初中数学竞赛：证明三点共线

初中数学竞赛：证明三点共线

【内容提要】

1.要证明A，B，C三点在同一直线上，

常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角

②连结AB，AC证明AB，AC重合

③连结AB，BC，AC证明AB＋BC＝AC

④连结并延长AB证明延长线经过点C

2.证明三点共线常用的定理有：

①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半

④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半

⑤两圆相切，切点在连心线上

⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上

【例题】

例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB，

PN⊥CD

求证：M，N，P三点在同一直线上

∵AB∥CD，∴EF∥CD

∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180

∵PM⊥AB，PN⊥CD

∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180

∴M，N，P三点在同一直线上

例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上

已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点

求证：M ，O ，N 三点在同一直线上 证明一：连结MO ，NO

∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ，NO ∥AB

根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 证明二：连结MO 并延长交BC 于N

，

∵MO 是△DAB 的中位线

∴MO ∥AB

在△CAB 中 ∵AO ＝OC ，ON ，

∥AB

∴BN ，

＝N ，

C ，即N ，

是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点， ∴点N ，和点N 重合 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上

例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90

，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P

求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90

，

∠APB ＝Rt ∠ 连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质

PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B

∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上

,

例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称点是C ，求证B 和C 是关于原点O 的对称点

解：连结OA ，OB ，OC

∵A ，B 关于X 轴对称， ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY

∴∠COY ＋∠BOX ＝90

∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC ∴ B 和C 是关于原点O 的对称点

例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过点B 的直线EF 分别交⊙O 1和⊙O 2于E ，F 。 求证：AE ，AF 和⊙O 1和⊙O 2的直径成比例

证明：作⊙O 1和⊙O 2的直径AM ，AN ，连结AB ，BM ，BN

∵AM ，AN 分别是⊙O 1和⊙O 2的直径

∴∠ABM ＝Rt ∠，∠ABN ＝Rt ∠

∴M ，B ，N 在同一直线上

∴∠M ＝∠E ，∠N ＝∠F

∴△AMN ∽△AEF

∴

AF

AN

AE AM

【练习】

1. 已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，AC 的中点 求证：M ，N ，P 三点

在同一直线上

2. 已知：△ABC 中，BE ，CF 是中线，延长BE 到G ，使EG ＝BE ，延长CF 到H ，使FH ＝CF ，

求证：G ，A ，H 三点共线

3.已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E，

求证：点M在DE的延长线上（同33第5）

4.求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上

5.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分线相交于O，

求证：点O在梯形的中位线上

6.已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分别是∠B，∠C的邻补角，从点A作∠B，∠C，∠ABM，∠

CAN四个角平分线的垂线段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F，G

求证：D，E，F，G四点在同一直线上

7.已知：点P在等边△ABC外，PA=PB+PC，以PA为一边作等边△APQ使点Q和点C在PA的同

一侧

求证：PQ必过点C

8.已知：△ABC中，AB=AC，直线AP∥BC，点D和点C是关于直线AP的对称点

求证：点D和点B是关于点A的对称点

【答案】

1.连结MP，NP证明都与AB平行

2.连结AG，AH证明都与BC平行

3.连结DM证明DM⊥AN

5.证明MP平行于底边

6.根据中位线性质，垂足连线平行于底边

7.连结CQ，证明∠AQC＝60

8.证明∠DAP＋∠PAC＋∠CAB＝180