山东理工大学《线性代数》试卷3
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
高等代数线性空间单元测验答案(1)
（ ）卷 2015-2016 学年第 二 学期班级：
姓名：
学号：
序号
…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
适用专业
考核性质 考试 闭卷
命题教师
考试时间 100 分钟
题号
一
二
三
四
得分
五
总分
一、填空题（20 分）
3.已知 R3 的两组基 1 (1,1,1),2 (1, 0, 1),3 (1, 0,1) 与 1 (1, 2,1), 2 (2,3, 4), 3 (3, 4,3) 求由 1,2,3 到 1, 2, 3 的 过渡矩阵.
1 2 3 1 1 1
2 3 4
学号：
序号
…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
四、证明题（20 分）
1.设V 是数域 K 上一个 n 维线性空间,1,2,,n 是V 的基,V1 L(1 2 n ) ,V2
n
kii
n
2 2 1 3 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 3
0
1
0
1 ,
该方程组组的解空间是一维的, 一组基 (3, 1, 1, 1)T
0 0 1 1
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山东理工大学《高等代数》单元测验试卷纸
（ ）卷 2015-2016 学年第 一 学期 班级：
4.数域 F 上两个有限维线性空间V1 与V2 同构的充要条件是_________ dim V1 dim V2 ____________.
线性代数测试试卷及答案
线性代数A 卷一﹑选择题每小题3分,共15分1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是 A AB BA = B 222()AB A B = C 222()2A B A AB B +=++ D A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为A nB sC n s -D 以上答案都不正确3.如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于 A 10, 8 B 8, 10 C 10, 8-- D 10, 8--4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么A 2331A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭B 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭C 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭D 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =,则 A A 的行向量组和列向量组均线性相关 BA 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 C A 的行向量组和列向量组均线性无关 DA 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题每小题3分,共30分1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2. 设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ；3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关,则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为 ；9. 若二次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围为 ；10. 设A 为n 阶方阵,且满足2240A A I +-=,这里I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题每小题9分,共27分1. 已知210121012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵X 使之满足AX X B =+.2. 求行列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的一个最大无关组和秩.四﹑10分设有齐次线性方程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩ 问当λ取何值时, 上述方程组1有唯一的零解﹔2有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑12分求一个正交变换X PY =,把下列二次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑6分已知平面上三条不同直线的方程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数A 卷答案一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解 由AX X B =+得1()X A I B -=-. 2分下面求1()A I --. 由于110111011A I ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭4分而1()A I --=011111110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 7分所以10111001()11101111100011X A I B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 9分2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= 4分 123401131000440004-=-- 8分 160= 9分 .3. 解 由于3112341234011301131301053307330733r r --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭324212345011300212700424r r r r -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪+ ⎪--⎝⎭ 43123401132002120000r r -⎛⎫⎪-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭6分 故向量组的秩是 3 ,123,,ααα是它的一个最大无关组;9分 四﹑解 方程组的系数行列式111111111A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- 2分①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠,即1λ≠-且2λ≠时,方程组有唯一的零解; 4分 ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为12 1 21 1 11 2 A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,它有一个二阶子式123021-=-≠-,因此秩A 2n =<这里3n =,故方程组有无穷多个解.对A 施行初等行变换,可得到方程组的一般解为132333,,,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中3x 可取任意数; 7分 ③当2λ=时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为11 1 11 1 11 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,显然,秩A 1n =<这里3n =,所以方程组也有无穷多个解.对A 施行初等行变换可得方程组的一般解为1232233,,,x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中23,x x 可取任意数. 10分 五﹑ 解 二次型的矩阵为12 2 21 2 22 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2分因为特征多项式为212 221 2 (1)(5)22 1I A λλλλλλ----=---=+----, 所以特征值是1-二重和5. 4分把特征值1λ=-代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231232220,2220,2220,x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值1λ=-的特征向量为12(1,0,1),(0,1,1)T T αα=-=-.利用施密特正交化方法将12,αα正交化:11(1,0,1)T βα==-, 211(,1,)22T β=--,再将12,ββ单位化得1T η=,2(T η=, 8分 把特征值5λ=代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231234220,2420,2240,x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值5λ=的特征向量为3(1,1,1)T α=.再将3α单位化得3Tη=. 10分 令123(,,)0P ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则P 是一个正交矩阵,且满足1100010005T P AP P AP --⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭.所以,正交变换X PY =为所求,它把二次型化成标准形222123123(,,)5f x x x y y y =--+. 12分六﹑证明:必要性由123,,l l l 交于一点得方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解,可知231()()230()10231a b cb c R A R A bc a a b c c a c a ba b=⇒=⇒++= 2分由于2221211[()()()]01b cca b a c b a c a b=--+-+-≠,所以0a b c ++= 3分充分性：0()a b c b a c ++=⇒=-+2222222()2[()][()]022312366()10231a bac b ac a c a c a c b c a b c a b c b c b c a b c a a b c c a c a b c a b a b ⎫⇒=-=-+=-++-≠⎪⎪⎪⎬⎪==++=⎪⎪⎭又因为()()2R A R A ⇒==, 5分 因此方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解,即123,,l l l 交于一点. 6分线性代数习题和答案第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a 11A 21+a 12A 22+a 13A 232+a 21A 21+a 22A 22+a 23A 232+a 31A 21+a 32A 22+a 33A 232= . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a 线性相关,则a= .19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .24.设实二次型fx 1,x 2,x 3,x 4,x 5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T ；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数; 29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； 2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=511 1111 550 ----=5116205506255301040 ---=---=+=.27.解AB=A+2B即A-2EB=A,而A-2E-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=A-2E-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=386 296 2129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.1秩B=3,所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组;A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.31.解fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E,所以E-A可逆,且E-A-1= E+A+A2 .33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解;2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。
线性代数考试试题
5 0 1 1、设 A= 0 1 0 ，则| A−1 |=_____ 3 0 1
1 1 2、设行列式 D = 2 4
1 0 5 3、设 A = 03 0 0 2 −4 4、设 A = 3 a 7 0
__。
1 0 1 5
3 0 0 1
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山东理工大学《 山东理工大学《线性代数》试卷纸 》
（A）卷 2007-2008 学年第二学期 班级： 姓名： 学号： …………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
2 六、 （15 分）用正交变换化二次型 f = 4 x12 + 3x2 + 3 x32 + 2 x2 x3 成标准型。
四、 （15 分）线性方程组为
x1 − x2 − x3 + x4 = 0 x1 − x2 + x3 − 3x4 = 1 ，求其通解。 1 x1 − x2 − 2 x3 + 3x4 = − 2
3 0 1 1 1 五、 （10 分）设 AX = B ，且 A = 1 1 0 ， B = 0 1 求 X . −1 0 0 1 4
0 1 1
（1） D = 1 0 1 1 1 0
1 2 −1 3 0 1 (2) 1 −2 0 −2 −4 1
2 5 。 3 6
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山东理工大学《 山东理工大学《线性代数》试卷纸 》
（A）卷 2008-2009 学年第二学期 班级： 姓名： 学号： …………………………………装……………………………订…………………………线………….……………………………… 三、 （10 分）求向量组 α1 = (1, 2, −1, 2)T ,α 2 = (3, −1, 4,6)T , α 3 = (−1,1,5,5)T α 4 = (1,3,0, 4)T 的秩，并求出一个最大线性无关组。
03-04学年第2学期山东理工大学线性代数试题
03-04学年第2学期线性代数试题一、 判断是非（每小题2分，共16分）1 若行列式等于零，则其中必有两行对应元素成比例。
2 线性无关的向量组的任意部分组必线性无关。
3 等价的两个向量组必含有相同个数的向量。
4 两个矩阵的乘积不满足交换律和消去律。
5 非齐次线性方程组有解的充要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等。
6 正交矩阵必是可逆矩阵。
7 相似矩阵的秩一定相等。
(注两个矩阵相似或合同，则两个矩阵一定等价。
因而，他们有相同的秩。
)8 在可逆的线性变换下，二次型的标准型一定是唯一的。
二、 填空题（每小题2分，共16分）1 排列6152734的逆序数是________________。
2 若矩阵A 可逆，则=-1*)(A ___________。
3 设=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则),654(321——————。
4 若向量____________),0,1,1,0(),0,1,0,1(='==βαβα则。
5 若三阶实对称矩阵A 的特征值为-1，2，3，则A -1的特征值为______。
6 对于四阶矩阵A ，。
则__________2,1==A A7 若四阶矩阵：。
则且___________),,,,(,2),,,,(432214321=+===B B A A ααααααααα 8 若向量组）（，，，（），，，（5,4,0)02121321-==-=αααt 线性无关，则t=————————。
三、计算下列行列式（12分）1 29930030119920020199100101=D 22222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a四、（8分）设：B A A AB B A ''-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=及求2,101121121101010101 五、（8分）求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=201013121A 的逆矩阵。
线性代数试卷及答案
考试科目： 线性代数考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1.设n B A 均为,阶方阵，则必有（ D ）(A) B A B A +=+(B) BA AB = (C) 111)(---+=+B A B A(D) BA AB =2. 已知,A B 均为n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 一定是( C )(A) 对称矩阵 (B) 正定矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 正交矩阵3．设矩阵142242A ab a 2 1⎛⎫ ⎪=2 + ⎪ ⎪ + ⎝⎭的秩为2，则( C )(A) 0,0a b ==(B) 0,0a b =≠ (C) 0,0a b ≠=(D) 0,0a b ≠≠4．设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则2*-A =（ A ）5. 设 (),ij n n A a ⨯=且A 的行列式A =0, 但A 中某元素kl a 的代数余子式 0,kl A ≠ 则齐次线性方程组0AX =的基础解系中解向量个数是( A )二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 设四阶行列式D 的第四列元素分别为1,0,2,3且他们对应的余子式分别为2,3,1,2-，则D=______2_______．7. 向量[1,4,0,2α=与[2,2,1,3]β=-的距离和内积分别为_________和___0____.8. 设向量组(1,0,1),(2,,1),T T k ==-αβ(1,1,4)=--T γ线性相关，则k =___1___.(A) 52-(B) 32-(C) 32(D) 52(A) 1 (B) k (C) l (D) n9. 已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x x x x x x x x x λ=+-+++正定, 则λ的取值范围为 ．10. Matlab 软件中，在命令窗口输入rank(ones(2,3))，显示ans= ．三、计算题11.(8分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A B A -.12.（8分）计算行列式1111111111111111D -=--.四、解方程组13. (10分) λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+=+-13113321321321x x x x x x x x x λ 有唯一解、有无穷多解、没有解？并在有无穷多解时，求出它的通解.五、解答题14.（10分）求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)T T T T αααα=-=-=-=-的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.15. (7分) 求矩阵A=2000014000100009⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.16.(10分) 设2阶矩阵A 的特征值为1，2，对应的特征向量依次为1201,,11αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求矩阵A ; （2）求2010A .17.（6分） 求二次型112212(,)34x f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵A ，并求f 的秩.六、证明题18.(6分) 设A ，B 都是n 阶矩阵，AB A B =+，证明 （1）A E -，B E -都可逆； （2）AB BA =.参考答案和评分标准一. 每小题3分，共15分， 1. D 2. C 3. C 4. A 5. A二 每小题4分，共20分 6. 27.0 8. 19. 405λ-<<10. 1 三.11. 满分8分110012001T A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,………………………2分 122013002T A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭………………………5分1222213040T A B A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………8分12. 满分8分8-（用行列式性质或行列式定义，适当给步骤分） ………………………8分四13. 满分10分131111111111()11110422042231104320010R A b λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---++⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………5分 1,()()3R A R B λ∴≠-==当时有唯一解1,()()23R A R B λ=-==<当时有无穷多解 ……………………7分11111100,0422021100000000R ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时基础解系为 ()1,1,2T ξ=， 特解为 ()0,0,1Tη=…………………10分五14. 满分10分12342314113311332314(,,,)3241324110211021A αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭………2分 11331133102105510011201120551000000000011200000000-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭………6分 12312412() 2.,R A αααααααα∴=就是一个极大无关组,且=2-,=-+2 …10分15. 满分7分1100020140001010009A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (用初等变换或定义或分块矩阵，适当给步骤分) ………7分16. 满分10分（1）由题意：1201()11P αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，1002⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭，1P AP -=Λ， ………………2分 所以10110012011021111A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………5分 （2）201020101-=ΛA P P ………………7分 12010011001110211-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2010201020211⎛⎫= ⎪-⎝⎭………………10分17. 满分6分51121312(2)34245242A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭； …………………4分 因为0A ≠，所以()2R A =；即二次型f 的秩为2. …………………6分 六18. 满分6分（1） 因为()()(),A E B E AB A B E E --=-++=所以A E -，B E -都可逆。
高等代数线性变换单元测验答案
(1) ( )(1,2) (1,2) (1,2) (1,2) A (1,2)P1
=(1,2)A (1,2)BP1 (1,2) A (1,2)PBP1=(1,2)(A PBP1)
答案是 A PBP1
(2) (1,2)= ( (1,2))= ((1,2)B)= (1,2) B= (1,2)P B (1,2)AP B (1,2)P1AP B 答案是 P1AP B
(2)任取 B1(0) ,一定有 B 0成立. 则 B(A ) (BA) (AB) A(B ) A(0) 0 , 推出 A B1(0)
从而 B 1 (0) 均为 A 的不变子空间.
3.设 A 是 n 维线性空间V 上的线性变换, V .若 A n1 0,但 A n 0 . 证明：1) ,A ,, A n1 线性无关;
2.已知
,
是
R2
上的线性变换，
在基 1
(1, 0),2
(1,1)
下的矩阵为
A
1 1
1 1
，
在基1
(1, 2),2
(0,1)
下的矩
阵为
B
2 1
3 0
.
求：(1) 在基1,2 下的矩阵； (2） 在基1,2 下的矩阵.
(1,2 ) (1,2 ) A , (1,2 ) (1,2 )B , (1,2 ) (1,2 )P
：
X
AX ,
X R22
（1）证明： 是线性变换；
（2）求 在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵；
（3）求 (V ) 的基与维数；
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山东理工大学《线性代数》试卷
一、填空题(15’) ：
1 ．设向量组, 它的秩是( ) ，一个最大线性无关组是
( ).
2 ．已知矩阵和相似 , 则x =
( ).
3 ．设是秩为的矩阵 , 是矩阵 , 且, 则的秩的取值范围是
(
).
二、计算题：
1 ．(7’) 计算行列式.
2 ．(8’) 设, 求.
3 ．(10’) 已知维向量空间的两个基分别为;
, 向量. 求由基到基
的过渡矩阵; 并求向量在这两个基下的坐标.
4 ．(15’) 讨论下述线性方程组的解的情况；若有无穷多解，则必须求出通解 .
5．(15’ )已知有一个特征值为, 求正交阵, 使得为对角阵 .
6 ．(10’) 在次数不超过3的实系数多项式所成的线性空间中定义线性变换?为?= , 求线性变换?在基
下的矩阵.
三、证明题：
1．(10’) 已知矩阵与合同, 矩阵与合同, 证明: 分块对角矩阵与也合同.
2 ．(10’) 设是正交矩阵 , , 是的特征值 , 是相应于特征值, 的特征向量 , 问 : 与是否线性相关 , 为什么 ? 与是否正交 , 为什么 ?。