曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量本征值问题的代数解法(圣才出
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第 9 章 力学量本征值问题的代数解法
9.1 复习笔记
一、谐振子的 SchrOdinger 因式分解法
1．一维谐振子的代数求解
采用自然单位
，则一维谐振子的 Hamilton 量为
令
可将 H 表示为
其中
在任何量子态 下，
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其中 ψ0（z）是谐振子基态波函数． 如 α 是实数，则 θ＝0， ，上式变成
其意义为：将基态作空间平移，即得相干态，平移的距离等于相干态中 x 的平均值．式 （22）的波形如右图所示。
2．角动量的本征值及本征态的求得 （1）|jm>对应本征值的求得
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把（j2,jz）共同本征态记为|jm>，则本征值求得如下
（2） j ， jx 及 jy 的矩阵元 j 的矩阵元如下
jx 及 jy 的矩阵元如下
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除 n＝0 以外，一般 不是算符 a 的本征态（根源于 和 a 不对易），而且，上式表明 a 的本征态不可能由有限个 叠加而成，必须包含所有 ．设
满足本征方程 α 为本征值．利用式（1），即得
以
左乘上式，并利用正交归一条件
所以， 为正定厄米算符， 的本征值 n 为非负整数， n＝0，1，2，3，．．．
因此，H 的本征值 En ，为（自然单位， ）
2．升算符与降算符
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（1）升算符与降算符的定义 a＋称为升算符（raising operator），而 a 称为降算符（lowering operator），谐振子 常用于描述固体中晶格的小振动，a＋与 a 又称为振动声子的产生和湮没算符。 （2）升算符与降算符的性质
即得
依次递推，即得
C0 为归一化常数．归一化条件为 由于
所以，
通常，可取 C0 为正实数，即取 δ＝0．这时
这就是算符 a 的本征态．由于 a 并非 Hermite 算符，所以本征值 α 原则上可取任意复 数．上式中 态的成分为
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下面给出相干态波函数的另一种表示式． 先将式（1）中算符写成如下形式：
再利用公式（8），即得
式（1）的 z 表象为 将式（11）代入式（1′），并取 即得 其中
（15）
（参看《量子力学习题精选与剖析》[下]题 4．2）．式（16）中 波函数的作用是
即平移算符，它对
代入式（16），即得相干态波函数的具体函数形式：
下式中 n 为算符 Nˆ = a+a 的本征函数，且对应本征值为 n。则 n 与升算符和降算符
有如下关系。
3．谐振子能量本征态在坐标表象中的求解 先考虑基态 ，它满足
即
在坐标表象中基态波函数
满足
解出得（已经添上了自然单位）
坐标表象中的激发态波函数可表示为
则可以得到
此即坐标表象中谐振子能量本征态。
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呈 Poisson 分布．式（7）称为谐振子的相干态（coherent state）．
9.2 证明：（a）谐振子相干态可以表示为
利用
，证明
（b）a 为实数情况，利用
是相干态 在 x 表象中的表示式，
的波形与谐振子基态
方向的平移，波峰从 x＝0 点挪到了 x0 点。
【详细证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，4.3 题】
三、两个角动量的耦合，Clebsch—Gordan 系数 1．Clebsch—Gordan 系数
在给定 j1 和 j2 的子空间中，耦合表象的基矢
可以简记为
令
展开系数称为 Clebsech –Gordan （CG）系数，即（2j1＋1）（2j2＋1）维子空间中 耦合表象的基矢与非耦合表象的基矢之间的幺正变换矩阵的矩阵元.
对 m2 = m2 ，得
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2．j 的取值范围 j 取值范围如下
3．CG 系数性质
CG 系数有下列两个基本性质：
（a）仅当
时，
（b）仅当
时，
才不等于 0； 才不等于 0.
9.2 课后习题详解
9.1 谐 振 子 的 湮 没 算 符 （ 自 然 单 位 ） 可以表示为谐振子能量本征态的相干叠加，
4.3 证明谐振子相干态可以表示成
是谐振子基态；提示 相同，但有一个往 x
并求出 在 x 表象中的表示式
（即波函数）．
解：利用产生、湮没算符的基本对易式
即得
反复利用式（3），可得
因此，
亦即，对于任何 ，均有
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但是，对于谐振子的基态
因此，
亦即
是算符 a 的本征态，本征值为 0．因此这就是相干态 ．
利用公式（参看《量子力学习题精选与剖析》[下]题 3．7）
可得
代入式（1），即得
其中
因此
利用公式 即得 因此
写成 x 表象中波函数，就是
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二、角动量的本征值与本征态 1．几个重要关系 （1）角动量算符间的对易关系
算符 jx , jy , jz 满足下列对易式
定义 则有对易关系式 （2）升算符和降算符的几个关系式 定义升算符和降算符 则有如下关系式
上式说明算符 j 使磁量子数 m 增、减 l，所以称为升算符和降算符。
（22）式，证明归一化的本征态 可以表示为
的本征方程表示为 利用 9.1 节，
提示： 称为谐振子的相干态（coherent state） 【详细说明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，4.1 题】 4.1 对于一维谐振子，求湮没算符 a 的本征态，将其表示成各能量本征态 的线性 叠加． 解：湮没算符 a 对于能量本征态 的作用结果为（参看上册题 3．1 式（26））
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第 9 章 力学量本征值问题的代数解法
9.1 复习笔记
一、谐振子的 SchrOdinger 因式分解法
1．一维谐振子的代数求解
采用自然单位
，则一维谐振子的 Hamilton 量为
令
可将 H 表示为
其中
在任何量子态 下，
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其中 ψ0（z）是谐振子基态波函数． 如 α 是实数，则 θ＝0， ，上式变成
其意义为：将基态作空间平移，即得相干态，平移的距离等于相干态中 x 的平均值．式 （22）的波形如右图所示。
2．角动量的本征值及本征态的求得 （1）|jm>对应本征值的求得
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把（j2,jz）共同本征态记为|jm>，则本征值求得如下
（2） j ， jx 及 jy 的矩阵元 j 的矩阵元如下
jx 及 jy 的矩阵元如下
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除 n＝0 以外，一般 不是算符 a 的本征态（根源于 和 a 不对易），而且，上式表明 a 的本征态不可能由有限个 叠加而成，必须包含所有 ．设
满足本征方程 α 为本征值．利用式（1），即得
以
左乘上式，并利用正交归一条件
所以， 为正定厄米算符， 的本征值 n 为非负整数， n＝0，1，2，3，．．．
因此，H 的本征值 En ，为（自然单位， ）
2．升算符与降算符
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（1）升算符与降算符的定义 a＋称为升算符（raising operator），而 a 称为降算符（lowering operator），谐振子 常用于描述固体中晶格的小振动，a＋与 a 又称为振动声子的产生和湮没算符。 （2）升算符与降算符的性质
即得
依次递推，即得
C0 为归一化常数．归一化条件为 由于
所以，
通常，可取 C0 为正实数，即取 δ＝0．这时
这就是算符 a 的本征态．由于 a 并非 Hermite 算符，所以本征值 α 原则上可取任意复 数．上式中 态的成分为
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下面给出相干态波函数的另一种表示式． 先将式（1）中算符写成如下形式：
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式（1）的 z 表象为 将式（11）代入式（1′），并取 即得 其中
（15）
（参看《量子力学习题精选与剖析》[下]题 4．2）．式（16）中 波函数的作用是
即平移算符，它对
代入式（16），即得相干态波函数的具体函数形式：
下式中 n 为算符 Nˆ = a+a 的本征函数，且对应本征值为 n。则 n 与升算符和降算符
有如下关系。
3．谐振子能量本征态在坐标表象中的求解 先考虑基态 ，它满足
即
在坐标表象中基态波函数
满足
解出得（已经添上了自然单位）
坐标表象中的激发态波函数可表示为
则可以得到
此即坐标表象中谐振子能量本征态。
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呈 Poisson 分布．式（7）称为谐振子的相干态（coherent state）．
9.2 证明：（a）谐振子相干态可以表示为
利用
，证明
（b）a 为实数情况，利用
是相干态 在 x 表象中的表示式，
的波形与谐振子基态
方向的平移，波峰从 x＝0 点挪到了 x0 点。
【详细证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，4.3 题】
三、两个角动量的耦合，Clebsch—Gordan 系数 1．Clebsch—Gordan 系数
在给定 j1 和 j2 的子空间中，耦合表象的基矢
可以简记为
令
展开系数称为 Clebsech –Gordan （CG）系数，即（2j1＋1）（2j2＋1）维子空间中 耦合表象的基矢与非耦合表象的基矢之间的幺正变换矩阵的矩阵元.
对 m2 = m2 ，得
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2．j 的取值范围 j 取值范围如下
3．CG 系数性质
CG 系数有下列两个基本性质：
（a）仅当
时，
（b）仅当
时，
才不等于 0； 才不等于 0.
9.2 课后习题详解
9.1 谐 振 子 的 湮 没 算 符 （ 自 然 单 位 ） 可以表示为谐振子能量本征态的相干叠加，
4.3 证明谐振子相干态可以表示成
是谐振子基态；提示 相同，但有一个往 x
并求出 在 x 表象中的表示式
（即波函数）．
解：利用产生、湮没算符的基本对易式
即得
反复利用式（3），可得
因此，
亦即，对于任何 ，均有
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但是，对于谐振子的基态
因此，
亦即
是算符 a 的本征态，本征值为 0．因此这就是相干态 ．
利用公式（参看《量子力学习题精选与剖析》[下]题 3．7）
可得
代入式（1），即得
其中
因此
利用公式 即得 因此
写成 x 表象中波函数，就是
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二、角动量的本征值与本征态 1．几个重要关系 （1）角动量算符间的对易关系
算符 jx , jy , jz 满足下列对易式
定义 则有对易关系式 （2）升算符和降算符的几个关系式 定义升算符和降算符 则有如下关系式
上式说明算符 j 使磁量子数 m 增、减 l，所以称为升算符和降算符。
（22）式，证明归一化的本征态 可以表示为
的本征方程表示为 利用 9.1 节，
提示： 称为谐振子的相干态（coherent state） 【详细说明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，4.1 题】 4.1 对于一维谐振子，求湮没算符 a 的本征态，将其表示成各能量本征态 的线性 叠加． 解：湮没算符 a 对于能量本征态 的作用结果为（参看上册题 3．1 式（26））