初中数学竞赛：证明三点共线
初中数学中的“三等角共线”
浅谈初中数学中的“三等角共线”实例这是某次青年教师解题比赛中的一道题。
如图，直线l 1、l 2、l 3相互平行，且l 1、l 2的距离为1，l 2、l 3的距离为2，等腰△ABC 的三个顶点分别在三条平行线上，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，则等腰△ABC 的腰长是______________． 此题的解题方法有多种，其中一种便是构造全等三角形的方法，具体解法如下： 在直线l 1上取点D,E 使得∠ADB =∠CEA=120° 由于∠1+∠2=∠3+∠2=60°，则∠1=∠3 又AB=CA ，则△ADB 与△AEC 全等 , 因此可得AF=AD+DF=EC+DF由于∠BDF=60°，因此3= 同理可求2=，则在RT △ABF 中斜边==这种方法不仅适用于上题，改变∠BAC 的度数，同样能构造类似的全等三角形，当 ∠BAC 是一个特殊角比如30°，60°，90°，120°，150°等，还能进一步的求出腰长。
若A B ≠AC,此时的全等三角形虽然不存在了，但是仍可以借鉴这样的构造，∠1=∠2，这时由全等三角形转化成了一对相似三角形。
这便是我们熟悉的“三等角共线”模型。
下面来看一些三等角共线的实例。
如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC,∠B=45°，AD BC ==直角三角形含45°的顶点E 在BC 边上移动，直角边始终经过点A,斜边与CD 交于点F ，求当F 为CD中点时，点E 的位置？（2012．丽水16）如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，ADAB ＝6．在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF ＝120°．⑴当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________；⑵若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________． A B C l 1l 2l 3l1l3l2321G F E D C B A F E D C B A l1l2l3a a a 21E D C BA。
三点共线怎么证明
三点共线怎么证明
三点共线证明⽅法⼀：取两点确⽴⼀条直线，计算该直线的解析式，代⼊第三点坐标看是否满⾜该解析式。
⽅法⼆：设三点为A、B、C，利⽤向量证明：a倍AB向量=AC向量。
三点共线证明⽅法
⽅法⼀：取两点确⽴⼀条直线，计算该直线的解析式。
代⼊第三点坐标看是否满⾜该解析式（直线与⽅程）。
⽅法⼆：设三点为A、B、C。
利⽤向量证明：λAB=AC（其中λ为⾮零实数）。
⽅法三：利⽤点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。
⽅法四:⽤梅涅劳斯定理。
⽅法五：利⽤⼏何中的公理“如果两个不重合的平⾯有⼀个公共点，那么它们有且只有⼀条过该点的公共直线”。
可知：如果三点同属于两个相交的平⾯则三点共线。
⽅法六：运⽤公（定）理“过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏（垂直）”。
其实就是同⼀法。
全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题及答案
全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题1、如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解:（1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=°−∠=°−∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=.因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC =，即2r a l y =，故2alr y=.所以22223222()4422a l a aS S a Sr y y y y ==⋅=⋅≥，即r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r .2、如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明．因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB =⋅．同理可得CEEG AD AB=⋅．又因为tan AD BEACB CD CE ∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得DF EG =．解法2：结论是DF EG =．下面给出证明连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=°，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故CED ABC ∠=∠．又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠．所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．3、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC 的三边长分别为6=a ，4=b ，5=c 时，B A ∠=∠2．………………5分如图，当B A ∠=∠2时，延长BA 至点D ，使b AC AD ==．连接CD ，则△ACD 为等腰三角形．因为BAC ∠为△ACD 的一个外角，所以2BAC D ∠=∠．由已知，2BAC B ∠=∠，所以D B ∠=∠．所以△CBD 为等腰三角形．又D ∠为△ACD 与△CBD 的一个公共角，有△ACD ∽△CBD ，于是BDCDCD AD =，即cb aa b +=，所以()c b b a +=2．而264(45)=×+，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．………………15分说明：满足条件的三角形是唯一的．若B A ∠=∠2，可得()c b b a +=2．有如下三种情形：（i ）当b c a >>时，设1+=n a ，n c =，1−=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()()21121n n n +=−−，解得5=n ，有6=a ，4=b ，5=c ；（ⅱ）当b a c >>时，设1+=n c ，n a =，1−=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()n n n 212⋅−=，解得2=n ，有2=a ，1=b ，3=c ，此时不能构成三角形；（ⅲ）当c b a >>时，设1+=n a ，n b =，1−=n c （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()1212−=+n n n ，即0132=−−n n ，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．4、△ABC 的三边长,,,,,BC a AC b AB c a b c === 都是整数，且,a b 的最大公约数是2.点G和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90oGIC ∠=，求△ABC 的周长.解：如图，连结GA ，GB ，过G ，I 作直线交BC 、AC 于点E 、F ，作△ABC 的内切圆I ，切BC 边于点D 。
初中数学奥林匹克中的几何问题：第1章梅涅劳斯定理及应用附答案
初中数学奥林匹克中的几何问题：第1章梅涅劳斯定理及应用附答案第一章涅劳斯定理及应用[基础知识]梅涅劳斯定理设a?，b?，c?分别是△abc的三边bc，ca，ab或其延长线上的点，若a?，b?，文学士？cb？交流电？C如果三个点是共线的，那么① 1．a?bb?ac?bab′c′c′b′abca′d图1-1bcda'如图1-1所示，通过a画一条直线？A.交叉口BC的延长线是D，然后是CB？ca？交流电？爸爸因此Baa？华盛顿？文学士？工商管理学士？cb？交流电？文学士？ca？爸爸1.a？cb？交流电？文学士？ca？爸爸？注：该定理的证明还包括以下正弦定理证明和面积证明正弦定理证法设∠bc?a，∠cb?a，∠b?a?b??，在△ba?c?中，有文学士？罪类似地，C？bsin？cb？罪交流电？罪这三种形式的乘法就是证据？ca？罪ab？罪文学士？s△A.Cbcb？s△cb？Cs△ca？Bs△cb？Cs△ca？Bs△Cca？交流电？s△交流电？A.面积证书方法由以下三部分组成：？反恐精英△b？像△B交流电？s△A.ab？s△B交流电？？s△A.防抱死制动系统△交流电？A.C学士学位△C文学士？形式的乘法就是证明梅涅劳斯定理的逆定理设a?，b?，c?分别是△abc的三边bc，ca，ab或其延长线上的点，若ba?cb?ac?②1，A.cb？交流电？B然后a？，BC三个点是共线的ba?cb?ac11．证明设直线a?b?交ab于c1，则由梅涅劳斯定理，得到A.cb？Ac1a由问题和答案组成ac1ac?ba?cb?ac??．1，即有c1bc？文学士？cb？交流电？bac1ac那么AC1呢？交流电？，那么C1和C呢？巧合，即a？，BC三个点是共线的吗？ABAB有时把以上两个定理写成：let a？，BC是直线上的点（包括三条边的延长线）△ ABC，然后a？，BC三点共线的充要条件是Ba？cb？交流电1． Acbacb使用上述公式① 和② 是给△ ABC，如图1-1所示（整个图中有四个三角形）。
初中数学奥林匹克几何问题-塞瓦定理及应用
初中数学奥林匹克几何问题-塞瓦定理及应用本资料为WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第二章塞瓦定理及应用【基础知识】塞瓦定理设，，分别是的三边，，或其延长线上的点，若，，三线平行或共点，则．①证明如图2-1（）、（），若，，交于一点，则过作的平行线，分别交，的延长线于，，得．又由，有．从而．若，，三线平行，可类似证明（略）．注（1）对于图2-1（）、（）也有如下面积证法：由：，即证．（2）点常称为塞瓦点．（3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证．首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理．如图2-1（）、（），分别对及截线，对及截线应用梅涅劳斯定理有，．上述两式相乘，得．其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理．如图2-2，设，，分别为的三边，，所在直线上的点，且，，三点共线．令直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点．分别视点，，，，，为塞瓦点，应用塞瓦定理，即对及点（直线，，的交点），有．对及点（直线，，的交点），有．对及点（直线，，的交点），有．对及点（直线，，的交点），有．对及点（直线，，的交点），有．对及点（直线，，的交点），有．上述六式相乘，有．故．塞瓦定理的逆定理设，，分别是的三边，，或其延长线上的点，若，②则，，三直线共点或三直线互相平行．证明若与交于点，设与的交点为，则由塞瓦定理，有，又已知有，由此得，即，亦即，故与重合，从而，，三线共点．若，则．代入已知条件，有，由此知，故．上述两定理可合写为：设，，分别是的，，所在直线上的点，则三直线，，平行或共点的充要条件是．③第一角元形式的塞瓦定理设，，分别是的三边，，所在直线上的点，则三直线，，平行或共点的充要条件是．④证明由，，，三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立．第二角元形的塞瓦定理设，，分别的三边，，所在直线上的点，是不在的三边所在直线上的点，则，，平行或共点的充要条件是．⑤证明注意到塞瓦定理及其逆定理，有．由此即证得结论．注在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式的右端仍为1．特别要注意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上．④、⑤式中的角也可按①式的对应线段记忆．推论设，，，分别是的外接圆三段弧，，上的点，则，，共点的充要条件是．证明如图2-3，设的外接圆半径为，交于，交于，交于．由，，，，，六点共圆及正弦定理，有．同理，，．三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证．为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图2-4中的点、、、、、，将其作为塞瓦点，我们写出如下式子：对及点有，对及点有，对及点有，对及点有，对及点有，对及点有，对及点有，对及点有．【典型例题与基本方法】1．恰当地选择三角形及所在平面上的一点，是应用塞瓦定理的关键例1四边形两组对边延长分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行．证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段．（1978年全国高中竞赛题）证明如图2-5，四边形的两组对边延长分别交于，，对角线，的延长线交于．对及点，应用塞瓦定理，有．由，有，代入上式，得，即．命题获证．例2如图2-6，锐角中，是边上的高，是线段内任一点，和的延长线分别交，于，．求证：．（1994年加拿大奥林匹克试题）证法1对及点，应用塞瓦定理，有．①过作，延长，分别交于，，则，且，，从而，．而由①，有，故．由此知为等腰底边上的高，故．证法2对及点应用塞瓦定理，有．即，由锐角性质知．类似地，对及截线或对及截线应用梅涅劳斯定理也可证得有．注将此例中的平角变为钝角，则有如下：例3如图2-7，在四边形中，对角线平分．在上取一点，与相交于，延长交于．求证：．（1999年全国高中联赛题）证明连交于，对及点，应用塞瓦定理，有．平分，由角平分线性质，可得，故．过点作的平行线交的延长线于，过点作的平行线交的延长线于，则．所以．从而，．又，，有．因此，，即有．故．注由此例还可变出一些题目，参见练习题第4、5及19题．例4如图2-8，是的中线，在上，分别延长，交，于，，过作交于，及为正三角形．求证：为正三角形．证明连，对及点应用塞瓦定理，有．而，则．由，由．于是，有，从而，即知四边形为平行四边形，有．又，则．而，，知，有，．于是．故为正三角形．例5如图2-9，在一个中，，为内满足及的一点．求证：是的三等分线．（1994年香港代表队选拔赛题）（其中注意），．证明用表示的度量，令，则，，，对及点，应用第一角元形式的塞瓦定理，有．亦即．于是，即．而，则．因，则．，即．从而．故，即是的三等分线．利用第一角元形式的塞瓦定理可简捷处理20XX年全国高中联赛加试第一题的第1问：例6设、分别为锐角（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，联结并延长交圆于点．求证：．证明事实上，易知、、及、、分别三点共线，对及点应用第一角元形式的塞瓦定理，有．①由知，有．于是①式即为．故．2．注意塞瓦定理逆定理的应用以及与梅涅劳斯定理的配合应用例7如图2-10，在中，，为上给定的一点（不是线段的中点）．设为直线上与，都不相同的任意一点，并且直线，交于，直线，交于，直线，交于．试证明交点与在直线上的位置无关．（1990年苏州市高中竞赛题）证明设分线段为定比，分线段为定比．下证由确定，即当，给定后，点的位置由点唯一确定．在中，由，，交于一点，应用塞瓦定理，有，即．对及截线，应用梅涅劳斯定理，得，即．上述两式相加，得．从而，即，故由唯一确定．因此，点与在直线上的位置无关．例8如图2-11，设为内任一点，在形内作射线，，，使得，，．求证：，，三线共点．证法1设交于，交于，交于，则由正弦定理有．同理，,．将上述三式相乘，并应用正弦定理，有．由塞瓦定理的逆定理，知，，共点．证法2设交于，交于，交于，直线交于，直线交于，直线交于．对及点，应用塞瓦定理，有．在和中应用正弦定理，有．同理，，．以上三式相乘，并注意到①式，有．由塞瓦定理的逆定理，知，，共点．证法3设交于，交于，交于，直线交于，直线交于，直线交于．对及点，应用角元形式的塞瓦定理，有．由题设，，，则有，，．于是，对，应用角元形式的塞瓦定理的逆定理，知，，三线共点．例9如图2-12，四边形内接于圆，其边与的延长线交于点，与的延长线交于点，过点作该圆的两条切线，切点分别为和．求证：，，三点共线．（1997年试题）证明连分别交，于，，设与交于．要证，，三点共线，只须证明，，和，，都三点共线，又只须证明，，三线共点．由塞瓦定理的逆定理知只须证明．又直线截，应用梅涅劳斯定理，有，从而只须证明．设圆心为，连交于，连，，，，则由切割线走理和射影定理，有，即知，，，四点共圆，有，此表明为的内角的外角平分线．而，则平分．于是，，结论获证．【解题思维策略分析】1．获得线段比例式的一种手段例10如图2-13，中，，分别为和同方向延长线上的点，与相交于，且．若点满足（为常数），则．证明设交于，对及其形外一点，应用塞瓦定理，有．而，则．不妨设，则，即有，于是，故．此时，点到的距离不小于到的距离，则过作必交延长线于一点，设为．又作的外接圆交于另一点，则四边形为等腰梯形．当时，由，知必在线段上，于是，（同弧上的圆外角小于同弧上的圆周角）．又由，知．故结论获证．2．转化线段比例式的一座桥梁例11设为内任一点，，，分别交，，于，，．求证：．证明如图2-14，记，，．对及点，应用塞瓦定理，有．对及截线，应用梅涅劳斯定理，有，即．由合比定理得，即．同理，，．三式相加，得．例12如图2-15，设为内任意一点，，，的延长线交对边，，于点，，，交于．试证：．证明令，，，对及点，应用塞瓦定理，有．对及截线，应用梅涅劳斯定理，有．注意到，则有，即，故．又对直线截，有．而，则，故．又对及截线，有，即有，故．从而．于是，．其中等号由中等号成立时成立，即当且仅当亦即当且仅当，亦即时取等号．此时，和之间成为如图2-16的双曲线的关系．例13如图2-17，已知直线的三个定点依次为、、，为过、且圆心不在上的圆，分别过、两点且与圆相切的直线交于点，与圆交于点．证明：的平分线与的交点不依赖于圆的选取．（45预选题）证明设的平分线交于点，交圆于点，其中与是不同的两点．由于是等腰三角形，则有．同理，在中，有．在中，视为塞瓦点，由角元形式的塞瓦定理，有．注意到，．则．即，故结论获证．3．求解三角形格点问题的统一方法如果三角形的三个角的度数都是10的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形的格点．例14如图2-18，在中，，，和分别是和上的点，使得，，是直线和的交点．证明：直线和直线垂直．（1998年加拿大奥林匹克试题）证明设，则，对及点，应用第一角元形式的塞瓦定理，有．从而，即有．．注意到，知，，有，故．延长交于，则．故．注此题也可这样来解：由，有．由于作为的函数在上严格递减，所以．故．因此，．或者过点作于，则，．关于有．所以，、、三线共点，因此点在上，即．例15如图2-19，在内取一点，使得，．设，，求．（1983年前南斯拉夫奥林匹克试题）解设，则．由第一角元形式的塞瓦定理，有．从而．，，．于是．注意到，知，．，故．所以为所求．注此题结果也可直接由①式有且，，求得．另外，此题也可这样来解：由，有．因为作为的函数在（，）上严格递减，所以．故．或者由，令，则．对和点应用第一角元形式的塞瓦定理，有．则．因为作为的函数在上严格递增，所以．例16如图2-20，具有下面性质：存在一个内部的点，使得，，，．证明：是等腰三角形．（1996年美国第25届奥林匹克试题）证明设，则．由第一角元形式的塞瓦定理，有．即有．，．从而且，，故，即，从而．注此题也可这样来求解：由，有．因为作为的函数在（，）上严格递减，所以，即．故．还可对及点应用第一角元形式的塞瓦定理来求．4．论证直线共点的一种工具例17如图2-21，在四边形中，，，过，的交点引，，其中交，于，，交，于，．，分别交于，，则．（1990年cmo选拔试题）证明在，上分别取，，使，，则由对称性可知有下列角相等，即若设，，，，，，则，又，故．又，故，．连交于，在中，．故由塞瓦定理的逆定理，知，，共点，即过点．由对称性知，．例18如图2-22，在锐角中，以点引出的高为直径作圆交，于，，再从作．同样可作出，．试证：三直线，，相交于一点．（第29届预选题）证明设与，分别相交于点，，由，，知，即．同理，设，边上的高，的垂足分别为，，且，分别与，交于，，则有，．由于的三条高相交于垂心，此时应用第一角元形式的塞瓦定理，得，用等角代换上式，有．故由第一角元形式的塞瓦定理，知，，三线共点，即，，相交于一点．例19如图2-23，四边形内接于圆，，的延长线交于，，的延长线交于，为圆上任一点，，分别交圆于，．若对角线与相交于，求证：，，三点共线．证明连，，，，，．由，，有，，此两式相乘，有．①又由，，有，，此两式相乘，有．由①②，得．上式两边同乘以，得．对及截线，应用梅涅劳斯定理，有．于是．此时，应用第一角元形式的塞瓦定理的推论，知，，交于一点．从而，，三点共直线．【模拟实战】习题A1．在中，是上的点，，是中点．与交于，交于，求四边形的面积与的面积的比．2．若通过各顶点的直线，，共点，并且它们在边，，所在直线上的截点，，关于所在边中点的对称点分别为，，，则直线，，也共点．3．一圆交的各边所在直线于两点，设边上的交点为，，边上的交点为，，边上的交点为，．若，，共点，则，，也共点．4．试证：过三角形顶点且平分三角形周长的三条直线共点．5．将各内角三等分，每两个角的相邻三等分线相交得，又，，分别平分，，且它们与，，交于，，．求证：，，三线共点．6．将的各外角三等分，每两个外角的相邻三等分线相交得．又，，分别平分，，且它们与，，交于，，．求证：，，三线共点．7．是的内切圆，，，上的切点各是，，．射线交于，同样可得，．试证：直线，，共点．8．在内部，且从，，各向，，所作的垂线共点，则从，，各向，，所作的垂线也共点．9．在中，，为形内一点，，，求的度数．10．在中，，，为形内一点，且，求的度数．（《数学教学》问题432题）11．在中，，，为形内一点，，求的度数．（《数学教学》问题491题）12．在中，，，为的平分线上一点，使，交于，交于．求证：．（《数学教学》问题531题）13．在中，，，为形内一点，，，求的度数．（《数学通报》问题1023题）14．在中，，，为形内一点，且，，求的度数．（《数学通报》问题1142题）15．在中，，，为形内一点，，，求的度数．（《数学通报》问题1208题）16．中，，，为形内一点，，．求证：．（《数学通报》问题1306题）17．在中，，，为形内两点，，．求证：，，三点共线．（《数学通报》问题1243题）18．中，，，为形内两点，，．求证：．（《数学通报》问题1281题）19．在中，，，为内心，为上一点，满足．试求的度数．（《数学通报》问题1073题）20．，，，，，顺次分别在的三边，，上，且，，，过，，分别作，，的平行线，，．求证：，，三线共点的充要条件是，，三线共点．21．在中，，于，过任作两射线分别交，于点，，交过点的平行线于，，且．求证：，，共点．22．在中，过三边，，边中的中点，，的三条等分三角形周长的直线，，（，，在三角形三边上）分别交，，于，，．求证：，，三线共点．23．的内切圆切，，于，，．是内一点，交内切圆于两点，其中靠近的一点为，类似定义，．试证：，，三线共点．24．在内部，的延长线分别交，于，；的延长线分别交，于，；的延长线分别交，于，，且满足．求证：，，所在直线共点．（《中学数学教学》擂台题（28））25．给定，延长边至，使．的外接圆与以为直径的圆相交于和．设与的延长线分别交和于，．求证：，，共线．（第15届伊朗奥林匹克题）26．在的边上向外作三个正方形，，，是正方形中的边，，对边的中点．求证：直线，，共点．习题B1．是的内切圆，，，，分别是，，上的切点，，，都是的直径．求证：直线，，共点．（《数学通报》问题1396题）2．四边形的内切圆分别与边，，，相切于，，，．求证：，，，四线共点．（《数学通报》问题1370题）3．锐角中，角的平分线与三角形的外接圆交于另一点，点，与此类似．直线与，两角的外角平分线交于，点，与此类似．求证：（Ⅰ）三角形的面积是六边形的二倍；（Ⅱ）三角形的面积至少是三角形面积的四倍．（-30试题）4．设为内一点，使，是线段上的点，直线，分别交边，于，．求证：．5．在凸四边形中，对角线平分，是的延长线上的一点，交于点，延长交的延长线于．试证：．6．在中，，，为内心，为上一点，满足．试求的度数．（《数学通报》问题1073题）7．设是等边三角形，是其内部一点，线段，，依次交三边，，于，，三点．证明：．（-37预选题）8．在一条直线的一侧画一个半圆，，，是上两点，上过和的切线分别交于和，半圆的圆心在线段上，是线段和的交（-35预选题）点，是上的点，．求证：平分．9．设是锐角的内接正方形的中心，其中内接正方形的两个顶点在边上，一个顶点在边上，一个顶点在边上．同样定义两个顶点分别在边和边上的内接正方形的中心分别为，．证明：，，交于一点．（-42预选题）10．以的底边为直径作半圆，分别与，交于点，，分别过点，作的垂线，垂足依次为，，线段和交于点．求证：．（1996年国家队选拔考试题）11．设，是锐角的外接圆的圆心和垂心．证明：存在，，分别在线段，，上，使得，且此时，，三线交于一点．（-41预选题）12．已知是的直径，弦于，点和分别在线段和上，且∶∶，射线，交于，．求证：，，三线共点．13．设是的内心，以为圆心的一个圆分别交于，，交于，，交于，．这六个点在圆上的顺序为，，，，，．设，，为弧，，的中点，直线，相交于，直线，相交于，直线，相交于．求证：直线，，三线共点．14．在的边和上分别向形外作和，使，且．求证：连线，与边上的高三线共点．15．过非等边三角形各顶点作其外接圆的切线，则各切线与其对边的交点共线．16．在内三点，，满足，，则，，三线共点的充要条件是．17．在任意的三边，，上各有点，，，而是内部任一点，直线，，分别交线段，，于，，．求证：直线，，共点的充分必要条件是，，共点，而与点的位置无关．18．设是平面上区域内任一点，，，的延长线交三边于，，．求证：在区域内，存在一个以的某两边为邻边的平行四边形．19．设凸四边形的两组对边所在的直线，分别交于，两点，两对角线的交点为，过点作于．求证：．（2002国家集训队选拔试题）20．在中，和均为锐角．是边上的内点，且平分，过点作垂线于，于，与相交于．求证：．。
初中数学_中考专题——动点问题之三点共线求线段最值教学课件设计
6、（2016泸州））如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1， 0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），点P在以D（4，4） 为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最
大值是_6__． 视频教学
7、(2017贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶 点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连
九年级下册
中考专题
动点问题之三点共线求线段最值
命题 背景
结合动点问题，以三 角形、特殊四边形 （菱形、矩形、正方 形）、圆、坐标轴、 抛物线等为载体，进 行综合考察。题目灵 活多变！
营地A
烽火台B
交河
P
唐朝诗人李欣《古从军行》——
“白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河．”
烽火台B
营地A
P
A’
折直 1、两点之间线段最短。 2、三角形任意两边之
圆心异侧——最大
已知，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？ 若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
动点问题中 如何实现三点共线？ 解决什么问题？ 知识点？ 套路？……
初中数学竞赛第二轮专题复习(2)几何
初中数学竞赛第二轮专题复习（2）几何证明的基本方法（1)一、常用定理梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。
塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。
角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BAB CBB CBC ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABCD 为任意凸四边形，则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD,当且仅当A,B ，C ，D 四点共圆时取等号.斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BCBP -BP •PC 。
初中数学竞赛：点共线、线共点
初中数学竞赛 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。
n (n ≥4)点共线可转化为三点共线。
例1 如图，设线段AB 的中点为C ，以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD ，BFCG 。
又作平行四边形CFHD ，CGKE 。
求证：H ，C ，K 三点共线。
证 连AK ，DG ，HB 。
由题意，AD EC KG ，知四边形AKGD 是平行四边形，于是AK DG 。
同样可证AK HB 。
四边形AHBK 是平行四边形，其对角线AB ，KH 互相平分。
而C 是AB 中点，线段KH 过C 点，故K ，C ，H 三点共线。
例2 如图所示，菱形ABCD 中，∠A =120O 为△ABC 外接圆，M 为其上一点，连接MC 交AB 于E ，AM 交CB 延长线于F 。
求证：D ，E ，F 三点共线。
证 如图，连AC ，DF ，DE 。
因为M在O 上，则∠AMC =60°=∠ABC =∠ACB有△AMC ∽△ACF ，得CDCFCA CF MA MC ==。
又因为∠AMC =BAC ，所以△AMC ∽△EAC ，得AEADAE AC MA MC ==。
所以AEADCD CF =，又∠BAD =∠BCD =120°，知△CFD ∽ △ADE 。
所以∠ADE =∠DFB 。
因为AD ∥BC ，所以∠ADF =∠DFB =∠ADE ，于是F ，E ，D 三点共线。
AB CD E FH K G例3 四边形ABCD 内接于圆，其边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q 。
由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ，切点分别为E ，F 。
求证：P ，E ，F 三点共线。
证 如图。
连接PQ ，并在PQ 上取一点M ，使得B ，C ，M ，P 四点共圆，连CM ，PF 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛：证明三点共线
【内容提要】
1.要证明A，B，C三点在同一直线上，
常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角
②连结AB，AC证明AB，AC重合
③连结AB，BC，AC证明AB＋BC＝AC
④连结并延长AB证明延长线经过点C
2.证明三点共线常用的定理有：
①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半
⑤两圆相切，切点在连心线上
⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上
【例题】
例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB，
PN⊥CD
求证：M，N，P三点在同一直线上
∵AB∥CD，∴EF∥CD
∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180
∵PM⊥AB，PN⊥CD
∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180
∴M，N，P三点在同一直线上
例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上
已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点
求证：M ，O ，N 三点在同一直线上 证明一：连结MO ，NO
∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ，NO ∥AB
根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 证明二：连结MO 并延长交BC 于N
，
∵MO 是△DAB 的中位线
∴MO ∥AB
在△CAB 中 ∵AO ＝OC ，ON ，
∥AB
∴BN ，
＝N ，
C ，即N ，
是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点， ∴点N ，和点N 重合 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上
例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90
，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P
求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90
，
∠APB ＝Rt ∠ 连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质
PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B
∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上
,
例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称点是C ，求证B 和C 是关于原点O 的对称点
解：连结OA ，OB ，OC
∵A ，B 关于X 轴对称， ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY
∴∠COY ＋∠BOX ＝90
∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC ∴ B 和C 是关于原点O 的对称点
例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过点B 的直线EF 分别交⊙O 1和⊙O 2于E ，F 。
求证：AE ，AF 和⊙O 1和⊙O 2的直径成比例
证明：作⊙O 1和⊙O 2的直径AM ，AN ，连结AB ，BM ，BN
∵AM ，AN 分别是⊙O 1和⊙O 2的直径
∴∠ABM ＝Rt ∠，∠ABN ＝Rt ∠
∴M ，B ，N 在同一直线上
∴∠M ＝∠E ，∠N ＝∠F
∴△AMN ∽△AEF
∴
AF
AN
AE AM
【练习】
1. 已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，AC 的中点 求证：M ，N ，P 三点
在同一直线上
2. 已知：△ABC 中，BE ，CF 是中线，延长BE 到G ，使EG ＝BE ，延长CF 到H ，使FH ＝CF ，
求证：G ，A ，H 三点共线
3.已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E，
求证：点M在DE的延长线上（同33第5）
4.求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上
5.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分线相交于O，
求证：点O在梯形的中位线上
6.已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分别是∠B，∠C的邻补角，从点A作∠B，∠C，∠ABM，∠
CAN四个角平分线的垂线段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F，G
求证：D，E，F，G四点在同一直线上
7.已知：点P在等边△ABC外，PA=PB+PC，以PA为一边作等边△APQ使点Q和点C在PA的同
一侧
求证：PQ必过点C
8.已知：△ABC中，AB=AC，直线AP∥BC，点D和点C是关于直线AP的对称点
求证：点D和点B是关于点A的对称点
【答案】
1.连结MP，NP证明都与AB平行
2.连结AG，AH证明都与BC平行
3.连结DM证明DM⊥AN
5.证明MP平行于底边
6.根据中位线性质，垂足连线平行于底边
7.连结CQ，证明∠AQC＝60
8.证明∠DAP＋∠PAC＋∠CAB＝180。