三棱锥的一个体积公式及其两条推论

三棱锥的一个体积公式及其两条推论
(李明 中国医科大学数学教研室 110001)
摘要:本文利用空间向量这个强有力的数学工具推导出了三棱锥的一个体积公式
2221
12cos cos cos cos cos cos 6
V abc αβγαβγ=+---（其中a b c 、、为三条侧楞的
长度，αβγ、、为它们的相互夹角，即三个侧面顶角)，并由该公式推演出了两条推论. 关键词: 三棱锥 体积公式 等夹角三棱锥 最大体积
0引言
我们知道,如果OAB ∆的两条边OA a OB b ==、,其夹角AOB α∠=(显然
(0,)απ∈),则OAB ∆的面积1
sin 2
S ab α=(如图1).将此结论类比到空间(如图2),我们
便有如下问题:如果三棱锥O ABC -的三条侧棱OA a OB b OC c ===、、,其夹角
AOB BOC COA αβγ∠=∠=∠=、、(显然(0,),(0,2)αβγπαβγπ∈++∈、、),则
三棱锥O ABC -的体积V 如何用这些已知的棱长a b c 、、及已知的夹角αβγ、、来表示呢?即体积V 的公式是什么呢?
1 推导体积V 的公式
首先,在图2的基础上,以三棱锥O ABC -的顶点O 为坐标原点,以OA 为x 轴正向,以垂直于OAB ∆所在的平面的方向为z 轴建立右手空间直角坐标系Oxyz (如图3).
B
b A O γ a
c
α
β
O C 图3
y
z
x
在图3中,(,0,0),(cos ,sin ,0),(,,)OA a OB b b OC x y z αα===(其中x y z 、、为未知数),将这些向量带入如下向量方程组:
cos cos OC c OB OC OB OC OA OC OA OC βγ⎧=⎪⎪
⋅=⎨⎪
⋅=⎪⎩
我们便得到如下关于x y z 、、的代数方程组:
2
222cos sin cos cos x y z c x y c x c ααβγ⎧++=⎪
+=⎨⎪=⎩
由此方程组我们可以求得
:
z =
于是三棱锥的体积为
111
sin 3321
(1)
6
AOB V S z z ab α
∆==⋅=
2 两条推论
由体积公式(1),我们可以推演出如下两条推论.其中推论2的证明略微复杂,下文将详细给出证明步骤,而推论1的证明显而易见,不予赘述.
推论1(等夹角三棱锥体积公式)如图4,在三棱锥O ABC -中,如果三条侧棱
OA a OB b OC
c ===、、,其夹角AOB BOC COA θ∠=∠=∠=(显然2
(0,)3
θπ∈),则
三棱锥O ABC -的体积为
1
(1cos (2)6
V abc θ=-
B
b
O
a
c
图5
C B
b
A
O
a
c
θ θ
θ
图4
C
推论2(三棱锥最大体积公式)如图2, 三棱锥O ABC -的三条侧棱
OA a OB b OC c ===、、,其夹角AOB BOC COA αβγ∠=∠=∠=、、(显然
(0,),(0,2)αβγπαβγπ∈++∈、、),则当且仅当2
π
αβγ===
时,即OA OB OC
、、两两垂直时(如图5),其体积最大,为
max 1
(3)6
V abc
=
证明: 由公式(1),再结合三个数的均值不等式,我们有
1
61
61
(61
6
1166V t abc =≤===≤=其中 上述放大过程,第一个“≤”中的“=”成立,当且仅当2
2
2
cos cos cos αβγ==成立; 第二个“≤”中的“=”成立,当且仅当112t t -=+,即cos cos cos 0αβγ=. 因此,两个“≤”中的“=”成立,即体积取到最大值max 1
6
V abc =
,当且仅当222cos cos cos αβγ
==与
cos cos cos 0
αβγ=同时
成
立
,
即
cos cos cos 0αβγ===亦即2
π
αβγ===
成立,也就是OA OB OC 、、两两垂直,
证毕.。