概率论与数理统计答案(东华大学出版)第三章第二节

第三章 连续型随机变量及分布习题3.2（p.105）1、 设 ),(ηξ的联合分布函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3arctan 2arctan),(y C x B A y x F , +∞<<-∞+∞<<∞-y x ,⑴ 求参数C B A 、、的值； ⑵ 求),(ηξ的联合密度函数；⑶ 求ξ和η的边缘分布函数与边缘密度函数。

解：⑴()ππ,122F A B C ⎛⎫⎛⎫+∞+∞=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()ππ,022F A B C ⎛⎫⎛⎫-∞-∞=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π1,2πB C A ∴===⑵()()()()222222211,1632,ππ461123F x y f x y x yx y x y ∂==⋅⋅=∂∂++⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,x y -∞<<+∞-∞<<+∞ ⑶()()1π,arctan π22x F x F x ξ⎛⎫=+∞=+ ⎪⎝⎭，()()212π4f x F x x x ξξ'==-∞<<+∞+()()1π,arctan π32y F y F y η⎛⎫=+∞=+ ⎪⎝⎭，()()213π9f y F y y yηη'==-∞<<+∞+2、设),(ηξ的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它当,020,10,31),(2y x xy x y x f⑴求ξ和η的边缘密度函数；⑵求{}ηξ≤P 和{}1≥+ηξP 。

解：⑴当01x ≤≤时，()()22212,d d 233f x fx y yx xy y x x ξ+∞-∞⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰()2220130x xx f x ξ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它当02y ≤≤时，()()12011,d d 363y f y fx y x x xy x η+∞-∞⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()102630y y f y η⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它⑵{}()1220117,d d d d 364x x yP fx y x y x x xy y ξη≤⎛⎫≤==+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ {}()1220111651,d d d d 372x x y P fx y x yx x xy y ξη-+≥⎛⎫+≥==+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰3、设),(ηξ的联合密度函数为),(y x f ，分别求ηξ、的边缘密度函数⑴⎪⎩⎪⎨⎧>>=--其它,01,1,e 2),(3)1(y x x y x f y解：当1x >时，()()()133122,d e d y f x fx y y y xxξ+∞+∞---∞===⎰⎰()3210x f x x ξ⎧>⎪=⎨⎪⎩其它当1y >时，()()()()11312,d e d ey y f y fx y x x xη+∞+∞-----∞===⎰⎰()()1e10y y f y η--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它⑵⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其它,00,0,e4),()(22y x xy y x f y x解：当0x >时，()()222,d 2e2ed 2exyxf x f x y y x y y x ξ+∞+∞----∞==⋅=⎰⎰()2200xxex f x ξ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它当0y >时，()()222,d 2e2ed 2exyyf y f x y x x y x y η+∞+∞----∞==⋅=⎰⎰()22e00y y y f y η-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它⑶⎩⎨⎧<<<<--=其它,010,10),2(6),(y x y x xy y x f解：当01x <<时，()()()12,d 62d 43f x f x y y xy x y y x x ξ+∞-∞==--=-⎰⎰()243010x x x f x ξ⎧-<<=⎨⎩其它当01y <<时，()()()12,d 62d 43f y f x y x xy x y x y y η+∞-∞==--=-⎰⎰()243010y y y f y η⎧-<<=⎨⎩其它⑷⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它,00,10),2(8.4),(xy x x y y x f解：当01x ≤≤时，()()()()2,d 4.82d 2.42x f x f x y y y x y xx ξ+∞-∞==-=-⎰⎰()()22.42010x x x f x ξ⎧-≤≤=⎨⎩其它当01y ≤≤时，()()()()12,d 4.82d 2.434y f y fx y x y x x y y yη+∞-∞==-=-+⎰⎰()()22.434010y y y y f y η⎧-+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它⑸[]⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=其它,01,)(1π2),(2222yx y x y x f解：当11x -≤≤时，()())()322228,d 1d 13πf x fx y yxyy x ξ+∞-∞==--=-⎰⎰()()32281113π0x x f x ξ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它同理，()()32281113π0y y f y η⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它⑹)1(π1),(22222y x y x y x f +++=解：()()()()()()222222d 11,d arctan π11π1π1yf x fx y y yx y x xξ+∞+∞+∞-∞-∞-∞====++++⎰⎰()()21,π1f x xxξ∴=-∞<<+∞+，同理，()()21,π1f y y yη∴=-∞<<+∞+4、设),(ηξ的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它10,101),(y x y x f求下列事件的概率⑴{}21,21≤≤ηξP ；⑵⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+21ηξP ；⑶{}ηξ2≥P ⑷{}31≥ηP ； ⑸{}ηξ=P ⑹已知21>η时，ηξ>的概率。

解：⑴ 112200111,d d 224P x y ξη⎧⎫≤≤==⎨⎬⎩⎭⎰⎰⑵ 2111712228P ξη⎧⎫⎛⎫+>=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⑶ {}()()12112000,012,d d d d d 244xx y Gx xP fx y x yx y x ξη∈≥=====⎰⎰⎰⎰⎰⑷ 1110312d d 33P x y η⎧⎫≥==⎨⎬⎩⎭⎰⎰⑸ 2111,11222112422P P P ξηηξηηη⎧⎫⎛⎫>>⎨⎬ ⎪⎧⎫⎩⎭⎝⎭>>===⎨⎬⎧⎫⎩⎭>⎨⎬⎩⎭ 6、第3题各随机变量是否独立？解：若随机变量ξ与η相互独立，则()()()y f x f y x f ηξ=,，因此⑴、⑵、⑹相互独立；⑶、⑷、⑸不独立。

7、设二维随机变量),(ηξ在图示的区域G 上服从均匀分布。

试求 ⑴),(ηξ的联合密度和边缘密度函数； ⑵求),(ηξ落在区域21x y -≤内的概率。

解：⑴ ()()61d d 1210=-=-=⎰⎰x x x x y y A 下上⎩⎨⎧≤≤≤≤=∴其它,0,10,6),(2xy x x y x f当01x ≤≤时， ()()()26d 6d ,2xx y y y x f x f xx-===⎰⎰+∞∞-ξ()()⎩⎨⎧≤≤-=其它01062x x x x f ξ当01y ≤≤时，()()()y y x x y x f y f y y-===⎰⎰+∞∞-6d 6d ,η()()⎩⎨⎧≤≤-=其它106y y y y f η⑵ 求交点，⎪⎩⎪⎨⎧-==221x y xy ，211=x ；⎩⎨⎧-==21x y x y ，2512+-=x222557d 6d d 6d 2221212512510+-=+=⎰⎰⎰⎰-+-+-xxxxy x y x P8、设ηξ，相互独立，ξ在[]20，上服从均匀分布，η的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-0,00,e 5)(5y y y f y η⑴求ξ和η的联合密度函数； ⑵求{}ηξ≤P 。

解：⑴ ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它2021x x f ξ因为ξ与η相互独立，所以()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤==-其它,20e25,5y x y f x f y x f yηξ⑵{}()102552e 1101d e21d e25d --+∞--===≤⎰⎰⎰x y x P xxyηξ9、设一电子器件包含两个部分，分别用ξ和η表示它们的寿命（单位：小时）。

设),(ηξ的联合分布为⎩⎨⎧>>+--=+---其它,00,0,e e e 1),()(01.001.001.0y x y x F y x y x⑴问ξ和η是否独立； ⑵求{}120,120>>ηξP 。

解：⑴ ()()xx F x F 01.0e1,--=+∞=ξ，()()yy F y F 01.0e1,--=∞+=η因为()()()y F x F y x F ηξ⋅=,， 所以ξ和η相互独立。

⑵{}{}{}()[]()[]4.2e 12011201120120120,120-=--=>⋅>=>>ηξηξηξF F P P P10、设),(ηξ服从二维正态分布⑴设参数5395112222121===-==ρσσμμ，，，，，写出它的联合密度函数和边缘密度函数；⑵若),(ηξ的联合密度函数为[]22)1(9)1)(4(6)4(461e23),(+++----=y y x x y x f π求参数,,21μμ2221,σσ和ρ的值，并写出ξ和η的边缘密度函数。

解：⑴5412=-ρ()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2231315156513225exp π241,y y x x y x f +∞<<-∞+∞<<∞-y x ,()()+∞<<-∞=--x x f x ,eπ2515012ξ；()()+∞<<-∞=+-y y f y ,eπ2311812η⑵ 由公式，，，，，94114222121==-==σσμμ3113212221=-=-ρρσσ，2312=-ρ，21=ρ()()+∞<<-∞=--x x f x ,eπ21242ξ；()()+∞<<-∞=+-y y f y ,eπ2238192η12、设),(ηξ的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+-000,e π1),()(2122xy xy y x f y x 当当求证：ξ和η的边缘分布分别为)1,0(N 。