向量证明三线共点与三点共线问题
向量证三点共线 (1)
利用共线向量巧解三点共线例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC=λPA+（1-λ）PB．证法探究：分析：初看欲证目标，始感实难下手。
我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=λPA+（1-λ）PB，只需证PC=λPA+PB-λPB⇔PC-PB=λ（PA-PB）⇔BC=λBA⇔BC∥BA．这样证明思路有了。
证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=λBA，即PC-PB=λ（PA -PB），PC=λPA+PB-λPB，∴PC=λPA+（1-λ）PB．证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。
考察向量等式BC=λBA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC 与BA同向，有0≤λ≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC 与BA反向，有λ<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA 同向，有λ＞1．此例题逆命题亦成立，即已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC=λPA+μPB，且λ+μ=1，则A，B，C三点共线．故此逆命题可作三点共线判定方法。
为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得PC =λPA +（1-λ）PB ．或叙述为：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，μ，使得PC =λPA +μPB ，则有λ+μ=1．性质2：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC =λPA +μPB ，且λ+μ=1，则A ，B ，C 三点共线．三点共线性质在解题中的应用：例1 如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB =AM m ，AC =AN n ，则n m +的值为 ．解析：连结AO ，因为点O 是BC 的中点，所以有AO =AC AB 2121+=AN n AM m 2121+，又因为M 、O 、N 三点共线，所以12121=+n m ，故2=+n m ．点评：因为点O 是BC 的中点，所以λ=21||=CB ，由性质1，μ=1-λ=21，简便求出n m +的值． 例2 如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC=+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C例3 所示：点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+ 1OP xOA OA OP x =∴= 1OQ yOB OB OQ y=∴= 111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3G OAB P Q OA OB P G Q OA x OP =OB y OQ =yx 11+例4．如图，在ABC ∆中，OA OC 41=，OB OD 21=， AD 与BC 交于M 点，设b OB a OA ==,． （Ⅰ）用a ，b 表示OM ；（Ⅱ）在已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OA p OE =，OB q OF =．求证：17371=+qp ． 解析：(Ⅰ)因为B 、M 、C 三点共线，所以存在实数m 使得OM =OB m OC m )1(-+ =OB m OA m )1(41-+⋅=b m a m )1(41-+；又因为A 、M 、D 三点共线，所以存在实数n 使得OM =OD n OA n )1(-+=b n a n )1(21-+．由于a ，b 不共线，所以有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=),1(211,41n m n m 解得，⎪⎩⎪⎨⎧==．n m 71,74 故OM =b a 7371+． （Ⅱ）因为E 、M 、F 三点共线，所以存在实数λ使得OM =OF OE )1(λλ-+ =b q a p )1(λλ-+．结合（Ⅰ），易得出⎪⎩⎪⎨⎧=-=,73)1(,71q p λλ消去λ得，17371=+q p ． 点评：本题是以a ，b 作为一组基底，其他向量都由它们线性表示．解（Ⅰ）中的实数m ，n 的几何意义为：m ||BC =74，n ||DA DM =71， m ，n ∈（0，1）；解（Ⅱ）中的实数λ||FE FM =p 71．例5．如图，平行四边形ABCD 中，点P 在线段AB 上，且m PBAP =，Q 在线段AD 上，且n QD AQ =，BQ 与CP 相交于点R ，求RCPR 的值． 解析：设RC PR =λ，则PC PR =1+λλ，BR =1+λλBC +（1-1+λλ）BP ．因为m PB AP =，所以BA m BP 11+=，且BR =1+λλBC +11+λ·BA m 11+． 又n QD AQ =，∴AD n n AQ 1+==BC n n 1+，∴AQ BA BQ +=，即BA BC n n BQ ++=1．又∵BR 与BQ 共线，∴1+λλ-)1)(1(11++⋅+m n n λ=0，解得λ=)1)(1(++n m n ． 点评：我们先要确定好一组基底BC BA ,，看准BR ,BQ 如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因C R P ,,三点共线，中途要以BC BP ,作基底，BR 由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得BR =1+λλBC +（1-1+λλ）BP ；最终BR 与BQ 都得转化到由BC BA ,两基底线性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果．例6 所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b + 分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量三点共线证明
平面向量三点共线证明
假设有三个平面向量a,b,c，它们的起点分别为A、B、C。
现在需要证明这三个向量共线，即它们的终点在同一条直线上。
首先，我们可以将向量b平移，使它的起点与a的终点重合。
设平移后的向量为b'，起点为A，终点为D。
接着，我们可以将向量c平移，使它的起点与b'的终点重合。
设平移后的向量为c'，起点为D，终点为E。
现在，我们需要证明向量a和c'的终点也是在直线DE上的。
由于向量a和b的终点已经在同一点，根据向量加法的规则，我们可以得到：
a +
b = AD
同样地，根据向量加法的规则，我们也可以得到：
a + b' = AB
将b'带入上式，得到：
a + b' = AD
将c'带入上式，得到：
a + c' = AE
因此，向量a和c'的终点也是在直线DE上的，三个向量共线得证。
注：平面向量三点共线也可以运用叉积的概念加以证明。
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三线共点的证法
三线共点的证法三线共点是数学领域中一个重要的几何概念。
它起源于射影几何学，并在较晚的时期得到进一步的研究和证明。
本文将介绍三线共点的定义、性质以及其证法。
一、定义在平面几何中，给定一个三角形ABC，如果存在三条直线分别通过三个顶点A、B、C的对边中点，并且这三条直线的交点在一条直线上，那么我们称这三条直线共点，且该点被称为三线共点。
二、性质1. 三线共点是三角形的一个重要特殊性质，它有着以下性质：a) 三角形的三条三线可以是三角形内部对边的中点连线；b) 三线共点的点是三角形的一个重要几何中心，称为重心；c) 三线共点的点和三角形的三个顶点连线的交点构成的三角形和原始三角形全等。
2. 三线共点的证法有多种，下面将介绍两种常见的证法。
三、证法一：向量法三线共点可以通过向量法来进行证明。
给定三角形ABC，以三边向量AB、AC和BC作为初始向量。
由向量的平行和共线性质可知，三条代表这个三边向量的线段必定共点。
设三线共点的交点为点P。
利用向量运算和向量共线性的定义，我们可以证明点P会同时出现在每条向量线段上，从而证明了三线共点。
四、证法二：重心法三线共点也可以通过三角形的重心进行证明。
首先，找到三角形ABC的三条中线，即通过三个顶点A、B、C的对边中点的直线。
根据中线的性质，它们互相平行并且与对边的长度成比例。
将这三条中线延长，它们将相交于一个点，即三线共点的点P。
通过重心的性质以及实际的角度和长度计算，我们可以证明这个点P确实是三线共点。
五、总结三线共点是一个重要的几何概念，它指的是三角形的三条特殊线段共同交于一点的现象。
它常常被用于证明三角形的一些性质和定理。
本文通过向量法和重心法两种常见的证明方法，说明了三线共点的证法。
我们应该通过学习和理解这些证法，加深对于三线共点的理解，为进一步研究和应用提供基础。
通过对三线共点的研究，我们可以进一步探索其在几何学、射影几何学以及其他数学领域中的应用和意义，同时也可以拓宽我们对几何学的认识和理解。
向量三点共线定理推导过程
向量三点共线定理推导过程嘿，咱今儿个就来聊聊向量三点共线定理的推导过程。
这可是个挺有意思的事儿呢！咱先想想啊，啥叫三点共线呀？不就是三个点在同一条直线上嘛。
那向量和这又有啥关系呢？嘿嘿，这里面可就有门道啦。
咱就假设有三个点 A、B、C，对应的向量分别是向量 OA、向量OB、向量 OC。
要是这三个点共线，那这几个向量之间肯定有啥特殊的联系呀。
咱可以从最简单的情况开始琢磨呀。
比如说，A 点和 B 点确定了一条直线，那 C 点要是也在这条直线上，那向量 OC 是不是就可以用向量 OA 和向量 OB 来表示呢？这就好比是搭积木，用这两个已知的向量搭出第三个向量来。
那咋搭呢？咱可以这样想，从 A 点到 C 点，是不是可以分成两段走呀，一段是从 A 到 B，另一段是从 B 到 C。
那向量 AC 不就等于向量 AB 加上向量 BC 嘛。
然后呢，咱再把向量 AB 和向量 BC 用向量 OA 和向量 OB 来表示。
比如说，向量 AB 可以表示成向量 OB 减去向量 OA 呀。
那向量 BC 呢，也可以类似地表示出来。
这么一捣鼓，嘿，你就发现，向量 AC 就和向量 OA、向量 OB 有了特殊的关系啦。
再进一步想想，要是这三个点真的共线，那这里面肯定还有更特别的地方呢。
咱可以通过一些巧妙的计算和推导，找到这个特别的关系。
你说这是不是很神奇呀？就这么几个向量，通过咱这么一琢磨，一推导，就找出了它们之间的秘密。
而且啊，这个定理在好多地方都能用得上呢。
比如说在几何问题里，判断几个点是不是共线；在物理问题里，分析物体的运动轨迹。
用处可大啦！你可别小看了这看似简单的定理推导，这里面蕴含着好多智慧呢。
就像我们解一道难题，一步一步地去探索，去发现，最后找到答案时的那种喜悦，真的是没法用言语来形容。
所以呀，大家以后遇到类似的问题，可别嫌麻烦，多想想，多琢磨琢磨，说不定就能发现其中的奥秘啦！这就好比是在一个大宝藏里寻宝，每一个小细节都可能是宝贝呢！怎么样，是不是对向量三点共线定理的推导过程更感兴趣啦？快去试试吧！。
如何证明三点共线高中数学
如何证明三点共线高中数学
要证明三个点共线，可以使用以下几种方法：
1. 通过观察法：观察三个点的位置关系，如果它们在一条直线上，那么就可以证明它们共线。
这种方法适用于简单的情况，例如三个坐标已知的点。
2. 使用向量法：可以使用向量的加法、减法和数乘来推导出三个点共线的关系。
具体方法是，设三个点分别为A(x1, y1)、
B(x2, y2)和C(x3, y3)，计算向量AB和向量AC的比例：
若向量AB = λ * 向量AC，则可以得出点A、B、C共线。
3. 利用斜率法：如果三个点的斜率相等，即点A、B、C的斜率相等，那么可以证明它们共线。
具体方法是，设三个点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，计算斜率k_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1)和斜率k_AC = (y3 - y1) / (x3 - x1)，
若k_AB = k_AC，则可以得出点A、B、C共线。
4. 使用面积法：根据平行四边形的性质，如果三个点A、B、C的顺序在一条直线上，并且共同构成一个平行四边形，那么就可以推出它们共线。
具体方法是计算三角形ABC的面积，如果面积等于零，则可以得出点A、B、C共线。
需要注意的是，以上方法仅是一些常用的证明方法，具体在使用时要根据题目情况选择合适的方法。
另外，还可以使用其他高中数学的概念和定理来证明三个点共线，例如利用三角形的相似性质、圆的性质等。
空间向量三点共线定理
空间向量三点共线定理空间向量三点共线定理在几何中相当重要，它提出了一条性质，即如果三个点的位置坐标在一个直线上，那么三个空间向量的结果也必然在相同的直线上。
它，也可以用于侦测空间中的点的关系，如果点的位置坐标满足它，那么这三个点就在一条直线上。
这个定理也可以使几何题中有关三点共线的性质变得更加清晰，从而更轻松地解决题目。
空间向量三点共线定理可以从数学上解释，即这个定理可以从空间中三点的坐标表示出来，这样就更容易理解什么是空间中三点共线。
首先，需要给出空间向量三点共线定理的表述，即“若三点P，Q，R的坐标分别为（a1，b1，c1），（a2，b2，c2），（a3，b3，c3），那么在三点P，Q，R之间的任意两个向量都满足：（a2-a1）（b3-b1）-(a3-a1)(b2-b1)=0这个公式很好理解，它表明了一个重要的性质：三个空间向量的线性相关性，即三个向量的积、差和乘积都为0。
这就是空间向量三点共线定理的数学证明，它可以用来证明三个点的位置坐标是否满足三点共线的条件。
空间向量三点共线定理的推广是非常有用的，例如当我们讨论平面向量的时候。
它也可以应用到平面向量上，平面向量三点共线定理可以这样描述：若三点P，Q，R的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），那么在三点P，Q，R之间的任意两个向量都满足：(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0这就是平面向量三点共线定理，它与空间向量三点共线定理的表达非常相似，只是把空间中的坐标用平面中的坐标来表示。
此外，当讨论空间中的四点共线的时候，空间向量四点共线定理也是可以用的。
四点共线定理描述如下：若四点P，Q，R，S的坐标分别为（a1，b1，c1），（a2，b2，c2），（a3，b3，c3），（a4，b4，c4），那么在四点P，Q，R，S之间的任意三个向量都满足：(a2-a1)(b3-b1)(c4-c1)-(a3-a1)(b2-b1)(c4-c1)+(a4-a1)(b2-b1)(c3-c1)=0这就是四点共线定理的表达，它也可以用来检测四个点是否在一条直线上。
三点共线与三线共点的证明办法
精心整理
三点共线与三线共点的证明方法
公理1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；
推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。
公理3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公
证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。
向量证明三线共点与三点共线问题
用向量证明三线共点与三点共线问题山东 徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多． 证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．例1． 证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ，且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成立．证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故)(OA OB m OB OC -=-，OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得OB OA OC μλ+=． 若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线.例2． 证明：三角形的三条中线交于一点．证明：如图2，D 、E 、F 分别是ABC ∆三边上的中AOBC图1点．设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===⋂==,,,．设．则=-+-=++-=+-=+=)21()21()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμ b a )1(1(21μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ21)21()(+-=+-=+== ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-3232121121μλμλμλ解得所以 则b a b a a AD a AG CA CG 3131)21(3232+=+-+=+=+= b a CF 2121+=，所以CF CG 32=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点．A BCEDF图２ G。
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用向量证明三线共点与三点共线问题
山东 徐鹏
三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多．
证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．
例1． 证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ，
且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成立．
证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故)(OA OB m OB OC -=-，OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得OB OA OC μλ+=．
若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线.
例2． 证明：三角形的三条中线交于一点．
证明：如图2，D 、E 、F 分别是ABC ∆三边上的中
A
O
B
C
图1
点．
设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===⋂==,,,．设．则
=-+-=++-=+-=+=)2
1()21()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμ b a )1(1(21μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ2
1)21()(+-=+-=+== ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-32
32121121μλμλμλ解得所以 则b a b a a AD a AG CA CG 3
131)21(3232+=+-+=+=+= b a CF 2121+=，所以CF CG 3
2=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点． A B
C
E
D
F
图２ G。