预处理变形共轭梯度法并行求解矩阵的Moore-Penrose逆
moore-penrose逆求法
moore-penrose逆求法
Moore-Penrose逆求法是一种计算矩阵的广义逆的方法，可以解决矩阵不可逆或非方阵的逆的问题。
设A为m × n的矩阵，其Moore-Penrose逆（也称为广义逆）记作A⁺。
则A⁺满足下列四个条件：
1. AA⁺A = A
2. A⁺AA⁺ = A⁺
3. (AA⁺)ᵀ = AA⁺
4. (A⁺A)ᵀ = A⁺A
通过这四个条件可以推导出计算Moore-Penrose逆的公式。
具体计算步骤如下：
1. 计算AAᵀ的逆，记作(AAᵀ)⁻¹
2. 计算Aᵀ的逆，记作Aᵀ⁻¹
3. 计算A⁺ = Aᵀ⁻¹(AAᵀ)⁻¹
其中，AAᵀ的逆和Aᵀ的逆可以根据矩阵计算的常规方法进行求解，例如利用LU分解、QR分解等方法。
需要注意的是，当矩阵A的列数大于行数（n > m）时，Moore-Penrose逆仍然存在，但不唯一。
不同的Moore-Penrose 逆可以通过A⁺ = (AᵀA)⁻¹Aᵀ进行计算。
而当行数大于列数（m > n）时，A的Moore-Penrose逆不存在。
总之，Moore-Penrose逆求法是一种能够解决各种矩阵的广义
逆问题的方法。
在实际应用中，它可以用于最小二乘拟合、线性回归、数据降维等领域。
环上矩阵的广义Moore—Penrose逆
收稿 日期 ：０ ０ １ ＿ ０ ２ Ｏ ＿ ｏ １ 基 金 项 目： 国家 自然科 学基 金 资助项 日（ 批准 号 ： ９ ７ ０ ８） １８ １ １
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Ｖ 】２ ０ ２
数 学 杂 志
１７ １
引理 ２ 设 Ｇ为 ｍ ｒ ｘ 阶右 高阵 ， Ｈ为 ｒｎ阶左高 阵 ， Ｄ Ｇ ） Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ ） × 则 （Ｄ 一 ＝ ＝ Ｈ（Ｈ － Ｇ Ｄ
这 里 （ Ｄ） （Ｄ） Ｇ 一Ｇ ＝ ”． 以 上 两 引理 的证 明 见 文 ［】 ３．
定 理 １ 设 Ａ＝ Ｄ Ｇ为 ｍｘ 阶右 高阵 ， Ｇ Ｈ， ｒ Ｈ为 Ｆｎ阶左 高 阵 ， Ｄ ＝ ＝ ． Ｎ分别是 Ｘ 且 ２ Ｄ， Ｄ Ｍ、 阶 为 ｍ ｍ， 的可逆阵。贝 Ａ相对 于 ， 的广义 Ｍ－ ｘ ｎ ｆ 』 Ⅳ Ｐ逆存在 的充 要条件是 ：
阵 的广义 Ｍ Ｐ逆存在 的充 要条件 ， — 并给 出了逆存在 时 的表达 式 ． 定义 １ 设 是带 有对合 ： ＋ 的有 １ 。 的结合环． 令 Ａ Ｍ Ⅳ分 别为 阶是 ， 足 以下条件 ： ）Ｘ （Ａ Ａ １ （） Ａ ＝ （ Ｍ ∞． ２Ｘ ＸＸ ３ Ａ － ）（ ， ， ｍ
解 的矩 阵 的广 义 Ｍ— Ｐ逆存 在 的充 要条件 ．文【 将 文［］ ２ Ｊ １的结果 推 广到具 有满单 分解 性 质 的 带有对 合 的范畴 ． 前 ， 此 陈建 龙 ［］ 给出带 对合 环上 一类 矩 阵 的 Ｍ Ｐ逆 【 是 广 义 Ｍ— ３曾 — 不 Ｐ 逆 ） 在 的充要 条件及某 些等价 条件． 文在文【］［ 工作 的基础上 ， 虑 了文【］ 同类 矩 存 本 １， ］ ３ 考 ３中
ＵＶ＝ ＤＺ ＸＧ ＨＸ＝ ＸＧＤＨＸ＝ ＸＡＸ＝ Ｘ 且 ＤＨＵ ＝ ， ＶＧ ＝Ｄ ． Ｄ Ｄ
Moore-penrose逆交换性的秩方法
Moore-penrose逆交换性的秩方法黄旭;刘丁酉【摘要】M-P逆不具有交换性,即(AB)+=B+A+一般不成立,但利用投影算子的理论得到了(AB)+=B+A+的一些充要条件.将用矩阵秩这种新的研究方法研究广义逆的交换性使得证明变得更简洁.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(028)002【总页数】4页(P124-127)【关键词】Moore-penrose逆;矩阵秩;交换性【作者】黄旭;刘丁酉【作者单位】武汉大学,数学与统计学院,湖北,武汉,430072;武汉大学,数学与统计学院,湖北,武汉,430072【正文语种】中文【中图分类】O151.2矩阵秩方法是矩阵理论中一种比较独特的方法，它通过讨论一些特定矩阵的秩，可以得到一些相应的秩等式，由此再得到一些有用的结论[1～6].本文研究广义逆的交换性，并得到了一些有益的结果.1 预备知识定义1 对于一个m×n的矩阵A，若存在一个n×m的矩阵G，使得：(i)AGA=A, (ii)GAG=G,(iii) (AG)T=AG, (iv)(GA)T=GA.则称G为A的Moore-penrose逆，简称M-P逆，记作A+.定义2 设A∈Cn×n，矩阵X称为A的群逆，如果A满足rank(A)=rank(A2)且满足如下矩阵方程：(i)AXA=A,(ii)XAX=X,(iii)AX=XA,记A的群逆为A#.下面将给出一些关于矩阵秩常用的一些结论.引理1[7] R(B)⊆R(A)⟺AA+B=B⟺r[A,B]=r(A)(1)r(AB)=r(A)⟺R(AB)=R(A)(2)r(AB)=r(B)⟺R[(AB)*]=R(B*)(3)R(A)=R(AA*)=R(AA*A)=R(AA+)=R[(A+)*](4)R(A*)=R(A*A)=R(A*AA*)=R(A+)=R(A+A)(5)AA+=A+A⟺R(A)=R(A*) i.e.A是EP矩阵(6)R(A1)=R(A2)且R(B1)=R(B2)⟺r[A1,B1]=r[A2,B2](7)其中R(A)表示值域，而r(A)表示矩阵A的秩.Marsaglia和Styan得到了几个关于分块矩阵秩的等式，即:引理2[8] 设A，B，C，D分别是m×n,m×k,l×n和l×k阶矩阵，则:r[A,B]=r(A)+r(B-AA+B)r=r(B)+r(C)+r[(I-BB+)A(I-CC+)](9)若R(B)⊆R(A)且R(C*)⊆R(A*),则:(10)由引理2，可以得到下面的一个更实用引理.本文的主要结果将以引理2为基础. 引理3[8] 设A，B，C，D分别是m×n,m×k,l×n和l×k阶矩阵，且满足:R(B)⊆R(A),R(C*)⊆R(A*).则:(11)若令:且则式(11)可以变成:r(D-C1A1+B1-C2A2+B2)=r-r(A1)-r(A2)(12)2 主要结论S.L.Campbell和C D Meyer,Jr利用投影算子的理论得到了(AB)+=B+A+的一些充要条件，下面利用矩阵秩的方法给出证明：定理1[9] 设A∈Cm×n，B∈Cn×p，则下面几个条件是等价的.(i)BB*A+A=A+ABB*,A*ABB+=BB+A*A,(ii)R(A*)是BB*的不变子空间且R(B)是AA*的不变子空间,(iii) A+ABB*A*=BB*A*且BB+A*AB=A*AB.证明 (i)⟺(ii)：由引理3得:所以:BB*A+A=A+ABB*⟺r(BB*A+A-A+ABB*)=0⟺r(A*,BB*A*)=r(A)=r(A*)⟺R(BB*A*)⊆R(A*)⟺BB*R(A*)⊆R(A*).同理可证：A*ABB+=BB+A*A⟺R(A*AB)⊆R(B)⟺A*AR(B)⊆R(B).(ii)⟺(iii)：r(BB*A*-A+ABB*A*)=r-r(A)=r(A*,BB*A*)-r(A)所以:BB*A*=A+ABB*A*⟺r(BB*A*-A+ABB*A*)=0⟺r(A*,BB*A*)=r(A)⟺R(BB*A*)⊆R(A*)⟺BB*R(A*)=R(A*).同理可证:所以:A*AB=BB+A*AB⟺r(A*AB-BB+A*AB)=0⟺r(BB*,A*AB)-r(B)=0⟺R(A*AB)⊆R(BB*)=R(B)⟺A*AR(B)⊆R(B) .由此即证(ii)与(iv)等价.定理2 若A+=A#,B+=B#,(AB)+=(AB)#,rank(A)=rank(B)=rank(AB),则:(AB)+=B+A+.证明由Tian lemma 2.1,有:A+=A#⟺A是EP⟺AA+=A+A⟺R(A)=R(A*).同理可得:B+=B#⟺R(B)=R(B*),(AB)+=(AB)#⟺R(AB)=R[(AB)*].再由式(2)，(3)有:r(AB)=r(A)⟺R(AB)=R(A)，r(AB)=r(B)⟺R[(AB)*]=R(B*).综上即知:R(A)=R(A*)=R(B)=R(B*)=R(AB)=R[(AB)*].从而:BB*R(A*)⊆R(B)=R(A*),A*AR(B)⊆R(A*)=R(B).由定理1，即证(AB)+=B+A+.定理3[9] 若A*ABB*=BB*A*A;则:(AB)+=B+A+.本文将用矩阵秩的方法给出该结论的一个新的证明.证明由引理3，有:因为A*ABB*=BB*A*A,所以:A*ABB*A*=BB*A*AA*从而:r(BB*A+A-A+ABB*)=r-2r(A)=r-2r(A)=r(A*A)+r(A*)-2r(A)=0所以:BB*A+A=A+ABB*，同理可证:A*ABB+=BB+A*A,由定理1即证:(AB)+=B+A+.参考文献:[1]Yongge Tian,liu Y.Extremal ranks of some symmetric matrix expressions with applications[J].SIAM J Matrix Anal Appl,2006,28:890-905.[2]Liu Y. On equality of ordinary least squares estimator best linear unbiased estimator and best linear unbiased predictor in the general linear model[J].J Stat Plann Inference，2009,139:1522-1529.[3]Yongge Tian Takane Y.Some algebraic and statistical properties of estimators under a general growth curve model,Electron[J]. J Linear Algebra, 2007,6:187-203.[4]Yongge Tian.The Moore-Penrose inverse of a triple matrixproduct[J].Math Theory Practice,1992,1:64-70.[5]Yongge Tian.Reverse order laws for the generalized inverses of multiple matrix products,Linear[J].Algebra Appl,1994,211:185-200.[6]Yongge Tian.How to characterize equalities for the Moor-Penrose inverse of a matrix,Kyungpook[J].Math J, 2001,41:1-15.[7]Yongge ing rank formulas to characterize equalities for Moore-Penrose inverses of matrix products[J].Applied Mathematics and Computation,2004,147:581-600.[8]Shi Zheng Chen,Yongge Tian.Two sets of new characterizations for normal and EP matrices[J].Linear Algebra and itsApplications,2003,375:181-195.[9]S L. Campbell+C D Meyer Jr, Generalized Inverses of Linear Transformations[M].London:Pitman, 1979:23-25.。
整环上矩阵的加权Moore-Penrose逆
整环上矩阵的加权Moore-Penrose逆朱光艳;刘晓冀【摘要】研究整环上矩阵加权Moore-Penrose逆存在的一些新的充分必要条件及其表达式,并在此基础上推出加边矩阵的逆矩阵.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(028)003【总页数】5页(P344-348)【关键词】整环;矩阵的逆;加权Moore-Penrose逆;加边矩阵【作者】朱光艳;刘晓冀【作者单位】湖北民族学院,预科教育学院,湖北,恩施,445000;广西民族大学,数学与计算机科学学院,广西,南宁,530006【正文语种】中文【中图分类】O1511 引言及引理文献[1]讨论了复数域上矩阵的加权Moore-Penrose逆的加边，文献[2]通过秩等式给出了整环上矩阵的加权Moore-Penrose逆存在的充分必要条件.本文给出整环上矩阵加权Moore-Penrose逆存在的一些新的充分必要条件，并利用加边矩阵的可逆性来刻画它.设R表示具有对合“*” 的整环；Rm×n表示R上m×n矩阵构成的集合；ρ(A)表示矩阵A的充分必要秩；N(A)表示A的零空间；R(A)表示A的值域；I表示单位矩阵；In表示n阶单位矩阵. 若无特别说明下面考虑的都是R上的矩阵.定义1[3] 设A∈Rm×n，若在R上存在一个n×m矩阵X使得：则称矩阵X是A的Moore-Penrose逆. 若A的Moore-Penrose逆存在，则唯一，记作X=A+. 当X满足方程(1)时，称X为A的正则逆. 当X满足条件1)、2)，还满足条件：AX=XA时，称X为A的群逆，记作A#.定义2[2] 设A∈Rm×n, M和N分别是R上的m阶和n阶可逆矩阵，若R上存在一个n×m矩阵X使得：则称X是关于矩阵M和N的A的加权Moore-Penrose逆，简称A的加权Moore-Penrose逆，记作.引理1[2] 设A∈Rm×n，M和N分别是R上的m阶和n阶可逆矩阵，若A关于矩阵M和N的加权Moore-Penrose逆存在，则唯一.引理2 设A∈Rm×n, ρ(A)=r, U∈Rm×(m-r)与V*∈Rn×(n-r)是列满秩的，其列向量分别构成N(A*)与N(A)的基，B是A的正则逆，则存在矩阵Z和Y使得:BA=In+V*Z，AB=Im+YU*.证明先证R(I-BA)=N(A). ∀x∈R(I-BA), 则存在z∈Rn使得:x=(I-BA)z，从而Ax=A(I-BA)z=(A-ABA)z=0，故R(I-BA)⊆N(A). 另一方面，∀x∈N(A)，则Ax=0，从而BAx=0，x=(I-BA)x∈R(I-BA)，故N(A)⊆R(I-BA)，综上所述有R(I-BA)=N(A). 因此存在矩阵Z使得:I-BA=V*Z.由于B是A的正则逆，则B*是A*的正则逆. 同理存在矩阵Y使得I-AB=YU*.2 Moore-Penrose逆存在的充分必要条件定理1 设A∈Rm×n, ρ(A)=r，M和N分别是R上的m阶和n阶可逆矩阵，且M*=M，N*=N，U∈Rm×(m-r)与V*∈Rn×(n-r)是列满秩的，且列向量分别构成N(A*)与N(A)的基.存在的充分必要条件是：(i)A是正则的；(ii)U*M-1U、VNV*均可逆.在这种情况下，设B为A的正则逆，则有:(1)证明充分性：须注意U*A=0，AV*=0，由引理2，存在矩阵Z和Y使得：BA=In+V*Z，AB=Im+YU*，直接验证式(1)为A的加权Moore-Penrose逆.必要性:若存在，记为G.由引理2，存在矩阵Y使得：I-AG=YU*，两边同时左乘U*，则U*Y=Im-r. 由于(MYU*)*=[M(I-AG)]*=(M-MAG)*=M-MAG=MYU*，因此，U*M-1UY*M*Y=I，即U*M-1U可逆；同样由引理2，存在矩阵Z使得：I-GA=V*Z，两边同时右乘V*，则ZV*=In-r. 由于(NV*Z)*=[N(I-GA)]*=(N-NGA)*=N-NGA=NV*Z，因此，ZN-1Z*VNV*=I，即VNV*可逆.定理2 设A∈Rm×n, M和N分别是R上的m阶和n阶可逆矩阵，则下列条件等价：(i)A关于M、N的加权Moore-Penrose逆存在；(ii)存在矩阵P和Q使得：PA*M*A=A=AN-1A*Q，且A*M*A、AN-1A*均对称；(iii)AN-1A*M*的群逆存在，A*M*A、AN-1A*均对称，且存在矩阵W使得：A=AN-1A*M*W；(iv) N-1A*M*A的群逆存在，A*M*A、AN-1A*均对称，且存在矩阵G使得：A=GN-1A*M*A.此时，N-1Q*AP*M*是A关于M、N的加权Moore-Penrose逆.证明: (i)⟹(ii)(其中(其中).由于令，则，又，两边同时左乘A*，右乘A得：，又因为，则，即A*M*A对称. 类似可证AN-1A*对称.(ii)⟹(i) 若存在矩阵P、Q使得：PA*M*A=A=AN-1A*Q, 且A*M*A、AN-1A*均对称，则AP*=PA*M*AP*对称，Q*A=Q*AN-1A*Q也对称.取H=N-1Q*AP*M*，从而，AHA=AN-1Q*AP*M*A=AN-1A*QP*M*A=AP*M*A=PA*M*A=AHAH=N-1Q*AP*M*AN-1Q*AP*M*=N-1Q*PA*M*AN-1A*QP*M*=N-1Q*AN-1A*QP*M*=N-1Q*AP*M*=H；(MAH)*=(MAN-1Q*AP*M*)*=(MAN-1A*QP*M*)*=(MAP*M*)*=MAP*M*=MAH；(NHA)*=(Q*AP*M*A)*=(Q*PA*M*A)*=(Q*A)*=(Q*AN-1A*Q)*=Q*AN-1A*Q=NHA.因此，存在，且H即是.(i)⟹(iii) 假设存在，则关于N、M的加权Moore-Penrose逆为A, 由条件(ii)得：A*M*A、AN-1A*均对称，则均对称，从而，因此，是AN-1A*M*的群逆.又，因此，存在矩阵:使得A=AN-1A*M*W.(iii)⟹(i) 若AN-1A*M*的群逆(AN-1A*M*)#存在，且存在矩阵W使得A=AN-1A*M*W，则:故存在矩阵P=(AN-1A*M*)#AN-1，Q=M*W，使得：A=AN-1A*Q=PA*M*A，又A*M*A、AN-1A*均对称，由条件(ii)可知存在.类似可以证明条件(i)⟹(iv).3 Moore-Penrose逆的表达式定理3 设A∈Rm×n，ρ(A)=r，M和N分别是R上的m阶和n阶可逆矩阵，且M*=M，N*=N，U∈Rm×(m-r)是列满秩的，其列向量构成N((MA)*)的基，若AN-1A*M+UU*M可逆，则存在，且可表示成：(2)证明由U*MA=0，得A*MU=0. 从而：(AN-1A*M+UU*M)AN-1A*M=AN-1A*MAN-1A*M=AN-1A*M(AN-1A*M+UU*M),即AN-1A*M(AN-1A*M+UU*M)-1=(AN-1A*M+UU*M)-1AN-1A*M，又(AN-1A*M+UU*M)A=AN-1A*MA，则有，A=(AN-1A*M+UU*M)-1AN-1A*MA=AN-1A*M(AN-1A*M+UU*M)-1A,令P=(AN-1A*M+UU*M)-1AN-1，Q=M(AN-1A*M+UU*M)-1A，则PA*M*A=A=AN-1A*Q.由定理2知，存在，且:M.类似可以证明推论1.推论1 设A∈Rm×n，ρ(A)=r，M和N分别是R上的m阶和n阶可逆矩阵，且M*=M，N*=N，V*∈Rn×(n-r)是列满秩的，其列向量构成N((AN-1))的基，若N-1A*MA+N-1V*V可逆，则存在，且可表示成：(3)4 加边矩阵的逆定理4 设A∈Rm×n，ρ(A)=r，M和N分别是R上的m阶和n阶可逆矩阵，且M*=M，N*=N，U∈Rm×(m-r)与V*∈Rn×(n-r)是列满秩的，其列向量分别构成N(A*)与N(A)的基.存在的充分必要条件是：可逆，且:(4)证明必要性：假设矩阵A存在加权Moore-Penrose逆，则由定理1，A的正则逆存在，且U*M-1U、VNV*均可逆. 设:则:因为U*A=0, AV*=0，则有VNV*(VNV*)-1=In-r, AV*(VNV*)-1=0. 设B为A的正则逆，由定理1，,则由于:由引理2，存在矩阵Y使得AB=I+YU*，而:故，因此，同理:即T2与Γ互逆.充分性：假设T2与Γ互逆，其中，则:由DM-1U=Im-r, AC+M-1UE=0，可得DAC+E=0, 故E=-DAC；由BA+CVN=In, AV*=0，得CVNV*=V*；由AB+M-1UD=Im，U*A=0，得U*M-1UD=U*；同时由VNB=0，BA+CVN=In，可得BAB=B.由DA+EVN=0，得EVNV*=0；同样由AC+M-1UE=0，得U*M-1UE=0. 将CVNV*=V*代人VNC=In-r，易知有(CVNV*)*NC=(VNV*)(C*NC)=In-r，即VNV*可逆. 同理可证U*M-1U可逆. 故E=0, D=(U*M-1U)-1U*，C=V*(VNV*)-1. 由BA+CVN=Im，得ABA+AV*(VNV*)-1VN=A，即ABA=A.由AB+M-1UD=Im，得MAB+UD=M，因此，MAB=M-UD=M-U(U*M-1U)-1U*，故(MAB)*=MAB. 同理(NBA)*=NBA. 由以上结论知B是A的加权Moore-Penrose逆.推论2 设A∈Rm×n，ρ(A)=r，U∈Rm×(m-r)与V*∈Rn×(n-r)是列满秩的，其列向量分别构成N(A*)与N(A)的基.，则矩阵A存在Moore-Penrose逆A+的充分必要条件是：可逆，且:证明在定理4中令M=Im, N=In即可得证.推论3 设A∈Rm×n，ρ(A)=r，U∈Rm×(m-r)与V*∈Rn×(n-r)是列满秩的，其列向量分别构成N(A*)与N(A)的基, M和N分别是R上的m阶和n阶可逆矩阵，且M*=M，N*=N，且VNV*=In-r, U*M-1U=Im-r. 则存在的充分必要条件是：可逆，且:(6)证明充分性由定理4易知. 下证必要性.设，则:由定理4必要性的证明及VNV*=In-r, U*M-1U=Im-r即得证.推论4 设A∈Rm×n，ρ(A)=r，U∈Rm×(m-r)与V*∈Rn×(n-r)是列满秩的，其列向量分别构成N(A*)与N(A)的基, 且VV*=In-r, U*U=Im-r. 则矩阵A存在Moore-Penrose逆A+的充分必要条件是：可逆，且:(7)证明在推论3中令M=Im, N=In.即得证.参考文献:[1]Wang G R,Wei Y M,Qiao S Z.Generalized Inverses:theory and computations[M].New York:Science Press,2004.[2]俞耀明.结合环上广义逆的理论和计算[D].上海:上海师范大学,2006.[3]Bhaskara Rao,K P S.The theory of generalized inverse over commutative rings[M].London and New York:Taylor and Francis,2002.[4]Prasad K M,Bapat R B.The Generalized Moore-PenroseInverse[J].Linear Algebra Appl,1992,165:59-69.[5]任俊艳.环上矩阵的加权Moore-Penrose逆[D].兰州：兰州大学,2006.[6]Robinson D W,Puystjens R，Van Geel J.Categories of matrices with only obvious Moore-Penrose inverse[J].Linear Algebra Appl,1987,97:93-102. 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Hilbert C~-模上分块可共轭算子的加权Moore-Penrose逆
Hilbert C~*-模上分块可共轭算子的加权Moore-Penrose逆本文将介绍和研究Hilbert C*-模间可共轭算子A的加权Moore-Penrose逆AMN+的性质和一般表达式.当A=(Aij)是1×2或2×2分块时,研究AMN+的一般表达式怎么由Aij等具体给出.在2×2分块的情况下,首先通过算子理论给出一种从不加权Moore-Penrose逆到加权Moore-Penrose逆的构造方法,其次基于此方法给出AMN+的一般表达式.于是一些结果可由矩阵情形推广到Hilbert C*-模算子的情形.全文共分为四章.在第一章中,我们主要介绍Hilbert C*-模、可共轭算子加权Moore-Penrose逆的基本概念和基本性质,并且得出一些和矩阵相类似的结论,如性质1.2.3、1.2.4和1.2.5.在第二章中,我们在HilbertC*-模算子的框架下研究1×2分块可共轭算子A的AMN+表达式.根据
Sherman-Morrison-Woodbury公式我们给出了AMN1+与AMN2+之间的关系式,进而得出AMN+的一般表达式.在第三章中,我们先利用构造交换图的技巧,对于2×2分块加权可共轭算子进行具体分析,然后推广2×2分块(不加权)可共轭算子的Moore-Penrose逆的一般表达式,最后再由不加权情形过渡到加权的情形并给出了加权Moore-Penrose逆的一般表达式.在第四章中,当A是一正定算子,我们给出了At一般表达式的推导过程.然后在此基础上我们给出了一般算子的
Moore-Penrose逆的表达式的证明.。
利用Moore-Penrose逆求解矩阵方程AA HX=B
若 Ａ∈
为可 逆矩 阵 ， 矩 阵方程 Ａ ＝ 则 Ｘ 为不 可逆 矩 阵
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２０ ０ ８年 ９月 第１ ３卷 第 ５期
西 安 邮 电 学 院 学 报 Ｊ ＵＲ ＡＬＯＦＸ ’ Ｎ ＵＮＩ ＲＳＴ ＦＰ Ｏ Ｎ ＩＡ ＶＥ Ｉ ＹＯ 汀 Ａ ＤＴＥ ＥＸ） Ｎ Ｌ （ ＭＭＵＮＩＡ Ｏ Ｃ ＴＩ ＮＳ
Ｓｐ ０ ８ ｅ ．２０ Ｖｏ．３Ｎ ． １１ ｏ ５
且通 解 为 ：
＝
， ｂ∈
， 线 性方 程 则
组 Ａ ＝ ｂ有 解 的充分 必要条 件是 Ａ ｚ Ａ ｂ＝ ｂ Ａ ｂ＋ （ —Ａ Ｅ Ａ） （ Ｙ Ｙ∈ Ｃｌ 意 ） ， 任 ， 则矩 阵方 程 Ａ ＝ Ａ
， 矩 阵 Ｘ ∈ Ｃｌ 若 ，
定 理 １设 Ａ ， ∈ ： Ｂ Ｂ 有解 的充 分必 要条件 是
＝０ 。
：
ＨＡ ） （ ＡＨ
Ｂ ： ０ Ｂ ： ０
Ｂ （ Ａ） Ａ
Ｂ
∞ＢＪ ｏ， 此 ｌ 一 ０ 有 Ｈ． ， ． 因此有 ） 因
， 则矩 阵方 程 ＡＡＨ ＝ Ｘ
＝
ｒ ｋＡ， ｎ ａ （ Ｂ）＝ ｒ ｋ Ｃ， ｎ ａ （ Ｂ）
因此 ， Ｘ ＝ Ｂ有 解 铮 ＡＡ ＡＡＨ ＝ ｂ（Ｈ Ａ
收 稿 日期 ：ｏ ８ ３ ２ ２０ —０ —０ 基 金项 目： 陕西省教育厅 自然科学 基金 资助项 目（７Ｋ３ ６ ０Ｊ ７ ）
） 均有 解 。 由引 理 ２ Ａ ， Ａ ｆ＝ ｂ（ ｉ＝ １２ … ， ，， ）
分块矩阵的加权Moore-Penrose逆
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ － ０ ５ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） １ ０ － ０ ０ １ ３ － ０ ４
分 块 矩 阵 的 加 权 Ｍｏ ｏ ｒ ｅ ． Ｐ ｅ ｎ ｒ ｏ ｓ ｅ逆 水
杨 晓英 ， 刘 新
（ 四川信息职业技术学 院 基 础教育部 ，四川 广元 ６ ２ ８ ０ １ ７ ）
Ｐ ｅ ｎ ｒ ｏ ｓ ｅ 逆存在的一些充分必要条件－ ２ ； ２ ０ ０ ９ 年， 国欣荣等得到环上矩阵存在关于 Ｍ， Ｎ加权 Ｍ ｏ ｏ ｒ ｅ － Ｐ ｅ ｎ ｒ ｏ ｓ ｅ
逆的一个充要条件 ； ２ ０ １ ０ 年， 刘声 等给出块对角矩阵的加权广义逆 的表达式 ； 周立仁利用 奇异值分 解， 给出了矩阵 １ ５ 种加权 Ｐ ｅ ｎ ｒ ｏ ｓ ｅ 型广义逆的通式与表达式 ； 章里程等利用加权 Ｍ ｏ ｏ ｒ ｅ — Ｐ ｅ ｎ ｒ ｏ ｓ ｅ 逆 的定义 和性 质 ， 获得了 ２ ｘ ２ 、 ｌ × ２和 ２ ｘ １ 分 块矩 阵关 于 加权 Ｍｏ ｏ ｒ ｅ ． Ｐ ｅ ｎ ｒ ｏ ｓ ｅ 逆块 独 立 的一 些 充分必 要条 件 ［ ６ ； ２ ０ １ ２ 年， 何兴月等用环论的方法 ， 得到 Ｑ ｕ ｛ ｍ ｔ ａ ｌ ｅ 上矩阵存在加权 Ｍ － Ｐ广义逆的一些等价刻画及显式表达式 ． 主要用定义验证 的方法 ， 给出分块矩 阵的加权 Ｍ ． Ｐ逆表示 的充要条件 ， 并 给出广义 Ｓ ｅ ｈ ｕ ｒ 补与加权 Ｍ — Ｐ逆
，
关于 Ａ和 Ｄ在加权 Ｍ． Ｐ逆意义下的广义 Ｓ ｃ ｈ ｕ ｒ 补．
２ 主 要 结 果
下 面首 先给 出分块 矩阵 日关于 Ａ和 Ｊ Ｄ在加 权 Ｐ逆意 义下 的广义 Ｓ ｃ ｈ ｕ ｒ 补 的表 示．
moore–penrose广义逆矩阵
moore–penrose广义逆矩阵
Moore-Penrose广义逆矩阵，也称为伪逆矩阵，是一种特殊的矩阵求逆方式。
如果一个矩阵A存在广义逆矩阵A，则它不一定是可逆矩阵，但是我们可以使用广义逆矩阵来解决一些矩阵求逆问题。
Moore-Penrose广义逆矩阵有许多应用，例如在数学、物理、经济学和工程领域等。
它可以用于解决线性系统、逆问题、最小二乘问题、信号处理、控制理论等领域的问题。
Moore-Penrose广义逆矩阵也是矩阵理论中一个重要的概念，它的研究对于深入理解矩阵的性质与应用有着重要的价值。
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预处理变形共轭梯度法并行求解矩阵的Moore-Penrose逆曹方颖;吕全义【摘要】提出了一种求解Moore-Penrose逆的并行预处理变形共轭梯度法,将求解Moore-Penrose 逆转化求解矩阵方程极小范数解或极小范数最小二乘解的问题.给出了两种预处理方法.一种方法是给出预处理矩阵是可逆对角矩阵,然后并行求解预处理矩阵方程；另一种方法是给出预处理矩阵是严格对角占优矩阵,该方法提出了迭代法的预处理模式,构造并行迭代求解预处理矩阵方程的迭代格式,进而使用变形共轭梯度法并行求解.通过数值试验,这两种预处理方法与直接使用变形共轭梯度法相比较,第二种方法有效提高了收敛速度,而且具有很好的并行性.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2013(026)001【总页数】6页(P137-142)【关键词】并行算法;预处理变形共轭梯度法;预处理矩阵方程;Moore-Penrose逆【作者】曹方颖;吕全义【作者单位】西北工业大学应用数学系,陕西西安710129;西北工业大学应用数学系,陕西西安710129【正文语种】中文【中图分类】O246广义逆矩阵是矩阵理论中的一项重要的发展，特别自近五十年代以来，广义逆矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的发展，并在数值分析，数学规划，数理统计，控制论，博弈论和网络理论等领域发挥着重要的应用［1］.求解Moore-Penrose 逆的算法最终转化为求解线性矩阵方程.这种线性矩阵方程是无解的，因此求解线性矩阵方程的极小范数最小二乘解.对于求解线性矩阵方程，虽然串行算法已经比较完善，但随着计算规模的增大，求解线性矩阵方程的存储需求和计算量快速增加，单台处理机往往难以承受，并行计算势在必行.近年来，一般求解线性矩阵方程的直接法［2］主要有LU分解法，Cholesky分解法，QR分解法等；迭代法［2］有Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，JGS迭代法，SOR迭代法，SSOR迭代法，SAOR迭代法，参数迭代法等.关于矩阵方程的最小二乘解或矩阵Moore-Penrose逆的研究已经取得了许多成果［3-5］，但对于预处理与并行计算的研究还很少见.对于求解大型线性矩阵方程以共轭梯度法和变形共轭梯度法为主，其具有存储量少，计算量少和适合并行计算等优点.文献［2］研究了关于求解矩阵方程极小范数解或极小范数最小二乘解的变形共轭梯度法.变形共轭梯度法作为最基本的Krylov子空间方法，易于并行化.变形共轭梯度法的收敛速度与系数矩阵的条件数紧密相关，条件数愈小，收敛性愈好，该算法可以在很少的几步就会获得高精度的近似解.但当系数矩阵的条件数很大时，收敛速度就很慢.于是出现了预处理变形共轭梯度法［6-7］（简称PMCG法），它是通过适当的预处理方法引入预处理矩阵M，使矩阵的特征值分布更为集中，降低矩阵条件数，以达到提高收敛速度的目的.本文针对矩阵方程极小范数解或极小范数最小二乘解问题提出了两种并行解决方案.第一种方案是为了降低求解预条件矩阵方程AM-1＝的计算复杂度，选取预处理矩阵M为可逆对角矩阵，预处理矩阵方程在求解过程中只在相邻处理机间有通信.第二种方案是为了降低求解预条件矩阵方程AM-1 ＝的计算复杂度，对预处理矩阵方程采取若干次迭代方法来求解，而且在求解过程中只在相邻处理机间有通信.两种方法都有效的改变了原矩阵方程的条件数又具有很好的并行性.最后在HP2600集群上进行了数值试验，并与传统的变形共轭梯度法的计算结果进行了比较.文中（ATA）⊗I表示矩阵（ATA）与I的Kronecker积（X）表示将矩阵X按行拉直构成的列向量.定义同型矩阵A与B的内积为［A，B］＝tr（ATB），由此导出矩阵的Frobenius范数1 预处理方法1.1 方案一求解矩阵A的Moore-Penrose逆就是求解线性矩阵方程AX＝I极小范数解或极小范数最小二乘解，AX＝I正规线性矩阵方程为其中 A为m×n矩阵，X为n×m矩阵.将矩阵方程（1）通过按行拉直转化为线性方程组设λ1，λ2，…，λn是 ATA的特征值，由文献［1］的结论可知矩阵（ATA）⊗I的特征值为λ1，…，λ1，λ2，…，λ2，…，λn，…，λn，可见矩阵（ATA）⊗I与矩阵ATA的条件数相同.若矩阵A的行数m≤n，则取M为n阶可逆的对角矩阵为这样，矩阵方程（1）可转化为只要使M-1ATAM-1的条件数小于ATA，则采用变形共轭梯度法求解矩阵方程（3）的速度将得到提高.对于方程（3）首先计算AM-1＝，设MX＝Y.则方程（3）可转化为求解若m＞n，可将矩阵A的Moore-Penrose逆转化成AT的Moore-Penrose逆采用同样预处理矩阵即可.1.2 方案二选取预条件矩阵M使得AM-1尽量接近矩阵A的等价标准形，如果不考虑AM-1的精确解，采用迭代算法计算AM-1的近似矩阵，只要迭代法适合并行计算，那么对于M的选取就简单的多.由于Jacobi迭代算法适合并行计算，所以采用该算法，又Jacobi迭代算法收敛的充分条件为系数矩阵为严格对角占优，故若m＜n，选取预处理矩阵M为n阶可逆且含矩阵A的带状部分，即每行的半带宽ri的选取要求矩阵M是严格对角占优矩阵，若矩阵A主对角元有零元，在矩阵M中取1.若m＞n，同样将矩阵A的Moore-Penrose逆转化成AT的Moore-Penrose逆即可.在求解AM-1的近似值时，设＝AM-1采用的迭代格式为其中 M＝D-L-U，D，-L，-U分别是矩阵M的对角矩阵，严格下三角矩阵与严格上三角矩阵.求解线性矩阵方程AX＝I转化为求解设MX＝Y，则式（5）可转化为求解将文献［2］矩阵方程的变形共轭梯度法应用于方程（4）和（6），推出矩阵方程（4）和（6）变形共轭梯度算法为步骤1 任给初始矩阵Y（0），计算步骤2 对k＝0，1，…，计算步骤3 计算 MX＝ Y（k＋1）.显然，方案一是方案二的一种特殊情况.即方案二中，初始矩阵＝O且l＝1的情况.由于这样选取M可以保证在求解预处理矩阵方程过程中只需要相邻处理机进行通讯.在方案二中，不需要准确计算AM-1，而是利用上面的迭代算法迭代l次，这样既降低了矩阵的条件数，又减少了计算量.2 算法的并行实现为叙述方便，设处理机台数为p，p整除m且m＝pl，p整除n且n＝ps，pi （i ＝1，2，…，p）表示第i台处理机，myid表示当前处理机，mod表示整除.记×l列块子矩阵.由于矩阵的存储比较复杂，所以在本文中采用了3种矩阵相乘的并行算法，分别是［8-9］方法1：行列划分矩阵相乘；方法2：列行划分矩阵相乘；方法3：列列划分矩阵相乘.（1）存储方式.将 Ai，Bi均存储于第pi （i＝1，2，…，p）台处理机中.（2）预处理过程.对于方案2，任选初始矩阵（0），其中用方法1计算用方法2计算矩阵乘积＝ Q（0）.（3）循环过程.（ⅰ）各进程计算Y＝Y（k）转到（4）；否则，继续计算.（ⅱ）各进程计算αk ＝［R（k），R（k）］／［Z（k），Z（k）］.（ⅲ）各进程计算（ⅳ）用方法2计算DY（k＋1），各进程计算.各进程计算到［R（k＋1），R （k＋1）］.（ⅴ）用方法3计算（ⅵ）置k：＝k＋1，返回到（ⅰ）.（4）求解X过程.选初始矩阵X（0）＝O，迭代计算其中用方法3计算T＝（L＋U）X（i），各进程计算 Wi＝Ti＋Yi，再用方法3计算X（i＋1）＝D-1 W.3 数值算例与结果分析3.1 算例在并行机上分别采用MCG算法与本文给出的PMCG算法计算2个算例，进行了比较.在迭代过程中，初始矩阵Y（0），X（0）为零矩阵，终止条件ε＝10-10. 例1 设矩阵A＝（aij）m×n，其中MoorePenrose A的-逆矩阵.这里取m＝1 000，n＝1 200.求解结果见表1.表1 例1m＝1 000，n＝1 200的计算结果算法 p 10 12 14 16变形共轭梯度法T ／s 3 211.932 6 2 731.052 3 2 413.631 3 2 132.829 2 K 1 207 1 206 1 206 1 206 S 11.760 8 13.307 5 15.059 5 E 0.98 0.95 0.94 E 0.17 0.17 0.16 0.16本文算法方案一T／s 3 152.603 2 2 704.986 4 2 393.522 3 2 067.931 6 K 1 190 1 191 1 190 1 183 S 11.555 0 13.171 4 15.245 E 0.96 0.94 0.95 E 0.17 0.16 0.16 0.16本文算法方案二l＝1 T／s 3 388.900 4 2 890.228 6 2 541.558 1 2 201.466 2 K 1 190 1 191 1 190 1 183 S 11.73 13.33 15.39 E 0.98 0.95 0.96 E 0.16 0.15 0.15 0.15续表1 例1m＝1 000，n＝1 200的计算结果算法 p 10 12 14 16本文算法方案二l＝2 T／s 530.000 8 442.980 9 382.557 3 343.035 6 K 181 181 181 181 S11.96 13.85 15.45 E 0.99 0.98 0.96 E 1 0.99 0.98 0.96本文算法方案二l＝3 T／s 2 635.418 7 2 226.532 3 1 953.942 3 1 707.247 0 K 914 915 914 914 S 11.83 13.49 15.44 E 0.99 0.96 0.96 E 0.20 0.20 0.19 0.19例2 设矩阵 A＝（aij）m×n，其中求A的Moore-Penrose逆矩阵.这里取m＝100，n＝300，求解结果见表2.表2 例2m＝100，n＝300的计算结果算法 p 0 2 4 6变形共轭梯度法T／s 924.698 3 520.135 1 282.739 4 219.731 4 K 7 781 7 874 7 718 7 718 S 1.78 3.27 4.40 E 0.89 0.82 0.73 E 0.11 0.10 0.09 0.08本文算法方案一T／s 407.9622 250.5793 143.814 1 84.209 6 K 3 427 3 953 3 954 3 092 S 1.62 2.84 4.84E 0.81 0.71 0.81 E 0.25 0.20 0.18 0.20本文算法方案二l＝1 T／s 474.3510 283.651 6 154.900 9 87.411 8 K 3 427 3 953 3 954 3 092 S 1.67 3.06 5.43 E 0.84 0.77 0.90 E 0.22 0.18 0.17 0.20本文算法方案二l＝2 T／s 357.948 3 182.376 0 103.425 8 74.069 5 K 2 586 2 515 2 577 2 520 S 1.96 3.46 4.83 E 0.98 0.87 0.81 E 0.29 0.28 0.25 0.23本文算法方案二l＝3 T／s 102.549 6 51.875 0 28.800 7 21.062 7 K 766 730 737 734 S 1.98 3.56 4.87 E 0.99 0.89 0.81 E 1 0.99 0.89 0.81注1 表1，2中p表示处理机台数，T（s）表示时间，K表示迭代次数，S表示加速比，E表示相对并行效率表示绝对并行效率.注2 由于一台处理机的计算时间较长，因此采用多台计算机的计算时间，并且使用多台处理机中最小的计算时间作为基准来计算加速比和并行效率.3.2 结果分析（1）本文算法明显提高了迭代速度，提高了变形共轭梯度法的效率，具有良好的并行性.（2）例1中，与变形共轭梯度法相比较，本文算法方案一与方案二中l＝1的迭代次数没有明显减少，说明原线性矩阵方程的条件数没有明显变化，预处理算法基本失效，这是因为方案一的预处理矩阵近似数量矩阵.在本文算法方案二中，当内迭代次数l＝2时效果最好，迭代速度已经达到很快并且并行效率很高，优于l＝1的情况，即优于传统的Jacobi预处理方法.（3）例2的结果可以看出，与变形共轭梯度法相比较，方案一与方案二的迭代次数明显减少，大大地提高了收敛速度.致谢：感谢西北工业大学高性能计算研究与发展中心的大力支持！【相关文献】［1］王松佳，杨振海.广义逆矩阵及其应用［M］.北京：北京工业大学出版社，2006.［2］张凯院，徐仲.数值代数［M］.2版修订本.北京：科学出版社，2010.［3］袁仕芳，廖安平，雷渊.矩阵方程AXB＋CYD＝E的对称极小范数最小二乘解［J］.计算数学，2007，29（2）：203-216.［4］安晓虹，徐仲，陆全，等.行满秩Toeplitz 型矩阵Moore-Penrose逆的快速算法［J］.计算机工程与应用，2010，46（30）：1-4.［5］李书连，张凯院.多变量LME一种异类约束最小二乘解的迭代算法［J］.纺织高校基础科学学报，2011，24（3）：326-332.［6］张宝琳，谷同祥，莫则尧.数值并行原理与方法［M］.北京：国防工业出版社，1999.［7］胡家赣.解线性代数方程组的迭代解法［M］.北京：科学出版社，1999：173-201.［8］陈国良，安虹，陈俊，等.并行算法实践［M］.北京：高等教育出版社，2004.［9］李晓梅，吴建平.数值并行算法与软件［M］.北京：科学出版社，2007.。