2017_2018学年高中数学第三章指数函数和对数函数3_3指数函数学案北师大版必修1
高中数学北师大版一学案：第三章 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学习目标 1.了解三种函数的增长特征。
2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数,当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？梳理当a〉1时，指数函数y＝a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x〉0，n>1时,幂函数y＝x n是增函数，并且当x〉1时，n越大其函数值的增长就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y＝2x,y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少?梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1）、幂函数y＝x n(n〉0)与对数函数y＝log a x（a〉1）都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x（a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n（n〉0)的增长速度，而对数函数y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________（a>1,n>0)．类型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f（x)＝2x和g（x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1,y1),B（x2，y2)，且x1〈x2。
(1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；（2)结合函数图像，判断f(6），g（6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时,函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化,图像越陡，增长越快．跟踪训练1函数f(x)＝lg x，g(x)＝0。
3x－1的图像如图所示．(1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较．类型二函数增长模型的应用例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0。
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数名师导航学案苏教版必修1
3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4第2课时对数的运算性质及换底公式学案(含解析)北师大版必修1
第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案(含解析)北师
§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点三种函数类型的增长比较[填一填]在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝x n(n>0)都是增(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.[答一答]怎样理解指数函数、幂函数、对数函数增长情况具有一定规律性？提示：一般地，对于指数函数y＝a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x 的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n.综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0 )的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.函数模型的选取：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．类型一函数增长快慢的比较【例1】试利用图像比较y＝x2和y＝2x的增长情况．【思路探究】应首先利用列表描点法画出函数图像，再通过图像比较其增长情况．【解】为观察到y＝x2和y＝2x的图像和全貌，便于比较其增长情况，列如下两表：对应表1的图像如图(1)．对应表2的图像如图(2)．由图(1)可以看到，y＝2x和y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．结合图像可得：当x ∈(0,2)时，2x>x2；当x∈(2,4)时，2x<x2；当x>4时，2x>x2.再结合图(2)可以发现，当自变量x 越来越大时，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．规律方法(1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称为“指数爆炸”．(2)在计算器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E＋12.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x增长，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)则增长会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是(B)A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a>1)的增速会远远超过y＝x n(n>0)的增速，而函数y ＝log a x(a>1)的增长速度最慢．故选B.类型二比较大小【思路探究】方法1：数形结合法．方法2：化为同底数的对数函数，利用对数函数的单调性来比较大小，不可化为同底数的，与0比较，或与1比较．【解】规律方法对于对数函数，当真数x>1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏下”；当真数0<x<1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏上”．反之由图像的位置也能确定底数的大小关系．四个数2.40.8,3.60.8，log0.34.2，log0.40.5的大小关系为(D)A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2解析：∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.∵log0.34.2<log0.31＝log0.41<log0.40.5<log0.40.4＝1，∴log0.34.2<0<log0.40.5<1，∴3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2.类型三不同增长的函数模型的实际应用【例3】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？【思路探究】某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．【解】借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图所示)．观察图像发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上单调递增，当x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，由函数的图像，并利用计算器计算可知，在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算当x ∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像如图所示，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )<f (10)≈－0.316 7<0，即log 7x ＋1<0.25x .所以当x∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x<0.25，说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1符合公司要求．规律方法 从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位为：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间/t50 110 250 种植成本/Q 150 108 150(1)变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b x ，Q ＝a ·log a t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 之间的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b x ，Q ＝a ·log a t 中任意一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述四个函数中有三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c 得到：⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解上述方程组得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，描述西红柿种植成本Q 和上市时间t 变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)由(1)可知当上市t ＝150天时，种植成本为100元/102kg.——如何选择函数模型——指数函数型模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)；对数函数型模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1，x >0)；幂函数型模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．在解决实际问题时，我们要根据实际情况灵活选取函数的模型．(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数型模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数型模型．(3)幂函数型模型y ＝x α(α>0)可以描述增长幅度不同的变化，α值较小(α≤1)时，增长速度较慢；α值较大(α>1)时，增长速度较快． 【例4】 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？(注：幂函数型模型：y ＝a x ＋b ，指数函数型模型：y ＝ab x ＋c )【解析】 (幂函数型模型)设y 1＝a x ＋b ，将(1,1)，(2,1.2)两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≈0.48，b ≈0.52，所以y 1＝0.48x ＋0.52.(指数函数型模型)设y 2＝ab x ＋c ，将(1,1)，(2,1.2)，(3,1.3)三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4，所以y 2＝－0.8×0.5x ＋1.4.将x ＝4分别代入上述函数关系式，求得第4个月产量：y 1＝1.48，y 2＝1.35.因此选用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4估算以后几个月的产量．规律方法 利用函数图像或函数表是求解函数模型的常用方法，尤其在实际问题中，应用得更加广泛．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方案？解：设第x 天所得回报是y 元，则方案一可用函数f 1(x )＝40(x ∈N ＋)进行描述；方案二可用函数f 2(x )＝10x (x ∈N ＋)进行描述；方案三可用函数f 3(x )＝0.4×2x －1(x ∈N ＋)进行描述．作出以上三个函数在[0，＋∞)上的图像，如图所示．由图像可知，每天所得回报，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．我们再看累计回报数，列表如下：从上表可知，投资7天以内(不含7天)，应选择第一种投资方案；投资7天，选择第一、二种方案均可；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天以上(含11天)，应选择第三种投资方案．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(A)A．y＝2x B．y＝x10C．y＝lg x D．y＝10x2解析：在指数函数y＝a x(a>1)，对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)中，随着x 的增大，指数函数y＝a x(a>1)的函数值增长速度最快，呈“爆炸式”增长，故选A.2．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(B)A．2x>x2>log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x解析：解法1：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，因为在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2>2x>log2x.(这种方法要求图像要比较精确，最好利用数学软件或图形计算器作图．)解法2：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．易知，当x＝3时，2x＝23＝8，x2＝32＝9，log2x＝log23<log24＝2，故x2>2x>log2x.二、填空题3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：上述四个变量中仅有一个变量关于x呈指数型函数增长，则该变量是y2.解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．4．函数y＝3x与y＝x3的交点个数为2.解析：作出两函数图像知在第一象限有两个交点，但随着x增大，3x的值总大于x3的值，再无交点，∴共有2个．三、解答题5．已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性并证明．解：(1)由a x－1>0得a x>1，∴当a>1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上是增函数．证明如下：。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_32
复习回顾
指数函数的定义：
形如 y=ax (a0，且a 1)的函数叫做指数函数，
其中x是自变量，a 是常量,函数的定义域是R.
指数函数与幂函数的区别：
• 系数为1
y ax
•
底数为常数 (a0，且a 1)
• 指数为自变量X
y xa
• 系数为1 • 底数为自变量X
• 指数为常数
1：指出下列函数那些是指数函数,幂函数？
(1) y 4x ;
(4) y (4)x;
(7) y xx;
(2) yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x4 ;
(3) y 4 x ;
(5) y x;
(6) y 1 x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
y
y ax
y 2x, y (1)x, y 3x, y (1)x
2
3
x … -3 -2 -1 0
y 2x …
1
1
8
4
y (1)x …
2
18
4
1
y 3x … 27
9
y (1)x … 27 9
3
11
2
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高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数32对数函数321对数自我小测苏教版1.
3.2.1 对数自我小测1．如果lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于________． 2．下列结论中，正确的序号是________． ①lg2·lg3＝lg5；②lg 23＝lg9；③51log 2152=；④若log a M ＋N ＝b ，则M ＋N ＝a b(a ＞0且a ≠1)；⑤若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N .3．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n (a ＞0且a ≠1)则a 2m －n＝________；(2)若a ＞0，2349a =，则23log a =________； (3)若5lg x＝25，则x ＝________.4．已知lg(log 2x )＝0，7312log [log (log )]0y =，则log x y ＝________.5．已知log 7log 56m m a =，log n 8＝b log n 56(m 、n ＞0且m ≠1，n ≠1)，则a ＋b ＝________，17a=________.6．(1)已知11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，则11a b-=________. (2)若2a＝5b＝10，则11a b+=________. 7．求下列各式的值：(1)2log 525＋log 264－2 011log π1； (2)log 155·log 1545＋(log 153)2；(3)375111log log log 258149⋅⋅； (4)lg 20lg0.717()2⨯；(5)2lg5lg8000lg0.06lg6⋅++-； (6)28393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)+++．8．2010年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)参考答案1.21a bb a++- 解析：∵lg2＝a ，lg3＝b ，∴lg12lg3lg 4lg32lg 22.lg15lg3lg5lg31lg 21a bb a+++===++-+- 2．③⑤ 解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当log a (M ＋N )＝b 时，有M ＋N ＝a b，∴④错；由log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，得log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ，即23log log M M N N =，上式只有当1M N=，即M ＝N 时成立，∴⑤正确． 3．(1)43(2)3 (3)100 解析：(1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n＝3. ∴()22224.33m mm nn na a aa a -==== (2)法一：∵a ＞0，2349a =，∴42log .93a =∴222log .33a=，即21log .33a =，∴231log 3.2log 3aa ==法二：∵a ＞0，22342.93a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴22322332log log 23a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴232log 23a = ∴23log 3a =(3)∵5lg x ＝25＝52.∴lg x ＝2，x ＝102＝100.4．－3 解析：∵lg(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1，∴x ＝2，又∵7312log log log 0y ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴312log log 1y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12log 3y =，∴31128y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴3221log log log 238x y -===-.5．1 56 解析：由换底公式得56log 7log 7log 56m m a ==.56log 8log 8log 56n n b ==，∴a ＋b ＝log 567＋log 568＝log 5656＝1. ∵log 567＝a ，∴71log 56a=. ∴7log 5617756a==. 6．(1)1 (2)1 解析：(1)法一：用指数解：由已知得111.21000a=.10.01121000b =，两式相除得：1111.2100010000.0112a b-==，∴111a b-=. 法二：用对数解．由题意，得a ×lg11.2＝3，b ×lg0.011 2＝3，∴()111lg11.2lg 0.011213a b -=-=. 法三：综合法解．∵11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，∴a ＝log 11.21 000，b ＝log 0.011 21 000.∴100010001000100011.20.0112111111.2log 11.2log 0.0112log log 10001log 1000log 10000.0112a b -=-=-=== (2)法一：由2a＝5b＝10，得a ＝log 210，b ＝log 510， ∴251111lg 2lg5lg101log 10log 10a b +=+=+==. 法二：对已知条件的各边取常用对数，得a lg2＝b lg5＝1，∴1lg 2a =，1lg 5b=， ∴11lg 2lg 5lg101a b+=+==. 7．解：(1)原式＝2log 552＋log 226－2011×0＝4＋6－0＝10.(2)原式＝log 155(1＋log 153)＋(log 153)2＝log 155＋log 153(log 155＋log 153)＝log 155＋log 153＝log 1515＝1.[或原式＝(1－log 153)(1＋log 153)＋(log 153)2＝1－(log 153)2＋(log 153)2＝1](3)原式111lglg lg2lg 54lg 32lg 7258149lg 3lg 7lg 5lg 3lg 7lg 5---=⋅⋅=⋅⋅＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16.(4)设lg0.7lg20172x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则1lg lg 20lg 7lg 0.7lg 2x =⋅+⋅＝(1＋lg2)lg7＋(lg7－1)(－lg2)＝lg7＋lg2＝lg14.∴x ＝14，即lg0.7lg2017142⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.(5)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg 22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg 22－2＝3(1－lg 22)＋3lg 22－2＝3－2＝1.(6)原式2233323235915log 3log 32log 2log 2log 2log 3log 232322⎛⎫⎛⎫=+++=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 8．解：设经过x 年后国民生产总值是2010年的2倍．经过1年，总产值为a (1＋8%)，经过2年，总产值为a (1＋8%)2，……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x.由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x＝2.方法一：两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即()lg 20.30109lg1.080.0334x =≈≈年．方法二：用换底公式．∵1.08x＝2，∴ ()1.08lg 2log 29lg1.08x ==≈年．答：约经过9年，国民生产总值是2010的两倍． 百尺竿头解：(1)∵18b＝5，∴log 185＝b ，又∵log 189＝a ，∴log 182＝1－log 189＝1－a . ∴18181836181818log 45log 5log 9log 45log 36log 18log 2112a b a ba a+++====++--. 2)∵log a 8＋log 2a ＝4，∴3log a 2＋log 2a ＝4，∴222log 4log 30a a -+=， ∴(log 2a －1)(log 2a －3)＝0，即log 2a ＝1或log 2a ＝3，∴a ＝2或a ＝8. ①当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3是偶函数；当a ＝8时，f (x )＝x 8＋3也是偶函数． ∴f (x )是偶函数．②当a ＝2时，原式23lg 27lg 643lg36lg 2log 27log 6418lg 2lg3lg 2lg3=⋅=⨯=⨯=；当a ＝8时，原式83lg 27lg 643lg36lg8log 27log 646lg8lg3lg8lg3=⋅=⨯=⨯=. ③∵g (x )＝2x或g (x )＝8x，且2与8都大于1，∴g (x )＝a x在R 上是单调增函数．。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》示范课课件_0
指数函数
应用举例
例2 填空 １ ①函数y=8 ２x-1 的定义域 x| x≠½ ；
②函数y=0.1 2x-3 的定义域
x| x≥ 2 。
3
指数函数
练习
1.方程2 x= 2-x的解的个数为______
2.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的¾, 写 出存留污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式,若要 使存留的污垢不超过原有的1%,则至少要漂洗几次? (提示：设最初的污垢量为1)
t
y =(½) 5730
=[(½ )
1
] 5730
t
(t≥0)，
由上面几个问题得到的函数
① y=2 x
(x∈N)；
② y=(1+7.3%)x =1.073x
③
t
y =(½) 5730
=[(½
)
1
] 5730
t
(x∈N+,x≤20)； (t≥0)，
有什么共同特征？
由上面几个问题得到的函数
① y=2 x
y=(½ )x
y=2x
思考？
函数y=2x的图象与函数y= (½)x
的图象有什么关系？可否利用
y=2x的图象直接画出y=(½)x 的
图象?
指数函数
思考？ 函数y=2x的图象与函数y= (½)x的图象有什么关系？ 可否利用y=2x的图象直接画出y=(½ )x的图象?
结论: 函数y=2x的图象与函数y= (½)x的图象关于y轴 对称,可以利用y=2x的图象直接画出y=(½ )x的图象.
3 2 1
(0,1)
函数y=(1/5)x和 y=5x的 -2
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数 3.
3．5．2．对数函数的图像与性质（1）[教学目标]1、知识与技能（1）由前面学习对数函数的图像与性质的基础上,进一步应用对数函数的图像和性质解答问题．（2）会利用指数函数对数函数的图像研究对数函数的性质．（3）能够理解指数函数的图像和性质与对数函数的图像与性质之间的关系． 2、 过程与方法 （1）让学生掌握指数函数的图像与对数函数的图像之间的关系,会利用它们的对称关系, 熟练地进行画图．（2）学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质． 3、情感．态度与价值观使学生通过学习对数函数,了解指数函数与对数函数图像和性质之间的关系．在学习的过程中体会类比、转化、数形结合的方法研究问题．直观明了,增强学习对数函数的积极性和自信心．[教学重点]: 对数函数的图像和性质以及与指数函数图像与性质之间的关系． [教学难点]：对数函数图像与性质与指数函数的图像与性质之间的关系． [课时安排]: 2课时[学法指导]：学生思考、探究． [讲授过程] 【新课导入】 [互动过程1]复习:1．对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:（0，+∞）（0，+∞）y<0 :1．在同一直角坐标系中画出下列函数的图像211323(1)y log x;(2)y log x;(3)y log x;(4)y lo g x;(5)y lg x=====2．求下列函数的定义域:31(1)y log (2)y ln4x==-解:（10>,即x 2>,所以函数3y log ={x |x 2}>;（2）因为104x >-,即x 4<,所以函数1y ln4x=-的定义域为{x |x 4}< 3．比较下列各题中两个数的大小:(1)lg 0.3,lg 0.4; 0.50.5(2)log 3,log 0.23(3)log e,ln 3; a a (4)log 0.9,log 1.2(a 0,a 1)>≠解: （1）因为10>1,函数y lg x =是增函数,0．3<0．4,所以lg0.3lg0.4;> （2）因为0．5<1,函数0.5y log x =是减函数,3>0．2,所以0.50.5log 3log 0.2<; （3）因为函数3y log x =是增函数,e 3<,所以33log e log 31<=,同理1lne ln3=<,所以3log e ln 3;<（4）当a 1>时,函数a y log x =在(0,)+∞上是增函数,此时, a a log 0.9log 1.2<, 当0a 1<<时,函数a y log x =在(0,)+∞上是减函数,此时, a a log 0.9log 1.2> [互动过程2]观察在同一坐标系内函数2y log x =与函数xy 2=的图像，分析它们之间的关系． 解:从图上可以看出点P （a,b ）与点Q （b,a ）关于直线y=x 对称,函数2y log x =与函数xy 2=互为反函数,对应于函数2y log x =图像上任意一点P （a,b ）,P 关于直线y=x的对称点Q （b,a ）总在函数x y 2=的图像上,所以,函数2y log x =的图像与函数xy 2=的图像关于直线y=x 对称．[结论]:一般地,函数y f (x)=的图像和它的反函数的图像关于直线y=x 对称． [互动过程3]1．根据表中的数据（精确到0．01）,画出函数2y log x =,3y log x =5y log x =的图像,并观察图像,说明三个函数图像的相同与不同之处．2．对数函数a y log x =,当底数a>1时,a 的变化对函数图像有何影响?3．仿照前面的方法,请你猜想,对数函数a y log x =当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响? 4．练习:1[实际应用]人们早就发现放射性物质的衰减现象,在考古工作中,常用14C 的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律:rt0C(t)C e-=,其中t 表示衰减的时间,0C 表示放射性物质的原始质量,C(t)表示经衰减了t 年后剩余的质量． 为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期,14C 的半衰期大约是5730年,由此可确定系数r,人们又知道,放射性物质的衰减速度与其质量成正比的．1950年在巴比伦发现一根刻有Hammmurbi 王朝字样的木炭,当时测定,其14C 分子的衰减速度为4．09个/（g ·min ）,而新砍伐烧成的木炭中14C 的衰减速度为6．68个/（g ·min ）,,请估算出Hammmurbi 王朝所在的年代．解:因为14C 的半衰期大约是5730年,所以建立方程5730r 1e 2-=,解得r 0.000121=,由此可知14C 的衰减规律服从指数型函数0.000121t0C(t)C e-=设发现Hammmurbi 王朝字样的木炭的时间（1950年）为0t 年,因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比的,所以00C(t ) 4.09C 6.68=,所以0.000121t4.09e 6.68-=,两边取自然对数,得00.000121t ln 4.09ln 6.68-=-,解得0t 4054≈（年）．即Hammmurbi 王朝所在的年代大约在公元前2100年．课堂小结:1．互为反函数的图像之间的关系．2．对数函数a y log x =,当底数a>1时和当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响? 3．指数函数、对数函数在考古中的应用． 作业:习题3-5 B 组1,2,3,4。
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指数函数[核心必知]1．指数函数的定义函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2．指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1，x ∈R )的图像和性质 (1)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像和性质，如下表所示．y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图像性质定义域 R 值域(0，＋∞)定点 恒过(0,1)点，即x ＝0时，y ＝1函数值 的变化 x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1 x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1； 单调性是R 上的增函数是R 上的减函数(2)函数y ＝a x与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax (a ＞0且a≠1)图像关于y 轴对称．[问题思考]1．对于指数函数y ＝a x，为什么要规定底数a ＞0且a ≠1?提示：如果a ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧当x ＞0，a x恒等于0；当x ≤0时，a x 无意义.如果a ＜0，如y ＝(－4)x，当x ＝14、12等时，在实数范围内函数值不存在．如果a ＝1，y ＝1x ＝1，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1.2．在同一直角坐标系中画出y ＝3x，y＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像，指出它们的相对位置与底数大小有何关系？提示：借助图像可得如下结论：(1)在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小．(2)在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．函数y ＝3x的图像关于y 轴对称图像对应的函数是什么？与偶函数图像对称有什么区别？提示：是y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；这是两个函数图像关于y 轴对称，而偶函数是一个函数的图像的两部分关于y 轴对称．讲一讲1．画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图像，并根据图像写出函数的值域及单调区间．[尝试解答] ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥0，2x ，x ＜0，∴在平面直角坐标系内画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≥0)及y ＝2x (x ＜0)的图像．这两段图像合起来就是所求函数的图像，如图．由图像可知所求函数的值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．与指数函数有关的指数型函数的图像，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图像的平移、对称或翻折变换得其图像，然后利用图像直观地研究其性质．练一练1．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|.(1)试利用指数函数的图像作出该函数的图像；(2)由图像指出该函数的单调区间；(3)由图像指出当x 取何值时，函数有最值．解：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1，x ≥－1，3x ＋1，x ＜－1.其图像由两部分组成：①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≥0)――→向左平移1个单位y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1(x ≥－1)； ②y ＝3x(x ＜0)――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x ＜－1)．图像如图：(2)由图像知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数．(3)由图像知当x ＝－1时，函数有最大值1，无最小值．讲一讲2．试比较下列各组数的大小： (1)1.12.5与；(2)－与－； (3)与(a ＞0且a ≠1)；(4)－与－. [尝试解答] (1)考查指数函数y ＝，由于底数＞1，所以函数y ＝在R 上是增函数．∵＜3，∴1.12.5＜.(2)考查函数y ＝，由于底数＜1， 所以函数y ＝在R 上是减函数． ∵－＞－，∴－＜－.(3)当a ＞1时，函数y ＝a x在R 上是增函数．∵＜，∴＜.当0＜a ＜1时，函数y ＝a x在R 上是减函数，∴＞.(4)∵ －＞＝1,－＜＝1， ∴－＞－.对于指数幂的大小比较，一般规律为： (1)同底数指数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小．(2)同指数不同底数的指数幂：在同一坐标中作出不同底数的函数的图像，利用图像比较大小．(3)既不同底数，又不同指数指数幂：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较，如本讲(4)．练一练2．比较下列各组数的大小．(1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫54－；(2),，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－；(3)－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23；(4)0.30.4与解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫54－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝，∵函数y ＝在定义域R 上是减函数，又∵>， ∴， 即－. (2)∵＝,＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－＝， ∵y ＝2x在定义域R 上为增函数，∴>>，即>⎝ ⎛⎭⎪⎫12－>.(3)∵－2>＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1，∴－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23.(4)当指数相同且大于0时，底数越大图像越高，∴0.30.3<， 又∵0.30.4<，∴讲一讲3．(1)求函数y ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的定义域和值域；(2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x 的值域；(3)求函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋5的值域；(4)讨论函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a ＞0且a ≠1)的奇偶性和单调性．[尝试解答] (1)x 应满足1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130，即x ≥0， ∴定义域为{x |x ≥0，x ∈R }．∵x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤1.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＞0，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤1.∴0≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＜1，∴0≤y ＜1，∴此函数值域为[0,1)．(2)设u ＝－x 2＋2x .∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ，u ＝－x 2＋2x 的定义域都是R ，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x 的定义域为R ，∵u ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121， ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞； (3)∵y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋5＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －22＋9≤9，∴y ∈(－∞，9]；(4)易得f (x )的定义域为{x |x ∈R }．∵f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )，且定义域为R ，∴f (x )是奇函数．f (x )＝a x ＋1－2a x＋1＝1－2a x ＋1， ①当a ＞1时，∵a x＋1为增函数，且a x＋1＞0，∴2a x＋1为减函数， ∴f (x )＝1－2a x ＋1＝a x －1a x ＋1为增函数．②当0＜a ＜1时，同理可得f (x )＝a x －1a x＋1为减函数．(1)指数型函数y ＝af (x )的有关性质：①定义域：与y ＝f (x )的定义域相同． ②值域：先求f (x )的值域，再根据单调性确定y ＝af (x )的值域．(2)对于y ＝m (a x )2＋na x＋c (m ≠0)的值域，利用换元法转化为二次函数，和用二次函数求值域的方法求解．(3)与指数函数有关的函数的单调性、奇偶性用定义解决．练一练 3．若函数y ＝a ·2x－1－a2x－1为奇函数．(1)确定a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性． 解：先将函数y ＝a ·2x －1－a2x－1化简为y ＝a －12x－1. (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x－1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x1－2x＝0.∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x－1≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x≠0}．(3)∵x ≠0，∴2x－1＞－1.又∵2x －1≠0，∴0＞2x －1＞－1或2x－1＞0.∴－12－12x －1＞12或－12－12x －1＜－12，即函数的值域为.(4)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝∵0＜x 1＜x 2，∴y 1－y 2＜0.因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上是增加的．由于y ＝f (x )是奇函数，从而y ＝－12－12x－1在(－∞，0)上也是增加的．关于x 的方程||a x －1＋1－2a ＝0有两个相等的实数根．则a 的取值范围是________．[巧思] 将问题转化为直线y ＝2a 与函数y ＝||a x－1＋1(a ＞0且a ≠1)的图像有两个交点，利用数形结合法求解．[妙解] 当a＞1时，函数y＝||a x－1＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图像(实线)，由图可知1＜2a＜2，即12＜a＜1，与a＞1矛盾．当0＜a＜1时，同样函数y＝||a x－1＋1通过平移变换和翻折变换得到如图所示的图像(虚线)，由图可知1＜2a＜2，即12＜a＜1.∴当直线y＝2a与函数y＝||a x－1＋1的图像有两个交点时a的取值范围是.[答案]1．已知以x 为自变量的函数，其中属于指数函数的是( ) A ．y ＝(a ＋1)x(其中a ＞－1，且a ≠0) B ．y ＝(－3)x C ．y ＝－(－3)x D ．y ＝3x ＋1解析：选A 在指数函数y ＝a x的定义中，要求①a ＞0且a ≠1，②a x，x 的系数均为1，符合以上两点的是选项A.2．(四川高考)函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图像可能是 ( )解析：选C 法一(图像变换法)当0<a <1时，函数y ＝a x－a 是减函数，且其图像可视为是由函数y ＝a x的图像向下平移a 个单位长度所得到的，结合各选项知，选C.法二(特殊点法)由题意可知函数y ＝a x－a (a >0且a ≠1)必过点(1,0)，故只有C 项符合．3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1πa ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1πb，则a 、b 的大小关系是( )A ．1＞a ＞b ＞0B ．a ＜bC ．a ＞bD ．1＞b ＞a ＞0解析：选B 考查指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx，∵底数1π＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx在R 上是减函数．∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1πa ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1πb，∴a ＜b . 4．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a ＝________. 解析：∵指数函数是单调函数，∴函数y ＝a x在区间[0,1]端点上取得最值． ∴a 0＋a ＝3，得a ＝2. 答案：25．若a ＜0，则函数y ＝(1－a )x－1的图像必过点________．解析：a ＜0，－a ＞0,1－a ＞1， ∴y ＝(1－a )x为指数函数，过点(0,1)， 将y ＝(1－a )x 的图像向下平移1个单位， 得到函数y ＝(1－a )x－1的图像，过定点(0,0)． 答案：(0,0)6．设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 在R 上满足f (－x )＝f (x )，(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 解：(1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即exa ＋a e x ＝1a ex ＋a e x. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a ＞0，所以a ＝1.(2)证明：设0＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝＝＝由x 1＞0，x 2＞0，x 2－x 1＞0，得x 1＋x 2＞0，，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．一、选择题1．(山东高考)函数f (x )＝ 1－2x＋1x ＋3的定义域为 ( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x ≤0.2．指数函数y ＝b ·a x在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3解析：选A ∵y ＝b ·a x 为指数函数，∴b ＝1，则[b,2]＝[1,2]．由于y ＝a x为单调函数，∴函数在区间[1,2]的端点处取得最值，∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －2)，x ≥0，2x，x ＜0，则f (8)等于( )A ．4B ．0 D ．2解析：选C f (8)＝f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝f (－2)＝2－2＝14.4．定义运算a ×b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a ＞b )，则函数f (x )＝1×2x的图像是( )解析：选A 当x ＜0时，2x ＜1，f (x )＝2x ；当x ≥0时，2x≥1，f (x )＝1. 二、填空题5．函数y ＝8－2x的定义域是 ________．解析：∵8－2x≥0，即2x≤23，又y ＝2x在R 上为增函数．∴x ≤3的定义域为(－∞，3]． 答案：(－∞，3]6．已知a ＝0.30.2，b ＝，c ＝，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－，则a ，b ，c ，d 由小到大排列的顺序是________．解析：∵0.30.2＜＝1，同理：，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－＞1，考查幂函数y ＝，可知该函数在(0，＋∞)上是增函数．∴0.30.2＞；考查指数函数y ＝，可知该函数在R 上是减函数，∴，综上，－，即c ＜b ＜a ＜d .答案：c ＜b ＜a ＜d7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3a ，x ＜0，a x，x ≥0(a ＞0，a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：当x ＜0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 是减函数；当x ≥0时，函数f (x )＝a x 是减函数，则0＜a ＜1；且满足0＋3－3a ≥a 0，解得a ≤23，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 8．若0＜a ＜1，b ＜－1，则函数f (x )＝a x＋b 的图像一定不经过第________象限． 解析：函数f (x )＝a x ＋b 的图像可由函数y ＝a x的图像向上(b ＞0时)或向下(b ＜0)时，平移|b |个单位得到，∵0＜a ＜1，b ＜－1，结合图像可知，f (x )＝a x＋b 的图像一定不经过第一象限．答案：一 三、解答题9．已知函数y ＝a 2x＋2a x－1(0＜a ＜1)在区间[－1,1]上的最大值是14，试求a 的值． 解：由y ＝a 2x＋2a x－1(0＜a ＜1)， 令t ＝a x，∵x ∈[－1,1]∴a ≤t ≤1a，∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. 对称轴为t ＝－1.∵0＜a ＜1∴1a ＞1，∴当t ＝1a，即x ＝－1时，y 取最大值．y max ＝1a 2＋2a －1＝14，解得a ＝13，a ＝－15.∵0＜a ＜1，∴a ＝13.10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)证明f (x )＞0.解：(1)由题意，2x－1≠0，即x ≠0， ∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12(－x )3 ＝2－x ＋12(2－x －1)·(－x )3 ＝1＋2x 2(1－2x )·(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3＝f (x )， ∴f (x )为定义域上的偶函数． (3)当x ＞0时，2x ＞1，∴2x －1＞0.又∵x 3＞0，∴f (x )＞0.由偶函数的图像关于y 轴对称，知x ＜0时，f (x )＞0也成立．故对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f (x )＞0.。