向量法证明三点共线的又一方法及应用 -

向量法证明三点共线的又一方法及应用

平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.

原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线

思路：通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线.

证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+

∴()OB OA μOC OA -=-

∴AB μAC =

∴A 、B 、C 三点共线.

思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性；

2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满

足OB λOA μOC =+,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质；

3. 特别地，12λμ==时，1()2OB OA OC =+，点B 为AC 的中点，揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式，应用广泛.

应用举例

例 1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13

BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明

BN λBM μBC =+,且1λμ+=.

D A B C M N

例2如图，平行四边形OACB 中，13

BD BC =，OD 与AB 相交于E ，求证：. 1

4BE BA =. 思路分析：可以借助向量知识，只须证明：

1

4BE BA =，而BA BO BC =+，又O 、D 、E 三

点共线，存在唯一实数对λ、μ，且1λμ+=，使

BE λBO μBD =+，从而得到BE 与BA 的关系.

D O A C

E B