向量法证明三点共线的又一方法及应用 -
平面向量的三点共线定理及其应用技巧
思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
三点共线的证明方法
向量三点共线定理及其扩展应用详解一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用一、问题的提出及证明。
1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是：.O A xO B y O C =+（O为平面内任意一点），其中1x y +=。
那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明。
结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则 当1x y +<时 A与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时，A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下：设 O A xO B y O C=+且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点设 1O A O Aλ= （λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线则 存在两个不全为零的实数m 、n1O A m O B n O C =+ 且1m n +=则 O A m O B nO C λ=+m n O A O B O C λλ⇒=+mx λ∴=、ny λ=1m nx y λλ++==（1）1λ> 则 1x y +< 则111O A O A O Aλ=<∴A与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]）（2）0λ<,则101x y λ+=<<，此时O A与1O A 反向A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]）（3）1oλ<<，则1x y +>此时 111O A O A O A λ=>∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]）2、如图[4]过O 作直线 平行AB ，延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区域划分为6个部分，并设O P xO A y O B=+,则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：（Ⅰ）区：0001x y x y <⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅱ）区：0001x y x y >⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅲ）区：0001x y x y >⎧⎪<⎨⎪<+<⎩（Ⅳ）区：0011x y x y >⎧⎪<⎨⎪-<+<⎩（Ⅴ）区：00x y <⎧⎨<⎩ （Ⅵ）区：0010x y x y <⎧⎪>⎨⎪-<+<⎩（证明略）二、用扩展定理解高考题。
(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量中三点共线的证明及其应用
平面向量中三点共线的证明及其应用在平面向量中，三点共线说明这三个点满足下面的条件：重合、向垂直、和向平行。
如果三点共线，这意味着他们在同一条线上，且在同一条平面空间内。
三点共线的证明有两种方式-零空间的方法和二维的方法。
在零空间的方法中，每个点的位置可以用三个极坐标系表示，r,θ,φ是相应的极角度和极坐标（或旋转角度）。
用三维立体的形式表示每个点的位置，我们可以使用下面的表达式来表示：其中，x=r*cosθ*sinφ，y=r*cosθ*cosφ，z=r*sinθ由于这三个点共线，它们将在三维中共同满足右边的方程：a*x+b*y+c*z=0可以看出，这个方程具有三个参数-a,b,c，这意味着它可以用来描述和表示任何三点共线的情况。
另一种方法是二维法，它直接使用三点的平面坐标来证明三点共线。
在这里，两个点的坐标用（x1,y1）和（x2,y2）表示，而另一个点的坐标用（x,y）表示。
为了证明三点共线，需要满足方程m*(x1-x2)+n*(y1-y2)=0在这里，m和n是方程的参数。
如果这个方程能够成立，意味着第三个点（x，y）与其余两个点在同一条线上。
三点共线的数学原理在日常生活中得到广泛的应用。
其中最常见的应用是画图和土木计算，通常需要三角测量。
绘图包括绘制几何形状、图像和其他图案，这些图案通常与空间位置有关，因此必须确保三点共线，以便得出正确的结论。
土木计算中也经常会遇到三点共线的问题，例如评估桥梁的结构安全性时，在桥梁的两端设置两个支撑，这就是一个三点共线的示例。
总之，三点共线是一个重要的数学原理，具有重要的应用。
研究人员、土木工程师，甚至是普通的绘图师都会经常使用这个原理。
证明三点共线的方法
证明三点共线的方法
证明三点共线有以下几种方法：
1. 向量法
对于三个点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，计算向量AB和向量AC，然后判断这两个向量是否共线。
若AB和AC共线，则证明A、B、C三点共线。
2. 斜率法
如果三个点在同一条直线上，那么它们的斜率必须相等。
在点A(x1, y1)和点B(x2, y2)之间的斜率可表示为(y2-y1)/(x2-x1) 。
如果点C(x3,y3)也在这条直线上，那么斜率AC和斜率AB相等，即
(y3-y1)/(x3-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，所以A、B、C三点共线。
3. 面积法
三角形ABC的三角形面积可以用海龙公式求出：SABC =
sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中a、b、c分别为三角形边长，p为半周长。
如果三个点在同一条直线上，那么三角形ABC的面积必定为0。
如果SABC=0，则可以判断A、B、C是否共线。
注意：用面积法进行计算时，需要注意计算量的增大，且容易出现精度问题。
因此，在实际问题中，更常用的方法是向量法和斜率法。
高中数学教学论文 向量法证明三点共线的又一方法及应用
向量法证明三点共线的又一方法及应用平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.原题 已知OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线思路：通过向量共线(如AB k AC =u u u r u u u r )得三点共线.证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴()OB OA μOC OA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AB μAC =u u u r u u u r∴A 、B 、C 三点共线.思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性；2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质；3. 特别地，12λμ==时，1()2OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，点B 为AC u u u r 的中点，揭示了OAC V中线OB 的一个向量公式，应用广泛.应用举例 例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+u u u r u u u u r u u u r ,且1λμ+=. 证明：由已知BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，又点N 在BD 上，且13BN BD =，得 1111()3333BN BD BA BC BA BC ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 又点M 是AB 的中点， 12BM BA ∴=u u u u r u u u r ，即2BA BM =u u u r u u u u rD A B C M N2133BN BM BC ∴=+u u u r u u u u r u u u r 而21133+= ∴M 、N 、C 三点共线.点评：证明过程比证明MN mMC =u u u u r u u u u r 简洁.例2如图，平行四边形OACB 中，13BD BC =，OD 与AB 相交于E ，求证：. 14BE BA =. 思路分析：可以借助向量知识，只须证明：14BE BA =u u u r u u u r ，而BA BO BC =+u u u r u u u r u u u r ，又O 、D 、E 三点共线，存在唯一实数对λ、μ，且1λμ+=，使BE λBO μBD =+u u u r u u u r u u u r ，从而得到BE u u u r 与BA u u u r 的关系. 证明：由已知条件，BA BO BC =+u u u r u u u r u u u r ，又B 、E 、A 三点共线，可设BE k BA =u u u r u u u r ，则BE k BO k BC =+u u u r u u u r u u u r ①又O 、E 、D 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，使BE λBO μBD =+u u u r u u u r u u u r ，且1λμ+=. 又13BD BC =u u u r u u u r 13BE λBO μBC ∴=+u u u r u u u r u u u r ②根据①、②得 131k λk μλμ=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得141434k λμ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 14BE BA ∴=u u u r u u u r 14BE BA ∴= 点评：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁. D O AC E B。
向量三点共线公式
向量三点共线公式向量AB=λ·向量BC其中，λ是一个常数。
为了证明这一公式，我们可以先求得向量AB和向量BC的分量形式，然后根据分量形式进行等式推导。
下面是具体的证明：首先，设向量AB的分量为m1和n1，向量BC的分量为m2和n2，向量AC的分量为m3和n3则有：向量AB=(x2-x1,y2-y1)=(m1,n1)向量BC=(x3-x2,y3-y2)=(m2,n2)向量AC=(x3-x1,y3-y1)=(m3,n3)为了验证向量AB和向量BC共线，我们可以通过计算两个向量的比例来证明。
假设向量AB和向量BC共线，则有：m1/m2=n1/n2=λ同时，根据向量的性质，我们可以得出以下关系：m3=m1+m2n3=n1+n2将m1/m2=n1/n2=λ代入，我们有：m3/m2=n3/n2=λ+1由此可知，向量AB和向量BC共线，且比例关系为λ+1:λ，公式得证。
另外，还可以通过向量的数量积来证明向量三点共线的条件。
设向量AB和向量BC的夹角为θ，若向量AB和向量BC共线，则有：cosθ = 向量AB·向量BC / (，向量AB，·，向量BC，) = 1因此，向量AB·向量BC=，向量AB，·，向量BC将向量AB和向量BC的分量进行代入(m1,n1)·(m2,n2)=√(m1^2+n1^2)·√(m2^2+n2^2)展开计算后得到：m1m2+n1n2=√(m1^2+n1^2)·√(m2^2+n2^2)再次进行平方运算后可得：(m1m2+n1n2)^2=(m1^2+n1^2)·(m2^2+n2^2)将我们之前所得到的向量分量关系进行代入，最终可以化简为：(m1+m2)^2+(n1+n2)^2=m1^2+n1^2+m2^2+n2^2即：m3^2+n3^2=m1^2+n1^2+m2^2+n2^2这个等式也是向量三点共线的另一种表达形式，通过对向量的数量积进行计算而得。
高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线⇒m+n=1，且OP mOA nOB ==成立；（2）上述条件成立⇒A 、B 、P 三点共线．
【证明】（1）由三点共线⇒m 、n 满足的条件．
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使AP AB λ=，即()OP OA OB OA λ-=-，∴(1)OP OA OB λλ=-+． 令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+且m+n=1．
（2）由m 、n 满足m+n=1⇒A 、B 、P 三点共线．
若OP mOA nOB =+且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-．
则()OP OB m OA OB -=-，即BP mBA =．
∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．
【解析】 因为1212121(4)()233
AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=，所以AC 与CD 共线．。
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向量法证明三点共线的又一方法及应用
平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.
原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线
思路：通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线.
证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+
∴()OB OA μOC OA -=-
∴AB μAC =
∴A 、B 、C 三点共线.
思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性；
2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满
足OB λOA μOC =+,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质；
3. 特别地，12λμ==时，1()2OB OA OC =+，点B 为AC 的中点，揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式，应用广泛.
应用举例
例 1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13
BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明
BN λBM μBC =+,且1λμ+=.
D A B C M N
例2如图，平行四边形OACB 中，13
BD BC =，OD 与AB 相交于E ，求证：. 1
4BE BA =. 思路分析：可以借助向量知识，只须证明：
1
4BE BA =，而BA BO BC =+，又O 、D 、E 三
点共线，存在唯一实数对λ、μ，且1λμ+=，使
BE λBO μBD =+，从而得到BE 与BA 的关系.
D O A C
E B。