三点共线、四点共面的充要条件
数学高考复习名师精品教案：第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体-空间向量及其运算
数学高考复习名师精品教案第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算课题：空间向量及其运算一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：1．,a b向量共线的充要条件： ；2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若AB a =，AD b = ，1A A c =，则下列向量中与BM等的向量是（ ）()A 1122a b c-++ ()B 1122a b c++()C 1122a b c--+ ()D c b a +-21212．有以下命题：A①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C一定共面；③已知向量,,a b c是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 （ ）()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③3．下列命题正确的是 （ ）()A 若a 与b共线，b与c 共线，则a与c 共线；()B 向量,,a b c共面就是它们所在的直线共面；()C 零向量没有确定的方向； ()D 若//a b，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ）()A OC OB OA OM ++= ()B OCOB OA OM--=2()C OCOB OA OM 3121++= ()D OCOB OA OM313131++=四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥ABCP -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证：BCPG ⊥GN ABCPM例2．已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点， （1） 用向量法证明H G F E ,,,四点共面； （2）用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有1()4O M O A O B O C O D =+++例3．在平行六面体1111D C B A ABCD-中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1A A 长为b ，且 1111120AAB AA D ∠=∠=︒，求（1）1AC 的长；（2）直线1BD 与AC 所成角的余弦值。
如何证明三点共线的几何性质
如何证明三点共线的几何性质在几何学中，三点共线是一个基本的概念。
如果三个点在同一直线上，我们称这三个点为共线点。
证明三点共线的几何性质是学习几何学的重要内容之一。
本文将介绍如何证明三点共线的几何性质，包括点的投影、互相连接以及面积等方法。
一、点的投影证明法点的投影证明法是最基本的证明方法之一。
通过将每个点在同一直线上进行投影，如果它们的投影点重合，则说明这三个点共线。
具体步骤如下：1. 画出三个点 A、B、C，连成线段 AB、AC。
2. 以 AB 为直线，将点 C 在 AB 上进行投影，得到点C′。
3. 以 AC 为直线，将点 B 在 AC 上进行投影，得到点B′。
4. 连接点B′ 和C′。
如果连接点B′C′和直线 AB 重合，则 A、B、C 三点共线。
否则，三点不共线。
二、互相连接证明法这种方法利用了三点的连线特点。
连接两点得到线段，同时如果这个点与另外两个点都连线，那么它们应该互相连接。
具体步骤如下：1. 画出三个点 A、B、C。
2. 连接点 A 和 B，得到线段 AB。
3. 连接点 A 和 C，得到线段 AC。
4. 连接点 B 和 C，得到线段 BC。
5. 如果线段 AB、AC、BC 任意两个相交，那么这三个点 A、B、C 共线；如果它们不相交，则说明三个点不共线。
三、面积证明法这是一种用于证明三点共线的几何性质的可靠的证明方法。
根据向量积的定义，如果三个向量的向量积为零，则这三个向量共面。
具体步骤如下：1. 画出三个点 A、B、C，连接成ΔABC，即三角形 ABC。
2. 按照任意顺序带入向量公式：2×ΔABC=AB×AC+AC×BC+BC×BA，其中，2×ΔABC 是三角形 ABC 的面积，AB×AC+AC×BC+BC×BA 就是向量积。
3. 如果向量积为零，即2×ΔABC=0，则这三个点 A、B、C 共线，否则不共线。
空间向量基本定理(1)
a
B’ M
D A B
C
共面向量: 二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 共面向量
叫做共面向量. 叫做共面向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的， 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 既可能共面， 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
则向量
不共线， 不共线
p 与向量
r a ，b
共面的充要条件是 共面的充要条件是
x,y使 存在实数对x,y 存在实数对x,y使
p = xα + yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有 空间一点P ABC内的充要条件是存在有 空间一点 位于平面ABC
序实数对x,y使 序实数对x,y使 x,y
AP = x AB + y AC
rC b r A a B
u r p
P
对空间任一点O,有 对空间任一点O,有OP = OA + x AB + y AC O,
u r p
③
rC br A a B
P
O
填空：OP = (_____)OA + (____)OB + (____)OC 填空： 1-x-y x y
(1)共面，因为OB + OC − 2OA = 3OP − 3OA 即(OB − OA) + (OC − OA) = 3 AP 1 1 所以 AB + AC = 3 AP, 所以 AP = AB + AC 3 3 又 AB， 不共线，所以 AB， ， 共面且有公共点A AC AC AP 从而A, B, C , P四点共面。
证明四点共面的方法
证明四点共面的方法方法一：向量法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则它们所在向量的线性组合为0向量，即λ1 * AB + λ2 * AC + λ3 * AD = 0其中，AB表示B减去A所得向量，AC表示C减去A所得向量，AD表示D减去A所得向量，λ1、λ2、λ3为实数。
将向量分量展开，得到一个由12个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
方法二：行列式法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则它们所在的三维空间中存在三个向量AB、AC、AD，它们的行列式为0，即x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = 0x4 - x1 y4 - y1 z4 - z1其中， A 表示矩阵A的行列式，即其所在行与列的元素乘积之和。
将行列式展开，得到一个以x1、y1、z1为变量的三元二次方程，求解之后判断其解的个数，若为1，则四点共面，否则不共面。
方法三：向量叉积法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则向量AB和AC的叉积与向量AD共线，即AB ×AC 与AD 共垂，或者AB ×AD 与AC 共垂，或者AC ×AD 与AB 共垂其中，×表示向量叉积，结果为另一个向量，其大小为两个向量所构成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则（即右手四指伸直，从第一个向量转向第二个向量，则大拇指所指方向即为结果所在方向）。
将向量分量展开，得到一个由9个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
2023年上海高二上学期数学同步精讲练第10章 空间直线与平面(基础、典型、压轴)(解析版)
第10章 空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l 与平面α没有公共点，那直线l 与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的充分必要条件.故选：C2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件．【答案】A【分析】空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者．【详解】解：空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者，∴空间四个点中，有三个点共线是这四个点共面的充分不必要条件， 故选：A ．二、填空题3．（2021·上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱中，既与AB 共面，又与1CC 共面的棱的条数为___________.【答案】5【分析】有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可得答案，【详解】解：如图，满足条件的有BC ，DC ，1BB ，1AA ，11D C ，故答案为：5.4．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三点确定___________个平面.（填数字）【答案】1【分析】由空间几何的公理求解即可【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面故答案为：15．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是_________【答案】异面【分析】根据异面直线的定义，直接判断.【详解】不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是异面.故答案为：异面6．（2021·上海·西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有___________.【答案】平行、相交、异面【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故答案为：平行、相交、异面.7．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1AB与1BC 所成角的大小为___________.【答案】60︒##3π 【分析】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB 且△1BDC 为等边三角形，即可知异面直线1AB 与1BC 所成角.【详解】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB ，∴1DC 与1BC 所成角即为异面直线1AB 与1BC 所成角，又△1BDC 为等边三角形，∴1DC 与1BC 所成角60︒，即异面直线1AB 与1BC 所成角为60︒.故答案为：60︒8．（2022·上海虹口·高二期末）在正四面体ABCD 中，直线BC 与AD 所成角的大小为________．【答案】2π 【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.【详解】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，DE ，由已知ABCD 为正四面体，则ABC ，DBC △均为正三角形，所以AE BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥平面ADE ，故BC AD ⊥，即直线BC 与直线AD 的夹角为2π， 故答案为：2π. 9．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有_________条直线与该直线垂直．【答案】无数【分析】根据点和直线、直线和直线的位置关系即可得出结果.【详解】空间中过直线外一点可以作无数条直线与该直线垂直.故答案为：无数10．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若平面α∥平面β，,a b αβ⊂⊂，则直线a 和b 的位置关系是_____________.【答案】异面或平行【分析】利用分别在两个平行平面内的两个直线没有公共点即可判断作答.【详解】因平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而a α⊂，b β⊂，于是得直线a 和b 没有公共点，所以直线a 和b 是异面直线或者是平行直线.故答案为：异面或平行11．（2020·上海松江·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________.【答案】a【分析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果.【详解】1BB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a =故答案为a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.12．（2022·上海·复旦附中高二期中）棱长为1的正方体中，异面直线1A D 与11B C 之间的距离为______．【答案】1【分析】根据题意，证得111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，得到11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11A B ⊥平面11ADD D ，11A B ⊥平面11BCC B ，因为1A D ⊂平面11ADD D ，11B C ⊂平面11BCC B ，所以111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，所以11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，又由正方体的棱长为1，可得111A B =，所以异面直线1A D 与11B C 的距离为1.故答案为：1.13．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：∵1BB 与AB 、11B D 均垂直，∴1BB 即为两异面直线的距离，故答案为：1三、解答题14．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥P ABC - 中，已知PA ⊥ 平面,ABC 3,6PA PB PC BC ==== .求二面角P BC A --的正弦值 【答案】33【分析】取BC 的中点D ，连结PD ，AD,根据线面垂直关系可知PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角,根据所给边长关系可求得PDA ∠的正弦值.【详解】取BC 的中点D ，连结PD ，AD∵PB PC = ∴PD BC ⊥∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥,且BC PAD ⊥面即BC AD ⊥∴PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角∵6PB PC BC ===∴3PD 633==PA sin PDAPD ∠===P BC A --【点睛】本题考查了二面角的求法,关键是找到二面角的平面角,属于基础题.【典型】一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是(0,]2π, 故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.2．（2021·上海·高二专题练习）若a 、b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（ ）A ．过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行B ．过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直C ．唯一存在一个平面α与直线a 、b 等距D ．可能存在平面α与直线a 、b 都垂直【答案】D 【分析】在A 中，把直线b 平移与直线a 相交，确定一个平面内平行于b ；在B 中，反设过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，推出矛盾；在C 中，过异面直线a 、b 的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，则//a b .【详解】在A 中，由于a 、b 是异面直线，把直线b 平移与直线a 相交，可确定一个平面，这个平面与直线b 平行，A 选项正确；在B 中，若过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，则//αβ，这与a αβ⋂=矛盾，所以，过直线a 最多只能作一个平面α与直线b 垂直，由a α⊂，可得b a ⊥，当直线a 与b 不垂直时，过直线a 不能作平面与直线b 垂直，B 选项正确；在C 中，由于a 、b 是异面直线，则两直线的公垂线段只有一条，过该公垂线段的中点作平面α与该公垂线垂直，这样的平面α有且只有一个，且这个平面α与直线a 、b 等距，C 选项正确；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得//a b ，D 错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，着重考查与异面直线相关的性质，考查推理能力，属于中等题. 3．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面,αβ和两条直线,m n ，下列命题中真命题是 A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥C ．若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥【答案】D【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断．【详解】A 中n 可能在α内，A 错；B 中m 也可能在β内，B 错；m 与n 可能平行，C 错；,ααβ⊥⊥m ，则m β⊂或//m β，若m β⊂，则由n β⊥得n m ⊥，若//m β，则β内有直线//c m ，而易知c n ⊥，从而m n ⊥，D 正确．故选D ．【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．二、填空题4．（2021·上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线a 与b 成60°角，若//c a ，则c 与b 所成的角等于__________【答案】60°【分析】由已知可得c 与b 相交或异面.分两种情况，根据异面直线所成的角的概念结合平行公理即可得出结论.【详解】∵,a b 异面，//c a ，∴c 与b 相交或异面.当c 与b 相交时，根据异面直线a 与b 所成角的概念可知c 与b 所成的角为60°角；当c 与b 异面时，自空间不在,,a b c 上的一点分别作,a b 的平行线//,//m a n b ,∵//c a ，∴//m c ,根据异面直线所成角的定义，相交直线,m n 所成的不超过直角的角既是异面直线a 与b 所成的角，又是异面直线c 与b 所成的角，根据异面直线a 与b 成60°角，故异面直线c 与b 所成的角为60°角.故答案为：60°. 5．（2021·上海南汇中学高二阶段练习）二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60οθ=故答案为60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.三、解答题6．（2019·上海·华师大二附中高二阶段练习）在正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，E 、F 分别是BC 、A 1D 1的中点． （1）求证：四边形B 1EDF 是菱形；（2）作出直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点（写出作图步骤）．【分析】（1）取AD 中点G ，连接FG ，BG ，可证四边形B 1BGF 为平行四边形，四边形BEDG 为平行四边形，得到四边形B 1EDF 为平行四边形，再由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，得到四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点．【详解】（1）证明：取AD 中点G ，连接FG ，BG ，如图1所示，则B 1B ∥FG ，B 1B ＝FG ，∴四边形B 1BGF 为平行四边形，则BG ∥B 1F ，由ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，且E ，G 分别为BC ，AD 的中点，可得BEDG 为平行四边形，∴BG ∥DE ，BG ＝DE ，则B 1F ∥DE ，且B 1F ＝DE ，∴四边形B 1EDF 为平行四边形，由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，∴四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点，如图所示．【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题．关键是掌握正方体的性质和熟练使用平行公理.【新文化】一、填空题1．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF AD ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为______.【答案】3π 【分析】作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.【详解】设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，如图，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠或其补角 ，22GF CF ==， 22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形 故3GFC π∠=故答案为：3π 【压轴】1．（2021·上海·西外高二期中）三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是________． 【答案】4(0,]3； 【详解】由于,,,AB AP AB AC AB AP A AB ⊥⊥⋂=∴⊥ 平面APC ，1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅= ，在APC ∆ 中，4AP AC +=，要使APC ∆ 面积最大，只需0,90AP AC APC =∠=，APC S ∆的最大值为12222⨯⨯=，V 的最大值为142233⨯⨯=，该三棱锥的体积V 的取值范围是4(0,]3.。
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
竞赛中的向量和向量方法
向量和向量方法李智伟 林绍华（湖北省宜昌市第一中学，443000）（本讲适合高中）空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究．一、有关知识：（1） 共线向量定理：()||≠⇔a b b 0存在唯一的实数λ使得λa =b ．（2） 平面向量基本定理：设向量12,e e 为平面内两个不共线的向量，则对于平面内任意一个向量a ，有且仅有唯一的有序实数对12,λλ使得1122λλ=+a e e ． （3） 若(,)OP OA OB λμλμ=+∈R ，则,,P A B 三点共线的充要条件是1λμ+=．定比分点公式：若点P 在直线AB 上，且AP PB λ= ，O 为任意一点，则1OA OB OP λλ+=+ ． （4） 对于向量1122(,),(,)x y x y =a =b ，121200x x y y ⊥⇔=⇔+= a b a b ．（5） 设,a b 为两个向量，则-≤±≤+a b a b a b ，≤a b a b ．（6） 空间向量基本定理：设向量123,,e e e 为空间中三个不共面的向量，则对于空间中任意一个向量a ，有且仅有唯一的有序实数组123,,λλλ使得112233λλλ=++a e e e ． 若(,,)OP OA OB OC λμυλμυ=++∈R ，则,,,P A B C 四点共面的充要条件是1λμυ++=．（7） 两向量的夹角公式：cos ,<>=a b a b a b；向量模长公式：=a 点A 到平面α的距离公式：d =a nn （其中a 是以点A 为起点，以平面α内任意一点为终点的一个向量，n 是平面α的一个法向量）．（8） 三角形中“四心”的向量形式： 重心：若G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= ； 垂心：若H 为ABC 的垂心，则(1)HA HB HB HC HC HA == ；(2) 222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ ；外心：若O 为ABC 的外心，则2211,22AO AB AB AO AC AC == ； 结合垂心有：OH OA OB OC =++ ； 内心：若I 为ABC 的内心，则0BC IA CA IB AB IC ++= ．B A OCDE 1图 B A OC2图 B 'C '二、赛题分析：§１几何中的运用 例1.（2004年全国高中联赛）设O 点在ABC 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC 的面积与AOC 的面积之比为（ ）A ．2B ．32C ．3D ．53【分析及解答】思路１：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性和，继而得到共线向量． 如图1，取BC 中点D ，AC 中点E ，则有2OB OC OD += ，2OA OC OE += ， 故232()0OA OB OC OA OC OB OC ++=+++= ， 即20OD OE += ， 所以O D E 、、三点共线且2OD OE =， 22232112.343AOC COE CDE ABC ABC S S S S S ∴==⨯=⨯⨯= 故选C ．【说明】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度和面积，不失为一种方便可行的解题思路．但受制于原三向量的系数关系，难以推广．思路２：由起点相同的三向量和为零向量，可联想到一个重要结论：G 为三角形的重心的充要条件是0GA GB GC ++= ，于是可以考虑构造满足此形式的三个向量． 如图2，延长,OB OC 到点B '和点C '，使得2,3OB OB OC OC ''== ， 故由已知有：0OA OB OC ''++= ， 即O 为AB C '' 的重心，所以,AOC C OB B OA S S S ''''==3,236,2,AOC AOC C OB COB COB B OA BOA S S S S S S S ''''==⨯== 又2131.3AOC COB BOA AOC ABC S S S S S ∴=∴= ::::,故选C ．【说明】此思路利用所给条件的结构，从熟知的结论入手，将原问题转化为和重心相关的三角形的面积关系．和思路1比较起来，思路2适合将原命题做更一般的推广．【拓展】 命题：设P 点在ABC 的内部，则1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= 成立的充要条件是123::::BPC CPA APB S S S λλλ= ． 命题证明与思路2类似，设123,, PA PA PB PB PC PC λλλ'''=== ， 则0PA PB PC '''++= ，故P 为A B C ''' 的重心，,B PC C PA A PB S S S ''''''∴== 由233112,,,B PC BPC C PA CPA A PB APB S S S S S S λλλλλλ''''''===得123::::BPC CPA APB S S S λλλ= ．推论１：设P 点在ABC 的内部，则0BPC CPA APB S PA S PB S PC ++= （*）． 对（*）可以有以下的理解： 由11sin ,,2211sin ,,(,,)2211sin ,.22BPC CPA APB S b c b c b c S c a c a c a PA a PB b PC c S a b a b a b =⨯=<>=⨯=<>====⨯=<> 其中 得0b c a c a b a b c ⨯+⨯+⨯=……………… （1） sin ,sin ,sin ,0a b c b c c a a b a b c<>+<>+<>= ...... （2） 若设123,,,a b c e e e a b c === 即123,,e e e 为平面内不共线的三个单位向量． （2）化为231312123sin ,sin ,sin ,0e e e e e e e e e <>+<>+<>= (3)注：（3）式亦可用构造首尾相接的三个向量来证明．推论２：设P 点在ABC 的内部，若1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= ，若(1)123::1:1:1λλλ=，则P 为ABC 的重心，反之也成立；(2)123::sin :sin :sin BPC CPA APB λλλ=∠∠∠，则P 为ABC 的外心，反之也成立； (3)123::::BC CA AB λλλ=，则P 为ABC 的内心，反之也成立；(4)123::tan :tan :tan A B C λλλ=，则P 为ABC 的垂心，反之也成立．注：由平面向量基本定理知，对于给定的ABC 内部的任意一点P ，1230(0,1,2,3)i PA PB PC i λλλλ++=>= 中的123::λλλ的比值是唯一的，而推论２即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值．例2.(2005年全国高中联赛）空间四点，满足3,7,11,9AB BC CD DA ==== ，则AC BD 的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个【分析及解答】题中的条件是空间四边形的四条边长，结合对角线和边的向量和关系，比较容易想到利用向量模长公式：=a 来处理． 注意到222231113079+==+，由于0AB BC CD DA +++= ，22222()2()()则AD AB BC CD AB CD BC AB BC BC CD =++=+-+++222220AC BD AD AB CD BC ⇒=--+= 故AC BD 只有一个值0．故选A ．【说明】这里得到的结论实际上是空间四边形（或四面体）的一个重要性质，当两组对边（棱）的平方和相等时，对角线（第三组对棱）垂直，反之也成立．特别的，垂心四面体的三组对棱的平方和都相等，它的三组对棱都彼此垂直．用传统方法，向内作平行线或向外补成平行六面体也能证明此结论，但没有向量方法来的直接、明了，这进一步说明向量法在解决某些几何问题的优势．类似的，我们还可以得到有两组对棱相等的四面体，第三组对棱中点连线垂直于另两组棱中点的连线．例3.（2006年全国高中联赛）已知ABC ，若对任意t ∈R ，BA tBC AC -≥ ，则ABC 的形状是（ ）A ．必为锐角三角形B ．必为钝角三角形C ．必为直角三角形D ．不确定【分析及解答】思路１：这里是和向量相关的几何不等式问题，由于t 的任意性，故可考虑取适当的t 将原式化为与向量相关的不等式． 令ABC α∠=，点A 作AD BC ⊥于D ，由BA tBC AC -≥22222BA t BA BC t BC AC ⇒-+≥ 令2BA BC t BC= 代入上式得： 2222222cos cos BA BA BA AC αα-+≥222sin BA AC α⇒≥ 222sin BA AC α⇒≥ 从而有AD AC ≥ ，由此得AC BC ⊥．故选C ．【说明】此处令2BA BC t BC= 的目的是化BC 为BA ，将两个向量的模长统一，由AD AC ≥ 结合距离的定义即得AC BC ⊥．思路２：思路１中利用了距离最小性证明了垂直，从此可以直接考虑条件的几何意义来证明． BA tBC - （t ∈R ）的几何意义：表示以A 为终点，起点在直线BC 上的所有向量（如图3）． BA tBC AC -≥ 则说明AC 为这些向量的最小值， 故由距离最小性得AC BC ⊥，故选C ．图 3思路３：由于向量模和数量积都是具体的代数值，故可以考虑将原问题转化为代数问题求解． 由BA tBC AC -≥ 得(1)BA BC t BC AC ---≥ ，即(1)CA t BC AC --≥ ． 于是22(1)CA t BC AC --≥ ，2222222(1)(1)(1)(2)(1)0CA t CA BC t BC AC BC t CA BC t ⇒--+-≥⇒---≥ ,1t t ∈∴-∈R R ．所以关于1t -的二次不等式应满足 24()0BC AC ∆=≤ ，02BC AC C π⇒=⇒∠= ．故选C ． 【说明】向量由于其结合了数和形的特征，在给出了形对应的特殊位置关系的同时，实质上也建立了代数上的关系（第二部分的内容会进一步说明向量在联系数形上的作用）．向量的模长公式=a 便是联系数形关系最常用的工具之一．例4.（2007年全国高中联赛）在AEF 中，B 是EF 的中点，1AB EF ==，6BC =，CA =，若2A BA E A C A F += ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于 ．【分析及解答】已知EF 与BC 的模长，求夹角，故可联系向量的夹角公式cos ,<>=a b a b a b来处理． 22()()22AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF AB AB BE AC AB AC BF +=⇒+++=⇒+++=21,11, AB AC AB BE BF ===-=- ， 1()12BF AC AB ∴+--= ． 故2BF BC = ． 设EF 与BC 的夹角为θ，即是BF 与BC 的夹角，则有cos 2BF BC θ= ， 得2cos 3θ=． 【说明】题中除了注意各边的长度外，转化条件2AB AE AC AF += 应是此题的关键，用向量拆分为与所求向量EF 与BC 相关的向量，再处理便显得得心应手了．§２代数中的运用例5.（2005年全国高中联赛）使关于xk ≥有解的实数k 的最大值是 ．【分析及解答】思路１：很容易发现此题就是要求函数y =的最大值，注意到(3)x -+ (6)3x -=为定值，故可以平方去根号（或用柯西不等式）处理．令y =36x ≤≤，则2(3)(6)2[(3)(6)]6,y x x x x =-+-+≤-+-=0y ∴<≤（ 4.5等于时取等x ）故实数k思路２：为了转化根号，可以考虑构造向量，从而将原问题化为和向量数量积相关的不等式．同思路１设定函数，设(1,1), ==p q，则 ==p q令p 和q 的夹角为θ，a b =则223a b +=，若向量p 和q 以原点为起点，则q 的终点(,)a b 应在以原点为圆心、半径为的14圆周上（第一象限内），则易判断[0,]4πθ∈（如图4），所以cosα∈， 故cosy θ==∈ p q p q ，实数k ． 【说明】用向量方法转化代数问题时有很强的构造性，须仔细研究代数式的结构再变形．值得一提的是，思路2只需运用重要不等式≤a b a b就能很快求出最大值（须验证取等条件），这里结合几何关系更进一步地确定了所求函数的范围，为求此类函数的值域提供了很好的思路．例6.（2009年全国高中联赛）求函数y =的最大和最小值．【分析及解答】和第5题相比，这里多了一个根号，故可以考虑将原问题转化为空间向量的数量积问题来处理．设==p q ，则 ==p q （其中013x ≤≤） 则11y =≤= p q p q ，当p 和q 共线时取等，即9(13)427x x x -==+，解得9x =，故当9x =时等号成立，故最大值为11．p q()q y x O 图 4又y ==13当0x =时等号成立，故最小值为．【说明】此类代数问题，构造向量，使复杂问题简单化，事半功倍．例7.（2005年全国高中联赛）过抛物线2y x =上的一点(1,1)A 作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1AE EC λ=；点F 在线段BC 上，满足2BF FCλ=，且121λλ+=，线段CD 与EF 交于点P ．当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．【分析及解答】先考虑P 点的形成，、B D 两点由A 确定，C 点运动时，、E F 随之运动，故而相交形成P 点，适合用相关点法求轨迹．又由于点、线较多，故考虑用向量转化可简化计算．过抛物线上点A 的切线斜率为 122x y x ='==，∴切线AB 的方程为21y x =-， 1(0,1),(,0)2B D ∴-，且D 是线段AB 的中点． 1211112222CD CA CB CE CF λλ++∴=+=+ ． 设(1)CP CE CF μμ=+- ，CD kCP = ， 则(1)CD k CE k CF μμ=+- ，由平面向量基本定理知：121,21(1),2k k λμλμ+⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩ 两式相加得32k =，即P 是ABC 的重心，设2000(,),(,)(1) P x y C x x x ≠， 则0022000112(),33311,33x x x x x x y +++⎧==≠⎪⎪⎨-++⎪==⎪⎩消去0x 得21(31)3y x =-， 故点P 的轨迹方程为212(31)(33y x x =-≠． 【说明】利用向量转化线段长度关系，通常可以联系定比分点公式．本题的解法主要运用了向量基本定理，给出同一向量的两种表示方式，对应系数应该相等．此外得到三角形重心后，便利用重心性质，使计算大大简化．三、归纳小结这里仅仅是对近年来联赛一试中的试题进行了探究，而二试中的平面几何和部分不等式均可以考虑用向量方法解决．希望这里的探究能给大家带来处理向量问题及向量方法解题的一些启示．众所周知，随着高中教材改革的深入，全国高中数学联赛以及各省市高中竞赛中对向量的考查将愈发灵活多变，比重也将愈来愈大．只有在充分熟知向量相关的各种性质的基础上，多去自发地运用向量知识解决几何和代数问题，自主地探究向量方法，才能在竞赛中处于优势地位．四、针对练习1.已知正三棱锥P ABC -的底面正三角形的边长为1，其外接球的球心O 满足0OA OB OC ++= ，则这个正三棱锥的体积为 ．（2008年湖北省预赛试题）（提示：由条件得O 为底面三角形的重心即中心，然后求出高即可求得体积112P ABC V -=） 2.已知P 为ABC 内一点，且满足3450PA PB PC ++= ，那么，,,PAB PBC PCA 的面积比为 ．（2006年吉林省预赛试题）（提示：由例1思路2求解即可，注意比例顺序，答案为5:3:4） 3. ,,O A B 是平面上不共线三点，向量,OA OB == a b ，设P 为线段AB 垂直平分线上的任意一点，向量OP = p ．若5,3==a b ，则()-p a b 的值是 ．（2008年河北省预赛试题）（提示：结合中垂线的性质证得1()()()2-=+- p a b a b a b 即可，结果为8） 4．已知,x y 都在区间(2,2)-内，且1xy =-，则函数224949u x y=+--的最小值为 ．（2003年全国联赛试题）（提示：构造向量==a b 其中2222,72(94)u x y ==-+a b ，利用≤a b a b 得2214414472(94)7212u x y xy≥≥-++ 125=） 5．如图6，已知抛物线2:4(0)C y px p =>，F 为C 的焦点，l 为准线，且l 与x 轴的交点为E ，过点F 任意作一条直线交抛物线C 于、A B 两点． 若(0)AF FB λλ=> ，求证：()EF EA EB λ⊥- ． （2006年陕西预赛试题第1问） （提示：利用抛物线定义，作出、A B 两点在准线上的投影点、A B ''，可证EA EB EA EB λλ''-=- ，又由()EF EA EB λ''⊥- 即得证）6．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在右准线上，且满足111,()(0)OF OM FO PM OP OF OMλλ==+> ． （1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点12(0,),(0,)N B b B b -，点、A B 在双曲线上，且22()B A B B μμ=∈R ，当110B A B B = 时，求直线AB 的方程． （2007年辽宁省预赛试题） （提示：由111,()(0)OF OM FO PM OP OF OM λλ==+> 知四边形1PFOM 为菱形，利用图形性质可求出2e =；双曲线过点N ，可确定双曲线方程，故得12,B B 的坐标，22()B A B B μμ=∈R 说明2、、A B B 三点共线，设AB 的直线方程，结合110B A B B = 即11B A B B ⊥，可确定直线AB 的方程为3y =-）。
四点共面问题探究
空间四点共面充要条件的应用与探究平面上的三点共线与空间的四点共面，是平面向量与空间向量问题中的一类重要题型。
在高中数学人教A 版选修教材2-1《空间向量与立体几何》一章中，给出了四点共面的一个判定方法，在配套的教参中更明确为充要条件。
因此有些老师在教学中就给出了如下的空间P 、A 、B 、C 、四点共面的充要条件：对于空间任意一点O ，存在实数x 、y 、z ，使得OC OB OA x OP z y ++=且x+y+z=1。
这个结论对于解决空间四点共面问题提供了很便捷的方法，例如：● 问题1：对于空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有OC OB OA OP 326++=，则 （ ）(A)O 、A 、B 、C 四点共面 (B) P 、A 、B 、C 四点共面(C) O 、P 、B 、C 四点共面 (D) O 、P 、A 、B 、C 五点共面 分析：由条件可以得到OC OB OA OP 213161++=，而1213161=++，则P 、A 、B 、C 四点共面。
●问题2：已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，OC OB OA x OM 3121++=，则x= 。
分析：由上面的充要条件很容易得到6131211x =--=。
● 问题3：在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别是AA 1、AB 、AD 上一点，且132AA AP =,AB AM 21=,AD AN 41=，对角线AC 1与平面PMN 交与点H ，求H 点分AC 1的比。
分析：因为P 、M 、N 、H 四点共面，则可设为AN z AM y AP AH ++=x ，且x+y+z=1 由已知，132AA AP =,AB AM 21=,AD AN 41=， 则AD z AB y AA AH 4232x 1++= 又A 、H 、C 1三点共线，则1AC AH λ= 而AD AB AA AC ++=11 所以，AD z AB y AA AH 4232x 1++=AD AB AA λλλ++=1 因为向量AD AB AA ，，1不共面， 则有：λ===4232z y x ， 所以λ23=x ，λ2=y ，λ4=z 又因为x+y+z=1， 所以λ23+λ2+λ4=1， 解得152=λ 所以，1152AC AH = 即：H 点分AC 1的比为2:13.AM C 1以上三个问题的解决都用到了课本中提到的四点共面的充要条件，思路新颖，解法简洁，确实为学生们解决空间四点共面问题提供了一条重要的解题思路。