三点共线向量公式
平面向量的三点共线定理及其应用技巧
思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
证明三点共线的方法
证明三点共线的方法
证明三点共线有以下几种方法：
1. 向量法
对于三个点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，计算向量AB和向量AC，然后判断这两个向量是否共线。
若AB和AC共线，则证明A、B、C三点共线。
2. 斜率法
如果三个点在同一条直线上，那么它们的斜率必须相等。
在点A(x1, y1)和点B(x2, y2)之间的斜率可表示为(y2-y1)/(x2-x1) 。
如果点C(x3,y3)也在这条直线上，那么斜率AC和斜率AB相等，即
(y3-y1)/(x3-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，所以A、B、C三点共线。
3. 面积法
三角形ABC的三角形面积可以用海龙公式求出：SABC =
sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中a、b、c分别为三角形边长，p为半周长。
如果三个点在同一条直线上，那么三角形ABC的面积必定为0。
如果SABC=0，则可以判断A、B、C是否共线。
注意：用面积法进行计算时，需要注意计算量的增大，且容易出现精度问题。
因此，在实际问题中，更常用的方法是向量法和斜率法。
向量三点共线结论
向量三点共线结论
向量三点共线是线性代数中一个重要且基础的概念，其结论是指
在三维空间中，若存在三个点A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)、C(x3, y3, z3)，如果向量AB和向量AC共线，则这三个点共线。
这个结论也可以表示为向量AB和向量AC的向量积为零，即(AB)×(AC) = 0。
这个结论是由向量叉积的定义推得的，向量叉积定
义为向量的乘积，垂直于两个向量的平面。
利用向量三点共线结论，我们可以快速求解一些与平面相关的问题。
例如，我们可以利用三点共线结论来判断三角形是否为等腰三角
形或者等边三角形，或者计算平面几何中的面积等问题。
此外，向量三点共线结论还能应用到其他一些数学问题中。
例如，我们可以利用这个结论来解决某些最优化问题，或者优化回归模型、
分类问题等数学问题。
最后，我们需要注意的是，在现实世界中，我们通过测量三个点
的坐标并不总是完全准确的，误差往往是存在的。
因此，在应用向量
三点共线结论时，我们需要注意误差的来源，并进行充分的数据处理
和调整，以保证结论的准确性。
总之，向量三点共线结论是线性代数中一个基础而重要的结论，
具有广泛的应用。
我们可以利用这个结论来解决许多数学和几何问题，是我们学习和应用线性代数的一个重要知识点。
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理：
（1）定义
平面向量三点共线定理是指：在三维空间中，若三个任意的点共在一个平面，则它们所在的平面的向量也可以构成一条直线。
（2）正式定义
如果S1、S2、S3是三个同一平面的点，则这三个点的向量形式为：S1S2，S2S3和S1S3，它们围绕原点O构成一种结构，即三角形形式的向量，满足以下条件：
若三个向量都平行，则说明三个点共线。
（3）实际应用
在很多数学知识中，平面向量三点共线定理有着重要的作用。
例如：在平面几何学中，有一个叫“三角平分线定理”的定理，就是用平面向量三点共线定理来推断的结论。
此外，平面向量三点共线定理还可以应用于判断几何图形是否平行、
垂直或成一条直线，甚至可以用于决定三角形的内角和外角，以及三
角形的面积大小等。
（4）证明方式
平面向量三点共线定理是采用数学归纳法来证明的：
设ABC是平面上任意三点，用AB表示AB连线，则有AB+BC=AC。
同理，用BC表示，则有BC+CA=AB，用CA表示，则有CA+AB=BC。
相似地，可以证明，任意N个点在同一平面上的加和结果均为零，即：AB+BC+CD+…+AP=0。
这时，由于任意三个点位于同一平面，包括它们的任意两个连接向量
在内的多个向量的加和结果都是0，因此，任意三个点都必定在一条直线上，这就是平面向量三点共线定理的实际物理意义。
向量中三点共线常用结论
向量中三点共线常用结论向量是数学中的重要概念，在几何学、物理学、力学等学科中都有广泛的应用。
当三个点的向量共线时，有一些常用的结论可以帮助我们更好地理解和应用向量的概念。
首先，我们来谈谈共线的定义。
当三个点的向量可以通过放缩得到相等的向量时，它们就是共线的。
也就是说，三个点的向量可以表示为k倍于另一个向量的形式，其中k为一个实数。
在三维空间中，我们可以将共线的三个点的向量表示为OA = a，OB = b，OC = c。
其中，O为坐标原点，A、B、C为三个点。
常用的共线判定方法有两种，即向量共线定理和点共线定理。
首先是向量共线定理。
如果三个向量a，b和c共线，那么存在一个实数k，使得c = ka + (1-k)b。
我们可以将这个公式理解为，c可以由a和b经过一定的比例缩放得到。
其次是点共线定理。
如果三个点A、B、C共线，那么它们的向量OA、OB和OC是共线的。
反之亦成立，即如果OA、OB和OC共线，那么点A、B、C也是共线的。
这个定理可以帮助我们在实际问题中通过向量的共线性判断点的共线性。
在实际应用中，我们常常会遇到一些与共线性相关的问题。
例如，在几何学中，我们希望判断三个点是否在一条直线上，可以通过计算它们的向量是否共线来得出结论。
如果计算出的向量共线，则可以判断三个点是共线的；反之，如果向量不共线，则可以判断三个点不共线。
另一个应用是在物理学中，我们常常用向量来描述力的作用。
如果有多个力作用在同一个物体上，我们可以通过判断这些力的向量是否共线来判断它们是否可以合成为一个力。
如果力的向量共线，则可以将它们合成为一个力；反之，如果力的向量不共线，则无法合成为一个力。
在解决问题时，我们可以运用这些常用的共线结论。
首先，我们可以通过计算向量是否共线来确定点的共线性。
其次，我们可以通过判断向量的共线性来确定力的合成。
最后，我们还可以利用共线性来解决其他几何学、物理学和力学等问题。
总之，向量的共线性是数学中的一个重要概念，有着广泛的应用。
向量系数三点共线
向量系数三点共线
在数学中，若三个点A、B、C共线，并且向量可以表示这三个点之间的位置关系，则可以用向量来描述它们的共线性。
具体来说，设向量OA、OB、OC分别表示从原点O指向点A、B、C的向量，如果存在不全为零的实数λ和μ，使得：
OA = λOB + μOC
并且满足条件：λ+ μ = 1（对于三点共线的情形，当O点位于线段AB上时适用此条件）
这意味着点C在线段AB上，且点A、B、C三点共线。
在三维空间或更高维度空间中，这个条件同样适用，只是涉及的向量和系数更多维。
另外，在二维或三维空间中，如果三个点共线但O点并不一定在线段AB上，则只需满足向量OA能被向量OB和OC线性表示即可，即存在实数λ和μ使得：
OA = λOB + μOC
这里的λ和μ不必满足λ+ μ = 1的条件。
第2节 共线向量之三点共线
第2节共线向量之三点共线知识梳理1、三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t)·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 2．结论(1)P 为线段AB 的中点⇔ OP ＝12( OA ＋OB )；(2)G 为△ABC 的重心⇔ GA ＋ GB ＋GC ＝0.(3)若|a ＋b |＝|a －b |，以a ，b 为邻边的平行四边形的形状是矩形 3．三角形三心：内心(三条角平分线交点）、外心（三条垂直平分线交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三条高的交点）。
1．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若)(31++=(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心2.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 3.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若⋅+)(=⋅+)(=⋅+)(= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心4.已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ, ),0(+∞∈λ. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 5．三个不共线的向量,,满足+⋅=+⋅)=+⋅ 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心6.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若++= 0, 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心做一做1．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．2.已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 4．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D5．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7、在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，AD=2DB，CD =13CA+x AC,则x =_______ 8．在△ABC 中，AN=12NC，P 为BN 上一点， AP=29AC+x AB,则x =_______9.10．作业：1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B2.M 为△ABC 变BC 上任意一点，N 为AM 的中点， AN=x AB+y AC,则x +y =_______3.4.第2节共线向量之三点共线答案答案：做一做1.[答案]－12.[答案]k＝±1.3.B4.B5.B6.B7.238.1 39.10.作业：1.B2.123. 4.。
向量中三点共线的结论
向量中三点共线的结论
设三点A（x_1，y_1），B（x_2，y_2），C（x_3，y_3），则这三点共线的充要条件如下：
（1）向量AB和向量AC的外积（即叉乘）为 0，即：
\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0
（2）向量AB的长度即AB的模等于向量AC的长度，即：
从向量的性质可以看出，向量AB和向量AC同向或反向，则三点共线；而外积为 0，则表明BC向量垂直于AB的延长线，也即三点共线。
由上述结论可以看出，当三点共线时，向量AB和向量AC之间满足以下特征：
因此，如果不满足上述两个条件，则三点不共线。
要证明三点共线，可以根据向量的性质，使用向量运算，即叉乘及模计算方法，具体用法如下：
1.计算向量AB和向量AC的叉乘，如果结果为0，则表明三点共线；
计算三点共线的充要条件，可以求出具体的数学表达式：
(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)=0
以上，讨论了三点共线的结论，并给出了满足共线条件的数学表达式。
同时也可以把它看做是一种向量运算，即叉乘或模计算。
只要通过这种向量运算验证满足充要条件，则可以正确地证明三点共线。
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三点共线向量公式：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)。
三点共线指的是三点在同一条直线上。
可以设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。
三点共线向量公式
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
向量AB=(x2-x1,y2-y1),向量AC=(x3-x1,y3-y1)
A、B、C共线得:向量AB//向量AC
(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)
所以A、B、C共线:(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)
三点共线证明方法
方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式.代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。
方法二：设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。
方法四:用梅涅劳斯定理。
方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”.可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。
方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法。
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