之为左预条件技术
什么是右预条件？：如果将迭代法应用于AM-1z=b，再通过Mx=z，求出解x，则称之为右预条件技术。
什么是cond（）？：Cond(A)称作矩阵A的条件数，为矩阵A的数与A的逆矩阵的数的乘积。cond(A)=‖A‖·‖A-1‖。从线性代数的分析可知，矩阵的条件数总是大于1.正交矩阵的条件数等于1，奇异矩阵的条件数为无穷大，而病态矩阵的条件数则为比较大的数据。
什么是线性无关？：向量v1,v2, ...,v n线性无关，当且仅当它们满足以下条件：如果a1,a2, ...,a n是K的元素，适合：
a1v1+a2v2+ ... +a n v n= 0，
那么对所有i= 1, 2, ...,n都有a i= 0。
什么是hermite矩阵即厄米特矩阵？：厄米特矩阵（Hermitian Conjugate Matrix，又译作“埃尔米特矩阵”或“厄米矩阵”），指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。对称矩阵是hermite矩阵的特例。
如果判断线性程组是病态？：一般当det（A）的绝对值很小时，程组Ax=b就可能是病态。为什么预处理法备受关注？：对不同的矩阵情况，有不同的预处理案，没有一种通用的预处理案，于是出现了很多种预处理法。
预处理矩阵与迭代矩阵是什么关系？：M为预条件矩阵，G为迭代矩阵。有G=M-1N。
什么是表征矩阵性态的条件数？：系数矩阵的最大特征值和最小特征值之比。
为什么PCG 算法强于CG 算法？：虽然共轭梯度法在理论上最多n 次迭代就可以达到精度解，但由于舍入误差的存在和矩阵A 的一些病态特性，使{p 1，p 2，。。。，p k }A 正交性以及{r 1, r 2, …,r k }的正交性随着k 增加而变差。故x n 一般不是精确解，而且降低了收敛的速度。况对于大型和超大型的线性程组，即使n 次迭代收敛，也是实际计算中不能接受的。于是出现了PCG ，它通过适当的预处理法引入预处理矩阵M ，使矩阵的特征值分布更为集中，降低矩阵条件数，改善矩阵病态特性，已达到提高收敛速度的目的。
矩阵谱半径定义？: 设A 是n ×n 矩阵,λi 是其特征值,i=1,2,…,n.称 ρ(A)=max{|λi|,i=1,2,……n}为A 的谱半径。
共轭梯度法的推导？：（1）采用泛函多项式的推导过程请见：网页《共轭梯度法》。
（2）用矩阵知识进行推导的过程请见：永杰的论文p34页。
什么是BEM （边界元法）？：边界元法（boundary element method ）是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值法，与有限元法在连续体域划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。 什么是引理？：引理（lemma ）是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题，其意义并不在于自身被证明，而在于为达成最终目的作出贡献。一个引理可用于证明多个结论。数学中存在很多著名的引理，这些引理可能对很多问题的解决有帮助。例如欧几里得引理，乌雷松引理，德恩引理，法图引理，高斯引理，引理，庞加莱引理，里斯引理和佐恩引理等。引理和定理没有格的区分。
什么是谱半径的相似不变性？：
什么是正则化？：正则化(regularization)，是指在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数程定义的，而且这组程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。大条件数意味着舍入误差或其它误差会重地影响问题的结果。
什么是不适定问题？：在经典的数学物理中，人们只研究适定问题。适定问题是指满足下列三个要求的问题：①解是存在的；②解是惟一的；③解连续依赖于定解条件。这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题。特别，如果条件③不满足，那么就称为阿达马意义下的不适定问题。一般地说不适定问题，常常是指阿达马意义下的不适定问题。 什么是残量？：r=b-AX ，其中r 为残量
什么是Z-矩阵，L-矩阵，M-矩阵？：如果一个n*n 的矩阵A=（a ij ）满足i j ≠时，0ij a ≤，称A 为Z-矩阵；如果A 是Z-矩阵，且0ii a >，称A 为L-矩阵；如果A 是L-矩阵且10A -≥，称A 为M-矩阵。
ARG MIN 的含义是什么？：最通俗的理解：表示使目标函数取最小值时的变量值
：=什么意思？：x ：=y ，表示x 定义为y 的一个名称。
什么是谱条件数？：
什么是主元？：主对角线上的元素，左上角到右下角。
不是阵就是左上角到最下一行，将这一行数的左下角那些数化成零，不就是阶梯型了嘛。可以很便的讨论矩阵的解，和矩阵的其他性质。
什么是共轭？：设A为n阶实对称正定矩阵，如果有两个n维向量S1和S2满足
S1AS2=0 （1）
则称向量S1与对于矩阵A共轭。如果A为单位矩阵，则式(1)即成为S1S2，这样两个向量的点积（或称积）为零，此二向量在几上是正交的，它是共轭的一种特例。
设A为对称正定矩阵，若一组非零向量S1，S2，…Sn满足
SiASj=0 （i≠j）（2）
则称向量系Si（i=1,2，…n）为关于矩阵A共轭。
共扼向量的向称为共轭向。
什么是格对角占优？：如果A的每个对角元的绝对值都比所在行的非对角元的绝对值的和要大，即
|a_ii|>sum{j!=i}|a_ij|
对所有的i成立，那么称A是（行）格对角占优阵。
如果A'是行格对角占优阵，那么称A是列格对角占优阵。
什么是半正定矩阵？：如果对任非零向量x，都有x'Ax≥0（或x’Ax≤0）成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，则称f为半正定（半负定）二次项，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）。
如判定半正定矩阵？：
1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
2、半正定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。
3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的所有主子式大于或等于零。
什么是主子式？：n 阶行列式的i 阶主子式为：
在n 阶行列式中，选取行号（如1、3、7行），再选取相同行号的列号（1、3、7 列），则有行和列都为i个的行列式即为n阶行列式的i阶主子式，也可以说由上述选取的行列交汇处的元素所组成的新的行列式就称为“n 阶行列式的一个i 阶主子式”。
什么是顺序主子式？：特殊的：n 阶行列式的i 阶顺序主子式：
上述i 阶主子式中定义中，由1—i 行和1—i 列所确定的子式即为“n 阶行列式的i 阶顺序主子式”。
市面上求解线性程组的求解器有哪些？
（1）LAPACK’S
LAPACK，其名为Linear Algebra PACKage的缩写，是一以Fortran编程语言写就，用于数值计算的函式集。LAPACK提供了丰富的工具函式，可用于诸如解多元线性程式、线性系统程组的最小平解、计算特征向量、用于计算矩阵QR分解的Householder转换、以及奇异值分解等问题。在NetLib亦提供了API经简化的Fortran 95版本的LAPACK95。LAPACK以BSD授权的法释出。
（2）Intel Pardiso
Intel MKL提供了针对稀疏矩阵求解的PARDISO 接口，它是在共享存机器上，实现的稀疏矩阵的直接求解法，对于一些大规模的计算问题, PARDISO的算法表现了非常好的计算效率与并行性。一些数值测试表明，随着计算节点数目增加, PARDISO具有接近线性的加速比例。
（3）IML with sparselib from NIST
SparseLib++ 是一个C++类库。
可通过不同的计算平台有效的计算稀疏矩阵。
软件包包含存储格式（如压缩行，压缩列和坐标格式），并提供基本的功能来管理稀疏矩阵。
BlAS工具包用于进行高效的核数学运算（如稀疏矩阵向量乘法等）。
通过一个计算机体系结构，提高可移植性和性能。
（4）SAMG解算器
最新版的代数多网格法的SAMG解算器系统已经被实现，这对于已经证明由SCAI-Franhofer研究院开发的SAMG计算器，运用与中等规模模型时要比传统的PCG解算器快3-11倍，并且对于包含一百万或更多网格单元的大规模模型更快。
（5）Hypre form LLNL
Hypre(High Performance Preconditioners,高性能预条件子)由美国加州大学（UC）和劳伦斯-利弗莫尔实验室（LLNL）应用计算中心（CASC）开发的。该软件包主要用
于大规模并行计算机上求解大型稀疏线性程组组，主要目的是为用户提供高级并行预条件子。它具有强壮性、易用性、适应性和互动性。
（6）FASP from BiCMR
几/代数多重网格法，以及迭代器
（7）Blitzpak from landmark
结构化网格油藏求解器，只在UNIX环境下可用。
?PARDISO对应求解过程包括如下步骤：
1. 矩阵重排与符号分解(Reordering and Symbolic Factorization)：PARDISO Solver根据不同的矩阵类型，计算不同类型的行列交换矩阵P与对角矩阵D，对A矩阵进行交换重排。新得到的矩阵分解后会包括尽量少的非零元素。
2. 矩阵LU 分解: 对进行LU 分解。
3. 程求解与迭代：根据LU分解的结果，求解程，如果对结果的精度有进一步要求，使用迭代法进一步提高解精度。
4. 迭代结束，释放计算过程的存。
使用PARDISO 的时候，可能会有一些常见的问题：
第一，Paridso 提示存不足：
出现这类问题的时候，可以首先检查一下Pardiso 对求解该问题的存需求，Paridiso 计算时，可以通过下面的数据求得：
max(iparm(15), iparm(16)+iparm(17))
可以对比一下这个数据，查看系统的存是否满足需求。
Paridso 同时支持，in-core 与out-of-core的计算。如果，计算的数据太大，而不能完全在存求解的时候，可以的使用out-of-core 的pardiso（设置iparm(60) 参数）。Out-of-core 的计算会将中间计算数据保存于硬盘上，从而能够解决一些大的计算问题https://www.360docs.net/doc/134901718.html,。
实际中，还常常遇到的一个问题是，多应用是32位的程序，这样，即使使用out-of-core 的pardiso来求解，仍然会受到32位的地址空间的限制。如果计算数据非常的大，需要改写为64 位的计算程序。
第二，检查输入数据的合法性：
使用Pardiso 在进行计算的时候，常常会出现中间计算错误。由于Pardiso采用CSR 格式的压缩存储的矩阵。很多情况下，计算错误是由于输入了不合法的计算数据而导致。对于这类问题，可以在调用Pardiso 的时候，进行输入数据的检查（设置iparm(27) 的参数），Paridso如果发现输入数据的错误，会给出错误提示。这类检查，可以帮助发现一些简单的,特别是与输入数据的索引相关的输入错误。
第三，使用缺省参数：
Pardiso 中提供了丰富的输入参数选项。用户在调用的时候，需要确保正确的输入参数。很多在计算过程中发生的错误，往往与不正确的输入参数相关。一个常用的检查法是输入缺省的paridso 的参数（iparm(1) =0），Paridso 使用缺省参数进行计算，来检验程序的正确性。
第四，在C/C++语言的调用Pardiso：
在Intel MKL 函数手册中，Pardiso 相关参数的说明是以Fortran语言的形式给出。如果我们在C/C++语言中，调用Pardiso 函数，需要注意输入数据的数组下标。C语言中对应的数组下标是从0开始，程序中对应于Fortran的下标需要减一（比如，手册中提到，iparm(10)的参数，在C程序中，需要写为iparm[9]）
?IML with sparselib from NIST
. SparseLib++ is a C++ class library for efficient sparse matrix computations across various computational platforms. The software package consists of matrix classes encompassing several sparse storage formats (e.g. compressed row, compressed column and coordinate formats), and providing basic functionality for managing sparse matrices. The Sparse BLAS Toolkit is used to for efficient kernel mathematical operations (e.g. sparse matrix-vector multiply) and to enhance portability and performance across a wide range of computer architectures. Included in the package are various preconditioners commonly used in iterative solvers for linear systems of equations. The focus is on computational support for iterative methods (for example, see IML++), but the sparse matrix objects presented here can be used in their own right.
SparseLib++ matrices can be built out of nearly any C++ matrix/vector classes; it is shipped with the MV++ classes by default.
Sparselib++ authors are Roldan Pozo, Karin Remington, and Andrew Lumsdaine.
Documentation
A Sparse Matrix Library in C++ for High Performance Architectures, (38K, compressed postscript.) Proceedings of the Second Object Oriented Numerics Conference, pp. 214-218, 1994.
J. Dongarra, A. Lumsdaine, R. Pozo, K. Remington.
SparseLib++ Sparse Matrix Class Library, User's Guide, gzip postscript , pdf
R. Pozo, K. Remington, A. Lumsdaine
Software
Download SparseLib++ v. 1.7 source code: sparselib_1_7.zip
?Hypre form LLNL
Hypre的主要特点：
（1）可扩展的预条件子：Hypre包含可扩展求解超大规模稀疏线性程组的积累预条件子算法，包括诸如结构化多重网格（SMG）和基于矩阵元的代数多重网格
（AMG）。
（2）常用的迭代法实现：Hypre提供一些最常用的基于Krylov子空间迭代法。比如求解非对称矩阵的GMRES和求解对称矩阵CG（包括PCG，CGNR，BiCGStab）.
（3）直观的以网格为中心的界面：Hypre通过各种网格界面表示和处理稀疏矩阵，每个界面提供对一些求解器的访问，因此不需要用户去学习和创建复杂的数
据结构，而别的线性求解其软件包没有这个功能。
空间向量知识点归纳总结归纳
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3.共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫 做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。 当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ 存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 4.共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在 实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在 一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序 实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6.空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，
MATLAB代码 解线性方程组的迭代法
解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;
if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵
预处理子空间迭代法的一些基本概念
CG 算法的预处理技术：、 为什么要对A 进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A 的特征值分布 特征值如影响收敛性：特征值分布在较小的围，从而加速CG 的收敛性 特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页） 求解特征值和特征向量的法：Davidson 法：Davidson 法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里 D 是 A 的对角元所组成的对角矩阵。θ是由 Rayleigh-Ritz 过程所得到的A 的近似特征值。 什么是子空间法： Krylov 子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的程，A 是一个n*n 的矩阵，当n 充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov 法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov 姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A 的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。 如取正定矩阵Mk 为： Span 是什么？:设 ,称它们的线性组合 为向量 的生成子空间，也称为由成的子空间。记为，也可以记为 什么是Jacobi 迭代法： 什么是G_S 迭代法：请见PPT 《迭代法求解线性程组》 什么是SOR 迭代法： 什么是收敛速度：称收敛速度。度，简 为迭代法的渐近收敛速)(ln )(:5定义B B R ρ-= 什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix ）和可约矩阵（reducible matrix ）两个相对的概念。 定义1：对于 n 阶阵 A 而言，如果存在一个排列阵 P 使得 P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。 定义2：对于 n 阶阵 A=(aij) 而言，如果指标集 {1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集 J 和 K ，使得对任意的 j ∈J 和任意的 k ∈K 都有 ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。 n 阶矩阵A 是不可约的当且仅当与矩阵A 对应的有向图是强连通的。 什么是正交？：在三维向量空间中， 两个向量的积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。 什么是正交矩阵？：如果：AA'=E （E 为单位矩阵，A'表示“矩阵A 的转置矩阵”。）或A ′A=E ，则n 阶实矩阵A 称为正交矩阵， 若A 为单位正交阵，则满足以下条件: 1) AT 是正交矩阵 2)（E 为单位矩阵） 3) A 的各行是单位向量且两两正交 4) A 的各列是单位向量且两两正交 5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y ∈R 6) |A| = 1或-1 倒着写的A 和E 都是什么意思啊？：反着的E:谓词逻辑 存在量词 ? x: P(x) 意味着有至
最新向量空间的定义教案(50分钟)
向量空间的定义教案 (50分钟)
“向量空间的定义”教案（50分钟） I 教学目的 1、使学生初步掌握向量空间的概念。 2、使学生初步了解公理化方法的含义。 3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。 II 教学重点 向量空间的概念。 Ⅲ 教学方式 既教知识，又教思想方法。 Ⅳ 教学过程 第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 一、向量空间概念产生的背景 1）αββα+=+ 数 a+b, ab; 2）)()(γβαγβα++=++ 几何向量 αβα a ,+; 3）αα=+0 多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）0='+αα 函数 f(x)+g(x),af(x); 5）βαβαa a a +=+)( 矩阵 A+B ，aA; 6）αααb a b a +=+)( …… 7）)()(ααb a ab = 8）αα=1 二、向量空间的定义 定义1 令F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示。令V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα来表示。把V 中的元素叫做向量，而把F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V 是F 上的向量空间： 1 在V 中定义了一个加法，对于V 中任意两个向量βα,，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做βα与的和，并且记作βα+。
即若,,V V ∈∈βα则V ∈+→βαβα),(。 2 有一个数量与向量的乘法，对于F 中每一个数a 和v 中每一个向量α有v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a 与α的积，并且记作αa 。 即V a a V F a ∈→∈∈ααα),(,,。 3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律： 1）αββα+=+； 2）)(γβαγβα++=++； 3）在V 中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V 中每一个向量 α，都有αα=+0； 4）对于V 中每一向量α，在V 中存在一个向量α'，使得0=+'αα，这样的α'叫做α的负向量。 5）βαβαa a a +=+)(； 6）ba a b a +=+αα)(； 7）)()(ααb a ab =； 8）αα=1。 注1：定义1称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。 公理化方法???形式以理化方法 实质公理化方法 注2：数域F 称为基础域。 三、向量空间的例子 例1 解析几何里，V 2或V 3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。 例2 M mn （F ）对于矩阵的加法和数乘来说作成F 上的向量空间。 特别，},,2,1,|),,,{(21n i F a a a a F i n n =∈=关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。
空间向量知识点总结.doc
空间向量与立体几何知识点总结 一、基本概念 : 1、空间向量： 2、相反向量： 3 、相等向量： 4、共线向量： 5 、共面向量： 6、方向向量 : 7 、法向量 8、空间向量基本定理： 二、空间向量的坐标运算： 1.向量的直角坐标运算 r r 设 a ＝(a1,a2 , a3 ) ， b ＝ (b1 , b2 , b3 ) 则 (1) r r b1, a2 b2, a3 b3 ) ；(2) r r a ＋b＝(a1 a －b＝( a1 (3) r a2 , a3 ) (λ∈R)；(4) r r λ a ＝( a1, a · b ＝ a1b1 2.设 A( x1, y1, z1)， B( x2, y2, z2)，则b1 , a2 b2 , a3b3 ) ；a2b2a3b3； uuur uuur uuur AB OB OA = (x2x1 , y2y1 , z2z1 ) . r r 3、设a ( x1 , y1, z1 ) ， b ( x2, y2 , z2 ) ，则 r r r r r r r r r r a P b a b(b 0) ； a b a b 0 x1 x2 y1 y2 z1z2 0 . 4. 夹角公式 r r r r a1b1 a2 b2 a3b3 . 设 a ＝(a1,a2, a3)，b＝(b1, b2, b3)，则 cos a,b a12 a22 a32 b12 b22 b32 5．异面直线所成角 r r r r | a b | | x1x2 y1 y2 z1 z2 | cos | cos a,b . |= r r x12 y12 z12 x22 y22 z22 | a | | b | 6．平面外一点p 到平面的距离 n r 已知 AB 为平面的一条斜线， n 为平面的一个法 α
空间向量的基本运算
第六节 空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ， 使a ＝ 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是 的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作
空间向量
学校：年级：教学课题：空间向量 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 教学目标掌握空间向量的基本概念及应用 教学内容 空间向量及其运算 一、学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 复习1：平面向量基本概念： 具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量. 叫相反向量，a的相反向量记着. 叫相等向量. 向量的表示方法有，， 和共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝ . (2)当λ＞0时，λa与A. ； 当λ＜0时，λa与A. ； 当λ＝0时，λa＝. 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
二、知识点讲解 探究任务一：空间向量的相关概念 问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， OB = ， AB = ， 试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求 ,. a b a b +-a . b 2. 点C 在线段AB 上，且 5 2 AC CB =,则 AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ； ⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ． 典型例题 例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；1 '2 AB AD CC ++⑶ 1 (')2 AB AD AA ++⑷． 变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示' ',AC BD 和'DB .
迭代法
第三章 线性代数方程组数值解法（迭代法） 迭代法是解线性方程组的另一类方法，特别是适用于解大型稀疏线性方程组，如由某些偏微分方程数值解法中转化来的高阶线性代数方程组。事实上，迭代法是求解多种数值问题的基本方法。 迭代法作为一种求解数值问题的通用方法，其基本思想是针对求解问题预先设计好某种迭代格式，从而产生求解问题的近似解的迭代序列，在迭代序列收敛于精确解的情况下，按精度要求取某个迭代值作为问题解的近似值，这就是求解数值问题的迭代法。在这一章，我们的求解问题是线性方程组，下一章是非线性方程和非线性方程组，在不少其他问题中还会用到。 迭代法的内容包括下述两个主要方面： ① 针对具体问题构造具体的迭代格式。 ② 研究迭代格式(序列)的收敛性并作误差分析。 3.1 解线性方程组迭代法的基本概念和基本迭代公式 解线性代数方程组 b Ax = （3.1.1） (n n R A ?∈非奇异,0),,,(21≠=T n b b b b , T n x x x x ),,,(21 =为解向量 )的迭代法的具体做法是： 把方程组(3.1.1)变形为等价形式 )(x F x = 我们这里只研究如上式的线性的形式 f Bx x +=(其中n n R B ?∈，n R f ∈ ) 例 如 把 A 分 解为 n n R M N M A ?∈-=,则 （ b M Nx M x b x N M 11 )(--+=→=- ） 如果令 N M B 1-=， b M f 1-= 这就是前面的迭代格式 f Bx x +=。 （对应的迭代公式是： ),,2,1,0()() 1(n k f Bx x k k =+=+ 其中每一步迭代值 仅依赖于前一步的迭代值。称为单步迭代。） 如果{) (k x }当 ∞→k 时有极限*x 存在， *) (lim x x k k =∞ →则称迭代公式是收敛 的； 3.2 Jacobi 迭代法/Gauss —Seidel 迭代法 这是解线性方程组的两种基本的方法。 1. Jacobi 迭代公式 设方程组b Ax =中 n n ij R a A ?∈=)(，n i R b b ∈=且 ),,2,1(0n i a ii =≠。 从
一类新的预条件Gauss-Seidel迭代法
一类新的预条件Gauss-Seidel迭代法 摘要：本文给出了一个新的预条件因子 P,证明了在非奇异M矩阵和严 t 格对角占优L矩阵下，该预条件不仅加快了Gauss—Seidel迭代法的收敛速度，而且说明了在该预条件下Gauss—Seidel迭代法的谱半径是单调下降的.最后再用相关的数值例子说明文中给出的预条件 P要优于文献中所给的预条件. t 关键词：预条件；Gauss—Seidel迭代法；谱半径；收敛性；收敛速度. A New Class of Preconditioned Gauss-Seidel Interative Method P. Abstract: This paper give a new preconditioner large sparse linear equations t In the pre condition,by using Gauss-Seidel iteration format was linear equations .we first present a preconditions factor and then prove the accelerated convergence of the iteration method by the preconditions under the nonsingular Mmatrix．Discussed the in the the Strictly Diagonally Dominant the L matrix under the conditions of, the pre-conditions to speed up the the the convergence speed of of the Gauss-Seidel iterative method, but also in the the pre-under the conditions of the the Spectral Radius of the Gauss-Seidel iterative method is monotonic declining．Finally，some numerical examples are given to explain our theoretical result. Key words:pre-conditions factor，Gauss—Seidel iteration method ，spectral radius，weak regular splitting;，convergence rate.
第五章 结构动力学中常用的数值解法1
第五章结构动力学中常用的数值解法 §5.1概述 数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。 工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析
标准特征值问题和广义特征值问题 1 雅可比方法（Jacobi）、 2.Rayleigh-Ritz 3.子空间迭代法 4. 行列式搜索法 行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。 因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。此方法具有计算速度快，精度高，灵活等优点。 https://www.360docs.net/doc/134901718.html,nczos法 Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法， 与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。
响应数值分析： 1.中心差分法 2.Wilson-θ法 3.Newmark法 响应求解方法的选择取决的因素有：载荷、结构、精度要求、非线性影响程度、方法的稳定性等。 对于载荷，一般分为波传导载荷与惯性载荷。 对结构过于复杂的情况，宜采用直接积分法，结构较简单的情况可采用模态迭加法。 对精度要求较低的初步设计阶段，可采用取少数模态的模态迭加法。对精度要求较高的最后设计阶段，宜采用直接积分法 综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；有时为了互相验证，也可以同时采取两种以上的方法来处理动响应分析
§5.2 求解系统固有频率主振型的近似解法 1.邓柯利法：是邓柯利首先通过实验方法建立起来的一个计 算公式，后来才得到完整的数学证明。 []M []δ设质量矩阵，柔度矩阵为则有 {}[][]{}0x M x δ+= 1894年邓柯利：提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的实用方法（偏小）
数字图像分割-迭代法讲解
目录 摘要 (2) 1 原理与实现 (3) 1.1图像分割的概述............................................................................. 错误！未定义书签。 1.2 阈值分割的基本原理 (2) 1.3 阈值分割方法的分类 (3) 2 程序设计 (6) 2.1 主程序............................................................................................ 错误！未定义书签。 2.2 OTSU .............................................................................................. 错误！未定义书签。 2.3 全局阈值........................................................................................ 错误！未定义书签。 2.4 迭代法............................................................................................ 错误！未定义书签。3结果与分析.. (11) 4 心得体会................................................................................................... 错误！未定义书签。参考文献....................................................................................................... 错误！未定义书签。
52向量空间的定义和基本性质
5.2向量空间的定义和基本性质 授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质 教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质 授课时数：3学时 教学重点：线性空间的定义及基本性质 教学难点：性质及有关结论的证明 教学过程： 一、线性空间的定义 1. 引例―――定义产生的背景 例子． 设F b a F n ∈∈,,,,γβα则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律. （1）αββα+=+ （2）)()(γβαγβα++=++ （3）ααα=+??有零向量 （4） 0=-+-?）（使，有对αααα （5）βαβαa a a +=+)( （6）αααb a b a +=+)( （7）)()(ααb a ab = （8）αα=?1 这里F b a F n ∈∈,,,,γβα 2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质 Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 ,,,γβα；F 是一个数域F c b a ∈ ,,,如果在集合V 中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F ?V 到V 的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F 中元素a 与V 中α的乘积记作V a a ∈αα,）。如果加法和纯量乘法满足： 1）αββα+=+ 2）)()(γβαγβα++=++ 3）ααα=+∈?∈?0,0，有对V V （找出0元） 4）?∈?，V ααˊV ∈使得αα+ˊ=称αˊ为α的负向量（找出负元） 5）βαβαa a a +=+)( 6）αααb a b a +=+)( 7）)()(ααb a ab =
8）αα=?1 V 是F 上的一个线性空间，并称F 为基数域. 3. 进一步的例子――加深定义的理解 例1：复数域C 对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R 上的线性空间. 例2：任意数域F 可看作它自身的线性空间. 例3 {}V α=其加法定义为ααα+=, 数乘定义为a αα=, 则V 是数域F 上的线性空间. 注: V={0}对普通加法和乘法是数域F 上的线性空间, 称为零空间. 例4：设F 是有理数域，V 是正实数集合，规定),,(,F a V a a ∈∈=?=⊕βααααββα 练习 集合V 对规定的,⊕ 是否作成数域F 上的线性空间？ 1212112212,(,,,)(,,,) (,,,), (,,,)(0,0,,0) n n n n n n V F a a a b b b a b a b a b a a a a =⊕=+++= 解 显然V 对,⊕ 满足条件1）—7），但对任意的 12(,,,)n n a a a F ∈ 有12121(,,,)(0,0,,0)(,,,),n n a a a a a a =≠ 故集合V 对规定的不作成数域F 上的线性空间. 由此例可以看出, 线性空间定义中的条件8)是独立的, 它不能由其他条件推出. 二、线性空间的简单性质 1、线性空间V 的加法和纯量乘法有以下基本性质. Th5.2.1 1） V 的零向量唯一，V 中每个向量的负向量是唯一的. 2） αα=--)( 证明：1）设120,0是V 的两个零向量，则11220000=+=. 设12,αα是α的负向量, 则有 120,0,αααα+=+= 于是 111212220()()0αααααααααα=+=++=++=+= *由于负向量的唯一性, 以后我们把的α唯一负向量记作α-. 2） 因()0,αα+-= 所以().αα--= 3） *我们规定: (),αβαβ-=+- 且有.αβγαγβ+=?=-
平面向量与空间向量知识点及理科高考试题
平面向量与空间向量知识点及理科高考试题 一、考试内容要求： (一)、平面向量： （1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景。②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。③理解向量的几何表示. （2）向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. （3）平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. （4）平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （5）向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. (二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量
语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 二、知识要点归纳： (一)、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向 的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB u u u r ；长度为零的向 量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与 任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
空间向量的基本概念习题
空间向量的基本概念习题 1. 如图所示，空间四边形OABC 中，OA ????? =a ? ,OB ?????? =b ? ,OC ????? =c ? ， 点M 在OA ????? 上，且OM ??????? =2MA ?????? ，N 为BC 的中点，MN ??????? =x a ? +y b ? +z c ? ，则x,y,z 的值分别为( ) A. 1 2,?23,1 2 B. ?23,12,1 2 C. 12,1 2,?2 3 D. 23,23,?1 2 2. 在四面体O ?ABC 中，设OA ????? =a ? ，OB ?????? =b ? ，OC ????? =c ? .D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ????? =( ) A. 1 2a ? +1 4b ? +1 4c ? B. 1 2a ? +1 3b ? ?1 2c ? C. 1 3a ? +1 4b ? +1 4c ? D. 1 3a ? ?1 4b ? +1 4c ? 3. 如图，已知三棱锥A ?BCD 的每条棱的长度都等于1，点 E ， F ， G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则EF ???? ?EG ????? =( ) A. 14 B . 1 2 C. √2 2 D. 1 4. 如图，在正四棱锥P ?ABCD 中，设AB ????? =a ? ，AD ?????? =b ? ， AP ????? =c ? ，O 为底面ABCD 中一点，且PO ⊥平面ABCD ，则PO ????? =( ) A. a ? +b ? +c ? B. a ? +b ? ?c ? B. 1 2a ? +1 2b ? ?c ? D. 1 2a ? +1 2 b ? + c ? 5. 空间四边形OABC 中，OA ????? =a ? ，OB ?????? =b ? ，OC ????? =c ? ，点M 在线段AC 上，且AM =2MC ，点N 是OB 的中点，则MN ??????? =( ) A. 2 3a ? +1 2b ? ?2 3c ? B. 23a ? ?12b ? +2 3c ? C. ?1 3a ? +1 2b ? ?2 3c ? D. 1 3a ? +1 2b ? ?1 3c ? 6. 如图，已知三棱锥A ?BCD 的每条棱的长度都等于1，点 E ， F ， G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则EF ????? ?EG ????? =( ) A. 1 4 B. 1 2
matlab子空间迭代法求结构频率和振型
子空间迭代法求图示结构前2阶频率和振型 syms m k w; K=[k -k 0 0 0 -k 2*k -k 0 0 0 -k 2*k -k 0 0 0 -k 2*k –k 0 0 0 -k 2*k]; %刚度矩阵 M=[m 0 0 0 0;0 m 0 0 0;0 0 m 0 0;0 0 0 m 0;0 0 0 0 m] ; %质量矩阵 fi1=m/k*[ 15, 5; 14, 4;12, 3;9, 2;5,1] %迭代法迭代一次后得fai1作为初始向量 fi10=m/k*[15,14,12,9,5;5,4,3,2,1] %fai1的转置 K0=fi10*K*fi1 % K* M0=fi10*M*fi1 %M* C=K0-w^2*M0 %频率方程矩阵 det(C) %得到5*(10*k^2 - 136*k*m*w + 161*m^2*w^2))/k^2 solve('(5*(10*k^2 - 136*k*m*w + 161*m^2*w^2))/k^2=0','w') %得到w^2= (68*k + 3014^(1/2)*k)/(161*m) =((68 + 3014^(1/2))/(161))*k/m=122.8999*k/m w^2= (68*k - 3014^(1/2)*k)/(161*m) =((68 -3014^(1/2))/(161))*k/m=13.1001*k/m w= ((68*k + 3014^(1/2)*k)/(161*m))^(1/2) D=[ (55*m^2)/k - (671*m^3*w^2)/k^2, (15*m^2)/k - (190*m^3*w^2)/k^2;(15*m^2)/k - (190*m^3*w^2)/k^2, (5*m^2)/k - (55*m^3*w^2)/k^2] factor(D) E=[ ((- (671*3014^(1/2))/161 - 36773/161)*m^2)/k, ((- (190*3014^(1/2))/161 - 10505/161)*m^2)/k; ((- (190*3014^(1/2))/161 - 10505/161)*m^2)/k, ((- (55*3014^(1/2))/161 - 2935/161)*m^2)/k]*k/m^2
选修2-1-空间向量知识点归纳总结
第三章 空间向量与立体几何 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合， 那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρb ρ）时，表示a ρ 、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρb ρ 存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空 间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量， 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存 在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作 ，且 。 7. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
迭代法
2 迭代法 2.1 迭代法的一般概念 迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个精糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。 对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。这里，主要看看解方程迭代式的构造。 对方程(1.1)，在区间],[b a 内，可改写成为： )(x x ?= (2.1) 取],[0b a x ∈，用递推公式： ) (1k k x x ?=+, Λ,2,1,0=k (2.2) 可得到序列： ∞ ==0210}{,,,,k k k x x x x x ΛΛ (2.3) 当∞→k 时，序列∞=0}{k k x 有极限x ~， 且)(x ?在x ~附近连续，则在式(2.2)两边极限，得， )~(~x x ?= 即，x ~为方程(2.1)的根。由于方式(1.1)和方程(2.1)等价，所以， x x ~ *= 即， *lim x x k k =∞ → 式(2.2)称为迭代式，也称为迭代公式；)(x ?可称为迭代函数。称求得的序列∞ =0 }{k k x
为迭代序列。 2.2 程序和实例 下面是基于MATLAB 的迭代法程序，用迭代格式)(1n n x g p =+，求解方程)(x g x =，其中初始值为0p 。 ************************************************************************** function[p,k,err,P]=fixpt(f1021,p0,tol,max1) % f1021是给定的迭代函数。 % p0是给定的初始值。 % tol 是给定的误差界。 % max1是所允许的最大迭代次数。 % k 是所进行的迭代次数加1。 % p 是不动点的近似值。 % err 是误差。 % P = {p1,p2,…,pn} P(1) = p0; for k = 2:max1 P(k) = feval('f1021', P(k-1)); k, err = abs(P(k) - P(k-1)) p = P(k); if(err