共线定理以及三点共线
向量三点共线定理推论
向量三点共线定理推论向量三点共线定理是解析几何中的重要定理之一，它描述了三个向量共线的条件。
在本文中，我们将通过推论的方式来详细阐述这一定理的应用。
让我们回顾一下向量三点共线定理的表述：给定三个不共线的点A、B和C，如果向量AC可以表示为向量AB与向量BC的线性组合，那么点A、B和C就共线。
这一定理可以简单地用公式表示为AC = k1 * AB + k2 * BC，其中k1和k2是实数。
基于向量三点共线定理，我们可以得出以下推论：推论一：如果两个向量的比例相等，那么它们共线。
假设有两个向量AB和CD，如果它们的比例相等，即AB/CD = k，则可以通过向量的等式转化为向量的加法运算，得到AC = AD + DC = AD + (AB/k)。
由于向量AD和向量AB/k成比例，根据向量三点共线定理，我们可以得出结论：向量AC与向量AB和向量CD共线。
推论二：如果两个向量的夹角为零或180度，那么它们共线。
假设有两个向量AB和CD，如果它们的夹角为零或180度，即cosθ = AB·CD / (|AB|·|CD|) = 1或-1。
我们可以将向量CD表示为向量AB的倍数，即CD = k * AB。
根据向量三点共线定理的等式形式，我们可以得到AC = AD + DC = AD + k * AB。
由于向量AD和向量AB成比例，根据向量三点共线定理，我们可以得出结论：向量AC 与向量AB和向量CD共线。
推论三：如果三个向量两两共线，那么它们共线。
假设有三个向量AB、BC和CD，如果向量AB与向量BC共线，并且向量BC与向量CD共线，那么根据向量三点共线定理，我们可以得到结论：向量AC与向量AB和向量CD共线。
推论四：如果一个向量与两个共线向量的和共线，那么它们三者共线。
假设有三个向量AB、CD和DE，如果向量AB与向量CD共线，并且向量DE = AB + CD，那么根据向量三点共线定理，我们可以得到结论：向量DE与向量AB和向量CD共线。
平面向量的三点共线定理及其应用技巧
思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
三点共线定理证明
三点共线定理证明
三点共线定理（Theorem of Three Points on One Line）是一个数学定理，它指出，如果三个不同的点都在同一条直线上，则这三个点必定位于同一条直线上。
它的证明可以用一般的方法，也可以用数学归纳法证明。
首先，假设有三个点A、B、C，它们都在同一条直线上。
我们需要证明：A、B、C三点共线。
1. 我们首先证明点A、B、C共线的基本情况——即当
A、B两点位于同一条直线上时，加入点C也在同一条直线上。
假设A、B两点位于同一条直线上，由定义，点C必须位于AB之间，即AB+BC=AC，所以AB+BC=AC，A、B、C三点共线，这就是基本情况的证明。
2. 假设基本情况已经证明，现在考虑一般情况，即假设有N个点A1、A2、…、AN，它们都在同一条直线上。
首先，当N=3时，根据基本情况，A1、A2、A3三点共线；当N=4时，A1、A2、A3三点共线，加入A4点，依然是A1、A2、A3、A4四点共线；以此类推，当N=n时，A1、
A2、…、An n个点共线。
3. 由于当N=3时，A1、A2、A3三点共线，当N=4时，A1、A2、A3、A4四点共线，当N=n时，A1、A2、…、An n个点共线，从而可以得出结论，即当有N个点A1、
A2、…、AN，它们都在同一条直线上时，A1、A2、…、AN N个点共线。
总结，三点共线定理可以用数学归纳法证明。
根据基本情况，A、B两点位于同一条直线上时，加入点C也在同一条直线上；通过对N个点的归纳，可以得出当有N个点A1、A2、…、AN，它们都在同一条直线上时，A1、
A2、…、AN N个点共线，即三点共线定理成立。
向量三点共线定理及其延伸应用汇总
向量三点共线定理及其延伸应用汇总1.如何判断三点共线？根据向量三点共线定理，只需判断向量AB和向量AC是否共线即可。
如果它们共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三点A、B、C 共线。
2.判断四点共面问题将四点依次相连，可以形成三个向量：向量AB，向量AC和向量AD。
如果这三个向量共面，则四点A、B、C、D共面。
这可以通过判断向量AB 和向量AC是否共线，以及向量AB和向量AD是否共线来进行。
3.判断平行四边形平行四边形是指具有两对平行的对边的四边形。
如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么向量AB和向量CD是共线的，向量AD和向量BC 也是共线的。
因此，可以通过判断向量AB和向量CD是否共线，以及向量AD和向量BC是否共线来判断一个四边形是否为平行四边形。
4.求解向量坐标问题假设已知三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)在坐标平面上，现要求证这三个点共线。
可以将它们看作向量，向量AB=(x2-x1,y2-y1)和向量AC=(x3-x1,y3-y1)。
如果这两个向量共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三个点共线。
5.解决线段相交问题如果已知线段AB和线段CD，在平面上是否相交？可以将线段AB表示为向量AB，线段CD表示为向量CD。
如果向量AB和向量CD共线，那么线段AB和线段CD必定相交；反之，如果不共线，则线段AB和线段CD不相交。
6.判断三角形共线问题已知三角形ABC，如果顶点A、B和C共线，即向量AB和向量AC共线，则三角形ABC退化为一条线段。
7.探索顺、逆时针旋转问题已知三点A、B和C按照顺时针旋转形成的向量AB和向量AC是否共线？如果向量AB和向量AC共线，则这三点按顺时针方向排列；反之，如果不共线，则这三点按逆时针方向排列。
8.求解线段长度问题定理：若O为向量OA与向量OB的中点，则向量OA和向量OB共线且长度相等。
利用这个定理，可以求解线段长度。
空间向量三点共线定理
空间向量三点共线定理空间向量三点共线定理在几何中相当重要，它提出了一条性质，即如果三个点的位置坐标在一个直线上，那么三个空间向量的结果也必然在相同的直线上。
它，也可以用于侦测空间中的点的关系，如果点的位置坐标满足它，那么这三个点就在一条直线上。
这个定理也可以使几何题中有关三点共线的性质变得更加清晰，从而更轻松地解决题目。
空间向量三点共线定理可以从数学上解释，即这个定理可以从空间中三点的坐标表示出来，这样就更容易理解什么是空间中三点共线。
首先，需要给出空间向量三点共线定理的表述，即“若三点P，Q，R的坐标分别为（a1，b1，c1），（a2，b2，c2），（a3，b3，c3），那么在三点P，Q，R之间的任意两个向量都满足：（a2-a1）（b3-b1）-(a3-a1)(b2-b1)=0这个公式很好理解，它表明了一个重要的性质：三个空间向量的线性相关性，即三个向量的积、差和乘积都为0。
这就是空间向量三点共线定理的数学证明，它可以用来证明三个点的位置坐标是否满足三点共线的条件。
空间向量三点共线定理的推广是非常有用的，例如当我们讨论平面向量的时候。
它也可以应用到平面向量上，平面向量三点共线定理可以这样描述：若三点P，Q，R的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），那么在三点P，Q，R之间的任意两个向量都满足：(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0这就是平面向量三点共线定理，它与空间向量三点共线定理的表达非常相似，只是把空间中的坐标用平面中的坐标来表示。
此外，当讨论空间中的四点共线的时候，空间向量四点共线定理也是可以用的。
四点共线定理描述如下：若四点P，Q，R，S的坐标分别为（a1，b1，c1），（a2，b2，c2），（a3，b3，c3），（a4，b4，c4），那么在四点P，Q，R，S之间的任意三个向量都满足：(a2-a1)(b3-b1)(c4-c1)-(a3-a1)(b2-b1)(c4-c1)+(a4-a1)(b2-b1)(c3-c1)=0这就是四点共线定理的表达，它也可以用来检测四个点是否在一条直线上。
三点共线怎么证明
三点共线怎么证明
三点共线证明⽅法⼀：取两点确⽴⼀条直线，计算该直线的解析式，代⼊第三点坐标看是否满⾜该解析式。
⽅法⼆：设三点为A、B、C，利⽤向量证明：a倍AB向量=AC向量。
三点共线证明⽅法
⽅法⼀：取两点确⽴⼀条直线，计算该直线的解析式。
代⼊第三点坐标看是否满⾜该解析式（直线与⽅程）。
⽅法⼆：设三点为A、B、C。
利⽤向量证明：λAB=AC（其中λ为⾮零实数）。
⽅法三：利⽤点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。
⽅法四:⽤梅涅劳斯定理。
⽅法五：利⽤⼏何中的公理“如果两个不重合的平⾯有⼀个公共点，那么它们有且只有⼀条过该点的公共直线”。
可知：如果三点同属于两个相交的平⾯则三点共线。
⽅法六：运⽤公（定）理“过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏（垂直）”。
其实就是同⼀法。
三点共线定理及应用
三点共线定理及应用三点共线定理是一种几何定理，它指的是，若三点不共线，则它们必然位于某一条直线上。
这个定理有着深远的历史价值和今天广泛的应用。
据说它最早出现在公元前500年的古希腊数学家几何时期，也就是著名的欧几里得的时代，当时的数学家们就把它作为一种理论去验证实际情况。
《三点共线定理》主要指出，若三点不共线，则它们必然位于某一条直线上。
这个定理的可见性很强，只需要画出三点，并且看看三点是否共线，就可以立即得出结论。
更进一步，由三点共线定理可以得到一些重要的实际应用，其中包括空间直线、平面图形、三角形等。
以三空间为例，三点共线定理用于确定空间直线的具体情况。
如果在空间中有三个不同的点，它们之间的距离不是0，并且它们不在同一直线上，则它们之间唯一的连线必定是一条直线。
在平面图形方面，三点共线定理可以用来判断三角形是否位于同一平面内。
例如，若有三个不共线的点，通过它们可以构造出三角形，则这三角形一定位于同一平面上；如果三点共线，则不能构成三角形，也就不能位于同一平面。
另外，三点共线定理也可以用来确定平行线和平面的关系。
在三角形的应用中，三点共线定理也可以用来解决实际问题。
例如，在工程计算中，三点共线定理可以用来衡量三角形的面积。
换言之，只要知道三角形的三点坐标，就可以运用三点共线定理来计算该三角形的面积。
此外，三点共线定理还可以应用于几何图象处理中，例如图像拉伸和旋转等功能的实现。
首先，通过对图像的直线拉伸和旋转，可以用三点共线定理来确定每条线段的另外两点。
其次，三点共线定理还可以用来检测图像中的某一条线段是否与其他线段共线。
最后，在医学影像诊断方面，三点共线定理可以用来确定肿瘤图像在不同层次和角度下的特征，从而帮助医生准确诊断出病原体所在的位置。
综上所述，三点共线定理是一种有着悠久历史的几何定理，它具有大量的实际应用，例如在几何图像处理、医学影像诊断和工程计算等领域都有着广泛的实际应用。
同时，三点共线定理也是数学领域中一个重要的定理，它对于研究更复杂的几何问题也有着重要的意义。
第2节 共线向量之三点共线
第2节共线向量之三点共线知识梳理1、三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t)·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 2．结论(1)P 为线段AB 的中点⇔ OP ＝12( OA ＋OB )；(2)G 为△ABC 的重心⇔ GA ＋ GB ＋GC ＝0.(3)若|a ＋b |＝|a －b |，以a ，b 为邻边的平行四边形的形状是矩形 3．三角形三心：内心(三条角平分线交点）、外心（三条垂直平分线交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三条高的交点）。
1．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若)(31++=(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心2.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 3.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若⋅+)(=⋅+)(=⋅+)(= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心4.已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ, ),0(+∞∈λ. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 5．三个不共线的向量,,满足+⋅=+⋅)=+⋅ 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心6.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若++= 0, 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心做一做1．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．2.已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 4．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D5．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7、在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，AD=2DB，CD =13CA+x AC,则x =_______ 8．在△ABC 中，AN=12NC，P 为BN 上一点， AP=29AC+x AB,则x =_______9.10．作业：1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B2.M 为△ABC 变BC 上任意一点，N 为AM 的中点， AN=x AB+y AC,则x +y =_______3.4.第2节共线向量之三点共线答案答案：做一做1.[答案]－12.[答案]k＝±1.3.B4.B5.B6.B7.238.1 39.10.作业：1.B2.123. 4.。
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共线定理以及三点共线一、向量共线定理平面向量共线定理：对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=例1.设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则A. 0B.C.D.【解答】 解：因为向量与共线，所以存在实数x 有，则，解得故选D ．例2.已知向量，，且与共线，，则 A.B.C.或D.或【解答】 解：与共线，，， ， 或．故选：D ．例3.若、是不共线向量，，，且，则k等于A. 8B. 3C.D.【解析】解：，是不共线向量，，，且，存在实数使得．．，解得．故选D．例4.向量，，若与共线且方向相反，则______．【解答】解：，，解得，又与方向相反，．故答案为．例5.已知点P在线段AB上，且，设，则实数______．【解析】解：如图所示，点P在线段AB上，且，；又，．故答案为：．例6.已知向量______．【解析】解：，，则有，解得，故答案为．例7.已知是平面内两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为A. 2B.C.D. 3【解答】解：，，、B、D三点共线，与共线，存在唯一的实数，使得即解得．故选A．例8.已知、是两个不共线向量，设，，，若A，B，C三点共线，则实数的值等于A. 1B. 2C.D.【解答】解：，，，，，，B，C三点共线，不妨设，，，解得．故选C．例9.设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为A. B. 8 C. 6 D.【解答】解：，因为三点A，B，D共线，所以与共线，则存在实数，使得，即，由向量相等的条件得，所以．故选A．例10.设，是不共线向量，与共线，则实数k为______ ．【解答】解：与共线，且，是不共线向量，存在实数满足：，且，．故答案为．例11.设向量，不平行，向量与平行，则实数________．【解答】解：向量，不平行，向量与平行，，，解得实数．故答案为．二、三点共线定理在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB=+且1x y+=。
特别地有：当点P在线段AB上时，0,0x y>>当点P在线段AB之外时，0xy<例1.已知等差数列{an }的前n项和为Sn，若1200OB a OA a OC=+，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合 所以yx 41+的最小值为9例3.如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C例4.如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且，，连接AC 、MN 交于P 点，若，则的值为A.B.C. D.【解答】 解：，，，、N 、P 三点共线．， ，图2故选C．例5.如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则m的值为______．【解答】解：连接AO，则，又，O，N三点共线，，即．故答案为．例6.如图所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值；证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例7.如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +图6分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG x AE x AC ∴=+- , 1133AE AB a ==,AC a b =+ 12(1)()(1)(1)33xAG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AF λλ∴=+- 1144AF AD b ==，， 1(1)4AG a b λλ∴=+-…………………………… ②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+三、推论推论1：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P.点O,P 位于直线AB 异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +>。
推论2：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P. 点O,P 位于直线AB 同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +<。
练习： 已知点P 为三角形ABC 所在平面内一点，且13AP AB t AC =+(t R ∈),若点P 落在三角形ABC 的内部，如图11,则实数t 的取值范围是（ ）A ．3(0,)4 B. 13(,)24C. (0,1)D. 2(0,)3 解：点P 落在ABC 的内部 ∴A,P 两点在直线BC 的同一侧，∴由推论2知：113t +< 23t ∴<专项练习：1.OAB ∆，点P 在边AB 上，3AB AP =，设,OA a OB b ==，则OP = （ ） 12.33A a b + 21.33B a b + .C 1233a b - .D 2133a b -2、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA +βOB ，其中α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为（ ）A ．3x +2y -11=0B ．(x -1)2+(y -2)2=5 C ．2x -y =0 D ．x +2y -5=03.已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+的最小值是 P BA4、在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b5、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b6、在平行四边形ABCD 中，11,34AE AB AF AD ==,C E 与BF 相交于点G,记AB =a ，AD =b ，则AG ＝( )A ．2177+a b B ．2377+a b C ．3177+a b D ．4277+a b7、在△ABO 中，已知11,,42OC OA OD OB ==，且AD 与BC 相交于点M ，设,,OA a OB b ==则_________OM =（结果用a b 与表示）8、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若=+OC xOA yOB则有：（）<+<+>+<--<+<A x yB x y A x y A x y.01.1.1.10。