4-4 角动量算符的本征值和本征态
角动量的本征值和本征态
究量子测量和量子态的演化。
在原子和分子物理中的应用
电子轨道角动量
在原子和分子物理中，电子绕原 子核运动的轨道角动量决定了电
子云的形状和取向。
原子光谱
角动量本征值的差异导致原子能级 的分裂，从而形成原子光谱的精细 结构。
分子振动与转动
分子的振动和转动模式与角动量密 切相关，角动量本征值和本征态有 助于理解分子的振动和转动能级。
矩阵对角化法
对于较复杂的系统，可以通过构造角动量算符的矩阵表示，并利用矩阵对角化方法求解本征值和本征态。这种方法适 用于有限维空间中的角动量算符。
微扰法
当系统受到微扰时，可以利用微扰理论求解角动量算符的本征值和本征态。这种方法适用于微扰较小且 基态已知的情况。
本征态的物理意义
01
角动量本征态描述了物体绕某点旋转的量子化状态。不同的本征态对应不同的 旋转状态，具有不同的角动量大小和方向。
角动量的本征值和本 征态
目录
• 引言 • 角动量的本征值 • 角动量的本征态 • 角动量本征值和本征态的应用 • 角动量本征值和本征态的实验研究 • 结论和展望
01
引言
角动量的定义和性质
角动量是一个物体绕着某点旋转时所具有的动量，它是一个矢量，其方向垂直于旋 转平面，大小等于物体的质量与其到旋转中心的距离和角速度的乘积。
在固体物理中的应用
晶体对称性
固体物理中，晶体的对称性与角动量密切相关，角动量本征态可用于描述晶体的对称性质。
磁性与自旋
固体中的磁性现象与电子自旋密切相关，自旋是角动量的一种表现。角动量本征值和本征态在研 究固体磁性时起到重要作用。
能带结构与电子输运
在固体物理中，角动量影响电子在晶体中的运动，从而影响固体的能带结构和电子输运性质。
第一讲算符及其本征值与本征函数
pz z 1 p z ( z ) e 1/ 2 (2)
i
三、算符运算规则及线性厄米算符
一、算符相等：对任意函数Ψ，若 A B ˆB ˆ 则： A ˆ ˆ ˆ ˆ ( A B ) A B 二、算符和与差： ˆB ˆ (B ˆ A ˆ ) 三、算符乘： A 四、线性算符： ˆ (c c ) c A ˆ c A ˆ 成立，则 A ˆ 是线性算符。 若 A 1 2 1 2 • 五、泊松括号与算符对易： • • • • •
2 2 2 2 ˆ ˆ i ˆ U ˆ ˆ ,T E T U ( r ) H ,U (r ) U (r ) t 2m 2m ˆ i i ( i j k ), P ˆ 2 2 2 P x y z ˆ i , P ˆ i , P ˆ i P x x x x x x ˆ xi ˆ yj ˆ zk ˆ xi yj zk r r
ˆ *1 (r )Px 2 (r )d *1 (r )(i x ) 2 (r )d 2 dydz *1 (i ) dx x *1 dydz (i ) *1 2 2 dx x dydz 0 2 (i ) *1 dx x
简并度
• 不同的算符一般有不同的本征函数系和本征值谱， 因为算符不同，本征方程的数学形式不同，因而 方程解的函数形式不同。 ˆ 的某一本征 ˆ 的本征方程时，可能得出 A • 当解 A 值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
一、动量算符1、动量算符的本征值方程是动量算符的本征值,
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
)d
1 L3
L
L
L
2 dx 2 dy 2 dz 1
L 2
L 2
L 2
这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件
归一化方法，称为箱归一化。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。
(r , t)
1
(2
)3 2
e i ( pr Et) (11)
测量粒子的动量 p ，有确定值 p ，即动量算符的本征值。
９、球谐函数的例子：
s态 : Y00
1 p态 :
4
Y1,1
3 sin ei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sin ei 8
可取 (2l 1)个不同值，即对于Lˆz 的一个本征值 l(l 1) 2 ，有 (2l 1)个不同的本征函数 Ylm ( ,) 。
l 0,1, 2,3 分别称为s态,p态,d态,f 态
８、简并和简并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称 为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
Lˆ2 本征值是 (2l 1)度简并的。
角动量算符的本征值
角动量算符的本征值高峰;许成科;张登玉;游开明【摘要】量子物理学中,角动量算符是一个十分重要的物理量,可以用它的本征值来表征微观体系的状态.本文根据对易关系,利用较为简便的方法求出任意角动量算符的本征值,并讨论了轨道角动量算符和自旋角动量算符的本征值.【期刊名称】《衡阳师范学院学报》【年(卷),期】2015(036)006【总页数】3页(P43-45)【关键词】角动量算符;对易关系;本征值【作者】高峰;许成科;张登玉;游开明【作者单位】衡阳师范学院物理与电子工程学院,湖南衡阳 421002;衡阳师范学院南岳学院,湖南衡阳 421008;衡阳师范学院物理与电子工程学院,湖南衡阳 421002;衡阳师范学院南岳学院,湖南衡阳 421008;衡阳师范学院物理与电子工程学院,湖南衡阳 421002;衡阳师范学院南岳学院,湖南衡阳 421008;衡阳师范学院物理与电子工程学院,湖南衡阳 421002【正文语种】中文【中图分类】O413.1角动量是物理体系的一个重要物理量，它是确定体系状态的物理量之一。
特别是在研究原子问题时，它显得尤为重要，根据原子体系角动量的取值可以确定其状态。
原则上，量子力学可以根据最基本的转动求出角动量算符。
量子力学的一个十分重要的任务就是求解力学量算符的本征方程，从而得出算符的本征值和本征态。
相对于宏观系统而言，微观体系要复杂得多，其角动量除轨道角动量之外，还有自旋角动量。
自旋是微观体系特有的物理现象，不存在经典类比，尽管地球除绕太阳旋转以外也还有自转，但这种自转归根结底还是一种轨道运动。
人们经过研究发现，对于任意的转动，无论是轨道角动量、自旋角动量，还是总角动量、分角动量，其相应的角动量算符都具有一些共同的特点。
例如，任意一种角动量算符^J都满足如下对易关系简记为这是角动量算符最重要的性质，它也可直接作为角动量算符的定义［1］［2］。
一般说来，要想得到力学量算符的本征值和本征态，需要求解该算符的本征方程。
量子力学中的旋转群与角动量代数
量子力学中的旋转群与角动量代数量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而旋转群和角动量代数是量子力学中重要的数学工具。
本文将介绍旋转群和角动量代数在量子力学中的应用，以及它们的基本概念和性质。
旋转群是指在空间中保持距离和角度不变的变换集合。
在量子力学中，旋转群描述了粒子在空间中的旋转对称性。
旋转群的元素可以表示为旋转矩阵，它们作用在量子态上，使其发生旋转变换。
旋转群的性质决定了旋转变换对量子态的影响，从而影响粒子的测量结果。
旋转群的表示理论是描述旋转群作用在量子态上的数学工具。
表示理论将旋转群的元素表示为矩阵形式，使其作用在量子态上。
这些矩阵称为旋转算符，它们描述了旋转变换对量子态的影响。
旋转算符是幺正算符，保持量子态的归一性和内积不变。
旋转群的表示可以通过角动量代数来描述。
角动量代数是一种代数结构，描述了旋转群的对称性。
在量子力学中，角动量代数是描述粒子角动量的数学工具。
角动量代数包括角动量算符的对易关系和升降算符的定义。
角动量算符的对易关系决定了角动量的量子化规律，即角动量的取值只能是一系列离散的值。
角动量代数的基本概念是角动量算符和升降算符。
角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用J表示。
角动量算符有三个分量，分别对应于粒子在三个坐标方向上的角动量。
升降算符是改变角动量态的算符，通常用J+和J-表示。
升降算符使角动量态在角动量空间中上升或下降一个单位。
利用角动量代数，可以推导出角动量算符的本征值和本征态。
角动量算符的本征值表示粒子的角动量大小，本征态表示粒子的角动量方向。
角动量算符的本征值是离散的，且满足一定的选择定则。
本征态是旋转群的不可约表示，具有一定的对称性。
角动量代数在量子力学中有广泛的应用。
例如，它可以用来描述电子的自旋角动量。
自旋角动量是电子固有的角动量，不依赖于电子的运动状态。
自旋角动量的本征值可以解释电子在磁场中的行为，例如朗德因子和塞曼效应。
另外，角动量代数还可以用来描述多电子系统的角动量耦合和分裂。
⑴动量算符的本征值。其中，为的本征值，是属于的本征态。为求其本征....
2.p pL ξ∧∧→→∧→和的本征值方程1、动量算符⑴动量算符的本征值。
p p p i p r p r i iψψ→→∧∧→→→→→⎛⎫⎛⎫=-∇=∇∴∇= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的本征方程为 其中，p →为p ∧→的本征值，p r ψ→→⎛⎫ ⎪⎝⎭是属于p →的本征态。
为求其本征态，可先求x p ∧的本征态，其本征值方程为()()()x y z 'p p p p p p i r r x c exp y z r cexp p r x x i p p x x i ψψψψψψ→→→→→→→→∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其解为：同理可得：，综合可得： 讨论：若粒子位置不受限制，则x p p p y z （,）可取一切实数值（,-∞+∞），它是连续变化的，上述本征态表示平面波，是不能归一化的。
⑵连续谱本征态是不能归一化的。
量子力学中最常见的几个力学量是：,,,r p L E →→→其中，r →和p →的取值（本征值）是连续变化的，L →的本征值是分立的。
而E 的本征值往往兼而有之。
将看到，连续谱的本征态是不能归一化的。
以p →本征态为例，一维粒子的本征值为p →的本征态为平面波：()()22,()0,ipxp p x ce p c x dx cdx ψψ+∞+∞-∞-∞=-∞<<+∞≠==∞⎰⎰显然只要这个结论的理解：因为()p x ψ描述的状态下，几率密度为常数2c （()2222ipx p x c ec ψ==）即粒子在空间各点的相对几率是相等的。
在().x x dx +内找到粒子的几率为()220p x dx c dx dx c ψ∝=∝≠只要在全空间找到粒子的几率必定是无穷大。
习惯上常取()x ip x p x e ψ=。
⑶δ函数为处理连续谱本征态“归一化”问题，引用狄拉克δ函数是很方便的。
一维δ函数定义为：()()()()()0,,a 0f 1x 1x ax a f x x a dx f a x a x d δδδ+∞-∞+∞-∞≠⎧-=-=⎨∞=⎩===⎰⎰以及：....⑴取，，得：即δ函数对全实数轴的积分等于1.利用傅里叶积分公式，可以将δ函数用具体形式表示出来：()()()()()()()()]()()()()()'''''''''....()......ikx ikxikx ikx ik x x f x g k e dk f x x g k f x edxf x f x e dx e dk f x e dk dx x f x x x δ+∞+∞-+∞+∞--∞-∞+∞+∞--∞-∞+∞-∞==⎡∴=⎢⎣⎡⎤=⎥⎦-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰的傅氏变换为g 其逆变换为：⑵(f =dx )比较⑴和⑵得：()()''()11ik x x ikxx x edkx edkδδ+∞--∞+∞-∞-==⎰⎰或所以，若取动量本征态为()()()()()()''''exp exp xx xx p p x x p x x x x ip x x i x x dx p p x dx i x p p x d p p ψψψδ+∞+∞*-∞+∞-∞⎛⎫=⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰ 则： 于是，平面波“归一化”就用δ函数的形式表示出来了。
高等量子力学 角动量的本征值和本征态
s in
x
方括号中的微分算符与拉普拉斯算符在球坐标 表示的角度部分仅差一因子1/r2（即轨道角动 量与转动部分的动能相联系）。
二、球谐函数
无自旋粒子受球对称势作用，波动方程在球坐标下可 分离变量，能量本征函数可写为
n是径向量子数，l、m为轨道和磁量子数。由于球对
称，H与L2及Lz对易，能量本征态也可同时是L2和Lz
值增加 。
又由于J±与J2对易, J±不改变J2的本征值. 即： J±|a,b> = c±|a,b> ， c±由归一化条件确定。
三、J2与Jz的本征值
由于
J
2
JБайду номын сангаас
2 z
J
2 x
J
2 y
，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的
期待值为实数，故 a-b2≥0 对给定a, b有上限bmax
和下限bmin,且J+|a,bmax>=0, J-|a,bmin>=0.
D(R)=
,
六、转动算符表示的一般性质
1.由任一确定 j 所表征的转动矩阵形成一个群
a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-Φ角），
c)乘积
也是成员，其中
乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。
2. 幺正性： v
v
*
D D R1 mm
jm eiJnˆ h jm
jm eiJnˆ h jm
十一、密度算符与量子统计力学
为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：
在ρ本征态为基矢时
求一般算符函数的矩阵元方法：
f ( A) U Uf ( A)U U U f (UAU )U
其中：(UAU )ij ij (UAU )ii; [ f (UAU )]ij ij f ((UAU )ii )
算符的本征值与本征态
算符的本征值与本征态算符是量子力学中非常重要的概念之一，用于描述物理量的性质和测量结果。
在量子力学中，算符的本征值与本征态是非常有用的工具，它们可以帮助我们理解和计算系统的物理性质。
本文将介绍算符的本征值与本征态的概念及其在量子力学中的应用。
一、算符的本征值和本征态的定义在量子力学中，算符用来描述测量物理量的操作。
一个算符作用于一个波函数上，会得到一个新的波函数或者一个数值结果。
当算符作用于一个波函数时，如果结果等于原波函数乘以一个常数，这个常数就是算符的本征值，而原波函数就是算符的本征态。
根据量子力学的原理，每个物理量都有对应的算符。
例如，位置算符描述了粒子在空间中的位置，动量算符描述了粒子的动量，能量算符描述了粒子的能量等。
这些算符都有自己的本征值和本征态。
二、算符的本征值与本征态的性质算符的本征值和本征态具有一些重要的性质。
首先，算符的本征值只能取实数或复数。
其次，算符的本征值可以是离散的或连续的。
对于离散的本征值，我们称其为离散谱；对于连续的本征值，我们称其为连续谱。
算符的本征态具有归一化的性质，即本征态的模长平方等于1。
本征态之间也可以进行线性组合，得到新的波函数，这些新的波函数也是算符的本征态。
因此，本征态构成了一个完备的正交基。
三、算符的本征值与本征态的应用算符的本征值与本征态在量子力学中有广泛的应用。
首先，它们用于描述系统的物理性质。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的所有本征值和本征态，从而了解系统的能级以及相应的波函数形式。
其次，算符的本征值与本征态用于描述量子测量的结果。
当我们对一个物理量进行测量时，测量结果就是算符的某个本征值，而物理系统处于相应的本征态。
算符的本征值与本征态还可以用于计算系统的平均值和方差。
平均值描述了物理量的期望值，而方差描述了测量结果的离散程度。
此外，算符的本征值与本征态在量子力学中的对易性质也是非常重要的。
通过研究不同算符的对易关系，我们可以推导出一些重要的定理，如不确定性原理等。
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2
2
Y00
Y10
1 , 4
3 sin e i . 8
3 cos , 1 4
3 ˆ, Y1,1 z 4
3 x y z ˆ iy ˆ) x ˆ, y ˆ, z ˆ , , ，所以 (x 8 r r r 1 3 i 3 3 ˆ, Y1 y ˆ , Y1z Y10 ˆ. Y1x (Y1,1 Y1,1 ) x (Y1,1 Y1,1 ) y z 4 4 4 2 2 ˆ r / r 的 3 个分量。 这表明，3 个 1 阶球谐函数实际上就是单位矢径 r
注意到 Y1m (m 0, 1) 也可以写为 Y10 4.4.4 球谐函数的基本性质
ˆ 的同时本征函数： (1) Ylm ( , ) 是 L 和 L z
2
3
L2Ylm l (l 1) 2 Ylm , (l 0, 1, 2, ) ˆ (m l , l 1, , l ) Lz Ylm m Ylm .
§ 4.4 角动量算符的本征值和本征态
4.4.1 角动量算符的球坐标表示 轨道角动量算符的定义是：
ˆ ˆ ˆ Lr p i r ,
即是
ˆ i y z , L ˆ i z x , L ˆ i x y , L x y z y z x x z y
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
其中
r [0, ), [0, ], [0, 2 ),
那么，
ˆ z i , L
1 2 . 2 2 sin ˆ 的表达式。 ˆ 和L 注意：它们与 r 无关。目前暂时用不到 L L2
4
2
1 sin sin
x
y
ˆ 的本征值和本征函数 4.4.2 L z ˆ 记 L 的本征值为 m ，本征函数为 m ( ) ，则本征方程是：
z
ˆ m , L z m m
即是：
d m i m m ( ), d
所以 m ( ) C e 所以
ˆ ,L ˆ ,L ˆ 之中的某一个，通常选为 L ˆ 。我们的任务是求解 L 和 L ˆ 所以，这些算符的完备集是 L 以及 L x y z z z
2
2
的同时本征方程（注意：这和动量算符的情况完全不同） 。 这些方程更便于从直角坐标系 (x, y, z) 转入球坐标系 (r , , ) 求解。这个变换是
i m
。由波函数的单值性，必须有：
m ( 2 ) m ( ),
m 0, 1, 2,
归一化条件
2
0
m ( ) d 1 导致 C 1/ 2 ，所以
1
2
m ( )
这些本征函数可以用于求解平面转子问题。
1 i m e . 2
1
注。这里出现了量子数 m (整数集)的情形，其数学原因是圆周 S 的第一同伦群是 ，所以 m 在 本质上是一个拓扑量子数，数学上称为第一 Chern（陈省身）数，物理上称为绕数(winding number)。 4.4.3 L 的本征值和本征函数
1 1 2wx x
头三阶 Legendre 多项式是
2
Pl ( w) xl . (0 x 1, 1 w 1)
l 0
P0 (w) 1, P 1 ( w) w, 1 P2 ( w) (3w2 1). 2
2
连带 Legendre 方程的解 Pl ( w) 称为连带 Legendre 函数，定义为
我们把对应的解记为 Pl ( w) ，所以 Pl ( w) 满足方程
m d m2 m 2 dP l (1 w ) l ( l 1) Pl ( w) 0. dw dw 1 w2
m m
特别是，当 m 0 时， Pl ( w) Pl
其中 ijk 是“完全反对称三阶单位张量” ，它的非零分量是
123 231 312 321 213 132 1,
此外定义
ˆ 2L ˆ 2L ˆ 2, L2 L 2 L x y z
那么就有
ˆ ] [ L2 , L ˆ ] [ L2 , L ˆ ] 0. [ L2 , L x y z
(3) 空间反射变换 r
Ylm ( , )Ylm ( , ) d l l mm.
Ylm ( , ) (1) l Ylm ( , ) ,
所以， Ylm ( , ) 的宇称是 ( 1) l 。 (4) 球谐函数 Ylm ( , ) 是单位球面（ r 1 ）上的完备函数系，也就是说，以 ( , ) 为变量的任何 函数都可以展开为 Ylm ( , ) 的线性组合。 在经典力学里动量和角动量都是矢量，二者的区别只是动量是极矢量而角动量是轴矢量。但是在量 子力学里动量和角动量的区别要大得多。请思考一下这些区别都有哪些？
Y ( , ) P( )ei m ,
因而 P( ) 满足：
1 d dP m2 P( ) P( ). sin sin d d sin 2
通常引入 则方程成为：
w cos , w [1, 1],
d m2 2 dP P( w) 0. (1 w ) dw dw 1 w2 这个方程称为连带(associated)（又称缔合）勒让德(Legendre)方程。 w 1 是这个方程的奇点，所以， 除非 取某些特定值，方程的解会在 w 1 处变成无穷大。 的这些允许值是： l (l 1), l m , m 1,
1 1 0 1 P 1 (cos ) sin , P 1 (cos ) cos , P 1 ( w) sin . 2
综上所述，轨道角动量的本征函数是
m i m Ylm ( , ) Nlm P , l (cos )e
其中本征值 l , m 的取值范围是
Pl m ( w) (1)m (l m)! m Pl ( w). (l m)!
1 1 w2 , 2
例如 P 1 ( w) (m 1, 0, 1) 是
m
1 2 0 1 P 1 ( w) 1 w , P 1 ( w) w, P 1 ( w)
换为变量 的表达式就是
m0
( w) 满足：
dP d (1 w2 ) l l (l 1) Pl ( w) 0. dw dw 这个方程称为 Legendre 方程，它的解 Pl ( w) 是 w 的 l 阶多项式，称为 Legendre 多项式，定义为
1 dl Pl ( w) l ( w2 1) l . l 2 l! dw 直接求导就不难验证 Pl ( w) 满足 Legendre 方程。 Pl ( w) 还有如下的母函数（生成函数）展开式：
m
Pl m ( w)
事实上，在 m 0 的时候，
l m 1 2 m/2 d (1 w ) ( w2 1)l . (m l , l 1, 2l l ! dwl m
, l)
Pl m ( w) (1 w2 )m / 2
而P l
m
dm Pl ( w), dwm
( w) 和 Pl m ( w) 只有常数因子的差别：
l 0, 1, 2 , m l , l 1,
, l.
N lm 是归一化常数，使
Ylm ( , ) Ylm ( , ) d 1,
(d sin d d )
结果是（关于 N lm 的相位的选择以后再解释）
Nlm (1)m
最后得
(2l 1) (l m)! , 4 (l m)!
(2) Ylm ( , ) 是正交归一的：
r ( x x, y y, z z ) 在球坐标系 ( r, , ) 中成为 r r, , . m l m m 当 时 w w ，利用 P P l ( w) (1) l ( w) 和 Ylm ( , ) 的表达式，不难发现
2
L2 的本征函数是 ( , ) 的函数，记为 Y ( , ) ，本征值记为
2
，则本征方程是
L2 Y
即是
2
Y,
1 Y 1 2Y sin Y ( , ). sin sin 2 2
ˆ 的本征函数，这个要求等价于 Y ( , ) 是一个分离变量的解，也就是 我们要求 Y ( , ) 同时是 L z
Ylm ( , ) (1)m
(2l 1) (l m)! m Pl (cos )ei m . 4 (l m)!
Ylm ( , ) 称为球谐函数，l 称为角量子数，m 称为磁量子数。采用原子物理的术语，l 0,1, 2,3 的 状态分别称为 S, P, D, F 态， l 4,5,6, 的状态按字母表的顺序依次称为 G, H, I, 态。对于指定的 l ，
它们满足对易关系
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ , [L ˆ ,L ˆ ]i L ˆ , [L ˆ ,L ˆ ]i L ˆ , [L x y z y z x z x y
或简记为
ˆ,L ˆ ]i L ˆ [L i j ijk k , (i, j , k x, y, z 1, 2, 3)