雅可比迭代法预处理
jacobi迭代法matlab
jacobi迭代法matlabJacobi迭代法是一种常用的线性方程组求解方法，它是一种迭代法，通过不断迭代来逼近线性方程组的解。
Jacobi迭代法的基本思想是将线性方程组的系数矩阵分解为一个对角矩阵和一个非对角矩阵的和，然后通过迭代求解对角矩阵和非对角矩阵的乘积，最终得到线性方程组的解。
Jacobi迭代法的具体步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵A分解为一个对角矩阵D和一个非对角矩阵R的和，即A=D+R。
2. 将线性方程组的右端向量b分解为一个对角矩阵D和一个非对角矩阵N的乘积，即b=Dx。
3. 对于任意的初始解向量x0，计算下一次迭代的解向量x1，即x1=D^(-1)(b-Rx0)。
4. 重复步骤3，直到达到预定的精度或迭代次数。
Jacobi迭代法的优点是简单易懂，易于实现，收敛速度较快。
但是，它的缺点也很明显，即收敛速度较慢，需要进行大量的迭代才能达到较高的精度。
在Matlab中，可以使用以下代码实现Jacobi迭代法：function [x,k]=jacobi(A,b,x0,tol,maxit)% Jacobi迭代法求解线性方程组Ax=b% 输入：系数矩阵A，右端向量b，初始解向量x0，精度tol，最大迭代次数maxit% 输出：解向量x，迭代次数kn=length(b); % 系数矩阵A的阶数D=diag(diag(A)); % 对角矩阵DR=A-D; % 非对角矩阵Rx=x0; % 初始解向量for k=1:maxitx1=D\(b-R*x); % 计算下一次迭代的解向量if norm(x1-x)<tol % 判断是否达到精度要求break;endx=x1; % 更新解向量end输出结果可以使用以下代码实现：A=[4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4]; % 系数矩阵b=[15; 10; 10]; % 右端向量x0=[0; 0; 0]; % 初始解向量tol=1e-6; % 精度要求maxit=1000; % 最大迭代次数[x,k]=jacobi(A,b,x0,tol,maxit); % Jacobi迭代法求解线性方程组fprintf('解向量x=[%f; %f; %f]\n',x(1),x(2),x(3)); % 输出解向量fprintf('迭代次数k=%d\n',k); % 输出迭代次数以上就是Jacobi迭代法的主要内容，通过Matlab实现Jacobi迭代法可以更好地理解其基本思想和具体步骤。
研究生数值分析(11)雅可比(Jacobi)迭代法
解：相应的雅可比迭代公式为
( k 1) 1 x1 (2 x2 ( k ) x3( k ) 3) 10 ( k 1) 1 x2 (2 x1( k ) x3( k ) 15) 10 ( k 1) 1 ( k ) x3 ( x1 2 x2 ( k ) 10) 5
则 AX=b 的系数矩阵 为A=D-L-U , 雅可比迭代公式的矩阵表示形式为 X ( k 1) D1 ( L U ) X ( k ) D 1b 其中 D 1 ( L U ) 称为雅可比迭代矩阵。 记为 BJ D 1 ( L U )
我们用定理2来判断雅可比迭代公式是否收敛
x1(0) x2(0) x3(0) 0 ，按迭代公式进行迭代， 取初值
得计算结果
k
0 1 2 3 4
x
(k ) 1
x2 ( k )
0 1.5000 1.7600 1.9260 1.9700
x3 ( k )
k
x1( k )
x2 ( k )
x3 ( k )
0 0.3000 0.8000 0.9180 0.9716
个方程解出得到一个同解方程组雅可比jacobi迭代法获得相应的迭代公式1121223132则axb的系数矩阵为adlu记为我们用定理2来判断雅可比迭代公式是否收敛需要考虑雅可比迭代矩阵上式左端为将系数矩阵a的对角元同乘以后所得新矩阵的行列式
1 雅可比（Jacobi）迭代法 由方程组 AX=b 的第 i 个方程解出 xi
获得相应的迭代公式
( k 1) 1 x1 (a12 x2 ( k ) a13 x3( k ) a1n xn ( k ) b1 ) a11 1 ( k 1) x2 (a21 x1( k ) a23 x3( k ) a2 n xn ( k ) b2 ) a22 （4） 1 ( k 1) xn (an1 x1( k ) an 2 x2 ( k ) an ,n 1 xn 1( k ) bn ) ann
matlab中jacobi迭代法
一、简介Matlab中jacobi迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法，适用于系数矩阵为对称、正定矩阵的情况。
该迭代方法通过将系数矩阵分解为对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵的形式，然后通过迭代计算得到方程组的解。
在Matlab中，可以利用矩阵运算和迭代循环来实现jacobi迭代法。
二、 jacobi迭代法原理1. 基本思想jacobi迭代法的基本思想是将系数矩阵分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L的形式，即A=D+L+U，其中D为系数矩阵A 的对角线元素组成的对角矩阵，L为系数矩阵A的下三角部分，U为系数矩阵A的上三角部分。
令x为方程组的解向量，b为方程组的右端向量，则方程组可表示为Ax=b。
根据方程组的性质，可将方程组表示为(D+L+U)x=b，然后利用迭代的方式逐步逼近方程组的解。
2. 迭代公式假设迭代到第k次，方程组可表示为(D+L+U)x=b，将其转化为迭代形式x(k+1)=(D+L)^(-1)(b-Ux(k))，利用迭代公式可以逐步计算出方程组的解。
3. 收敛条件对于jacobi迭代法，收敛条件为系数矩阵A为对角占优矩阵或正定矩阵。
如果满足这一条件，迭代计算会逐步收敛于方程组的解。
三、 Matlab中jacobi迭代法实现在Matlab中，可以利用矩阵运算和迭代循环来实现jacobi迭代法。
具体步骤如下：1. 对系数矩阵进行分解将系数矩阵A分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L的形式。
2. 初始化迭代变量初始化迭代的初始值x0、迭代次数k、逐次逼近解向量x(k+1)。
3. 迭代计算利用迭代公式x(k+1)=(D+L)^(-1)(b-Ux(k))来逐步计算出方程组的解。
4. 判断收敛条件在迭代计算过程中，需要实时判断迭代计算是否满足收敛条件，如果满足则停止迭代计算，得到方程组的解。
四、实例分析假设有如下方程组：2x1 + x2 + 4x3 = 103x1 + 4x2 - x3 = 10x1 + 2x2 + 3x3 = 0可以利用jacobi迭代法来求解该方程组，在Matlab中可以通过编程实现迭代计算过程。
研究生数值分析(11)---雅可比(Jacobi)迭代法
a x (k) n,n1 n1
bn )
取初始向量
X
(0)
(
x (0) 1
,
x (0) 2
,
,
x (0) n
)T
利用（4）反复迭代可以得到一个向量序列 {X (k)}
称式（4）为雅可比迭Jacobi代公式。
若记
a11
D
a22
0
a21 0
0 a12
0
L a31
a32
0
U
特征方程 I D1(L U ) 0
又可以写成 D1 D L U 0 因为 D1 0 ，所以 D L U 0 上式左端为将系数矩阵 A 的对角元同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
例8 用雅可比迭代法求解方程组
10x1 2x2 x3 3 2x1 10x2 x3 15 x1 2x2 5x3 10
由迭代矩阵的特征方程
10 2 1 2 10 1 0 1 2 5
展开得到
(10 2)(50 2 10 3) 0
解得
1
1 5
, 2
1 10
7
, 3
1 10
7
于是 (J ) 1 7 0.3646 1
10
因而雅可比迭代公式是收敛的。
练习:考察用雅可比Jacobi迭代法解方程组 AX=b的收敛性，
解：相应的雅可比迭代公式为
x1(
k
1)
1 10
(2x2(k )
x (k) 3
3)
x2(k
1)
1 10
(2
x1(
k
)
x (k) 3
15)
x3(k
1)
1 5
(
x1(
雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的算法描述
雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的算法描述一. 雅克比迭代法雅克比迭代法（Jacobi Iteration）是计算数值解的一种迭代方法，它遵循一个简单的步骤：给定问题的初始值，按照一定的规则，用求出某一个矩阵元素，替换当前值，得到下一个矩阵值，重复这个步骤，直到满足某一个条件，即为所求解的结果。
雅克比迭代法求解矩阵问题的一般步骤为：（1）给定初始矩阵A和右端值矩阵B，将第i行第j列的元素表示为aij，bi；（2）第i行其它元素之和定义为s(i) =∑(j≠i)|a(i, j)|，亦即∑|aij|；（3）如果s(i)不等于0，则第i行第i列元素的值更新为xi=1 (b(i) ∑(j≠i)[a(i, j)x(j)])/a(i, i)（4）重复步骤3，直到满足|X(i)X(i)|＜ε（ε为设定的误差），此时x即为所求解的结果。
二. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）是另一种迭代方法，算法的基本思想也是：通过迭代，计算出当前矩阵的第i行第j列的元素xi；然后更新第i行第j列元素的值，继续迭代，直到某种条件满足，即可求出矩阵的解。
高斯-赛德尔迭代法的基本步骤为：（1）给定初始矩阵A和右端值矩阵B，将第i行第j列的元素表示为aij，bi；（2）第i行其它元素之和定义为s(i) =∑(j≠i)|a(i, j)|，亦即∑|aij|;（3）如果s(i)不等于0，则第i行第i列元素的值更新为xi=1 (b(i) ∑(j<i)[a(i, j)x(j)]∑(j>i)[a(i,j)x(j)] )/a(i, i)（4）重复步骤3，直到满足|X(i)X(i)|＜ε（ε为设定的误差），此时x即为所求解的结果。
总结从上面的对比来看，雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的步骤基本一致，均采用迭代的方式求解矩阵A的解X，不同的是，高斯赛德尔迭代法在更新矩阵A的第i行第i列元素时，采用把小于i的j元素的值替换成当前迭代求得的值来计算，而雅克比迭代法采用把全部j元素的值替换成当前迭代求得的值来计算。
雅克比迭代法
雅克比迭代法马来西亚雅克比迭代法(Marey Jacobs Iterative Method)是一种功能最优化的数值分析方法，又称无约束最优化算法，其目的是找到函数最优值，这是一种全局最优解法，可以有效求解多变量非线性方程和非凸优化问题。
1. 雅克比迭代法的概念雅克比迭代法是数值分析方法的一种，他可以搜索多变量非线性函数的最优值。
该方法的核心思想是：在每次迭代中，通过计算函数的梯度(或偏导数)来找到新的最优值，以及搜索方向。
它基于雅克比矩阵求解多元非线性方程组，需要迭代计算，来自动找到变量最优值点，比如从一个初始点开始，沿着局部函数增加最快的方向，一直搜索到某一程度，就可以得到全局最优结果。
2. 雅克比迭代法的特点①雅克比迭代法可以基于非凸优化，这就使得在多元变量函数中找到最优解更加容易。
②它的收敛速度极快，一般只需一定的迭代周期就可以解出比较精确的解。
③雅克比迭代法具有很大的数值稳定性，它可以适应多元函数的各种变化而取得精确的结果。
3. 雅克比迭代法的应用（1）雅克比迭代法可以用于非线性最优化，用于非线性方程组和非凸优化问题。
（2）它可以用于解决多元、非线性优化问题，特别是在功能最优化技术中经常应用。
（3）它广泛应用于多目标最优化，在这种问题中，可以使用雅可比迭代法来求解最优值。
（4）它可以有效地解决期望、约束类优化问题，其中，约束可以通过增加惩罚函数的系数来改变。
4. 雅克比迭代法的缺点（1）雅可比迭代法的最佳初值特征和求解准确度有较大的依赖，这意味着对于不同的情况，要使用不同的参数，这就耗费了较多的时间；（2）雅可比迭代法因为受函数从原点出发的假定条件，所以只能较不理想的收敛到局部最优解，而不能较好的收敛到全局最优解；（3）雅可比迭代法实现起来较为复杂，对于复杂的非凸优化问题，往往可能导致求解的困难；（4）雅可比迭代法有一定的假定条件，一旦这些假定发生变化，那么最终计算出的结果就可能发生改变。
数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
= Jacobi 迭代法：
流程图 开
始
判断 b 中的最大值 有没有比误差大
给 x 赋初值
进行迭代
求出 x，弱到 100 次还没到，警告不收 敛 结束
1
程序 clear;clc; A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; b=[1;4;3]; e=1e-6; x0=[0;0;0]'; n=length(A); x=zeros(n,1); k=0; r=max(abs(b)); while r>e
warning('不收敛'); end end x=x0;
2
程序结果
（1）
3
（2）
4
Gauss-Seidel 迭代法：
程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3];
A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵 A 不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解 A=D+L+U,D 是对角阵，L 是下三角阵，U 是上三角阵 U=zeros(n); D=zeros(n);
G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化 L 和 U for j=1:n if i<j L(i,j)=A(i,j); end if i>j U(i,j)=A(i,j); end end end for i=1:n%初始化 D D(i,i)=A(i,i); end G=-inv(D+L)*U;%初始化 G d=(D+L)\b;%初始化 d %迭代开始 x1=x; x2=G*x+d; while norm(x2-x1,inf)>10^(-6)
jacobi迭代法
jacobi迭代法
Jacobi迭代法是常见的数值计算中解线性方程组的方法之一，它是一种迭代式方法。
Jacobi迭代法主要用于近似解决线性方程组，它是以变步长的简单迭代方法，以求解高维空间的线性方程组。
Jacobi迭代法的基本思想是，使用当前近似解求解未知数，其数学模型为Ax=b，将x分解为x=x0+dx,其中dx为增量，前面先确定x0，求解dx，新近似解为x0+dx。
Jacobi迭代法的具体步骤是：给定问题的数学模型Ax=b，确定初值xi(0)（i=1，2，…，n），用Aijxj(k)=bi-Σ(i≠j)Aijxj (k)计算第i个未知数的新近似解xi (k+1)，代入上一次的新近似解作为右边的初值，重复上述过程，即可以得到新的xi(k+1)。
Jacobi迭代法的主要优点是计算简单，实现容易，需要的存储空间少，因此被广泛应用于解线性方程组。
但是，Jacobi迭代法的收敛性能较差，如果迭代次数太多，会使计算效率降低。
因此，Jacobi迭代法在数值计算中由其算法本身的简单性及其低纬度和低存储量得以广泛使用，其计算过程也由此得到优化。
但是，该迭代法局限于其较差的收敛性能，必须谨慎使用以防超过预定的最大迭代数。
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雅可比迭代法是一种常用于求解线性方程组的迭代方法。
它通过不断迭代来求解方程组的解。
在使用雅可比迭代法之前，我们需要对方程组进行一些预处理，以便使用这种方法求解。
首先，我们需要将方程组化为如下的形式：
Ax = b
其中A 是系数矩阵，x 是未知向量，b 是常数向量。
然后，我们需要确定一个初始猜测解x0，作为迭代的起点。
这个初始猜测解可以是任意的，但是如果能够选择一个较好的初始猜测解，则可能会使迭代收敛得更快。
最后，我们需要选择一个迭代系数，这个系数决定了新的猜测解与旧的猜测解之间的关系。
一般来说，如果选择的迭代系数越小，则迭代收敛得越慢，但是收敛得更稳定；如果选择的迭代系数越大，则迭代收敛得越快，但是收敛得更不稳定。
这就是雅可比迭代法的预处理过程。