材料力学 第八章 复杂应力状态强度问题
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周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析
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8-49现用某种黄铜材料制成的标准圆柱形试件做拉伸试验。
已知临近破坏时，颈缩中心部位的主应力比值为113321::::=σσσ；并已知这种材料当最大拉应力达到770MPa 时发生脆性断裂，最大切应力达到313MPa 时发生塑性破坏。
若对塑性破坏采用第三强度理论，试问现在试件将发生何种形式的破坏？并给出破坏时各主应力之值。
解： 令主应力分别为：σσ31=，σσσ==32脆性断裂时，由第一强度理论=1r σσσ31==770MPa所以，塑性破坏时，由第三强度理论 所以故，试件将发生脆性断裂。
破坏时MPa 7701=σ，MPa 25732==σσ8-50 钢制圆柱形薄壁压力容器（参见图8-13），其平均直径mm d 800=，壁厚mm 4=δ，材料的M P a ][120=σ，试根据强度理论确定容器的许可内压p 。
解：在压力容器壁上取一单元体，其应力状态为二向应力状态。
p pd 504'==δσ ，p pd1002"==δσ 其三个主应力为p 100"1==σσ， p 50'2==σσ，03=σ据第三强度理论所以 ，MPa p 2.13≤，许可内压MPa p 2.13= 据第四强度理论所以，MPa p 39.14≤，许可内压MPa p 39.14=8-51 空心薄壁钢球，其平均内径mm d 200=，承受内压MPa p 15=，钢的MPa ][160=σ。
试根据第三强度理论确定钢球的壁厚δ。
解：钢球上任一点应力状态如图示 其三个主应力为：σσσ==21，03=σ而 MPa MPa d p R R p δδδδππσ4342.0152222=⨯=⋅=⋅⋅=据第三强度理论 所以 mm m 69.41069.41601433=⨯=⨯≥-δ 8-52 图8-77所示两端封闭的铸铁圆筒，其直径mm d 100=，壁厚mm 10=δ，承受内压MPa p 5=，且在两端受压力kN F 100=和外扭矩m kN T ⋅=3作用，材料的许用拉应力MPa ][40=+σ，许用压应力MPa ][160=-σ，泊松比250.=ν，试用莫尔强度理论校核其强度。
材料力学之应力状态
40 60 40 60 = cos( 60 ) (50) sin( 60 ) 2 2
30°
= 58.3MPa
n
27
30 =
0
x y
2
sin 2 xy cos 2
40 60 = sin( 60 ) (50) cos( 60 ) = 18.3MPa 2
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α ：逆时针转动为正
16
A cos
平衡条件的应用 — 微元局部的平衡方程 平衡对象 — 用 斜截面截取的 微元局部 参加平衡的量 — 应力乘以其 作用的面积 平衡方程
A sin
A
x
A
α
xy
t yx
y
F
n
=0
，
F = 0
t
17
F
x
22
三.最大切应力及方位 x y x y = cos 2 xy sin 2 2 2 x y = sin 2 xy cos 2 2 1. 最大切应力的方位: x y d = 2[ cos 2 xy sin 2 ] = 0 令 d 2
x y tan 21 = 2 xy
1 90 1
1 和 1+90o 确定两个互相垂直的平面,一个是最大 切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面。
23
2. 最大切应力
将 1 和 1+90°代入公式
=
x y
2
sin 2 xy cos 2
4 薄壁圆筒的横截面面积
F = p
D 2
F p 4 pD = = = A D 4
30°
= 58.3MPa
n
27
30 =
0
x y
2
sin 2 xy cos 2
40 60 = sin( 60 ) (50) cos( 60 ) = 18.3MPa 2
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α ：逆时针转动为正
16
A cos
平衡条件的应用 — 微元局部的平衡方程 平衡对象 — 用 斜截面截取的 微元局部 参加平衡的量 — 应力乘以其 作用的面积 平衡方程
A sin
A
x
A
α
xy
t yx
y
F
n
=0
，
F = 0
t
17
F
x
22
三.最大切应力及方位 x y x y = cos 2 xy sin 2 2 2 x y = sin 2 xy cos 2 2 1. 最大切应力的方位: x y d = 2[ cos 2 xy sin 2 ] = 0 令 d 2
x y tan 21 = 2 xy
1 90 1
1 和 1+90o 确定两个互相垂直的平面,一个是最大 切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面。
23
2. 最大切应力
将 1 和 1+90°代入公式
=
x y
2
sin 2 xy cos 2
4 薄壁圆筒的横截面面积
F = p
D 2
F p 4 pD = = = A D 4
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
强度设计
解：
max
N max 2.5 10 3 162 MPa < [ ] A 2 6 14 10 4
满足强度条件。
8.3.2 圆轴扭转时的强度条件
扭转失效与扭转极限应力
轴的强度条件： max
轴的合理截面
T [ ] Wp
例4：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆 0.8 轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?
二、其它材料的拉伸实验 对于在拉伸过程 0.2
中没有明显屈服阶段
的材料，通常规定以
产生0.2％的塑性应变
所对应的应力作为屈
服极限，并称为名义
屈服极限，用σ0.2来
表示
O 0.2%
Ⅲ. 材料压缩时的力学性质
一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状
h 15 . ～ 3.0 d
低碳钢压缩时的σ-ε曲线
夹头
夹头
液压式万能试验机
活塞
油管
活动试台
底座
低碳钢——含碳量在0.3%以下的碳素钢。 (I)低碳钢Q235(A3钢)试件的拉伸图：
（P— L) 曲线——拉伸图
P
D
B A
C
E
O
l
P
P A
l
l
l
）曲线 （Ⅱ）低碳钢 Q 235 的应力—应变图（
B A
D
C
E
O
1. 弹性阶段 OAB：这一阶段可分为：斜直线OA和微弯曲
解：设实心
16
3
铸铁压缩时的σ-ε曲线
b压
压缩
O
比较塑性材料与脆性材料的机械性质有以 下区别：
材料力学习题及答案
材料力学-学习指导及习题答案第一章绪论1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。
试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。
解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其大小等于M。
1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。
解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPaτ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。
试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。
图中之C点为截面形心。
解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力F N=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN其力偶即为弯矩M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m1-4 板件的变形如图中虚线所示。
试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。
解：第二章轴向拉压应力2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。
解：(a) F N AB=F, F N BC=0, F N，max=F(b) F N AB=F, F N BC=－F, F N，max=F(c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN, F N CD=3 kN, F N，max=3 kN(d) F N AB=1 kN, F N BC=－1 kN, F N，max=1 kN2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。
材料力学(单辉组)第八章应力应变状态分析
由
tan
2a0
2t x sx s
y
得
cos 2a0
sx sy
2
s
x
s
2
y
2
t
2 x
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2a
t x
sin 2a
最大和最小正应力(主应力)
s max s min
sx
sy
2
sx
s
2
y
2
t
2 x
应力状态：通过一点所有微截面上应力状况 应变状态：通过一点所有微截面上应变状况
6
如何描述复杂状态？ 微体法：---关注一点 一点的应力状态(静力学关系) 一点的应变状态(几何关系) 二者之间的联系(物理关系) 能量法: 应变能---关注整体
目的：解决复杂状态下的强度、刚度、稳定性
7
微体法
• 平面应力状态
T
T
s1 0，s2 0，s3 =0
• 空间应力状态
F
s1 0，s2 0，s3 0
11
EX1 画出矩形梁在滑动铰支座
右侧横截面内不同点的应力状态 F
y
1
1
Fs
2
2
z
M
3
3
4
5
4
s M z y t FSSA1( y)
Iz
Izb
5
12
EX2 画出螺旋桨轴杆表面一点的应力状态
由上式可得相差为900的两个a0值，在这两个相
互垂直的截面上，正应力取得最大值和最小值;
高等教育出版社简明材料力学第二版 第八章 应力状态分析和强度理论分析
1 150 MPa, 2 75 MPa,
3 0
2018/10/12 15
8-2 二向和三向应力状态的实例
火车车轮与钢轨的接 触点也是三向应力状态
A
滚 珠 轴 承
2 A
3
1
2018/10/12
16
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
则斜截面面积为： A Aα = cos α F F cosα F pα cos σ cosα Aα A A
σ σα = pα cosα =σ cos α τ α = pα sin α = σ sin α cos α = sin 2α 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面 上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
10
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
8-3 二向应力状态分析
考虑到切应力互等定理：τxy=τyx
xy
x y
yx
x y
x y
材料力学第八章
D2 E2 O2
某实际应力状态：与 包络线相切，1>3， 3 1 有正负。 E3O3 O1O3 D3O3 D1O1 OO1 OO3 E2O2 O1O2 D2O2 D1O1 OO1 OO2 1 3 [ c ] [ t ] D3O3 D2O2 D1O1 2 2 2 1 3 [ c ] [ t ] OO3 OO2 OO1 2 2 2
最大拉应力1，与应力状态无关； 1．断裂原因： 2．强度准则： 1 u / nb 1 [ ] 断裂判据： 1 u 1 b 3．u由单向拉伸断裂条件确定： u b nb [ ] 4．应用情况：符合脆性材料的多向拉断试验，或 压应力不超过拉应力情况，如铸铁单向拉伸和 扭转；不能用于无拉应力的应力状态。
1．屈服原因： 形状改变比能uf，与应力状态无关；
2．强度准则：
1 uf ufu / ns ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 [ ] 2
屈服判据：
1 uf ufu ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 s 2
4．应用情况： 符合表面润滑石料的轴压破坏，某些 脆性材料压应力很大时的双向拉压状态。
§8-2
断裂准则
一、最大切应力理论(第三强度理论，Tresca准则) 不论材料处于何种应力状态，引起材料屈服的 原因是最大切应力max达到共同极限值s。
1．屈服原因： 最大切应力max，与应力状态无关； 2．强度准则： max s / ns 1 3 [ ]
[t]、[c]：许可拉、压应力； [ t ] 1 3 [ t ] 如[t]=[c]，退化为最大切 [ c ] 应力准则。
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单辉祖:材料力学教程
2
§1 引 言
复杂应力状态强度问题 材料静荷破坏形式与原因
强度理论概说
单辉祖:材料力学教程
3
复杂应力状态强度问题
单向应力与纯剪切 一般复杂应力状态
max
u
n
max
u
n
u , u 由试验测定
每种比值情况下 的极限应力，很 难全由试验测定
本章研究：材料在静态复杂应力状态下的破坏 或失效的规律，及其在构件强度分析中的应用
单辉祖:材料力学教程
解：1. 外力分析
F' y D2 Fz D1 M1 M2 1 kN m 2 2
28
2. 内力分析 M1 , M2 T 图 Fy , F’y Mz 图
Fz , F’z My 图
2 M My M z2
max M
W
BC段 M 图－ 凹曲线
1 b －材料的断裂条件
强度条件
1 b
n
1 [ ]
[ ]
b
n
1 － 构件危险点处的最大拉应力 [] － 材料单向拉伸时的许用应力
单辉祖:材料力学教程 8
最大拉应变理论（第二强度理论）
理论要点 引起材料断裂的主要因素－最大拉应变 e1 不论材料处于何种应力状态，当
单辉祖:材料力学教程 4
材料静荷破坏形式与原因
拉扭破坏现象
塑性材料 脆性材料
断裂
断裂
破坏形式与原因初步分析 屈服或滑移－可能是max 过大所引起 断裂－可能是 t,max 或et,max过大所引起
单辉祖:材料力学教程 5
强度理论概说
关于材料在静态复杂应力状态下 破坏或失效规律的学说或假说 －强度理论 目前常用的强度理论： 关于断裂的强度理论 最大拉应力理论 最大拉应变理论 关于屈服的强度理论 最大切应力理论 畸变能理论
解：1. 问题分析
单辉祖:材料力学教程
危险截面－截面C+
22
FS max 140 kN, M max 5.6 104 N m
危险点：横截面上下边缘；中性轴处； 腹板翼缘交界处
2. max与max作用处强度校核
max
M max M max h 133.3 MPa [ ] Wz 2I z
2 2 b t h 2d 63.1 MPa
max
F max
z
[ bh 8I t
]
如采用第三强度理论
max [ ]
23
单辉祖:材料力学教程
[ ] 0.5[ ] 80 MPa
3. 腹板翼缘交界处强度校核
M max h a d 119.5 MPa Iz 2 F max b 2 F max bd ( h d ) 2 a h h 2d 46.4 MPa 8I zt 2I zt
2
x , x , y 0
max 0 0 2 2 1 2 2 2 2 2 4 min
1 1 2 2 2 4 3 塑性材料：
r3 2 4 2 [ ]
例题
单辉祖:材料力学教程
25
弯扭组合强度计算
弯扭组合 危险截面: 截面A 危险点: a 与 b
W a T T T Wp 2W
a M M
应力状态－单向＋纯剪切 强度条件（塑性材料, 圆截面）
2 2 r3 M 4 T [ ]
2 2 M T r3 [ ] W
r2－第二强度理论的相当应力
单辉祖:材料力学教程 10
试验验证
铸铁二 向断裂 试验
在二向拉伸、以及压应力 值超过拉应力值不多的二向拉－ 压应力状态下，最大拉应力理论 与试验结果相当接近 当压应力值超过拉应力值 时，最大拉应变理论与试验结果 大致相符
单辉祖:材料力学教程 11
例 题
单辉祖:材料力学教程
2 0
r4 2 3 2 [ ]
20
纯剪切许用应力
r3 2 4 2 [ ]
r4 2 3 2 [ ]
纯剪切情况下（ = 0） 塑性材料:
r3 2 [ ] [ ]
2 [ ] [ ] 2
vd vds ,单拉
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 vd 6E
1 2
[
]
vds,单拉
1 2 s 3E
1 2 2 2 3 2 3 1 2 s －屈服条件
30
例 5-2 圆弧形圆截面杆，许用应力为[] ，试按第三强 度理论确定杆径
解：
M1 FRsin
M 2 F BC FR(1 cos )
M M1 FRsin T M 2 FR(1 cos )
第 8 章 复杂应力状态强度问题
本章主要研究：
关于材料静荷破坏的理论
弯扭组合强度计算
弯拉(压)扭组合强度计算
承压薄壁圆筒强度计算
单辉祖:材料力学教程 1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
引言 关于断裂的强度理论 关于屈服的强度理论 强度理论的应用 弯扭组合与弯拉(压)扭组合 矩形截面杆组合变形一般情况 承压薄壁圆筒强度计算 含裂纹构件断裂失效概念
vd 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 6E
[
]
泊松比, E 弹性模量
单辉祖:材料力学教程
详见单辉祖编著《材料力学》（高等教育出版社）15
畸变能强度理论要点 引起材料屈服的主要因素－畸变能, 其密度为 vd 不论材料处于何种应力状态，当 时, 材料屈服
应力状态－单向＋纯剪切 强度条件（塑性材料）
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
单辉祖:材料力学教程
27
例 题
例5-1 图示钢质传动轴，Fy = 3.64 kN, Fz= 10 kN, F’z =1.82 kN, F’y = 5 kN, D1 = 0.2 m, D2 = 0.4 m, [] = 100 MPa, 轴径 d=52 mm, 试按第四强度理论校核轴的强度
e 1 e 1u,单拉
时, 材料断裂
e1
1 [ 1 2 3 ] E
单向拉伸断裂时:
1 b 2 3 0 故 e 1u,单拉
b
E
1 2 3 b －材料的断裂条件
单辉祖:材料力学教程 9
1 2 3 b －材料的断裂条件
1 26.2 MPa 2 0 3 16.2 MPa
因 3 1
宜用第一强度理论考虑强度问题
1 [ ]
单辉祖:材料力学教程
12
§3 关于屈服的强度理论
最大切应力理论
畸变能理论 试验验证
单辉祖:材料力学教程
13
最大切应力理论（第三强度理论）
强度条件
1 2 3 [ ]
1, 2, 3 － 构件危险点处的工作应力 []= / n－ 材料单向拉伸时的许用应力
r,2 1 2 3
r,2 [ ]
r－相当应力或折算应力
在促使材料破坏或失效 方面，与复杂应力状态 应力等效的单向应力
r4 3 [ ]
[ ] 3 [ ] [ ] 3
[ ] 0.5 ~ 0.577[ ]
单辉祖:材料力学教程 21
例 题
例4-1 钢梁, F=210 kN, [] = 160MPa, h = 250 mm, b = 113 mm, t =10mm, d = 13mm, Iz = 5.2510-5 m4, 校核强度
[
]
如采用第三强度理论
r3 a2 4 a2 151.3 MPa [ ]
4. 讨论
对短而高薄壁截面梁, 除应校核max作用处的强度 外,还应校核max作用处, 及腹板翼缘交界处的强度
24
单辉祖:材料力学教程
§5 弯扭与弯拉(压)扭组合
弯扭组合强度计算
弯拉(压)扭组合强度计算
1 , 3 － 构件危险点处的工作应力 [] － 材料单向拉伸时的许用应力
单辉祖:材料力学教程 14
畸变能理论（第四强度理论）
应变能与畸变能概念 应变能－弹性体因变形所储存的能量 畸变能－在外力作用下，微体的形状与体积一般均 发生改变。与之对应，应变能又分为形状改变能与 体积改变能，前者又称为畸变能 畸变能密度－ 单位体积内的畸变能
理论要点 引起材料屈服的主要因素－最大切应力 max 不论材料处于何种应力状态，当
max s ,单拉
s,单拉
时, 材料屈服0
2
s
2
1 3 s －材料的屈服条件
强度条件
r,3 1 3 [ ]
例2-1 铸铁构件危险点处受力如图, 试校核强度，[]=30 MPa 解：
x 10 MPa
y 20 MPa
2
x 15 MPa
max x y x y 26.2 MPa 2 2 2 x min 16.2 MPa
材料的失效形式，不仅与材料性质有关，而 且与应力状态形式、温度与加载速率等有关
max ( 1 3 ) / 2 0 ,断裂 低碳钢,三向等拉，