三点共线的证明
几何中的三点共线定理
几何中的三点共线定理几何学是研究形状、大小、相对位置以及性质的数学学科，广泛应用于建筑、工程、艺术等领域。
在几何学中，存在许多重要的定理和规律，其中之一就是三点共线定理（Collinearity of Three Points）。
三点共线定理是几何学中最基本、最简单的定理之一。
它表达的是当三个点位于同一直线上时，这三个点就被称为共线的。
三点共线定理通常用于证明几何性质、解决几何问题以及构造新的几何定理。
下面将对三点共线定理进行详细阐述。
一、三点共线定理的表述三点共线定理可以简单地表述为：任意给定三个点，如果它们位于同一条直线上，那么它们就是共线的。
二、三点共线定理的解释三点共线定理的解释非常直观。
想象一个平面上的直线，可以在上面任意选取三个点。
当这三个点恰好位于同一条直线上时，它们就称为共线的，否则它们将形成一个三角形。
三、三点共线定理的证明三点共线定理可以通过反证法来证明。
反证法是一种常用的证明方法，它基于假设某个结论不成立，然后推导出矛盾的结论。
不妨假设三个点A、B、C不共线，即它们不位于同一条直线上。
在平面上，我们可以通过A和B之间画一条直线AB，再通过A和C之间画一条直线AC。
由于A、B、C不共线，直线AB与直线AC一定有一个交点D。
现在我们观察点D与线段BC的位置关系。
根据平面几何学的基本性质，当两条直线相交时，它们只能在一个点处相交。
然而，我们前面假设了A、B、C不共线，所以点D不可能在线段BC上。
这就导致了一个矛盾的结论：点D既在直线AC上，又不在线段BC上。
因此，我们的假设是错误的，A、B、C必须共线。
综上所述，根据反证法的证明过程，我们可以得出结论：任意给定三个点，如果它们位于同一条直线上，那么它们就是共线的。
四、三点共线定理的应用三点共线定理在几何学中具有广泛的应用，尤其是在证明和解决几何问题方面。
例如，当我们需要确定一个点是否与已知线段的两个端点共线时，可以利用三点共线定理进行判断。
三点共线计算公式
三点共线计算公式
三点共线的计算公式主要有以下几种：
斜率法：假设三个点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)，如果它们在同一条直线上，则它们的坐标满足如下公式：
(y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 - y1) / (x3 - x1)
也就是说，如果两个线段的斜率相等，那么这三个点就在同一条直线上。
向量法：设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB = AC（其中λ 为非零实数）。
如果向量AB 和AC 成比例，那么这三个点就在同一条直线上。
叉乘法：设给定三个点为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
首先计算向量AB 和AC 的叉乘，即(AB) × (AC)，结果为0 时则说明三点共线。
向量AB 和AC 可以表示为(x2 - x1, y2 - y1) 和(x3 - x1, y3 - y1)，那么(AB) × (AC) 的计算公式为：(x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1)。
如果结果为0，则三点共线。
以上是三种常用的三点共线计算公式，可以根据具体情况选择适合的方法进行计算。
三点共线有什么结论
三点共线有什么结论
文/周国旗
若A、B、C三点共线则该直线外的任一点P，有PA向量=λPB向量+μPC向量，λ+μ=1。
三点共线，是一个几何类问题，指的是三点在同一条直线上。
可以设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。
证明方法
1、取两点确立一条直线，计算该直线的解析式。
代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。
2、设三点为A、B、C。
利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。
3、利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。
4、利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”。
可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。
5、运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。
其实就是同一法。
6、证明其夹角为180°。
7、证明△ABC面积为0。
8、利用坐标证明。
即证明x1y2=x2y1。
9、向量法，即向量PB=λ向量PA+μ向量PC，且λ+μ=1，则ABC 三点共线。
三点一线定理的推导
三点一线定理的推导
三点一线定理也称为共线定理或三点共线定理，是几何学中
一条基本的定理。
它的表述为：如果三个点A、B、C不在同一条直线上，则它们不共线。
该定理的推导可以通过反证法来进行。
假设我们要证明的命题是：如果三个点A、B、C不在同一条直线上，则它们不共线。
证明过程如下：
假设A、B、C不共线，则它们应该在不同的直线上。
选择任意两个点A和B，连接AB线段，根据定义，它是一条直线。
接下来，选择另外一个点C，与AB线段不共线，即C不在AB 所在的直线上。
由于我们取了A、B不同的两点并连接它们，根据尺规作图，我们可以得到一个长度为AB的线段。
然后，我们还可以在该
线段上选择另一个点C。
由于C不在AB所在的直线上，这样
我们可以确保A、B、C三个点构成一个三角形。
现在，我们来看一下这个三角形ABC。
根据欧几里得几何学
中的不等式定理，如果三个点A、B、C不在同一条直线上，则由任意两个点构成的线段之和要大于第三个点构成的线段，即AB+BC>AC，AC+BC>AB和AB+AC>BC。
然而，我们之前假设了A、B、C不共线，这意味着AB、AC 和BC都是长度大于0的线段。
根据我们在欧几里得几何学中
学到的定义，只有当三条线段满足上述不等式时，它们才能构
成一个三角形。
因此，根据之前的假设，我们可以得出结论：如果三个点A、B、C不在同一条直线上，则它们不共线。
证毕。
证明三点共线问题的方法Word版
证明三点共线问题的方法1、利用梅涅劳斯定理的逆定理例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。
解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC CCC BS AC C B S ∆∆=又易证11AC C CC B ∆∆.则11222AC C CC B S AC b S CB a∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭.同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故1112221112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c⋅⋅=⋅⋅=.由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。
2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。
(96中国奥数证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。
记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。
联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ，易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=，∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD因为2AM AE AB AH AD =⋅=⋅（B 、D 、H 、E 四点共圆），即AM ADAH AM=；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ∆∆，故AHM AMD ∠=∠同理，AHN AND ∠=∠。
因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。
3、利用面积法如果SS EMNFMN=∆∆，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与ABCC 1B 1A 1EF的中点三点共线。
证明三点共线问题法
证明三点共线问题的方式一、利用梅涅劳斯定理的逆定理例一、如图1,圆内接MBC为不等边三角形，过点A、B、C别离作圆的切线依次交直线EC、CA、AE于灯、B'、求证：A、O三点共线。
由梅涅劳斯定理的逆定理，知A、B'、L三点共线。
2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补取得共线）例2、如图，以锐角"EC的一边BC为直径作0（）,过点A作0（）的两条切线，切点为M、N,点H是AABC的垂心.求证：M、H、N三点共线。
（1996年中国奥数）证明：射线AH交BC于D,显然AD为高。
咎记AE与0（）的交点为E,易知C、H、E三点共线。
//—联结OM、（）N、DM. ON. MH、NH,C 易知ZAMO = ZANO = AADO = 90° ,・・・A 、M. C ）、D 、N 五点共圆,更有入M. D 、N 四点共圆， 此时，ZAMD+ZAND = 18(Y )AM 2 = AE-AB = AH ■ AD (E 、D 、H 、E 四点共圆)，AD即——=——;又= ADAM , AH AM所以 AAMH-AADM,故 ZAHM = ZAMD 同理，ZAHN = ZAND 。
因为 ZAHM + ZAHN = ZAMD + ZAND = 180° , 所以，M 、H 、N 三点共线。
3、利用面积法若是沐曰使=*旳jw 点已、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF,即M 、N 与EF 的中点三点共线。
例3.如图，延长凸四边形ABCP 的边AB 、DC 交于点E,延长边AD 、BC 交于点F,又M 、N 、L 别离是AC 、BD 、EF 的中点，求证：M 、N 、L 三点共 线。
证明：设BC 的中点为0,辅助线如图所示， 由OM//AE.ON 〃DE 可知，点、0必在AEMN 内,此时,S\EMN =S SOMN +S \OME +S \ONEE—Sgwv + S gMB + SgNC = S^BMN=y (孔BMD + S^BCD )= y (孔BMC +SDMC ) = j •亍( $1ABC + SADC ) _ '四边 J^ABCD 同理，S 列N = t S 四边形AB8。
三点共线的证明方法
三点共线的证明方法袁竞成题目已知点A（1，2）、B（2，4）、C（3，6），求证：A、B、C三点共线。
方法1：利用定比分点坐标公式证明三点共线设P（）分AC所成的比为，则= 1。
方法2：利用向量平行的充分条件来证明三点共线，向量方法3：其中一个点到另外两个点所在直线的距离为0由两点式求得直线AB的方程为方法4：的面积为0证明三点共线方法5：直线夹角为0来证明三点共线2方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式。
代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）方法二：设三点为A、B、C 。
利用向量证明：a倍AB向量=AC向量（其中a为非零实数）。
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。
方法四:用梅涅劳斯定理注意梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。
方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。
其实就是同一法。
方法七：证明其夹角为180°方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0方法九：帕普斯定理注意帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。
帕普斯定理[。
初中数学竞赛证明三点共线
初中数学竞赛证明三点共线要证明三点共线，我们可以使用反证法。
假设有三个点A,B和C，我们要证明它们共线。
那么我们可以假设它们不共线，即A,B和C不在同一条直线上。
首先，我们可以连接AB和AC这两条线段。
这样我们就得到了一个三角形ABC。
在三角形ABC中，我们可以找到一个内角D，使得D是一个钝角。
我们假设D是钝角。
现在，我们将点B向点C移动。
点B移动到B'，新的线段BB'与AC相交于点E。
由于AB'与AC相交于E，所以根据隐含的直角定理，我们可以得知E是一个直角，即∠AEB'=90°。
同理，我们将点C向点B移动，点C移动到C'，新的线段CC'与AB相交于点F。
由于AC'与AB相交于F，我们可以得知F是一个直角，即∠AFC'=90°。
现在，我们来考虑线段BB'和CC'的关系。
根据直线的传递性，我们可以得知∠EAF'=∠CFB'。
同时，根据直角的性质，我们可以得知∠EAF'=∠CAF'和∠CFB'=∠CBF'。
因此，∠CBF'=∠CAF'。
现在，考虑三角形BC'F'和AC'F'。
根据共边原理，我们可以得知∠C'BF'=∠A'CF'和∠F'CB'=∠F'CA'。
因此，∠C'BF'=∠A'C F'。
现在，我们来考虑三角形BC'F'和BA'F'。
根据角边对应原理，我们可以得知∠C'BF'=∠B'AF'和∠F'CB'=∠F'BA'。
因此，∠C'BF'=∠B'AF'。
现在，我们来考虑线段ABB'和ACC'的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
古龙：“人在江湖，身不由己”
笑飞 书雪 神连 侠天 倚射 碧白 鸳鹿
简单数学问题细腻化， 复杂数学问题简单化！
例：已知点A（1，2）、B（2，4）、C（3，6）， 求证：A、B、C三点共线
招式1：利用向量共线条件来证明三点共线 内功心法：当 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其 中b≠0
x1y2－x2y1＝0
招式2：其中一个点到另外两个点所在直线的距 离为0 内功心法：
d Ax0 By0 C A2 B 2
招式3：两条直线方程共线性
内功心法： 1．直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2. 若l1与l2重合，则k1＝k2且b1＝b2 2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋ B2y＋C2＝0(其中A2B2C2≠0)． 若l1与l2重合，则 A1 B1 C1 ( A 、B 、C 0)
A2 B2 C2
2 2 2
招式4：线段加和
内功心法：A,B,C为顺次三点，如果线段AB与 线段BC加和等于AC，那么A,B,C三点在同一 直线上。
想一想：你是否还有其他招式方法与大家分享？
万马齐喑究可哀，不拘一格降人才