物理 电磁感应中的能量问题 基础篇

物理总复习：电磁感应中的能量问题【考纲要求】理解安培力做功在电磁感应现象中能量转化方面所起的作用。

【考点梳理】考点、电磁感应中的能量问题要点诠释：电磁感应现象中出现的电能，一定是由其他形式的能转化而来的，具体问题中会涉及多种形式能之间的转化，如机械能和电能的相互转化、内能和电能的相互转化。

分析时应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功就可以知道有哪些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功就可能有机械能参与转化；安培力做负功就是将其他形式的能转化为电能，做正功就是将电能转化为其他形式的能，然后利用能量守恒列出方程求解。

电能求解的主要思路：（1）利用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功。

（2）利用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能。

（3）利用电路特征求解：通过电路中所产生的电流来计算。

【典型例题】类型一、根据能量守恒定律判断有关问题例1、如图所示，闭合线圈abcd用绝缘硬杆悬于O点，虚线表示有界磁场B，把线圈从图示位置释放后使其摆动，不计其它阻力，线圈将（）A.往复摆动B.很快停在竖直方向平衡而不再摆动C.经过很长时间摆动后最后停下D.线圈中产生的热量小于线圈机械能的减少量【思路点拨】闭合线圈在进出磁场的过程中，磁通量发生变化，闭合线圈产生感应电流，其机械能转化为电热，根据能量守恒定律机械能全部转化为内能。

【答案】B【解析】当线圈进出磁场时，穿过线圈的磁通量发生变化，从而在线圈中产生感应电流，机械能不断转化为电能，直至最终线圈不再摆动。

根据能量守恒定律，在这过程中，线圈中产生的热量等于机械能的减少量。

【总结升华】始终抓住能量守恒定律解决问题，金属块（圆环、闭合线圈等）在穿越磁场时有感应电流产生，电能转化为内能，消耗了机械能，机械能减少，在磁场中运动相当于力学部分的光滑问题，不消耗机械能。

上述线圈所出现的现象叫做电磁阻尼。

用能量转化和守恒定律解决此类问题往往十分简便。

磁电式电流表、电压表的指针偏转过程中也利用了电磁阻尼现象，所以指针能很快静止下来。

举一反三【变式】光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图所示，抛物线的方程是y＝x2，下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线（图中的虚线所示）．一个小金属块从抛物线上y＝b（b＞a）处以速度v沿抛物线下滑．假设抛物线足够长，金属块沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是( )A ．mgbB ．212mvC ．()mg b a -D ．21()2mg b a mv -+ 【答案】D【解析】小金属块在进出磁场的过程中，金属块内部产生感应电流，其机械能转化为电热，在磁场内运动，没有感应电流，没有内能产生，不损失机械能，最终，小金属块在光滑曲面上（y a ≤）往返运动，在y=a 处，速度为零。

初态的机械能：212mgb mv +，末态的机械能：mga ，由能量守恒定律，产生的焦耳热即减少的机械能：21()2Q E mg b a mv =∆=-+， D 选项正确。

类型二、“杆”+水平导轨（竖直导轨）问题例2、以速率v 将矩形线圈从一个有界匀强磁场中拉出线圈中感应电流为I ，感应电流通过线圈导线横截面的电量为q ，拉力做功为W 。

若该速率为2v 将线圈从磁场中拉出，求：（1）线圈中感应电流；（2）通过线圈导线横截面的电量；（3）拉力做功。

【思路点拨】分别写出感应电动势、感应电流、安培力、电量、拉力的功在速度为v 时的表达式，再分析速率为2v 时的感应电流、电量、拉力做的功。

【答案】（1）2I ；（2）q ；（3）2W.【解析】（1）感应电动势E BLv =，感应电流E BLv I R R== 安培力22B L v F BIL R==，电量q It =，拉力做功W Pt Fvt == 当速率为2v 时，2I I '=；（2）时间为12t t '=，q I t q '''== （3）2F F '=，12t t '=，2v v '=，12222W P t F v t W '''==⋅⋅=。

【总结升华】熟练应用基本公式，写出变化后的量与变化前的倍数关系，代入公式计算。

举一反三【变式】水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L ，一端通过导线与阻值为R 的电阻连接；导轨上放一质量为m 的金属杆，金属杆与导轨的电阻忽略不计。

均匀磁场竖直向下，用与导轨平行的恒定拉力F 作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。

当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v 也会变化，v 和F 的关系如图（b ）所示（取重力加速度g=10m/s 2）（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？ （2）若m=0.5Kg ，L=0.5m ，R=0.5Ω；则磁感应强度B 为多大？（3）由v —F 图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？【答案】（1）变加速运动（加速度减小的加速运动）或变速运动（2）1B T =（3）0.4μ=【解析】（1）变加速运动（加速度减小的加速运动）或变速运动（2）当杆匀速运动时，0A F f F --=，A F BIL =，E BLv I R R== 22A B L v F R =，则有220B L v F f R--= 所以22()R F f v B L -=…① 由（b ）可知2f N =代入① 220.54(42)0.5B =-⨯，所以1B T = （3）由截距求得f ，并能求得μ。

2f N =，解得0.4μ=。

例3、如图，两根足够长的金属导轨ab 、cd 竖直放置，导轨间距离为L ，电阻不计。

在导轨上端并接两个额定功率均为P 、电阻均为R 的小灯泡。

整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。

现将一质量为m 、电阻可以忽略的金属棒MN 从图示位置由静止开始释放。

金属棒下落过程中保持水平，且与导轨接触良好。

已知某时刻后两灯泡保持正常发光。

重力加速度为g 。

求：（1）磁感应强度的大小：（2）灯泡正常发光时导体棒的运动速率。

【思路点拨】“两灯泡保持正常发光”的意思是金属棒做匀速运动，安培力等于重力，感应电流可以根据额定值写出，即可求出磁感应强度；由于电阻不计，感应电动势等于灯泡两端的电压，电压可以根据额定值写出，即可求导体棒的运动速率。

【答案】（1）2mg PR B PL =（2）2PR P v BL mg== 【解析】每个灯上的额定电流为P I R =额定电压为：P U R = （1）最后MN 匀速运动，安培力等于重力，2B IL mg = 求得2mg PR B PL=。

（2）U BLv = 得：2PR P v BL mg==。

【总结升华】通过金属棒的电流是干路电流，由于金属棒的电阻不计，金属棒两端的电压等于感应电动势，如果金属棒电阻不能忽略，灯泡的电压就是路端电压。

对竖直导轨，导体的重力是有用的，伴随着能量的变化。

举一反三【变式1】图中回路竖直放在匀强磁场中，磁场的方向垂直于回路平面向内。

导线AC 可以贴着光滑竖直长导轨下滑。

设回路的总电阻恒定为R ，当导线AC 从静止开始下落后，下面有关回路能量转化的叙述中正确的是（ ）A.导线下落过程中机械能守恒；B.导线加速下落过程中，导线减少的重力势能全部转化为回路产生的热量；C.导线加速下落过程中，导线减少的重力势能全部转化为导线增加的动能；D.导线加速下落过程中，导线减少的重力势能转化为导线增加的动能和回路增加的内能【答案】D【变式2】如图所示，竖直放置的U 形导轨宽为L ，上端串有电阻R (其余导体部分的电阻都忽略不计)。

磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外。

金属棒ab 的质量为m ，与导轨接触良好，不计摩擦。

从静止释放后ab 保持水平而下滑。

试求ab 下滑的最大速度v m 。

【答案】22L B mgR v m = 类型三、“杆”+倾斜导轨问题例4、如图所示，两根金属导轨平行放置在倾角为θ=30°的斜面上，导轨左端接有电阻8R =Ω，导轨自身电阻不计．匀强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度为0.5B T =．质量为0.1m kg =，电阻为2r =Ω的金属棒ab 由静止释放，沿导轨下滑，如图所示．设导轨足够长，导轨宽度2L m =，金属棒ab 下滑过程中始终与导轨接触良好，当金属棒下滑的高度为3h m =时，恰好达到最大速度2/m v m s =，求此过程中（1）金属棒受到的摩擦阻力；（2）电阻R 中产生的热量（3）通过电阻R 的电量.【思路点拨】求“杆”+倾斜导轨问题的能量问题的基本方法，仍然是受力分析、运动分析，关键是安培力的大小和方向，安培力做的功转化为内能，再应用能量守恒定律。

【答案】（1）0.3f N =（2）0.8R Q J =（3）0.6q C =【解析】（1）感应电流的方向从b 到a ，做受力图。

当金属棒速度恰好达到最大速度时，加速度为零,则sin mg BIL f θ=+根据法拉笫电磁感应定律：m E BLv =根据闭合电路欧姆定律：E I R r=+, 联立以上各式解得22sin 0.3m B L v f mg N R rθ=-=+. （2）下滑过程，根据能量守恒定律，重力势能的减少量等于摩擦力做的功、安培力做的功（转化为热量）以及动能之和21sin 2m h mgh f Q mv θ-⋅-= 代入数据解得电路中产生的总电热为：Q=1J 此过程中电阻R 中产生的热量：810.882R R Q Q J J R r ==⨯=++ （3）设通过电阻R 的电量为q ，由E tφ∆=∆，E I R r =+ 得0.6()()sin BLh q I t C R r R r φθ∆=∆===++【总结升华】对“杆”+倾斜导轨问题，正确进行受力分析是首要问题，安培力方向与磁场方向垂直沿斜面向上（如果磁场方向竖直向上，安培力方向就水平向右了，还要分解）。

能量守恒定律的应用至关重要，也可以这样分析：初态的的能量：重力势能；末态的能量：有动能、克服摩擦力做功消耗的能量、克服安培力做功消耗的能量，能量守恒定律就是总量不变，即初态的能量等于末态的能量。

举一反三【变式】如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，R 1＝R 2＝2R ，匀强磁场垂直穿过导轨平面，有一导体棒ab 质量为m ，棒的电阻为2R ，棒与导轨之间的动摩擦因数为μ。

导体棒ab 沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v 时，定值电阻R 2消耗的电功率为P ，下列说法正确的是（ ）A ．整个装置因摩擦而产生的热功率为cos mgv μθB ．整个装置消耗的机械功率为4cos P mgv μθ+C ．导体棒受到的安培力的大小为6P vD ．导体棒受到的安培力的大小为4P v【答案】AC【解析】棒ab 上滑速度为v 时，切割磁感线产生感应电动势E Blv =，棒电阻为2R ， R 1＝R 2＝2R ，回路的总电阻=3R R 总，通过电阻R 1的电流与通过电阻R 2的电流相等，通过棒ab 的电流等于通过电阻R 2的电流的2倍，导体棒ab 功率是电阻R 2的4倍， 即4ab P P =，总功率为6P ，则有6P Fv =，所以导体棒受到的安培力的大小6P F v=， C 对D 错；杆与导轨的摩擦力cos f mg μθ=，故摩擦消耗的热功率为cos f P f v mgv μθ=⋅=，A 对；整个装置消耗的机械功率为摩擦消耗的热功率与三部分导体的热功率之和， =+6cos f P P P P mgv μθ=+总热，B 错。