点共线与三线共点的证明方法
（2）点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用
2012年高中数学竞赛讲座在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。
n(n≥4)点共线可转化为三点共线。
例1 如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。
又作平行四边形CFHD，CGKE。
求证：H，C，K三点共线。
证连AK，DG，HB。
由题意，AD EC KG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AK DG。
同样可证AK HB。
四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分。
而C是AB中点，线段KH过C点，故K，C，H三点共线。
例2如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。
求证：D，E，F三点共线。
证如图，连AC，DF，DE。
因为M在O上，则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB，有△AMC∽△ACF，得FA BCDEFHKG第 3 页 共 23 页。
CDCFCA CF MA MC ==又因为∠AMC =BAC ，所以△AMC ∽△EAC ，得。
AEADAE AC MA MC ==所以，又∠BAD =∠BCD =120°，知△CFD ∽AEADCD CF =△ADE 。
所以∠ADE =∠DFB 。
因为AD ∥BC ，所以∠ADF =∠DFB =∠ADE ，于是F ，E ，D 三点共线。
例3 四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q 。
由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E ，F 。
求证：P ，E ，F 三点共线。
证 如图。
连接PQ ，并在PQ 上取一点M ，使得B ，C ，M ，P 四点共圆，连CM ，PF 。
设PF 与圆的另一交点为E ’，C E (E')ABDF PMQ G并作QG丄PF，垂足为G。
7.怎样巧证“三线共点”问题 --刘培杰
7 怎样巧证"三线共点"问题在平面几何中，证明“三线共点”的问题，是不乏其例的；证明“三线共点”的方法亦很多．本节再介绍一种比较有效的证明方法．先看图1，已知点P 在△ABC 的边BC ，CA ，AB(或者所在直线)上的射影是D ，E ，F ，联结PA ，PB ，PC 以后，易证=-++-).()2.()(2222BF A CE DC BD 0)()()(222222=-+-+-PB PA PA PC PC PB反过来，我们完全可以设想：在△ABC 的边BC ，CA ，AB(或其所在直线)上分别取点D ，E ，F ，如果有等式0).()2.()(2222=-+-+-BF A CE DC BD 成立，过D ，E ，F 分别作BC ，CA ，AB 的垂线，那么这三条垂线必然相交于一点．本命题的证明不困难．先过D ，E 分别作BC ，CA 的垂线交于点P ，再过P 作PF /⊥AB 于点F /．根据给出的等式条件，借助同一法，很快就可以证明点F /与点F 必重合．具体过程不再赘述了．这是一个出现不多，用得较少，但的确颇有用处的几何定理；它们的作用主要表现在证明三线共点的问题上．不过，运用该定理时必须注意以下三点： (1)先寻找或明显或隐含的三角形；(2)再观察这个三角形的各边(或其所在直线)上是否各存在一个点且有上述等量关系； (3)看过这三个点是否各存在一条垂线．如果具备了上述条件，那么在证明三条垂线共点的问题上，该定理就可以大显身手了． 下面略举数例，说明这个定理的应用． 例1 求证：三角形的三条高相交于一点．分析 这道题怎样运用本文介绍的定理证明三高共点呢?不妨以锐角△ABC(图2)为例． 证明 AD ，BE ，CF 是,△ABC 的三条高．显然可以得到=-+-+-).()4()(22222FB A E CE DC BD 0)()()(222222=-+-+-BC AC AB BC AC AB所以AD ，BE ，CF 相交于一点．若△ABC 为钝角三角形，仿上亦可获证；若△ABC 为直角三角形，证明更简单．例2 圆,1O 圆,2O 圆3O 两两相交，其圆心⋅321,,O O o 不共线，试证：三条公共弦必共点． 分析 这里没有明显的三角形，怎么办?但联想到三个圆心不共线，立即可以构成,O 321O O ∆如图3所示，其中D ，E ，F 分别是连心线与公共弦的交点．显然三条公共弦分别与三条连心线互相垂直．下面就看有没有等量关系式了．设圆,1O 圆,O 2圆3O 的半径依次是,,,321R R R 易证212321232322232222212221,,R R EO E O R R DO D O R R FO F O -=--=--=-三者相加，即为所要的等量关系式．例3如图4。
线共点(Ceva定理)
1.1 线共点:Ceva 定理
Ceva 定理由意大利工程师 Gviovanni Ceva(1647-1734)发表于 1678 年.为了纪念 Ceva, 人们把三角形顶点与其对边上任一点的连线叫做 Ceva 线. Ceva 定理 ABC 是三角形, P, Q , R 分别是直线 BC , CA, AB 上的点.直线 AP, BQ , CR 共 点的充要条件是(使用有向距离) BP CQ AR ⋅ ⋅ = 1. PC QA RB 证明:必要性 设直线 AP, BQ , CR 相交于点 T , 由于 BP 与 PC 的比等于 B 到 AP 的距离与 C 到 AP 的距离的比,所以
别是 EF , FD, DE 上的点,求证 AM , BN , CP 共点的充要条件是 DM , EN , FP 共点.
4. ΔABC 的内切圆与 BC , CA, AB 分别相切于 D, E , F .过 E 作平行于 AB 的直线交 DF 于 Q ,过 D 作平行于 AB 的直线交 EF 于 T .求证 CF , DE , QT 共点.
G H C F
AD SΔAEC CG SΔCBF = , = ,所以 DB SΔBEC GA SΔABF
E
D B
AD BH CG BH SΔAEC SΔCBF ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . DB HC GA HC SΔBEC SΔABF
3
平面几何讲义
因为 ΔABE ∽ ΔACF ,所以
AE AB BE = = , ∠EAB = ∠FAC ,所以 AF AC CF 1 SΔAEC 2 ⋅ AE ⋅ AC ⋅ sin ∠EAC = =1. SΔABF 1 ⋅ AF ⋅ AB ⋅ sin ∠BAF 2
B A
F I D
E
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 点共线与线共点(含答案)
第二十讲 点共线与线共点趣题引路】例1 证明梅涅劳斯定理：如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。
求证：1=⋅⋅DBADEA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DGCF DG AE AD∴== ∴1=⋅⋅=⋅⋅BDADAD DG DG BD BD AD EA CE FC BF例2 证明塞瓦定理：如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACPABP ACP BAP BCPS S S BD CE AF DC S EA S FB S ∆∆∆∆∆∆===∴1=⋅⋅=⋅⋅∆∆∆∆∆∆BCPACPABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD知识拓展】1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。
2.证明三点共线的方法是：（1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。
（3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。
（4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。
（5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是：（1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点.（3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。
平面几何中三点共线的常见解法
2叙嗲活幼嫘歿讲；I中等数学平面几何中三点共线的常见解法T S J瑜(天津师范大学数学科学学院2019级硕士研究生，300387 )中图分类号:〇123.1 文献标识码:A文章编号：1005 - 6416(2021)04 - 0002 - 06(本讲适合高中）证明三点共线是数学竞赛中的一种常见 题型.本文结合近几年国内外数学竞赛中的 典型例题介绍几种常见的解题方法.1利用梅涅劳斯定理的逆定理例 1 已知的三条中线A4'、与其九点圆分别交于点£>、£、厂直线fiC、C4、仙上的点L、M、iV分别为A/lfiC 的三条高线的垂足，九点圆上以Z)、瓦、F为切 点的三条切线与直线M/V、L/V、L M分别交于 点'(?、/?.证明:P、<?、/?三点共线.[1](第17届地中海地区数学竞赛）证明如图1，设A/I S C的重心为C.图1由梅涅劳斯定理的逆定理，知只要证收稿日期:2020-11 -18NP MR LQ^p m'~r l'q n='A P D N c^^PMD.别得+h.NP^apdn ND1^P M~S^d m~DM2'^./i U X i U MR MF2LQ LE2类似地，RL = Fl T#= Ei y r为证式①成立，只要证ND MF LEd m'~f l'e n='②在A和A中，由正弦定理分ND ADsin Z BAG~ sin Z A N D'MD ADsin 乙 CAG sin Z A M D '两式相除得ND sin Z CAG sin AMDDM sin Z BAG sin Z ANDsin Z B'A'D B'D③sin C'A'D~C'D '类似地，MF sin Z BCGFL sin Z ACGA'FB'F，④LE sin 乙 ABG C'E⑤EN sin Z CBG A'E '对A4S C和点G应用角元塞瓦定理知sin /_ BAG sin X ACG sin X CBG_ .⑥sin CAG sin /_ BCG sin 乙ABG2021年第4期3③〜⑥四式相乘得ND MF LE BfD ArF C E----•—• — —-----•------•DM FL EN~ C'D B'F A'E'又由六点共圆，则A G D B'c^^GEA'B'D DGZ E =£G '米加她 A，F FG C，E EG类似地，C,Z)—D G W F— F G .三式相乘并代人式⑦，即得式②成立.【注】对于证明中的式⑦，由于圆内接凸 六边形水/满足氺£)、57、(：7三线共点，由角元塞瓦定理的推论也可得A'F B'D C'E~FB''15C''~EA'=j即式⑦右边=1.2利用平角的定义或角相等(1)如图，…，/)…为平面上 » +3个点，若Z A B D t +Z D'BD2+.._+Z D…B C= M)。
证明三点共线问题的方法Word版
证明三点共线问题的方法1、利用梅涅劳斯定理的逆定理例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。
解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC CCC BS AC C B S ∆∆=又易证11AC C CC B ∆∆.则11222AC C CC B S AC b S CB a∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭.同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故1112221112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c⋅⋅=⋅⋅=.由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。
2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。
(96中国奥数证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。
记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。
联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ，易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=，∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD因为2AM AE AB AH AD =⋅=⋅（B 、D 、H 、E 四点共圆），即AM ADAH AM=；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ∆∆，故AHM AMD ∠=∠同理，AHN AND ∠=∠。
因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。
3、利用面积法如果SS EMNFMN=∆∆，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与ABCC 1B 1A 1EF的中点三点共线。
三点共线与三线共点的证明方法
三点共线与三线共点的证明方法三个点共线指的是这三个点同时在一条直线上，也可以说是三个点在同一条直线上。
三线共点指的是通过三个不共线的点分别画一条直线，这三条直线交于同一点。
三点共线的证明方法主要有以下几种：1.直线方程法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
利用直线方程的一般式Ax+By+C=0来确定三个点是否共线。
具体步骤如下：-计算直线AB的方程：A1x+B1y+C1=0（其中A1=y2-y1，B1=x1-x2，C1=x2y1-x1y2）-将点C的坐标代入直线AB的方程：A1x3+B1y3+C1=0-如果等式成立，则三个点共线；如果不成立，则不共线。
2.坐标法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据点的坐标特点，通过计算三个点的斜率来判断是否共线。
具体步骤如下：-计算AB和BC两个线段的斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)，k2=(y3-y2)/(x3-x2)-如果k1=k2，则三个点共线；如果k1≠k2，则不共线。
3.向量法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
通过判断向量AB和向量AC的平行性来确定三个点是否共线。
具体步骤如下：-计算向量AB和向量AC的分量：AB=(x2-x1,y2-y1)，AC=(x3-x1,y3-y1)-如果向量AB和向量AC平行，则三个点共线；如果不平行，则不共线。
三线共点的证明方法有以下几种：1.十字交叉法：通过在纸上画出三个不共线的点A、B、C，然后通过直尺（或者铅笔加线板）在三个点上分别连线，如果三条线段交叉于同一点，则三个点共线。
2.逆向思维法：设三个点为A、B、C。
可以通过逆向思维，即假设不共线，来反证明三条线段共点。
首先连线AB、AC，得到两条直线，然后通过延长AB和AC，使其相交于点D。
如果D与C重合，则三线共点；如果D与C不重合，则不共点。
由于三个点不共线，所以最后的结论是D与C不重合，即三线不共点。
向量证明三线共点与三点共线问题
用向量证明三线共点与三点共线问题山东徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难,简捷得多.证明A、B、C三点共线，只要证明AB与AC共线即可，即证明AB线共点一般须证两线交点在第三条直线上.图1使得OC OA OB ；反之，也成立.证明:如图1 ,若OA、.OB ；、OC 的终点A、B、C共线,则AB BC BC mAB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, ,，且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和BA OA OB OC例2.. -片证明：三角形的三条中线父于点.证明：女口图 2 ,D、E、F分另U是ABC 三边上的中证明：若向量OA、OB、OC的终点A B C共线，则存在实数，且用向量法解决则AC •证明三C占八、、♦设CA a,CB b,AD BE G.设AG AD, BG BE.则AG AB BG (b a) BE (b a) (BC 】CA) b a1 ■ (?a b)2(0a (1 —*■ ■-)b，又AG , AD (AC CD) (a 12b)• 1 Ka b212 1所以 2 解得311 22 3则CG CA AG a 2 AD a2( -V 1- a b) a3 3 2 3 3CF 1 a !b,所以CG 2CF ，所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点223。
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三点共线与三线共点的证明方法
公理 1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；
推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。
公理 3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR，
PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K．求证M、N、
K三点共线．
由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、
RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上，根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线．
例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1
D M 、DA 、CN 三线共点．
由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11ADD A 与平面ABCD 的交线DA 上，故1
D M 、DA 、CN 三线交于点K ，即三线共点．
从上面例子可以看出，证明三线共点
的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。