代数系统

代数系统
一、单项选择题：
1．设集合A={1,2,…,10}，在集合A上定义的运算，不是封闭的为（）。

（A）∀a, b∈A，a*b=lcm{a, b}（最小公倍数）
（B）∀a, b∈A，a*b=gcd{a, b}（最大公约数）
（C）∀a, b∈A，a*b=max{a, b}
（D）∀a, b∈A，a*b=min{a, b}
2．下列代数系统<G, *>（其中*是普通加法运算）中，（）不是群。

（A）G为整数集合（B）G为偶数集合
（C）G为有理数集合（D）G为自然数集合
3．在自然数N上定义的二元运算◦，满足结合律的是（）。

（A）a◦b=a- b（B）a◦b=a+4b
（C）a◦b= min{a, b} （D）a◦b=| a- b|
4．在布尔代数L中，表达是(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。

（A）b∧(a∨c) （B）(a∧c)∨(a∧b)
（C）(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) （D）(b∨c)∧(a∨c)
5．设集合A={a, b, c}，代数系统G=<{∅, A}, ⋃>和H=<{{a, b}, A}, ⋃>同构的映射是（）。

（A）f : G→H, f (A)=∅, f ({a, b})=A
（B）f : G→H, f (∅)=A, f (A)={a, b}
（C）f : G→H, f ({a, b})=∅, f (A)=A
（D）f : G→H, f (∅)={a, b}, f (A)=A
6．同类型的代数系统不具有的特征是（）。

（A）子代数的个数相同（B）运算的个数相同
（C）相同的构成成分（D）相同元数的运算个数相同7．下列图表示的偏序集中，是格的为（）。

（A）（B）（C）（D）
8．下列各代数系统中不含有零元素的是（）。

（A）<Q, *>，Q是全体有理数集，*是普通乘法运算
（B）<M n(R), *>，M n(R)是全体阶n实矩阵集合，*是矩阵乘法运算（C）<Z, *>，Z是整数集，*定义为x*y=xy, x, y∈Z
（D）<Z, +>，Z是整数集，+是普通加法运算
9．设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A)，+,-,/为数的加、减、除运算，⋂为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（）。

（A ）<Z , +, /> （B ）<Z , /> （C ）<Z , -, />
（D ）<P (A ), ⋂>
10．设i 是虚数，·是复数乘法运算，则G =<{1, -1, i , -i },·>是群，下列是G 的子群的是（）。

（A ）<{-i },·> （B ）<{-1},·> （C ）<{i },·>
（D ）<{1},·>
11．在代数系统<R , ⨯>中，x ∈Z 有逆元，x 的逆元和⨯运算的幺元分别是（）。

（A ）-x , 1
（B ）1/x , 0 （C ）1/x , 1
（D ）-x , 0
12．设S={1, 2, 3, 4}，下面哪个运算是S 上的运算（）。

（+、-、·和mod 分别代表普通加、减、乘和取模运算） （A ）x *y =x - y
（B ）x *y =x +y
（C ）x *y =x ·y
（D ）x *y =(x ·y )(mod 5)
13．下图中是分配格的是（）。

a) b) c)
a
b
c a
b
c d
e a
b
c d
e
（A）图a （B）图b和图c
（C）图c （D）图a和图c
14．设<B,·, +,⎺, 0,1>是布尔代数，∀a, b∈B，a≤b，则下式中不成立的是（）。

（A）a⎺b =0 （B）⎺a+b=1
（C）⎺a+⎺b=⎺a （D）a+⎺b=1
15．设V=<R+,·>，其中·为普通乘法，对任意的x∈R+令ϕ1(x)=|x|，ϕ2(x)=4x，ϕ3(x)=x2，ϕ4(x)=1/x2，ϕ5(x)=-3x，则下面命题为真的是（）。

（A）ϕ1、ϕ2和ϕ4是自同态的
（B）ϕ1、ϕ3和ϕ4是自同态的
（C）ϕ2和ϕ3是自同态的
（D）ϕ2、ϕ4和ϕ5是自同态的
16．设Z是整数集合，对于*运算，哪个<Z, *>代数系统是半群（）。

（A）a*b=a b（B）a*b=a
（C）a*b=a+ab（D）a*b=a-b
二、填空题：
1．在代数系统<Z, +>中，幺元是，零元是，在Z中元素有逆元。

如果x∈Z有逆元，它的逆元是。

2．在代数系统<Z , ⨯>中，幺元是 ，零元是 ，在Z 中 元素有逆元。

3．设G 是有6个元素构成的循环群，a 是G 的一个生成元素，则G 有 个子群，G 的生成元是 。

4．设S ={a , b }，在S 上定义了4个运算f 1, f 2, f 3, f 4，其运算表如下：
其中满足交换律的是 ，满足幂等律的是 ，有幺元的是 ，有零元的是 。

5．设R 是实数集，定义函数f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6如下：有： f 1(<x , y >)=x +y +2
f 2(<x , y >)=x -y -1
f 3(<x , y >)=2xy f 4(<x , y >)=max{x , y } f 5(<x , y >)= min{x , y }
f 6(<x , y >)=|x -y |，则这
6个函数是R 上的二元运算的有 个，可交换的二元运算有 个，可结合的二元运算有 个，有幺元的二元运算有 个。

6．设A 是非空集合，集合代数<P (A ), ⋃, ⋂>中，P (A )对运算⋃的幺元是 ，P (A )对运算⋂的幺元是 。

7．在代数系统<N , +>中，幺元是 ，
有逆元。

8．设S =Q ⨯Q ，其中Q 是有理数集合，在S 上定义二元运算*，∀<x , y >, <w , z >∈S ，<x , y >*<w , z >=<xw , xz +y >，则<S , *>的幺元是 ， 有逆元。

三、计算题：
1．在整数集Z 上定义二元运算*，x *y =x +y -xy ，求出幺元，并指出每个元素的逆元。

2．设集合B ={1, 2, 3, 4, 5}，令A ={1, 4, 5}∈ P (B )，求证由A 生成的子群<A ’, ⊕>是<P (B ), ⊕>的子群，其中A ’={A , ∅}，并求解方程A ⊕X ={2, 3, 4}。

四、证明题：
1．设<S , *>是一个半群，对于∀x , y ∈S ，如果有a *x =a *y ⇒x =y ，则称元素a 是左可约的。

试证明：如果a , b 是左可约的，则a *b 也是左可约的。

2．设R *=R -{0}，集合S 定义为：
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=*R b a b a S ,00 证明：代数系统<S , *>是群，其中*是矩阵的乘法运算。

3．证明<Z ,Θ,⊗>是环，其中Z 是整数集，运算Θ,⊗定义如下：
a Θ
b =a +b -1， a ⊗b =a +b -ab
4．设f1和f2都是从代数<S,*>到<S’,*’>的同态，*和*’都是二元运算，且*’是可交换和可结合的。

证明函数h: S→S’，h(x)=f1(x)*’f2(x)是从<S,*>到<S’,*’>的同态。