信号与系统的时域和频域特性
信号与系统的时域和频域特性
在时域 由系统的单位冲激响应
h(t)或 hn
在频域 由系统的频率响应
H ( j) 或 H (e j )
1. 它们之间存在的转换关系，往往可以简化运算，如 时域中的微分（差分）方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，反之 亦然；
2. 对于实际的系统，时域和频域的要求，往往不能同 时满足，通常需要一些折衷。如P225例4.18 (连续 时间)和P272例5.12（离散时间）的情况。
第六章 信号与系统的时域和频域特性 主要内容
傅里叶变换的模和相位表示； LTI系统的模和相位表示； 理想选频滤波器的时域特性； 非理想滤波器的时域和频域特性讨论； 一阶和二阶（连续、离散时间）系统 系统的时域分析与频域分析举例
1
§ 6.0 引言
在时域和频域，都可以用LTI系统的某一特征，对于系统进行完整描 述，他们分别为：
1. 系统相位为线性相位
若连续时间LTI系统：
y(t) x(t t0 ) 时移系统
则 Y ( j) X j e e jX j jt0
输入信号相移
H ( j) e jt0 , H ( j) t0
随频率线性变化； 斜率为时移值。
上式表明：
t 用，只当是系信统号的在相时位间特上性平仅移仅了是附,加在一频个域线里性发相生移了相移。，则系统对信号t0的作
对连续系统 对离散系统
y(t) kx(t t0) H ( j ) ke jt0
h(t) k (t t0 )
yn kxn n0
H (e j ) ke jn0
hn k n n0
即 H( j) k
H ( j) t0
即
H (e j ) k
H (e j ) n0
10
第六章信号与系统的时域和频域特性
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
信号与系统分析实验信号的频谱分析
实验三信号的频谱分析1方波信号的分解与合成实验1实验目的1. 了解方波的傅立叶级数展开和频谱特性。
2. 掌握方波信号在时域上进行分解与合成的方法。
3. 掌握方波谐波分量的幅值和相位对信号合成的影响。
2 实验设备PC机一台，TD－SAS系列教学实验系统一套。
3 实验原理及内容1. 信号的傅立叶级数展开与频谱分析信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。
对于一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱条件，就可以将其展开成傅立叶级数：如果将式中同频率项合并，可以写成如下形式：从式中可以看出，信号f(t)是由直流分量和许多余弦（或正弦）分量组成。
其中第一项A0/2是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；式中第二项A1cos(Ωt+φ1)称为基波，它的角频率与原周期信号相同，A1是基波振幅，φ1是基波初相角；式中第三项A2cos(Ωt+φ2)称为二次谐波，它的频率是基波的二倍，A2是基波振幅，φ2是基波初相角。
依此类推，还有三次、四次等高次谐波分量。
2. 方波信号的频谱将方波信号展开成傅立叶级数为：n=1，3，5…此公式说明，方波信号中只含有一、三、五等奇次谐波分量，并且其各奇次谐波分量的幅值逐渐减小，初相角为零。
图3-1-1为一个周期方波信号的组成情况，由图可见，当它包含的分量越多时，波形越接近于原来的方波信号，还可以看出频率较低的谐波分量振幅较大，它们组成方波的主体，而频率较高的谐波分量振幅较小，它们主要影响波形的细节。
（a）基波（b）基波＋三次谐波（c）基波＋三次谐波＋五次谐波（d）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波（e）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波＋九次谐波图3-1-1方波的合成3. 方波信号的分解方波信号的分解的基本工作原理是采用多个带通滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上，当被测信号同时加到多路滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。
信号与系统实验_矩形信号的分解
学号： 姓名：实验三、矩形信号的分解一、实验目的1、分析典型的矩形脉冲信号，了解矩形脉冲信号谐波分量的构成；2、观察矩形脉冲信号分解出各谐波分量的情况。
二、预备知识1.学习“周期信号的傅里叶级数分析”一节；2．复习matlab 软件的使用方法。
3．信号的滤波知识三、实验原理1、信号的频谱与测量信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。
对于一个时域的周期信号)t (f ，只要满足狄利克莱(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。
例如，对于一个周期为T 的时域周期信号)t (f ，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间)T t ,t (11+内表示为)sin cos ()(10t n b t n a a t f n n n Ω+Ω+=∑∞=即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。
AA（c）图3-1 信号的时域特性和频域特性信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图3-1来形象地表示。
其中图3-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维座标系统中的图形；图3-1(b)是信号在幅度--时间座标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。
反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。
图3-1(c)是信号在幅度--频率座标系统中的图形即振幅频谱图。
反映各分量相位的频谱称为相位频谱。
在本实验中只研究信号振幅频谱。
周期信号的振幅频谱有三个性质：离散性、谐波性、收敛性。
测量时利用了这些性质。
从振幅频谱图上，可以直观地看出各频率分量所占的比重。
测量方法有同时分析法和顺序分析法。
2、 矩形脉冲信号的频谱一个幅度为E ，脉冲宽度为τ，重复周期为T 的矩形脉冲信号，如图10-3所示。
图3-2 周期性矩形脉冲信号其傅里叶级数为：t n Tn Sa T E T E t f n i ωπτττcos )(2)(1∑=+= 该信号第n 次谐波的振幅为：Tn T n T E T n Sa T E a n /)/sin(2)(2τπτπττπτ== 由上式可见第n 次谐波的振幅与E 、T 、τ有关。
第六章 信号与系统的时域和频域特性
1 x(t ) 2
1 X ( j )e e d 2
3.单位冲激信号
0
1 e σ α e dt α s 0 α s
α s t
L t t e std t 1
0
全s域平面收敛
L t t0 t t0 e std t e st0
1 st t de s 0
n! 所以 L t n1 s
n
9.6 常用拉氏变换对,注意收敛域 Some Laplace Transform Pairs
第பைடு நூலகம்
4
页
u(t )
e u(t )
at
1 S
1 sa
t u(t )
n
n! s n 1
1
(t )
对上式两边做拉氏变换：
1 1 1 (n) X ( s) x(0 ) 2 x(0 ) n 1 x (0 ) s s s
x
n 0
(n)
(0 )
1 s n 1
lim sX ( s) x(0 )
s
第
如果 x(t )是因果信号，且在 t 0 不包含奇异
第
10. 初值与终值定理: （The Initial- and Final- Value Theorems) 如果 x(t ) 是因果信号，且在 t 0不包含奇异
18
页
函数，则 x(0 ) lim sX ( s) ——初值定理
s
Proof:
t 0 时 x(t ) 0 ，且在 t 0 不包含奇异函数。
信号与系统的时域和频域特性
信号与系统的时域和频域特性6. 信号与系统的时域和频域特性⽬录6.1 傅⾥叶变换的模和相位表⽰连续时间傅⾥叶变换X(jω)的模-相表⽰为X(jω)=|X(jω)|e j∡X(jω)6.2 线性时不变系统频率响应的模和相位表⽰Y(jω)=H(jω)X(jω)所以|Y(jω)|=|H(jω)||X(jω)|∡Y(jω)=∡H(jω)+∡X(jω)所以|H(jω)|⼀般称为系统的增益(gain)，∡H(jω)⼀般称为系统的时移(phase shift)。
6.2.1 线性与⾮线性相位具有整数斜率的线性相位的系统所产⽣的输出就是输⼊的简单移位。
如果输⼊信号受到的是⼀个ω的⾮线性函数的相移，那么在输⼊中各不同频率的复指数分量都将以某种⽅式移位，从⽽在它们的相对相位上发⽣变化。
6.2.2 群时延如果系统对所有的频率分量都有相同的相位延时，那么信号经过该系统后，波形形状将之前完全相同，只是有⼀定的延时，但如果不同频率分量有不同的相位延时，那么信号经过该系统后将产⽣形变。
群时延(group delay)代表的就是某个频率及其周边频率的差异程度。
τ(ω)=−ddω{∡H(jω)}6.2.3 对数模和相位图通过取对数的⽅式可以将两个模的相乘转换为两个对数模的相加。
在⼀个对数标尺上展现傅⾥叶变换的模可以在⼀个较宽的动态范围内将细节显⽰出来。
⼀般所采⽤的对数标尺的单位：分贝。
采⽤20log10为单位的称为分贝(decibels)，20dB就对应于10倍的增益，6dB就近似对应于2倍增益。
20log10|H(jω)|和∡H(jω)对于log10(ω)的图称为伯德图(Bode)。
6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性6.4 ⾮理想滤波器的时域和频域特性讨论由于理想滤波器物理上是不可实现的，所以在滤波器的通带和阻带之间允许存在⼀个过渡带。
由于理想低通滤波器的阶跃响应问题，在连续时间和离散时间的两种情况下，在跳变点附近呈现过冲和振荡的现象。
《信号与系统》30道思考参考答案
13、试说明傅里叶变换、拉普拉斯变换和 Z 变换在信号分析中的作用、各自的 局限性及他们之间的联系。
答：傅里叶变换将系统的激励和响应关系从时域变换到频域来研究，从解微分方 程转化为解代数方程；拉普拉斯变换则将信号从时域变换到了复频域，同样也是 从解微分方程转化为解代数方程；z 变换是将时域离散时间序列变换成为 z 域的 连续函数，将离散问题转化成了连续问题。
对信号能够完成某种变换或运算功能的集合体称为系统。系统在哲学上有着 更为广泛的涵义：一般是指由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有某 种特定功能的整体。
系统分析与信号分析密不可分，对信号进行传输和加工处理，必须借助于系 统；离开了信号，系统将失去意义，分析系统就是分析某一个特定的信号，分析 信号与信号的相互作用，信号分析是系统分析的基础。所以信号与系统之间的关 系是相辅相成的，离开了信号谈论系统是毫无意义的，系统只能依靠信号的作用 才能显示出特性及用途，信号离开了系统，也就不能发挥其应有的作用。
方法是根据题意列出微分方程，然后求解微分方程。步骤是：（1）求解通解： 由方程左边部分得到的特征方程所得到的特征频率解得的系统的自然响应（或自 由响应）；（2）求特解：由激励得到系统的受迫响应；（3）代入初始条件，确定 通解和特解中的待定系数。
卷积法：将响应分成两个部分：（1）零输入响应：系统在没有输入激励的情
Step4：乘积，把变换后的两信号相乘； 例如： x(τ )h(t −τ )
Step5：积分，根据位移不同导致的信号乘积的不同结果，在非零区间进行积分
∫ 运算； 即 t2 x(τ )h(t −τ )dτ 。 t1
时域和频域的例子
时域和频域的例子全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：时域和频域是信号处理领域中常用的两种表达方式，它们分别描述了信号在时间和频率上的特性。
时域表示信号随时间变化的特征，而频域则描述了信号在频率上的成分。
这两种表示方式通常是相关的，通过时域和频域分析可以更全面地理解信号的特性。
在信号处理中，时域和频域分析是两种基本的信号分析方法。
时域分析是指对信号在时间域内的特性进行分析，常用的方法有时域波形分析、自相关函数分析等。
而频域分析则是指对信号在频率域内的特性进行分析，常用的方法有频谱分析、频域滤波等。
以音频信号为例，可以通过时域和频域分析来更好地理解信号的特性。
在时域分析中，我们可以通过观察信号的波形图来了解信号的幅度、频率和相位等信息。
而在频域分析中，我们可以通过信号的频谱图来了解信号在不同频率下的能量分布情况。
除了音频信号，时域和频域分析在其他领域也有着广泛的应用。
在图像处理中，可以通过时域和频域分析来分析图像的空间分布和频率分布情况，从而实现图像的增强和去噪等处理。
在通信领域中，时域和频域分析可以帮助我们了解信号在传输过程中的特性，从而实现信号的解调和解码等操作。
时域和频域是信号处理中常用的两种表达方式，通过对信号的时域和频域分析可以更全面地了解信号的特性。
在实际应用中，时域和频域分析常常是相辅相成的，通过综合利用时域和频域信息可以更好地实现信号处理的目的。
希望本文能够为读者提供一些关于时域和频域分析的基础知识，进一步拓展读者对信号处理的认识。
【字数超过限制，文章过长请自行裁剪】。
第二篇示例：时域和频域是数字信号处理中非常重要的概念。
时域描述了信号随时间变化的特性，而频域则描述了信号在频率域中的特性。
在实际应用中，时域和频域的分析可以帮助我们理解信号的性质和特征，进而对信号进行处理和分析。
为了更好地理解时域和频域的概念，我们可以通过一个简单的例子来进行说明。
假设我们有一个正弦波信号，其表达式为：\[x(t) = A\sin(2\pi f t +\phi)\]\(A\)为振幅，\(f\)为频率，\(\phi\)为相位，\(t\)为时间。
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6.3 理想频率选择性滤波器
The Ideal Frequency-Selective Filters 一. 滤波
通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相 位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。
滤波器可分为两大类：
率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位） 2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）
三. 群时延（Group Delay） 对线性相位系统，系统的相位特性表明了信号的
各个频率分量在通过系统时，系统对它所产生的附 加相移。相位特性的斜率就是该频率分量在时域产 生的时延。
对非线性相位系统，定义群时延为
() d H ( j) d
群时延代表了在以0为中心的一个很窄的频带或
很少的一组频率上信号所受到的有效公共延时。
在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失真 和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同的 技术指标要求。
例.swf（幅度失真和相位失真的影响）
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems
考察一个中心频率为 的窄0 带输入信号，一个非
线性相位的系统在此窄带范围内，可将其相位的变 化近似看成线性的。因此，
Y ( j) X ( j) | H ( j) | e je j
该系统对窄带输入信号产生的近似效果就是：
1. 由| H( j) |引起的幅度成形；
2. 对应系统在0的恒定相位 的因子 e j 的影响；
本章主要内容
1. 傅立叶变换的模与相位。 2. LTI系统的幅频特性与相频特性，系统的失真。 3. 系统的不失真传输条件。 4. 理想滤波器的频域、时域特性及其不可实现性。 5. 非理想滤波器的特性及其逼近方式。 6. 一阶与二阶系统的分析方法，Bode图。
6.0 引言 Introduction
据此可得出信号传输的不失真条件：
h(t) k (t t0 ) ——时域表征
H ( j) ke jt0 , ——频域表征
| H ( j) | k, H ( j) t0
| H( j) |
0
H ( j)
0
通常，系统若在被传输信号的带宽范围内满足不 失真条件，则认为该系统对此信号是不失真系统。
在以前的讨论中，已经看到
❖ 在时域，系统的特性由 h(或t) 描h(n述) ；
❖ 在频域，系统的特性由 H ( 或j) H描(e述j ) ； 工程中设计系统时，往往会对系统的特性从 时域角度或频域角度提出某些要求。
❖ 在LTI 系统分析中，由于时域中的微分（差分） 方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，所以 利用频域分析往往特别方便。
❖ LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
Y( j) X ( j)H( j) Y (e j ) X (e j )H (e j )
Y( j) | X ( j) || H( j) | Y ( j) H( j) X ( j)
二. 信号的不失真传输条件
如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视 为在传输中未发生失真。
y(t) kx(t t0 ) y(n) kx(n n0 )
这就要求系统的频率特性为
H ( j ) ke jt0
H (e j ) ke jn0
如果一个系统的幅频特性是一个常数，称这种
系统为全通系统。
❖ 系统的时域特性与频域特性是相互制约的。在 进行系统的分析与设计时，要权衡考虑系统的时 域与频域特性。
❖ 本章的基本内容旨在建立对系统的时域和频域 特性进行综合分析的思想和方法。
6.1 傅里叶变换的模和相位表示
The Magnitude-Phase Representation of the Fourier Transform
一. 线性与非线性相位 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生
改变都会引起信号波形的改变，即发生失真。 当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，只引起
信号在时间上的平移。如连续时间LTI系统：
H ( j) e jt0 则 y(t) x(t t0 )
此时并未丢失信号所携带的任何信息，只是发 生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的。
无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为一 个复函数。
X ( j) X ( j) e j X ( j) X (e j ) X (e j ) e j X (e j )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
因此，导致信号失真的原因有两种： 1.幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。 2.相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。
如果系统的相位特性是非线性的，由于不同频率分 量受相位特性影响所产生的时移不同，叠加起来一 定会变成一个与原来信号很不相同的信号波形。
对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线 性相位系统，当相位特性的斜率是整数时，只引起 信号的时域移位。若相位特性的斜率不是整数，由 于离散时间信号的时移量只能是整数，需要采用其 他手段实现，其含义也不再是原信号的简单移位。
ln H( j) lg 单位：奈培（Np） 20lg H( j) lg 单位：分贝（dB） （decibel）
对离散时间系统，由于其有效频率范围只有 2,
而且，即使在对数坐标下也不存在直线型的渐近 线。因而不采用对数坐标，只采用对数模。
采用对数模（或Bode图）表示频率特性，对于 幅频特性有零点或在某些频段上为零的系统，是 不适用的。
3. 对应系统在窄带内的近似线性相位 所产生
的时延 。该时延就是系统在 0的群时延。
四. 对数模与Bode图 在工程应用中，往往采用对数模特性（或称为 Bode图）来描述系统的频率特性。在对数坐标下， 采用对数模，可以给频率特性的表示带来一些方 便。这是因为:
1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.利用对数坐标的非线性，可以展示更宽范围的频 率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略； 3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位 特性的直线型渐近线。 工程中广泛应用的有两种对数模：