向量证明三线共点与三点共线问题.doc
向量证三点共线 (1)
利用共线向量巧解三点共线例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC=λPA+（1-λ）PB．证法探究：分析：初看欲证目标，始感实难下手。
我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=λPA+（1-λ）PB，只需证PC=λPA+PB-λPB⇔PC-PB=λ（PA-PB）⇔BC=λBA⇔BC∥BA．这样证明思路有了。
证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=λBA，即PC-PB=λ（PA -PB），PC=λPA+PB-λPB，∴PC=λPA+（1-λ）PB．证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。
考察向量等式BC=λBA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC 与BA同向，有0≤λ≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC 与BA反向，有λ<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA 同向，有λ＞1．此例题逆命题亦成立，即已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC=λPA+μPB，且λ+μ=1，则A，B，C三点共线．故此逆命题可作三点共线判定方法。
为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得PC =λPA +（1-λ）PB ．或叙述为：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，μ，使得PC =λPA +μPB ，则有λ+μ=1．性质2：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC =λPA +μPB ，且λ+μ=1，则A ，B ，C 三点共线．三点共线性质在解题中的应用：例1 如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB =AM m ，AC =AN n ，则n m +的值为 ．解析：连结AO ，因为点O 是BC 的中点，所以有AO =AC AB 2121+=AN n AM m 2121+，又因为M 、O 、N 三点共线，所以12121=+n m ，故2=+n m ．点评：因为点O 是BC 的中点，所以λ=21||=CB ，由性质1，μ=1-λ=21，简便求出n m +的值． 例2 如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC=+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C例3 所示：点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+ 1OP xOA OA OP x =∴= 1OQ yOB OB OQ y=∴= 111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3G OAB P Q OA OB P G Q OA x OP =OB y OQ =yx 11+例4．如图，在ABC ∆中，OA OC 41=，OB OD 21=， AD 与BC 交于M 点，设b OB a OA ==,． （Ⅰ）用a ，b 表示OM ；（Ⅱ）在已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OA p OE =，OB q OF =．求证：17371=+qp ． 解析：(Ⅰ)因为B 、M 、C 三点共线，所以存在实数m 使得OM =OB m OC m )1(-+ =OB m OA m )1(41-+⋅=b m a m )1(41-+；又因为A 、M 、D 三点共线，所以存在实数n 使得OM =OD n OA n )1(-+=b n a n )1(21-+．由于a ，b 不共线，所以有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=),1(211,41n m n m 解得，⎪⎩⎪⎨⎧==．n m 71,74 故OM =b a 7371+． （Ⅱ）因为E 、M 、F 三点共线，所以存在实数λ使得OM =OF OE )1(λλ-+ =b q a p )1(λλ-+．结合（Ⅰ），易得出⎪⎩⎪⎨⎧=-=,73)1(,71q p λλ消去λ得，17371=+q p ． 点评：本题是以a ，b 作为一组基底，其他向量都由它们线性表示．解（Ⅰ）中的实数m ，n 的几何意义为：m ||BC =74，n ||DA DM =71， m ，n ∈（0，1）；解（Ⅱ）中的实数λ||FE FM =p 71．例5．如图，平行四边形ABCD 中，点P 在线段AB 上，且m PBAP =，Q 在线段AD 上，且n QD AQ =，BQ 与CP 相交于点R ，求RCPR 的值． 解析：设RC PR =λ，则PC PR =1+λλ，BR =1+λλBC +（1-1+λλ）BP ．因为m PB AP =，所以BA m BP 11+=，且BR =1+λλBC +11+λ·BA m 11+． 又n QD AQ =，∴AD n n AQ 1+==BC n n 1+，∴AQ BA BQ +=，即BA BC n n BQ ++=1．又∵BR 与BQ 共线，∴1+λλ-)1)(1(11++⋅+m n n λ=0，解得λ=)1)(1(++n m n ． 点评：我们先要确定好一组基底BC BA ,，看准BR ,BQ 如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因C R P ,,三点共线，中途要以BC BP ,作基底，BR 由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得BR =1+λλBC +（1-1+λλ）BP ；最终BR 与BQ 都得转化到由BC BA ,两基底线性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果．例6 所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b + 分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
向量三点共线定理推导过程
向量三点共线定理推导过程嘿，咱今儿个就来聊聊向量三点共线定理的推导过程。
这可是个挺有意思的事儿呢！咱先想想啊，啥叫三点共线呀？不就是三个点在同一条直线上嘛。
那向量和这又有啥关系呢？嘿嘿，这里面可就有门道啦。
咱就假设有三个点 A、B、C，对应的向量分别是向量 OA、向量OB、向量 OC。
要是这三个点共线，那这几个向量之间肯定有啥特殊的联系呀。
咱可以从最简单的情况开始琢磨呀。
比如说，A 点和 B 点确定了一条直线，那 C 点要是也在这条直线上，那向量 OC 是不是就可以用向量 OA 和向量 OB 来表示呢？这就好比是搭积木，用这两个已知的向量搭出第三个向量来。
那咋搭呢？咱可以这样想，从 A 点到 C 点，是不是可以分成两段走呀，一段是从 A 到 B，另一段是从 B 到 C。
那向量 AC 不就等于向量 AB 加上向量 BC 嘛。
然后呢，咱再把向量 AB 和向量 BC 用向量 OA 和向量 OB 来表示。
比如说，向量 AB 可以表示成向量 OB 减去向量 OA 呀。
那向量 BC 呢，也可以类似地表示出来。
这么一捣鼓，嘿，你就发现，向量 AC 就和向量 OA、向量 OB 有了特殊的关系啦。
再进一步想想，要是这三个点真的共线，那这里面肯定还有更特别的地方呢。
咱可以通过一些巧妙的计算和推导，找到这个特别的关系。
你说这是不是很神奇呀？就这么几个向量，通过咱这么一琢磨，一推导，就找出了它们之间的秘密。
而且啊，这个定理在好多地方都能用得上呢。
比如说在几何问题里，判断几个点是不是共线；在物理问题里，分析物体的运动轨迹。
用处可大啦！你可别小看了这看似简单的定理推导，这里面蕴含着好多智慧呢。
就像我们解一道难题，一步一步地去探索，去发现，最后找到答案时的那种喜悦，真的是没法用言语来形容。
所以呀，大家以后遇到类似的问题，可别嫌麻烦，多想想，多琢磨琢磨，说不定就能发现其中的奥秘啦！这就好比是在一个大宝藏里寻宝，每一个小细节都可能是宝贝呢！怎么样，是不是对向量三点共线定理的推导过程更感兴趣啦？快去试试吧！。
怎么证明三点共线
怎么证明三点共线
已知三点坐标的情况下，方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式，代入第三点坐标，看是否满足该解析式。
方法二：设三点为A、B、C，利用向量证明：a倍AB向量=AC向量（其中a为非零实数）。
证明三点共线的其他方法：
利用点差法求出AB斜率和AC斜率相等即三点共线；证三次两点一线；用梅涅劳斯定理；利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线；
运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”，其实就是同一法；证明其夹角为180° ；设A B C，证明△ABC面积为0。
利用向量方法证明三点共线的具体过程：
你知道ABC三点坐标你可以把BA向量表示出来,CB向量表示出来然后如果有 BA向量等于 CB向量的一个常数倍就能说明其三点共线其实你直接求BA直线的斜率和BC直线的斜率更简捷点,两者的本质是一样的斜率相同则三点共线。
向量中三点共线常用结论
向量中三点共线常用结论向量是数学中的重要概念，在几何学、物理学、力学等学科中都有广泛的应用。
当三个点的向量共线时，有一些常用的结论可以帮助我们更好地理解和应用向量的概念。
首先，我们来谈谈共线的定义。
当三个点的向量可以通过放缩得到相等的向量时，它们就是共线的。
也就是说，三个点的向量可以表示为k倍于另一个向量的形式，其中k为一个实数。
在三维空间中，我们可以将共线的三个点的向量表示为OA = a，OB = b，OC = c。
其中，O为坐标原点，A、B、C为三个点。
常用的共线判定方法有两种，即向量共线定理和点共线定理。
首先是向量共线定理。
如果三个向量a，b和c共线，那么存在一个实数k，使得c = ka + (1-k)b。
我们可以将这个公式理解为，c可以由a和b经过一定的比例缩放得到。
其次是点共线定理。
如果三个点A、B、C共线，那么它们的向量OA、OB和OC是共线的。
反之亦成立，即如果OA、OB和OC共线，那么点A、B、C也是共线的。
这个定理可以帮助我们在实际问题中通过向量的共线性判断点的共线性。
在实际应用中，我们常常会遇到一些与共线性相关的问题。
例如，在几何学中，我们希望判断三个点是否在一条直线上，可以通过计算它们的向量是否共线来得出结论。
如果计算出的向量共线，则可以判断三个点是共线的；反之，如果向量不共线，则可以判断三个点不共线。
另一个应用是在物理学中，我们常常用向量来描述力的作用。
如果有多个力作用在同一个物体上，我们可以通过判断这些力的向量是否共线来判断它们是否可以合成为一个力。
如果力的向量共线，则可以将它们合成为一个力；反之，如果力的向量不共线，则无法合成为一个力。
在解决问题时，我们可以运用这些常用的共线结论。
首先，我们可以通过计算向量是否共线来确定点的共线性。
其次，我们可以通过判断向量的共线性来确定力的合成。
最后，我们还可以利用共线性来解决其他几何学、物理学和力学等问题。
总之，向量的共线性是数学中的一个重要概念，有着广泛的应用。
利用向量证明三点共线例题
利用向量证明三点共线例题好啦，今天咱们来聊聊一个几乎每个学数学的同学都得接触的东西——三点共线问题。
听着是不是有点枯燥？放心，我不会让你打瞌睡的，我们就像坐在咖啡馆里聊天一样，轻松一点，慢慢来，大家别急。
这题，说白了，就是问你怎么用向量来证明三点是不是在一条直线上。
也许你一听到“向量”两个字就觉得它很高大上，很复杂对吧？但它比你想象的简单多了，咱们一步步来。
三点共线，什么意思呢？就是给你三点 A、B、C，你得证明这三点要么在一条直线上，要么不在。
这时你就可以用向量来干活了。
别怕向量，它其实就是一种数学语言，咱们用它来表示点之间的关系。
别想太多，这只是告诉你点与点之间的“直线方向”。
嗯，就是这条线的方向，是不是很直观？你想啊，假如A、B、C三个点真的在一条直线上，那它们之间的向量就应该是有“共性”的。
什么意思呢？就是从A到B的向量，如果你让它和从A到C的向量“比一比”，如果它们是一个方向上的（也就是成比例的），那就意味着这三点是共线的。
简单点说，就是它们在同一条路上走，走得很协调，脚步一样，不差分毫。
咱们就拿这三个点来做个简单的示范。
首先呢，我们要定义一个向量，从A到B叫做 AB向量，从A到C叫做 AC向量。
别急，这些字母你很快就能理解，稍微有点耐心就好了。
AB向量呢，就等于B点的坐标减去A点的坐标，同理AC向量也是C点减去A点。
说白了，就是你算出从A到B和从A到C的“偏移量”——这就是向量的意思。
你要是学过平面几何的公式就能感受到这其中的关系了，坐标系的数学工具，通通都是为了描述“位置”而服务的。
接下来最关键的部分来了！你只需要判断这两个向量AB和AC之间的关系。
怎么办呢？你看，如果这两个向量成比例，也就是说一个是另一个的倍数，那这两个向量就指向同一条直线，三点就共线啦。
怎么理解呢？好比你和你朋友两个人站在同一条路上走，若你朋友走的步伐和你一模一样，那你们就是顺着同一条线走的——这就叫做成比例！向量之间的比例关系，听着是不是有点像你和你朋友走路配合的默契？哈哈，虽然可能没那么浪漫，但理解了这个原理，题目就能搞定了。
三点共线向量表示及其性质应用
平面内三点共线的向量表示及其性质应用本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向 量表示在解题中的应用。
，使得 PC= PA+( 1- )PB . 证法探究：分析： 初看欲证目标，始感实难下手。
我们不妨从结论出发探寻线路，欲 证 PC= PA + (1-) PB ，只需证PC = PA + PB - PBPC - PB = ( PA - PB )BC = BA BC // BA .这样证明思路有了。
证法：•••向量 BC 与向量 BA 共线，• BC = BA ,即 PC - PB = ( PA - PB ),PC = PA +PB - PB ,••• PC = PA + (1- ) PB .证毕，再思考一下实数 的几何意义究竟如何。
考察向量等式BC= BA ，结合图形，易知，当点 C在线段AB 上时，则BC 与BA 同向，有0W < 1;当点C 在线段AB 延长线上时，则 BC 与BA 反向， 有 <0;当点C 在线段BA 延长线上时，则 BC 与BA 同向，有 > 1. 此例题逆命题亦成立，即已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点， 若存在实数 ，，有PC = PA + PB , 且 +=1,则A , B , C 三点共线.故此逆命题可作三点共线判定方法。
为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下： 性质1：已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若 A , B , C 三点共线，则存在实数，使得 PC = PA + (1-) PB .或叙述为：已知A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若 A , B , C 三点共线，则存在实数，使得 PC = PA + PB ，则有 +=1.性质2 :已知 A , B , C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若存在实数， ，有PC= PA + PB ，且 + =1,则 A , B , C 三点共线.三点共线性质在解题中的应用：例1 •如图，在 ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线 AB 、 的两点M 、N ，若AB = mAM , AC =nAN ，则m n 的值为 ________________________ . 1——.解析：连结AO ,因为点O 是BC 的中点，所以有 AO = 1AB mAM2 2 21 1 因为M 、O 、N 三点共线，所以-m -n 1，故m n2 .221 uuir例题：如图，A ，B ，C 是平面内三个点, P 是平面内任意一点，若点 C 在直线AB 上，则存在实数1=1-=，简便求出m n 的值.例2 (湖北省2011届高三八校第一次联考)如图uuir 2,在厶 ABC 中, AN」NC，点P是BC上3的一点，若uuuAPuuu 2 uur mABAC , 则实数m的值为( )11, 9 B_5 小3 r 2A.— c.— D.—11 111 11uuu解：Q B, P,N 三点共线，又Q APuuumAB 2 UULT AC 11UUU 2 mAB— 11UULT 4AN UUU 8 UULT mAB AN 118 3m 1 m ，故选C 11 11 例3 (广东省2015届高三六校联考) 所示: 点G 是厶OAB 的重心,动点，且P 、G 、Q 三点共线•设 OP xOA , OQ yOB , 证明：Q 因为G 是VOAB 的重心, UUL T OG 1 UUU 2(OAUUU QOP uuu xOA UUU 1 UUU OA OP x UULT QOQ UUU yOB UUL T OG1 UUU 3(OA UULT OB) 1 1 uuu 3(XOP1 UULT -OQ) yUULT OG1 UUU OP 3x Q 分别是边OA 、OB 上的 BUUUOB) UU UOB1 证明：- 1 -是定值; 3?O Q又Q P,G,Q 三点共线, 13x例4.如图，在 ABC 中, OC !OA , 4 OD 2OB , OA a,OB AD 与BC 交于M 点，设(I)用a , b 表示OM ； (n)在已知线段 AC 上取一点 ■ - 4 OF qOB .求证：一 7pE , 37q 在线段BD 上取一点 F ，使EF 过点 解析：(I )因为B 、M 、C 三点共线, 1 — — 1 所以存在实数 m 使得OM = mOC (1 pOA ,M •设 0E m)OB=m OA (1 m)OB=— ma (1 m)b ;又因为 A 、M 、D 三点共线，所以存在实数 4 4 n 使得OM =nOA (11 m n, n)OD = na 1(1 n)b •由于a , b 不共线，所以有 42 1 m 弓(1 n), 解得,47, 1 7•故OM = 7(n)因为 1a 3b 7 E 、M 、F 三点共线，所以存在实数 pa (1)qb •结合(I),易得出 (1 使得OM = OE 1 7，消去、 3 )q 7，(1 )OF得, 7P 2 1 • 7q 点评：本题是以a , b 作为一组基底，其他向量都由它们线性表示•解(I) 中的实数,n 的几何意义为：m=^ = 4 |BC| 7 n =1 DM 1 =1, m , n €( o , 1 )；解(n)中的实数 |DA| 7 |FM|FE| 7p例5.如图, AP平行四边形 ABCD 中，点P 在线段AB 上，且 m , Q 在线段ADPB 上，且AQ QD PR n , BQ 与CP 相交于点"，求怎的值. QD解析：设PR =RC冲PR ，则= PC 1 • 1，BR =_1BA .BC+( 1-) BP .因为 APm ，所以BP1 ---- BA ， m 111PB且 BR= ----BC +-p AQ又•••nAD=n BC ， • BQ'BA AQ ，即 BQn BC BA.又••• BRQDn 1n 1n 1与BQ 共线，n 1 =0,解得n1 n 1 (1)(m'(m 1)(n1)'点评：我们先要确定好组基底BA, BC ，看准BR , BQ 如何由它们线性表示；而欲求目标数值， 因 P, R,C三点共线，中途要以 BP,BC 作基底，BR 由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1,得BR =——BC +（ 1 -------------- ）BP ;最终BR 与BQ 都得转化到由BA, BC 两基底线性表示，1 1此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果.例6 （汕头市东山中学 2014届高三第二次模拟考试）所示,在平行四边形 ABCD 中，uuu 1 uuu LULT 1 LULTUUU rUUUT r LULTAE-AB , AF — AD ,CE 与 BF 相交于 G 点，记 ABa ,ADb ，贝U AG3 42 r 1 r2 r3 r3 r 1 r4 r orA. -a 丄匕B. -a -bC. -aD. 4a -b77 77 7777'<■分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很 容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共 线定理求解。
三点共线向量公式推导
三点共线向量公式推导在数学的世界里，向量可是个神奇又有趣的存在。
今天咱们就来好好聊聊三点共线向量公式的推导。
咱们先从最基础的说起，啥叫三点共线？简单来讲，如果有三个点A、B、C，要是能证明向量 AB 和向量 AC 是成比例的，那这三个点就在同一条直线上啦。
那怎么推导这个公式呢？假设这三个点的坐标分别是 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
向量 AB 就等于 (x2 - x1, y2 - y1)，向量 AC 等于 (x3 - x1, y3 - y1)。
如果这三个点共线，那向量 AB 和向量 AC 就存在一个实数λ，使得向量AB = λ 向量 AC 。
也就是 (x2 - x1, y2 - y1) = λ(x3 - x1, y3 - y1) 。
展开得到：x2 - x1 = λ(x3 - x1) ①y2 - y1 = λ(y3 - y1) ②由①得：λ = (x2 - x1) / (x3 - x1) （假设 x3 - x1 ≠ 0）把λ代入②：y2 - y1 = [(x2 - x1) / (x3 - x1)] (y3 - y1)整理一下就得到了三点共线的向量公式。
还记得我之前教过的一个学生小明吗？他一开始对这个知识点那叫一个头疼。
我就给他举了个例子，说咱们把教室的三个角落看成A、B、C 三点，假设你从 A 点走到 B 点，再从 B 点走到 C 点，这两次走的方向和距离如果有一定的比例关系，那就相当于这三个角落在一条线上。
小明听了之后，眼睛一下子亮了起来，开始自己琢磨起来。
后来做题的时候，他一开始还是会犯错，但他不气馁，不断地画图、推导。
有一次他兴奋地跑过来跟我说：“老师，我现在看到这种三点共线的题目再也不害怕啦！” 看到他那充满成就感的笑容，我也特别欣慰。
所以啊，同学们，只要咱们多琢磨、多练习，这个三点共线向量公式就一定能被咱们轻松拿下！别害怕一开始的困难，坚持下去，胜利就在前方！。
向量证明三线共点与三点共线问题
用向量证明三线共点与三点共线问题山东徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难,简捷得多.证明A、B、C三点共线，只要证明AB与AC共线即可，即证明AB线共点一般须证两线交点在第三条直线上.图1使得OC OA OB ；反之，也成立.证明:如图1 ,若OA、.OB ；、OC 的终点A、B、C共线,则AB BC BC mAB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, ,，且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和BA OA OB OC例2.. -片证明：三角形的三条中线父于点.证明：女口图 2 ,D、E、F分另U是ABC 三边上的中证明：若向量OA、OB、OC的终点A B C共线，则存在实数，且用向量法解决则AC •证明三C占八、、♦设CA a,CB b,AD BE G.设AG AD, BG BE.则AG AB BG (b a) BE (b a) (BC 】CA) b a1 ■ (?a b)2(0a (1 —*■ ■-)b，又AG , AD (AC CD) (a 12b)• 1 Ka b212 1所以 2 解得311 22 3则CG CA AG a 2 AD a2( -V 1- a b) a3 3 2 3 3CF 1 a !b,所以CG 2CF ，所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点223。
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用向量证明三线共点与三点共线问题
山东徐鹏
三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则
简捷得多．
证明A、 B、 C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AB AC ．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．
例 1．证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A、B、C 共线，则存在实数、，且1，
A
B
C
O
图1
使得OC OA OB ；反之，也成立．
的终点 A 、 B 、 C 共线，则证明：如图 1 ，若OA 、OB 、
OC
AB BC BC m AB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, , ,且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和 BA OA OB OC
例 2．证明：三角形的三条中线交于一点．
证明：如图 2，D、E、F 分别是ABC三边上的中
C
D
E
G
A F B
图２
点．
设 CA a, CB b, AD BE G．设 AG AD, BG BE ．则
AG AB BG (b a) BE (b a) ( BC 1
CA) b a (
1
a b)
1 (
2 1
b)
2
1 b 1）a (1 )b ，又 AG AD (AC CD) ( a a
2 2 2
1
1 2
2 3 所以解得
1 2
1
2 3
则 CG CA AG a 2
AD a 2 ( a
1
b) 1 a 1 b
1 1 3
2
3 2 3 3
CF a b，所以 CG CF ，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点．
2 2 3。