摄像机标定方法综述
相机标定方法及进展研究综述
相机标定方法及进展研究综述相机标定是计算机视觉领域的重要研究方向之一，其目的是通过数学模型，将摄像机的内部参数和外部参数计算出来，从而提高图像的准确性和精度。
在图像处理、机器视觉、计算机视觉等领域中，相机标定是一个非常重要的问题，并且在机器人视觉、三维重建和增强现实等领域中得到了广泛的应用。
本文将对相机标定方法及进展研究进行综述。
一、相机标定方法常用的相机标定方法包括摄像机模型、单目相机的标定、立体相机的标定、将标定技术运用到实际应用的技术。
下面分别介绍。
1. 摄像机模型相机模型是相机标定的基础。
常用的相机模型主要包括针孔相机模型、中心投影相机模型、透视投影相机模型、鱼眼相机模型、全景相机模型等。
这些模型都是基于相机采集的图像和射线之间的关系建立的。
2. 单目相机的标定单目相机的标定主要包括内参数和外参数的标定。
内参数是相机焦距、像点中心等参数，外参数是相机的旋转和平移，可以用于计算世界坐标和相机坐标之间的转换矩阵。
常用的单目相机标定方法包括张氏标定法、Tsai相机标定法、基于控制点的标定法等。
3. 立体相机的标定立体相机的标定是通过对相机的双目视觉信息进行建模和分析，得到相机内部参数和外部参数的过程。
常见的立体相机标定方法包括非线性标定法、基于投影矩阵的标定法、基于球面投影的标定法等。
4. 将标定技术运用到实际应用的技术标定技术并不是研究的最终目的，而是运用到实际应用中的工具，如机器视觉、计算机视觉和图像处理等。
因此，如何将标定技术应用到实际应用中，是当前科学研究的关键问题。
常用的应用技术包括遮挡物检测、视觉跟踪、特征提取、目标检测等。
二、相机标定领域研究进展相机标定是一个广泛研究的领域，近年来研究取得了一定进展。
1. 智能相机标定智能相机标定是将计算机视觉与智能控制系统相结合，实现自动化相机标定的方法，主要包括多相机标定和自适应标定等。
2. 深度学习在相机标定中的应用深度学习是当前研究的重点之一，将深度学习应用到相机标定中可以提高标定的精度和效率。
摄像机标定 方法
摄像机标定方法摄像机标定是计算机视觉领域的一项重要任务，主要目的是确定摄像机的内外参数，以便将图像中的像素坐标转换为世界坐标。
摄像机标定有多种方法可供选择，其中包括使用标定物体、使用棋盘格、使用角点等。
下面将详细介绍其中的几种方法。
第一种方法是使用标定物体进行摄像机标定。
该方法需要摄像机拍摄带有已知尺寸的标定物体，例如固定尺寸的棋盘格或标尺。
通过测量图像中标定物体的像素坐标和已知尺寸，可以计算出摄像机的内外参数。
这个过程通常涉及到图像坐标和世界坐标的转换，以及通过最小二乘法进行参数求解。
第二种方法是使用棋盘格进行摄像机标定。
这种方法是比较常用且简单的一种标定方法。
首先，在摄像机拍摄的图像中绘制一个棋盘格，然后使用摄像机内参数和外参数将棋盘格的世界坐标与图像坐标建立对应关系。
通过采集多幅图像并测量每幅图像中的棋盘格角点的像素坐标，可以得到摄像机的内外参数。
这个过程通常使用角点检测算法来自动检测图像中的棋盘格角点。
第三种方法是使用角点进行摄像机标定。
这种方法也是比较常用的一种标定方法。
和使用棋盘格类似，该方法也是通过摄像机内参数和外参数将角点的世界坐标与图像坐标建立对应关系。
角点通常是由几条直线的交点或者是物体的尖锐边缘。
通过采集多幅图像并测量每幅图像中的角点的像素坐标，可以得到摄像机的内外参数。
这个过程通常也使用角点检测算法来自动检测图像中的角点。
除了上述几种常用方法，还有其他一些比较新颖的摄像机标定方法。
例如，基于模板匹配的方法可以在不需要标定物体的情况下估计摄像机的内外参数。
这种方法需要摄像机拍摄多幅图像，并在每幅图像中定位模板。
通过比较模板在不同图像中的位置，可以估计摄像机的内外参数。
此外，还有基于结构光的方法和基于手眼标定原理的方法等。
总之，摄像机标定是计算机视觉领域的一项重要任务，有多种不同的方法可供选择。
使用标定物体、棋盘格、角点等进行摄像机标定是常见的方法。
这些方法可以通过采集多幅图像并测量像素坐标，计算摄像机的内外参数。
摄像机标定原理
摄像机标定原理摄像机标定是指确定摄像机内参数和外参数的过程，它是计算机视觉和机器视觉中的重要环节。
摄像机标定的目的是为了将摄像机拍摄到的图像与真实世界的坐标系进行对应，从而实现对图像中物体的测量和分析。
摄像机标定原理是基于摄像机成像的几何关系和摄像机的内外参数进行计算和推导的。
首先，我们需要了解摄像机成像的基本原理。
摄像机成像是通过透镜将三维空间中的物体投影到二维图像平面上。
透镜会引起透视失真，因此需要进行校正。
在进行摄像机标定时，我们需要考虑到透镜的畸变、焦距、主点等内参数，以及摄像机的位置、姿态等外参数。
摄像机的内参数包括焦距、主点坐标和畸变参数。
焦距决定了摄像机成像的大小，主点坐标则决定了成像的中心位置，畸变参数则用于校正透镜引起的径向和切向畸变。
这些内参数可以通过摄像机标定板进行标定，通过观察标定板在图像中的投影位置和真实世界中的坐标位置进行计算和推导。
摄像机的外参数包括摄像机的位置和姿态，通常用旋转矩阵和平移向量来表示。
通过摄像机标定板上已知的特征点的位置和摄像机拍摄到的图像中的对应点，可以通过解PnP（Perspective-n-Point）问题来计算摄像机的外参数。
摄像机标定的过程可以分为内参数标定和外参数标定两个部分。
内参数标定是通过摄像机标定板进行的，而外参数标定则是通过摄像机观察到的真实世界中的特征点来进行的。
在进行标定时，需要注意选取合适的标定板和特征点，以及保证摄像机在不同位置和姿态下的观察角度，从而获得更准确的标定结果。
摄像机标定的原理和方法是计算机视觉和机器视觉中的重要内容，它为后续的三维重建、姿态估计、目标跟踪等任务提供了基础。
通过准确的摄像机标定，可以提高计算机视觉系统的精度和稳定性，从而更好地应用于工业自动化、智能监控、无人驾驶等领域。
总之，摄像机标定原理是基于摄像机成像的几何关系和摄像机的内外参数进行计算和推导的，它是计算机视觉和机器视觉中的重要环节。
通过准确的摄像机标定，可以实现对图像中物体的测量和分析，为后续的视觉任务提供基础支撑。
计算机视觉中摄像机定标综述
计算机视觉中摄像机定标综述
摄像机定标是计算机视觉中的一个重要问题，它旨在确定摄像机
的内部参数和外部参数。
内部参数包括焦距、主点位置、畸变系数等；而外部参数则包括摄像机在空间中的位置和朝向。
摄像机定标通常包
括两个步骤：标定和重建。
标定是指在已知一些已知深度的世界坐标系点时，通过摄像机捕
获的图像坐标来推导出摄像机内部和外部参数的过程。
标定中通常采
用的方法是通过对图像中已知世界坐标系点和对应的图像坐标进行计算，推导出摄像机的内部参数和外部参数。
主要的标定方法包括直接
线性变换（DLT）方法和基于优化方法的非线性标定方法。
重建则是指将摄像机拍摄的图像恢复成在真实世界中的实际坐标，这是基于相机的内部参数和外部参数的过程。
重建中通常采用的方法
是三角测量，即通过计算图像中点的位置和已知的相机内外参数，推
导出点在真实世界中的位置。
摄像机定标是计算机视觉和计算机图形学领域中的一个重要问题，它在计算机视觉领域中扮演着至关重要的角色。
例如，在三维重建、
虚拟现实、增强现实和机器视觉等领域中，摄像机定标是一个必要的
步骤。
摄像机标定的基本原理实现及性能分析
摄像机标定的基本原理实现及性能分析摄像机标定是指通过一系列的计算方法和算法，对摄像机的内部参数（如焦距、感光元件大小等）和外部参数（如相机在世界坐标系下的位置和方向）进行估计和优化的过程。
摄像机标定是计算机视觉和图形学中的重要技术，应用广泛，包括物体跟踪、姿态估计、三维重建等领域。
内部参数标定是通过拍摄已知几何结构的标定板或标定物体来确定摄像机的内部参数。
常用的标定板包括棋盘格、圆点格和红外标定板等。
标定板上会有一些已知几何结构的特征点，通过检测和匹配这些特征点，可以计算出相机的内部参数，如焦距、光心等。
常用的方法有直接线性变换（Direct Linear Transform, DLT）和最小二乘法等。
外部参数标定是通过相机拍摄一些已知世界坐标的场景，来确定相机在世界坐标系下的位置和方向。
常用的方法有位姿估计，即通过特征点的三维坐标和它们在图像上的对应位置，来估计相机在世界坐标系下的位姿。
另外还可以通过相机拍摄多张图片，通过三角化方法来估计相机在世界坐标系下的位置和方向。
在实现摄像机标定时，需要使用相机和计算机进行配合。
首先，需要准备一个已知几何结构的标定板或标定物体。
然后，将标定板或标定物体放置在相机的观察场景中，并姿态变化以覆盖尽量多的不同角度和位置。
通过相机拍摄这些场景，将图像传输到计算机中进行后续处理。
在计算机中，根据已知的标定板或标定物体信息，计算相机的内部参数和外部参数。
最后，根据计算得到的摄像机参数，即可在后续应用中使用。
精度是指标定结果和真实值之间的误差大小。
对于内部参数标定，可以通过计算重投影误差来评估标定结果的精度。
重投影误差是指将三维点投影到图像平面上，再将投影点反投影回三维空间中，与原始三维点之间的距离。
对于外部参数标定，可以通过将已知的真实位置和方向与标定结果进行比较，计算其误差大小。
一般来说，精度越高，标定结果与真实值的误差越小。
稳定性是指标定结果在重复实验中的稳定性和一致性。
第四讲 摄像机标定1
2. 摄像机成像模型
图像形成的简单模型
来自于光源(如太阳)的光入射到物体表面并被表面反射。反射光 进入人眼，最终导致了我们对颜色的感知
摄像机成像模型
在计算机视觉中，利用所拍摄的图像来计算出三维空间中被 测物体几何参数。图像是空间物体通过成像系统在像平面上 的反映，即空间物体在像平面上的投影。 图像上每一个像素点的灰度反映了空间物体表面某点的反射 光的强度，而该点在图像上的位置则与空间物体表面对应点 的几何位置有关。这些位置的相互关系，由摄像机成像系统 的几何投影模型所决定。 计算机视觉研究中，三维空间中的物体到像平面的投影关系 即为成像模型，理想的投影成像模型是光学中的中心投影， 也称为针孔模型。
u u0 X / d x sx X v v0 Y / d y s yY
因此可得物点p与图像像素坐 标系中像点pf的变换关系为：
其中，u 0 ，v 0 是图像中心（光轴与图像 平面的交点）坐标，dx ，dy分别为一个 像素在X与Y方向上的物理尺寸，sx=1/dx ， sy=1/dy 分别为X与Y方向上的采样频率， 其中，f x =fs x ，f y =fs y 分别定义为X和Y方 向的等效焦距。fx、fy、u0、v0这4个参数 即单位长度的像素个数。 只与摄像机内部结构有关，因此称为摄 像机的内部
u f x 0 z v 0 f y 1 0 0 u0 v0 1 0 R 0 T 0 0
转化为齐次坐标为：
xw T yw M 1M 2 X MX 1 z w 1
其中，T是世界坐标系原点 在摄像机坐标系中的坐标， 矩阵R是正交旋转矩阵．
t x xw t y yw t z zw 1 1
数码相机标定方法研究
数码相机标定方法研究数码相机标定方法是一种经过精确测量和计算的过程，用于确定相机的内部参数和外部参数，以提高图像处理的精度和准确性。
相机标定方法不仅应用于计算机视觉领域，还广泛应用于机器人导航、虚拟现实等领域。
本文将着重介绍数码相机标定方法的研究。
数码相机标定方法的研究可以分为两个主要方面：内部参数标定和外部参数标定。
内部参数主要包括焦距、主点坐标、畸变系数等，它们是相机的固有特性；外部参数包括相机的位置和姿态，即相机与被摄物体的相对位置关系。
内部参数标定通常使用棋盘格标定方法。
该方法简单易行，只需在相机前放置一个已知尺寸的棋盘格，通过对棋盘在图像中的检测和计算，可以准确地估计出相机的内部参数。
具体步骤如下：首先，拍摄一系列棋盘格图像，要求棋盘格在不同的位置和角度下都能被完整地看到；然后，利用图像处理技术检测棋盘格角点的位置；最后，利用非线性最小二乘法对参数进行估计。
这种方法的优点是简单易行，不需要复杂的设备和专业知识。
缺点是对于较大的畸变程度和复杂的相机模型，精度会有所降低。
外部参数标定通常使用三维点和对应的图像点进行计算。
这种方法需要之前进行三维重建，并使用三维点云和图像点进行匹配。
通过对匹配点进行三维坐标的计算，结合相机坐标系与世界坐标系之间的映射关系，可以准确地估计出相机的外部参数。
具体步骤如下：首先，进行三维重建，获取一系列三维点；然后，通过计算图像点与三维点之间的对应关系，求解相机的外部参数；最后，利用非线性最小二乘法对参数进行优化。
这种方法的优点是精度高，适用于复杂场景和大视场的情况。
缺点是对于简单场景和小视场的情况，计算量较大。
除了以上两种常见的标定方法，还有其他一些方法被用于数码相机的标定研究。
例如，基于光线追踪的方法可以模拟相机成像过程，通过优化来估计相机的内部参数和外部参数；基于深度学习的方法可以通过神经网络来学习相机的内部参数和外部参数。
这些方法在特定的应用场景下具有较好的效果，但也有一定的局限性。
摄像机标定方法及原理
摄像机标定方法及原理摄像机内参数标定方法及原理：1.赋参法：a.使用透镜测量摄像机的焦距，根据透镜公式可求解出摄像机的内参数，如焦距、主点坐标等。
b.使用标准栅格或尺子等物体在距离摄像机一定位置处摆放，通过测量图像上物体的特征点的像素坐标和实际物体的尺寸，对内参数进行估计。
2.视差法：a.使用双目立体视觉系统，通过数学推导得到根据视差计算焦距和主点坐标的公式，从而标定摄像机的内参数。
b.具体操作时，将一张标定板放在双目系统的不同位置处，通过左右摄像机拍摄到的标定板图像，计算出两个图像的视差，进而估计出焦距和主点的坐标。
摄像机外参数标定方法及原理：1.立体视觉法：a.使用双目立体视觉系统，通过测量双目在空间中的位置关系，从而确定摄像机的外参数（即相对于参考坐标系的位置和姿态）。
b.一般情况下，通过观察物体在空间中的三维坐标和其在两个图像上的对应点的像素坐标，可以计算出外参数。
2.惯性传感器法：a.使用惯性传感器等设备，通过测量摄像机在三维空间中的加速度和角速度等信息，可以估计出摄像机的运动轨迹和姿态。
b.参考标定板等物体，在摄像机的运动过程中进行拍摄，根据拍摄到的图像和传感器测量的信息，计算出摄像机的外参数。
摄像机校正方法及原理：1.畸变校正法：a.摄像机的透镜会引入径向畸变和切向畸变，通过收集一组由标定板拍摄得到的图像，并对图像进行处理，去除畸变。
b.基于非线性最小二乘法，对摄像机内参数和畸变系数进行优化，得到校正后的摄像机参数。
2.摄像机自标定法：a.在摄像机运动过程中，摄像机捕捉到的图像中存在物体之间的三维关系，可以通过计算这些三维关系得到摄像机的内外参数。
b.根据三维重建的准确性和稳定性的要求，通过最小二乘法等算法，对摄像机内外参数进行优化。
摄像机标定的原理主要是通过数学模型和图像处理算法对摄像机的成像过程进行建模和估计。
通过收集一系列由标定板或其他具有已知形状和尺寸的物体拍摄得到的图像，分析图像上的特征点和相应的三维物体的几何关系，可以获得摄像机的内外参数。
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摄像机标定方法综述摘要：首先根据不同的分类方法对对摄像机标定方法进行分类，并对传统摄像机标定方法、摄像机自标定方法等各种方法进行了优缺点对比，最后就如何提高摄像机标定精度提出几种可行性方法。
关键字：摄像机标定，传统标定法，自标定法，主动视觉引言计算机视觉的研究目标是使计算机能通过二维图像认知三维环境，并从中获取需要的信息用于重建和识别物体。
摄像机便是3D 空间和2D 图像之间的一种映射，其中两空间之间的相互关系是由摄像机的几何模型决定的，即通常所称的摄像机参数，是表征摄像机映射的具体性质的矩阵。
求解这些参数的过程被称为摄像机标定[1]。
近20 多年，摄像机标定已成为计算机视觉领域的研究热点之一，目前已广泛应用于三维测量、三维物体重建、机器导航、视觉监控、物体识别、工业检测、生物医学等诸多领域。
从定义上看，摄像机标定实质上是确定摄像机内外参数的一个过程，其中内部参数的标定是指确定摄像机固有的、与位置参数无关的内部几何与光学参数，包括图像中心坐标、焦距、比例因子和镜头畸变等；而外部参数的标定是指确定摄像机坐标系相对于某一世界坐标系的三维位置和方向关系，可用3 ×3 的旋转矩阵R 和一个平移向量t 来表示。
摄像机标定起源于早前摄影测量中的镜头校正，对镜头校正的研究在十九世纪就已出现，二战后镜头校正成为研究的热点问题，一是因为二战中使用大量飞机，在作战考察中要进行大量的地图测绘和航空摄影，二是为满足三维测量需要立体测绘仪器开始出现，为了保证测量结果的精度足够高，就必须首先对校正相机镜头。
在这期间，一些镜头像差的表达式陆续提出并被普遍认同和采用，建立起了较多的镜头像差模型，D.C.Brown等对此作出了较大贡献，包括推导了近焦距情况下给定位置处径向畸变的表达式及证明了近焦距情况下测得镜头两个位置处的径向畸变情况就可求得任意位置的径向畸变等[2]。
这些径向与切向像差表达式正是后来各种摄像机标定非线性模型的基础。
随着CCD器件的发展，现有的数码摄像机逐渐代替原有的照相机，同时随着像素等数字化概念的出现，在实际应用中，在参数表达式上采用这样的相对量单位会显得更加方便，摄像机标定一词也就代替了最初的镜头校正。
1、摄像机标定分类1.1 根据是否需要标定物进行分类根据是否需要标定物可分为传统摄像机标定方法、摄像机自标定方法以及基于主动视觉的标定方法[3,4]，这也是目前最被广为接受的分类方法。
1. 1. 1 传统摄像机标定方法传统标定方法需要基于特定的实验条件，如一个形状、尺寸己知的标定物，通过对其图像进行处理，再经过一系列的计算和数学变换，求取摄像机模型的内、外部参数。
传统摄像机标定还可分为四类：( 1) 利用最优化算法的定标方法[5]这一类摄像机定标方法可以将摄像机的光学成像系统的模型假设的很复杂，但这也带来了问题：如果初始值给的不恰当，通过优化程序很难得到正确的定标结果，因为摄像机的定标结果取决于摄像机的初始给定值；优化程序非常费时，无法实时地获得定标结果。
根据参数模型，最优化法又可分为：a、摄影测量学中的传统方法，Faig 在文献[6]中提出的方法最具代表性，利用针孔摄像机模型的共面约束条件，假设成像模型非常复杂，并合理细致的设计成像模型，考虑成像过程中的各种可能因素，采用至少十七个参数来描述每幅图像与3D 空间物体的约束关系，但计算的量比较庞大；b、直接线性变换( Direct Linear Transformation，DLT) 法，此方法由Abdel- Aziz 和Karara于1971年首次提出。
只需通过求解线性方程便求得摄像机模型参数，这是DLT 的优势所在。
Dainis 和Juberts 在文献[7] 给出了利用DLT 进行标定的结果。
因在成像过程中DLT 方法没有考虑非线性畸变问题，故其通过非线性最优化算法来提高精度。
因此DLT 虽然是通过解线性方程求得参数，但求解的过程不排除使用非线性优化算法，可以说它是对摄像测量学中的传统方法的一种简化[8]。
( 2) 利用摄像机透视变换矩阵的定标方法[9]从摄影测量学中的传统方法可以看出，刻划三维空间坐标系与二维图像坐标系关系的方程一般说来是摄像机内部参数和外部参数的非线性方程。
如果忽略摄像机镜头的非线性畸变并且把透视变换矩阵中的元素作为未知数，给定一组三维控制点和对应的图像点，就可以利用线性方法求解透视变换矩阵中的各个元素。
严格来说，基于摄像机针孔模型的透视变换矩阵方法与直接线性变换方法没有本质的区别。
这一类定标方法不需通过最优化方法来求解摄像机参数，故可大大提高运算速度，能够实时地获得定标结果，但是同样存在缺点：定标过程中忽略了非线性畸变，从而影响定标的精度。
( 3) 考虑畸变补偿的两步法[10]摄影测量学中的传统方法是利用最优化算法求解未知数，其结果往往受给定初始值的影响，如果给定的初始值不恰当或不合适，就很难得到较为正确的结果。
直接线性变换法或透视变换矩阵法忽略非线性畸变而直接用线性方法求未知参数，根据以上两种算法的特点，我们是否可以考虑先用直接线性变换法或透视变换矩阵法求解未知参数，并将其作为初始值，同时考虑畸变因素，再利用最优化算法进一步提高定标精度，这就是两步法。
目前最常用的两步定标法是Tsai[11]在他的论文中提出的一种非常实用的两步定标法，。
此方法先用径向准直约束求解模型中的大部分参数，然后再用非线性搜索求解畸变系数、有效焦距等。
但是以上摄像机定标方法也是存在问题：a、此方法还是具有一定的局限性，并不是对所有的系统都有效；b、为了提高标定精度，在提出摄像机模型时就要更多的考虑畸变产生的影响，而这导致计算量的增加，计算时间的延长；c、当对两台摄像机标定后，还必须确定两摄像机之间的相对几何位置关系，这也无形中增加了需要计算的参数。
( 4) 采用更为合理的摄像机成像模型的双平面标定方法[12]。
研究人员从另一方面对传统摄像机定标方法进行了深入的探索，他们在寻找更合理的摄像机模型，使之能全面而有效地体现整个成像过程。
Martin[13]首先提出了双平面模型，列出了3种插值方法：线性插值、二次插值和线性样条插值。
在此基础上，Ma[14]运用双平面模型对摄像机定标作了大量的研究工作。
双平面模型摄像机与针孔模型摄像机的区别在于：双平面模型摄像机不必要求投影到成像平面上的光线通过光心，给定成像平面上任意一个图像点，就能计算出两定标平面上各自的对应点，因此可确定投影到成像平面上产生该图像点的光线。
对每一个定标平面而言，可用一组定标点建立彼此独立的插值公式，尽管插值公式是可逆的，但这个可逆过程需要一个搜索算法，因此所建立的模型只能用于从图像到定标平面的映射过程。
双平面定标方法的优点是使用线性方法求解有关参数，但其缺点是它必须解大量的参数，有过分参数化的倾向。
1.1.2摄像机自标定方法20 世纪90 年代初，Faugeras ，Luong ，Maybank 等[15，16]首先提出了自标定概念，使得在场景未知和摄像机任意运动的一般情形下标定成为可能。
Faugeras 等[15]从射影几何的角度出发证明了每两幅图像间存在着两个形如Kruppa 方程的二次非线性约束，通过直接求解Kruppa方程组可以解出内参数。
目前自标定方法可以分为三类，即直接求解Kruppa方程的自标定、分层逐步标定和基于绝对二次曲面的自标定。
（1）直接求解Kruppa方程的自标定该方法利用绝对二次曲线和极线变换的概念推导出了Kruppa方程。
围绕着求解Kruppa 方程，文献中存在着不同的途径。
Faugeras ，Maybank 等最早提出的算法完全基于代数几何的概念，该算法对噪声极其敏感，普通计算机的浮点运算已不足以满足其要求。
Luong[17]提出了一套基于连续同伦算法[18]的较实用的求解策略，降低了对噪声的敏感度，但该策略要求拐点的提取精度达到子像素级(0.2个像素) 。
这两种直接求解Kruppa方程的方法存在着共同的弊端：求解困难，而且是针对两两图像之间列方程，当图像数目增加时，可能解的个数呈指数增长，使得直接求解失去意义。
另一类求解Kruppa 方程的途径是间接的非线性优化算法，Zeller 等[19]利用Kruppa方程计算出多幅图像上的所有点到对应极线距离之和，再利用Levenberg2Marquardt 优化算法[20]减小该距离，并求出相应的内参数。
上述优化算法的缺点在于，待优化参数过多，且容易陷入局部最优值。
（2）分层逐步标定由于求解Kruppa方程有一定的困难，有学者通过对图像序列做射影重建，并利用绝对二次曲线(面) 添加约束条件进行摄像机参数的求解，这就是分层逐步标定方法。
该方法在实际应用中逐渐取代了直接求解Kruppa方程的方法。
分层逐步标定法首先要求对图像序列做射影重建，再通过绝对二次曲线(面) 施加约束，定出仿射参数(即无穷远平面方程)和摄像机内参数。
其中最具代表性的方法是由Hartley[21]提出的一种对摄像机投影矩阵进行QR 分解的自标定方法。
该方法是在射影标定的基础上，以某一幅图像为基准做射影对齐，从而将未知数缩减8个(无穷远平面参数3个和摄像机内参数5个，不包括总体常数因子)，再通过非线性优化算法同时解出所有未知数。
缺点在于： a、非线性优化算法的初值只能通过预估得到，不能保证收敛性；b、射影重建时均是以某参考图像为基准，参考图像的选取不同，标定的结果也不同，这不满足一般情形下噪声均匀分布的假设。
（3）基于绝对二次曲面的自标定绝对二次曲面最早由Triggs[22]引入自标定研究中，虽然其本质同Kruppa 方程一样运用了绝对二次曲线在欧式变换下的不变性，但当多幅图像输入并且能得到一致射影重建的情况下，该方法将更具优势。
其根源在于绝对二次曲线(面)包含了无穷远平面和绝对二次曲线的所有信息，且基于绝对二次曲线(面)的自标定方法又是在对所有图像做射影重建的基础上计算绝对二次曲线(面)的，从而保证了无穷远平面对所有图像的一致性。
与此相比，基于Kruppa方程的方法是在两两图像之间建立方程，在列方程过程中已将支持绝对二次曲线的无穷远平面参数消去，所以当输入更多的图像对时，不能保证该无穷远平面的一致性。
1.1.3基于主动视觉的标定方法基于主动视觉的方法是将摄像机精确安装于可控平台，主动控制平台作特殊运动来获得多幅图像，利用图像和摄像机运动参数来确定摄像机内外参数，鲁棒性比较强而且通常可线性求解。
但当摄像机运动未知或者运动无法控制的场合不能使用该方法，且该方法所需运动平台精度较高，成本也较高。
此方法最经典的是马颂德教授提出的基于两组三正交运动的线性法[14]，后李华、杨长江等提出了基于四组和五组平面正交运动的方法，利用图像中的极点信息线性标定[23]。