5 第五讲 中国古代算学发展(考研讲义)
中国古代数学发展脉络
中国古代数学发展脉络商代（公元前16世纪-公元前11世纪）是中国古代数学的发端阶段。
商代遗留下来的甲骨文中包含了一些关于计数和计量的记录，如计算牛羊的数量、石器的数量等。
这表明商代已经具备了最基本的计数和计量概念。
西周（公元前11世纪-公元前771年）是中国古代数学发展的重要阶段。
西周时期，数学开始得到系统的发展。
《周髀算经》是西周时期的一部重要数学著作，其中包含了关于算术和几何的内容。
这部著作系统地介绍了从一至九的乘法表、解线性方程及计算圆的面积等内容。
春秋战国时期（公元前770年-公元前221年）是中国古代数学发展的一个黄金时期。
这个时期出现了一些具有划时代意义的数学成就。
例如《九章算术》是春秋战国时期的一部重要著作，它包括了九个章节，分别涵盖了初等代数、方程求解、几何等方面的知识。
《九章算术》是古代中国数学的经典之作，在数学史上颇有影响力。
秦汉时期（公元前221年-公元220年）是中国古代数学发展的一个相对低谷期。
尽管如此，也仍有一些数学成果被传世。
《算法统宗》是中国古代提出几何学及拟线性代数（即用分数而非根式表示之）的第一书。
此外，数学家杨辉在这个时期也提出了杨辉三角的概念。
魏晋南北朝时期（公元220年-公元589年）是中国古代数学发展的又一个重要阶段。
在这个时期，中国数学开始受到印度数学的影响，出现了许多新概念和方法。
例如，中国数学家朱世杰提出了朱世杰定理，用于求解高次方程。
还有数学家刘徽在《九章算术注》中首次提出了“插值法”的概念。
隋唐时期（公元581年-公元907年）是中国古代数学发展的又一个高峰期。
隋唐时期的数学成就主要体现在几何学和代数学方面。
数学家李德裕在《几何原本》中首次提出了“平面几何”、“立体几何”等概念。
同时，李德裕还提出了一种用整数及分数表示平方根的公式，被称为“李德裕开方法”。
这一方法推动了中国几何学和代数学的发展。
宋元明时期（公元960年-公元1644年）是中国古代数学发展的最后一个阶段。
古代算筹ppt课件
1980年从河北石家庄出土30根东汉骨算筹，此外在 陕西旬阳汉墓中出土象牙筹27根。
1983-1984，湖北江陵张家山西汉古墓中出土竹算筹。 1973年9月，湖北省江陵县凤凰山出土的十号汉代古 木木牍，其中有一片记有“当利二月定算”，这是文献中 最早出现以筹码代替文字记数例子之一。
据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法， 先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百 相当。《夏阳侯算经》说：满六以上，五在上方.六 不积算，五不单张。
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算筹加法
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算筹减法运算(上而下减，答数在左方) 被减数
答数
减数
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古人乘法/除法皆为从左至右算，乘数在上，被乘数 在下，积放在中间。古人计算用"筹"不用笔，筹算可 以任意改变形态，所以左至右算根本不麻烦。如算 49乘36的步骤，结果是1764。
根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹 实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长 为13--14cm，径粗0．2～0．3cm，多用竹子制成， 也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大 约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰 部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取 出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。
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算筹的法则
在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位 数目的，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的 算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算 筹来表示。
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如要表示一个多位数字，即把各位的数字从左到右 横列，各位数的筹式需要纵横相间，个位数用纵式 表示，十位数用横式表示，百位、万位用纵式，千 位、十万位用横式。以此类推，遇零则置空。这种 计数法遵循十进位制。
中国古代算法的发展历程简述
中国古代算法的发展历程简述中国古代算法的发展历程简述算法，是人类智慧的结晶，也是数学科学中的重要组成部分。
中国古代算法的发展历程可以分为三个阶段：商周算学、战国到唐代算学、宋明清算学。
一、商周算学商周时期，算学主要以计算商业、土地测量和天文预测等实用性问题为主。
古人通常使用竹简书写算式，在算式中使用了珠算和筹算两种算术方法，这对于提高计算的效率非常重要。
此外，商周算学还提出了《九章算术》，其中包括了九种计算方法，如术数、用余、项等。
二、战国到唐代算学战国至唐代是中国古代算学的黄金时期，尤其以唐代的数学水平最高。
这个时期，我国出现了一大批数学名家，如李冶、徐德、刘徽等，他们的作品对数学、物理、天文学等领域有着巨大的影响。
其中，李冶所著的《周髀算经》是一部著名的算学经典，其中带有大量的几何图像，运用勾股定理和三角函数等，对于解决世间各种实际问题具有巨大的帮助。
此外，刘徽编写的《九章算法》也是唐代著名经典之一。
该书共包括九个部分，介绍了幂次运算、二次方程、立方法、方程约元法等多种计算方法。
三、宋明清算学宋、明、清三代是中国古代算学的衰落时期，这时期算学主要以应用为主，如财经、兵法、天文等。
但是这个时期，也出现了一些重要的算学著作，如李冶的《算学通考》、张邦昌的《算法统宗》、祖冲之的《数书九章》等，这些作品虽然没有唐代的那么重要，但对于研究我国数学的历史仍然具有很大的意义。
总的来说，中国古代算学的发展历程可以分为商周算学、战国到唐代算学和宋明清算学三个时期。
中国古代算学在最初的珠算和筹算的基础上，逐渐形成了一套完整的算学体系，其中出现了许多杰出的数学家，他们的研究成果对现代数学科学也产生了不可估量的影响。
中华古代算学的发展史
中华古代算学的发展史在中华古代文化中，算学一向占有重要地位。
从两千多年前的《九章算术》到近代的《数学原理》，中国数学家们在数学领域做出了卓越的成就。
在此，我们将从三个方面来探讨中华古代算学的发展史：数学的起源和初步发展、古代数学的鼎盛与衰落以及中世纪后数学的复兴。
一、数学的起源和初步发展数学在中华古代文明中得到了广泛地应用。
在最早期的质变社会中，通过计数来记录牲畜、食物、瓦楞瓦等物质的数量，这表明中华古民族在计数和计算方面已经有了一定的觉察，这便是数学来源。
到商代，出现了商业交易，这对计算精度的要求更高。
商代的计算方法基本上采用膜法，即把一个数$n$分成若干个较小的整数，例如$10 = 3+3+2+2$，然后用简单地相加而完成运算。
在大约两千三百年前的春秋时期，算盘被发明出来，这是中国数学史上的一个重要发明。
为世界上发明最早的记数工具之一，代表了当时数学和经济的最高水平。
而如果说算盘解决了商业交易的运算问题，但对于阶的运算，语言文字怎样表示，则成为难题。
都铎王朝数学家约翰·沃拉斯相信，四百年前左右，中国已经发展了出阶之法。
这时期的出现的《九章算术》，是中华古代数学成就的里程碑式的巨著，它也是世界上最早的数学教科书。
《九章算术》的编写大约在西元前400-200年间，它集中了当时的一些数学成果，如乘法、除法、开平方、立方、勾股定理等，为后来的数学发展打下了坚实的基础。
二、古代数学的鼎盛与衰落进入汉代，算学得到了迅猛地发展。
汉代名落孙山采用的田明算法，突破了已有的筹算方法限制，可以推算出很大的长方形面积、圆周长和球体体积等等。
而《乘径书》可以算出有理数$ \sqrt {2}$ 的值，提出了“以我数补天年”的观点。
唐代数学家王孙陶，提出“立方等比数质数定理”（因此，一组等比数只要以任意一个数开始，从这个数连续几项的乘积加上1就是另一数的立方数）,并证明了这个数学命题，成为中世纪欧洲数学家重视的论题之一。
中国古代数学古代数学的进步与应用
中国古代数学古代数学的进步与应用中国古代数学源远流长，经历了数千年的发展与演进，催生了许多数学成果与应用。
本文将系统地探讨中国古代数学的发展历程以及在古代科学、工程、技术中的应用。
1. 古代数学概述古代数学包含了许多数学领域，如算学、几何、代数等。
先秦时期出现了较为简单的计算方法和算盘，汉代产生了算学的成果。
随着科技的不断进步，古代数学不断发展壮大。
2. 古代数学的进步(1) 算学的进步算学是中国古代数学的重要代表，其成果体现在两部主要著作：《九章算术》和《孙子算经》。
《九章算术》收录了古代算学的各种计算方法，如加减乘除、容斥原理等；《孙子算经》则涉及了更多的代数问题，例如方程求解、不等式证明等。
(2) 几何的进步古代中国的几何学研究主要集中在量尺、绳墨等测量技术方面。
《周髀算经》是最早记载几何学研究的文献之一，其中包括了三角形、正四面体、圆周率的求解等问题。
(3) 天文学的进步古代中国天文学对古代数学的发展也产生深远的影响。
《大衍历》是中国古代天文学的代表作，它包含了古代的历法、太阳日、月亮日等基本数学概念，并且为古代天文观测打下了重要基础。
3. 古代数学在科学中的应用(1) 举一皆可算的算学古代算学的发展和应用涉及到各个领域，例如土地测量和社会财富的统计。
古代算学使用简单的数字和计算方式，既可以解决社会问题，也可以用于生产、商业、市政工作等。
(2) 几何在工程建设中的应用古代中国几何在工程建设中得到了广泛的应用，例如古代防御工事和宫殿的建设、农业渠系、水利治理和汉朝修筑的明渠等。
4. 总结总的来说，古代中国数学在提高生产力、推动科学进步等方面发挥了非常重要的作用，对于现代科技的不断发展也产生了不可替代的贡献。
虽然中国古代数学的发展在现代有所落后，但其不断探索新的数学领域和方法，也一直为我们提供了源源不断的灵感。
中国古代数学发展
中国古代数学发展
中国古代数学发展可以追溯到公元前11世纪的商朝时期。
在古代中国，数学的发展主要形成了两个重要的学派：衡学和算学。
衡学是古代中国数学的一个重要学派，它主要研究天文和历法。
在商朝和西周时期，人们开始注意到天象的规律和时间的测算。
他们观察日、月、星辰的运动，推算日食、月食和节气等。
通过对星象和时间的观察，他们逐渐形成了一套完善的天文和历法体系。
另一个重要的学派是算学，即古代中国的算术学派。
它主要研究数的运算和计算方法。
古代中国人使用的计数方式是十进制，他们使用竖式计算和梯形计算法等方法进行加减乘除的计算。
在古代中国，算学的发展与日常生活密切相关，涉及到货币计算、土地测量、商业交易等。
古代中国人还在算学方面做出了重要的贡献，比如发展了关于平方根和立方根的计算方法。
随着时间的推移，中国古代数学在汉朝时期取得了重要的进步。
汉朝的数学家开始使用符号表示数和运算，以及研究代数方程和几何等领域。
其中最著名的数学家之一是刘徽，他发表了《九章算术》一书，该书是中国古代数学的重要典籍之一，涵盖了数的运算、代数方程、几何、测量等内容。
总的来说，中国古代数学的发展不仅与天文历法密切相关，也与日常生活中的计算和实际问题解决相关。
古代中国数学家的贡献为后世奠定了坚实的基础，对数学的发展产生了重要影响。
中国古代数学发展史
中国古代数学发展史摘要：中国古代数学具有悠久的传统。
本文论述了中国古代数学的算法化、机械化特征及其对世界数学发展主流的历史贡献，并指出了解中国古代数学发展特征对于现实创新活动的借鉴意义。
1、中国古代数学的发展在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。
从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。
与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。
从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。
特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。
因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。
以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。
1.1、线性方程组与“方程术”中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前2世纪)卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法。
以该卷第1题为例，用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次方程组：3x+2y+z＝392x+3y+z＝34x+2y+3z＝26《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将xyz的系数和常数项排列成一个(长)方阵123232311263439“方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行(x)的系数(3)“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行的系数化为0。
反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程。
很清楚，《九章算术》方程术的“遍乘直除”算法，实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，但近年开始改变称谓,如法国科学院院士、原苏黎世大学数学系主任P.Gabriel教授在他撰写的教科书[4]中就称解线性方程组的消元法为“张苍法”，张苍相传是《九章算术》的作者之一。
中国古代的算学发展
中国古代的算学发展自古以来，中国一直致力于数学的研究。
在中国古代，算术学被组织成为一门学科，并逐渐演化成为了数学学科。
由于中国古代文化和政治权力的特殊性质，中国古代数学学科的发展境遇与西方不同。
但是，中国古代数学所具备的创新性和实用性，依然可以成为世界数学史的重要组成部分。
这篇文章将为读者介绍中国古代的算学发展，从古代的三阶曲线到秦朝的算学之父到宋朝的算盘，让我们一起走近古代中国数学学科的辉煌时期。
三阶曲线古代中国是世界上拥有最早的曲线代数概念的国家。
在中国古代书法、绘画、建筑和武器制造等方面，都体现了中国古代对曲线的深刻理解和运用。
其中最著名的就是三阶曲线。
三阶曲线起源于中国古代的数数、筛秤、奇经、黄氏之命等经典算法。
这些算法用于计算三次同公因数方程的根，其结果形成的图形称为三阶曲线。
三阶曲线的形态包括树形、叶形、花形和菱形等多种形态。
它代表了三次方程的所有实数解，在现代数学上对于分析、几何和代数等方面都具有很高的价值。
事实上，到了十九世纪，古代中国的数学家才引起了欧洲数学家的兴趣，这场盛大的交流活动被称为中西数学交流，直至今天仍有着广泛的影响力。
算学之父在中国古代，算学家以计算商业价值、矫正历法、控制水利和炮制兵器等方面的实用技术为首要任务。
其中最著名的是子鱼的“九章算术”和秦九韶的“数书九章”。
这两部书在中国古代数学史上具有重要的地位，被认为是古代中国数学的最高成就。
而在秦书九章中，有位秦朝的算学家张丘建将初等代数学与几何学结合起来，开创了一个新的领域——“大衍数学”（也被称为“方程数学”）。
他的方法令利用代数学语言化简计算变得更加简单。
张丘建在秦书九章中详细介绍了许多方程式以及他们的解法。
他通过算式的清晰、精确地表示，让其他人也能类似地进行计算。
张丘建是古代中国数学史上的一个重要人物，他为数学的发展和应用都做出了重要的贡献。
算盘算盘作为中国古代计算工具的代表，历史悠久，使用广泛。
算盘分为横框和十支算子两部分，横框上有算珠槽，十支算子（一些地方多个）按照数量的单位从右到左排列。
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第五讲中国古代数学发展
萌芽与奠基：
一、原始社会时期
数学的萌芽-事物的数量和形状
1）对具体的几何图形有一定认识2）会使用简单的画几何图形的工具3）通过织物，对形和数间的关系有一定认识
二、夏商周奴隶社会时期
概况：由于商品交换的扩大，防治洪水和开挖沟渠、建筑城市宫殿、测量地亩、编制适合农时的历法等都需要数学知识和计算技能，因而数学知识获得比较大的发展。
表现：1）商代陶文和甲骨文里有很多记数文字；
2）计数法遵循十进制，含有位值制的意义，简洁明了；
3）用小木棍作为计算工具，叫做算筹；用算筹进行计算，叫做筹算；
4）西周时期，数学是士阶层”六艺”之一；
5）发明简单的四则运算
三、春秋战国大变革时期
背景：天文历法、赋税商业、工艺规范化和标准量器的使用，建筑水利工程，都对计算方法的改进和发展提出要求。
数学进步主要标志：十位进制值的确立和筹算法的发展
表现：1）“十进”逢十进一，“位值”同样的一个数在不同位置上表示不同的值。
我国是使用十进位值制最早的国家。
（印度到6世纪）
2）筹算的四则运算已经完备，并有分数运算方法。
3）《考工记》涉及角度和标准量器容积的计算。
4）《墨经》对一些几何概念做了抽象概括，提出一些科学的定义，如点线面体圆。
并有类似极限的观念的思想。
体系形成与完善：
四、秦汉到南北朝封建社会前期
（一）秦汉时期
秦汉时期的最早的数学著作
1）最早出现的数学著作《许商算数》《杜忠算数》（西汉）；
2）流传到现在的最早的数学著作《周骳算经》（西汉后期c.1)：包括应用勾股定理进行测量方面的计算；使用了繁复的分数算法和开平方法；
3）流传到现在的我国的最早的数学专著《九章算术》
《九章算术》的出现标志着中国古代数学体系的形成
①最后成书至迟在东汉前期（1），内容至迟在西汉后期成型（c.1);
②总结了周秦以来的中国古代数学，即包含古代已解决的数学问题，也有西汉中期人们的新成就。
它的出现标志着我国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作；
③内容十分丰富，246个问题，分九大类，是世界上最早的对分数进行系统叙述的著作，世界上第一次出现联立一次方程组的解法和关于正负数的加减法法则。
（“方”是指求解一次联立方程组时所列出的各方程系数恰好排成方形，“程”有求出多少的意思）特点是和当时的实际需要紧密结合，这是中国古代数学的一大特色和优点；
④叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再列出一般方程。
这和古希腊数学的代表著作欧几里得（c.330-c.275）的《几何原本》以演绎为主的叙述方式有明显不同。
（二）三国魏晋南北朝
1）刘徽《九章算术注》和《海岛算经》（魏晋）
①给一些数学概念下了定义，如正负数；“两算得失相反，要令正负以名之。
”
②各个问题解法的数学证明-把分割后的几何图形再次拼凑在一起的方法验证算法的正确性-“出入相补原理”；
③创造“割圆术”，开创了我国古代计算圆周率的途径。
把极限的概念运用来解决实际的数学问题，孕育了用有限来逼近无穷这样一个及其重要的思想。
从圆内接正六边形算起，逐渐使边数加倍，用圆内接正多边形逐次逼近圆周的方法进行计算。
④《海岛算经》是一部测量长度和高度（深度）的测量用数学书，应用的是勾股定理和相似三角形对应边成比例定理。
2）祖冲之的圆周率和祖恒原理（南北朝）
①得出小数点后六位准确圆周率
②祖恒原理：等高处横截面积常相等的两个立体，它们体积也必定相等。
得出球体体积正确公式。
发展的高峰：
五、隋唐到元代封建社会中期
（一）唐宋：数学教育和“算经十书”的注释
概述：秦汉时期，由于《九章算术》的出现，数学已经形成初步的体系；到了隋唐时期，中国古代数学已经构成了更加完整的体系。
1、隋唐和宋代的数学教育
1）隋：开始在国家学校里设立数学科目—“国子监”的“算学”科
2）唐：国子监算学科，时断时续；统一规定了教科书“算经十书”；国家考试中设有“明算”科，但只鼓励死记硬背；
3）宋：学习考试制度时断时续
2、“算经十书”的注释
对“算经十书”的整理、校注、刊行是唐宋数学教育发展中的一项功绩
1）唐太史令李淳风等根据实际测量纠正了一些错误；引用了祖恒对于球体体积的计算方法，保存了宝贵资料；详细指出一些演算步骤。
2）北宋宰相司马光领衔校刊“算经十书”，是印刷本书籍在世界上的首次出现。
（二）宋元：宋元数学四大家
概述：中国古代数学到了宋元时期，出现了一个新的发展高潮，特别是宋末元初的几十年时间里，可以说是以算筹为主要计算工具的中国古代数学的顶峰。
1、南宋·秦九韶“大衍求一术”与《数学九章》
《数学九章》：记述了宋代许多数学成果，最重要的两项：高次方程的数值解法和联立一次同余式
“大衍求一术”：联立一次同余式解法
2、元·李冶“天元术”与《测圆海镜》《益古演段》
《测圆海镜》：我国流传下来的数学著作中首先系统讲述“天元术”的一部著作。
《益古演段》：为初学“天元术”的人而写的一部入门著作。
“天元术”：中国古代的代数学，“天元”代表未知数；主要内容为根据问题设未知数，进行包括未知数的各次幂在内的多项式的运算，最后列出有待求解的方程。
另外：开创了用代数方法解几何问题的先例。
3、南宋末年·杨辉与《详解九章算法》《日用算法》
著作特点：密切联系当时的社会实际需要，是日用算术、商用算术的开始；记载了改革筹算的一些简洁算法；记载了一些已经失传的算法，如高次开方法和“开方作法本源图”（北宋贾宪）
4、元·朱世杰（最杰出）“四元术”与《四元玉鉴》《算学启蒙》
朱世杰：我国古代第一个以数学教育作为职业的民间教育家
《算学启蒙》：系统地由最初级的知识入手，叙述了四则运算起到当时比较高深的“天元术”为止的数学知识，构成了一个相当完备的体系。
《四元玉鉴》：Δ
①把“天元术”推广为“四元术”：用天地人物四元表示四个未知数，把算筹摆在平面山不同位置表示不同幂次的系数，列出多元高次方程组，发明了一整套消去法求解。
②给出四次内插法的正确公式，可能给出了任意高次内插公式，比西方早300多年。
③萨顿评价“中国数学著作中最重要的一部，也是中世纪最杰出的数学著作之一。
”
中国传统科学技术的缓慢发展和西方科学技术的传入：
六、明清时期
（一）明代传统天文学和数学的失传
失传原因：明代政府的科学政策不当和社会实际需要的变化
1）明开国不久，发布命令，禁止民间学习和研究天文历法；
2）科举取士不重视天文历法，传统的高深数学主要用于历法计算，在当时社会没有实际用途；
3）由于商业发展，需要用到有关商业上应用的计算数学。
1、商业数学的发展
明代商品经济比之前任何一个时期都发达
吴敬《九章算法比类大全》是明代商业数学取得进展的标志，有不少和商业有关的新课题。
这一趋势的不断发展，导致珠算的发展。
2、筹算到珠算的演变
1）随着商业和贸易发展，对简捷计算的需求。
2）各种歌诀的出现是显著特点。
3、关于珠算的书籍大量出现
最早徐心鲁《盘珠算法》
最重要程大位《直指算法统宗》比较详细地叙述了珠算的定位方法和运算方法
（二）西学东渐以后的天文学和数学
1、西方天文学知识的传入和《崇祯历书》
徐光启和传教士《崇祯历书》比较系统地介绍了西方天文学知识和西洋历法；汤若望“时宪历”；南怀仁《灵台仪象志》；戴进贤（雍正）《历象考成后编》传入开普勒行星定律和牛顿计算地日月距离方法；蒋友仁（乾隆）《坤舆全图说》介绍日心说；李善兰《谈天》（洋务运动）
2、西方数学知识的传入和康熙帝主持下编纂的《数理精蕴》
1）几何学、三角学、对数学
2）《数理精蕴》：介绍西方数学知识的百科全书，包括《几何原本》《算法原本》和实用算术
（三）清初天文学家梅文鼎、王锡阐
梅文鼎：
1）40多种天文学著作，对东西方天文学造诣都很深
2）注重天象实际观测，创造不少天文仪器
3）20多种数学著述，内容遍及初等数学各个分支
4）在数学上多有创见，极力表彰传统数学，有积极学习西方数学，对清代数学发展起很大推动作用
王锡阐：既肯定西法优点，又指出缺点和错误；对传统立法也深入研究。
二人都兼通中西天文学和数学，重视实践，反对把中西学对立起来。
（四）乾嘉学派几位数学家
（五）洋务运动时期数学家李善兰、华蘅芳
李善兰：
1）《则古昔斋算学》独创“尖锥术”，求得简单定积分公式；
2）对级数求和问题研究；
3）关于椭圆和弹道学研究；
4）和西方人士合作，译出多种科学著作，关于符号代数学的第一部中译本，系统介绍解析几何、微积分等；5）对中国近代数学名词选定有很大贡献。
华蘅芳：
翻译的《决疑数学》概率论中国最早译著。