克莱姆法则 PPT
合集下载
1-5克莱姆法则
x j的系数等于D, 由行列式按列展开公式可知： 而其余xi i j 的系数均为0; 而等式右端为D j . 因此 Dx j D j j 1,2,, n. ( 2) 当D 0时, 方程组( 2)有唯一解 D D D D (3) x1 1 , x2 2 , x 3 2 , , x n n .
把上面右端行列式第 2行加到第 1行, 再从第 1行中 提取公因子a b c d，得 1 1 0 再将第2列减去第 1列, 得
D (a b c d )(a b c d ) d c a c b c , cd bd ad
1 0 0 D (a b c d )(a b c d ) d c a d b c , cd bc ad 按第1行展开, d bc D (a b c d )(a b c d ) a bc ad (a b c d )(a b c d ) (a c b d )(a d b c ).
27.
经计算可知
8 1 5 1 D1 81 9 3 0 6 3, D1 5 2 1 2 81, x1 D 27 0 4 7 6 2 8 5 1 D2 108 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 108, x2 D 27 4, 1 0 7 6 2 1 8 1 D3 27 1 3 9 6 x3 1, D3 0 2 5 2 27, D 27 1 4 0 6 2 1 5 8 D4 27 1 3 0 9 27 , x4 1. D4 0 2 1 5 D 27 1 4 7 0
a 解 x1 x2 xn 0时可依次 将第i行的 x 倍加到第 i 1行, i 2,, n, 得
1.4 克莱姆( Cramer )法则
24
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
克莱姆(Cramer)法则
0 2 1 2
1 4 7 6
又
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
Байду номын сангаас
1 4 7 0
1 cn cn2 cnn
为 n+1阶范德蒙行列式的转置,故D≠0 .由定
理1.4.2,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,从
而 an=0,此与题设条件矛盾.
n
bk Akj ( j 1,2,, n)
k 1
于是
n aij
j 1
Dj D
1 D
n j 1
aij
n
( bk
k 1
Akj )
1 D
nn
aijbk Akj
j1 k 1
1 D
n
(
k 1
n
aij Akj
j 1
)bk
1 D
bi
(
n
aij Aij
j 1
)
1 D
bi D
bi
(i 1,2,,n)
k1 1 D 1 k 1 (k 1)(k 4)
2 1 1
所以, k = 1或k=4 ，且易验证k = 1或k=4 时方程组确有非零解.
例1.4.4 试证: n次多项式
f (x) a0 a1x an x n (an 0)
克莱姆法则PPT资料优秀版
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
ann xn bn.
为n元线性方程组。
（1）
克莱姆法则
定理1：克莱姆法则 如果线性方程组(1)的系数行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a11 j a21
a1, j1 b1 a1, j1 a2, j1 b2 a2, j1
a1n
a2n j 1, 2, , n
an1
an, j1 bn an, j1
ann
克莱姆法则
注意！
一、用克莱姆法则求解含有n 个方程、n 个未知量的线性方程组,
有两个条件必须满足: 1. 方程组中方程的个数与未知量的个数相等; 2. 方程组的系数行列式不等于零，即 0
解 如果齐次线性方程组（3）的系数行列式Δ≠0,则它只有唯
所以,在一般情况下,我们不采用克莱姆法则求解线性方程组.
线性方程组（3）称为齐次线性方程组。
若齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式Δ=0,即 解线性方程组 所以,在一般情况下,我们不采用克莱姆法则求解线性方程组. 方程组中方程的个数与未知量的个数相等; 此方程组的解是(2)式.
2 1 1 2 1 2 1 2 已知齐次线性方程组
有非零解,问λ 应取何
解 线性代数在线开放课程
而： (货物运输)：某物流公司有3辆汽车同时运送一批货物,一天共运8800吨,如果第1辆汽车运2天,第2辆汽车运3天,共运货物13200吨,如果第1辆汽车运1天,第2辆汽车运2天,第3辆汽车运3天
4 0 1 4 2 4 1 4 ,共运货物18800吨,问每辆汽车每天可运货物多少吨?
1.5 线性方程组和克莱姆法则 PPT课件
为非齐次线性方程组.显然，x1 0, x2 0, , xn 0是 齐次线性方程组（2）的解，并称为（2）的零解
《线性代数》课题组
当m=n时
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n x2 b2 叫做n阶线性方程组.
a1n xn 0 a2n xn 0
ann xn 0
1. 如果n阶线性方程组的系数行列式 D 0 ， 则方程组有惟一解.
2. 若n阶齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ，则方程组只有零解. 3. 若n阶齐次线性方程组有非零解 ，则系数行列式 D 0.
《线性代数》课题组
1 1 1 2 2 0 1 4 D 3210 1 2 1 2
2 3 1 2 c1 3c3 5 2 3 4 c2 2c3 0 0 1 0
2432
《线性代数》课题组
2 3 1 2
2 3 2
010
5
2
3
4
按第三行展开
1 (1)33 5
2
4 r1 r3 5 2 4
0010
242
242
2432
54
2 0
22
所以，方程组有唯一解
2 1 1 2 2 1 1 2
4 D1 1
0 2
1 1
44
0
3
0 0
4 1 4 1 4
3 3 4 2 3 4
4 2 1 2
0 1 2 0 0 1 2
《线性代数》课题组
同理可求得,
1 2 1 2
2 4 1 4
D2 3 1 1
4 0
线性代数 克莱姆法则
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
(1)
齐次线性方程组的相关定理 a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
例2 问 取何值时，齐次方程组
2y 2z 0 (5 λ)x 2x (6 λ)y 0 2x (4 λ)z 0
有非零解？
5 2 6 0 2 0 4
解
D
2 2
5 2 8
5 6 4 44 46
1 3
1 3 0 1
1 5
27,
D1 81 x1 3, D 27 D3 27 x3 1, D 27
D2 108 x2 4, D 27 D4 27 x4 1. D 27
线性方程组
定理1.7 如果线性方程组1 的系数行列式D 0, 则1 一定有解,且解是唯一的 . 定理(逆否) 若线性方程组 1无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零.
3 2
齐次方程组有非零解，则 D 0 所以 0 , 2 或
3 时齐次方程组有非零解.
y a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 通过四点(1, 3)、 补例 设曲线 (2, 4)、(3, 3)、(4, -3), 求该曲线。
解：把四个点的坐标代入曲线方程，得方程组
线性代数 克莱姆(Cramer)法则
其中 b j 称为右端项 (或常数项)；
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
简记为
ai j x j bi ,
j 1
n
i 1 , 2 , , n .
称为系数行列式 .
2
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 二、克莱姆(Cramer)法则 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , 定理 考虑线性方程组 行 列 P 18 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 定理 式 1.3 若系数行列式 D 0 ，则方程组有惟一解
再将 n 个方程相加，得
n n n n ak 1 Ak 1 x1 ak 2 Ak 1 x2 ak n Ak 1 xn bk Ak 1 . k 1 k 1 k 1 k 1
4
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 一 章 行 列 式
6
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 三、齐次与非齐次线性方程组 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 行 定义 设线性方程组为 列 P 21 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 式 (1) 若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为零， 则称此方程组为非齐次线性方程组; (2) 若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零， 则称此方程组为齐次线性方程组; 注 通常还称齐次线性方程组为它所对应的非齐次线性 方程组的导出(方程)组. 7
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
综合定理及推论得:
n
D i j
k 1
a ik
A
jk
0
i j
n
D i j
k 1
a
ki
A
k
j
0
i j
2
1.4 克莱姆(Cramer)法则
n个未知量n个方程的线性方程组, 在系数行列式不 为零时的行列式解法, 称为克莱姆(Cramer)法则.
设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
n
D, k i
Q aijAkj j1
0
,
k
i
a11 L a1,j1 b1 a1,j1 L a1n
Dj M
MMM
M
an1
L
an,j1
bn
an,j1
L
a5 nn
(2)若有一组数x1, x2 ,…, xn满足(*), 则
a11 a12 L a1n
a11 x1 a12 L a1n
Dx1＝x 1
a21x1 a22x2 L a2nxn b2 (*)
M
an1x1 an2x2 L annxn bn
或表示为
n
aijxj bi
i 1,2,L,n
j1
3
定理1 设线性非齐次方程
a11 L
组(*)的系数行列式 D M
an1 L
a1n M0 ann
则(*)有唯一解
即:
D xj D
j
x1D D 1,x2D D 2,L,xnD D n
例4 (03考研) 已知齐次线性方程组
(a1 b)x1 a2x2 a3x3 L anxn 0
a1x1
(a2Байду номын сангаас
b)x2 a3x3 M
L
anxn
0
a1x1 a2x2 a3x3 L (an b)xn 0
n
其中 a i 0 ,试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时, i1
(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.
a11 x1 a12 x2 L a1n xn 0
齐次线性方程组:
a21
x1
a22 M
x2
L
a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 L ann xn 0
n
或表示为 aijxj 0 i1,2,L,n
j1
齐次线性方程组必有零解 有否非零解？
7
n
定理2 齐次线性方程组 aijxj 0 i 1,2,L,n j1 当 D≠0 时只有零解, 没有非零解.
代入(*)左端, 又将Dj按第j列展开，得
n
j1
a ij (
Dj D
)
1 D
n j1
a
ij (
n k 1
b
k
A
kj
)
1 D
nn
( aij Akjbk )
j1 k1
[注]
1 D
n
(
k1
n j1
aij Akjbk
)
1n D k1 bk(
n
aij Akj )
j1
1 D
biD
＝bi ( i＝1, 2, …, n)
a 21 M
a 22
L
a2n a21 x1 a22 L MM
a2n M
an1 an2 L ann an1 x1 an2 L ann
a11x1 a12x2 L a1nxn a12 L a1n b1 a 1 2 L a 1 n
a21x1 a22x2 L a2nxn a22 L a2n b 2 a 2 2 L a 2 n
9
例1 解线性方程组 解: 2 1 5 1
1 3 0 6 D
0 2 1 2 1 4 7 6
2 x1 x2 5 x3 x4 8
x1
3
x2
6x4 9
2 x2 x3 2x4 5
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
0 7 5 13
7 5 1 3 3 5 3
1 3 0 6
手机 关了吗？
1
复习：行列式按某行(列)展开定理及推论
按第 i行
n
D
展
开
ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin aij Aij
j1
(i 1,2,L ,n)
按第 j列
n
展开
a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj aijAij
i1
(j 1,2,L,n)
推论
ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0 (i≠s) a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0 (j≠t)
( j＝1, 2, …, n)
其中,
a11 L a1,j1 b1 a1,j1 L a1n
Dj M
MMM
M
an1 L an,j1 bn an,j1 L ann
( j＝1, 2, …, n)
4
证明: (1)是解. (2)解唯一.
(1)将 x j
Dj D
(j=1,2,…,n)
n
aij xj
j1
bi
i 1,2,L,n(*)
x1
3
x2
6
x3
x4
3
3 x1 x2 kx3 15 x4 3
有唯一解?
解: x1 5 x2 10 x3 12 x4 1
1 1 2 3 1 1 2 3 11 2 3
13 D
6
1 02
4 2 0 2
4 2
3 1 k 15 0 4 k 6 6 0 0 k 2 2
1 5 10 12 0 6 12 9 0 0 0 3
＝6(2－k)≠0 ∴k≠2时方程组有唯一解
11
例3 问 , 取何值时, 齐次线性方程组
x1 x2 x3 0
x1
x2
x3
0
x1
2
x2
x3
0
有非零解?
解: 有非零解的充分必要条件D＝0
1 1 1 1 1
D 1 1 0 1 (1)
1 2 1 0 2 1
由D＝0得 1或0
12
3 3
0
2
1
2 =－ 2
1
2 0
1
0
=27≠0
7 2
7 7 1 2 7 7 2
0 7 7 12
同理 D1=81, D2=－108, D3=－27, D4=27 ∴ x1=3, x2=－4, x3=－1, x4=1
10
例2 k取何值时, 线性方程组
x1 x2 2 x3 3 x4 1
M
MM
M
an1x1 an2x2 L annxn an2 L ann b n a n 2 L a n n
＝D1 同理
x1 Dxj＝Dj
D1 D
xj
(D0) Dj , j1,2,L,n
D
6
注:用克莱姆法则解线性方程组的条件——
(1)方程个数＝未知量个数 (2)系数行列式D≠0
方程个数≠未知量个数及D＝0的情形以后讨论
D≠0
D＝0
13
解 a1 b a2
a3 L
a1 a2 b a3 L
D a1
a2 a3 b L
M
n a1
a2
ai b
n
定理3
(定理2的
齐次线性方程组 aijxj 0 i 1,2,L,n
j1
逆否命题) 有非零解, 则 D＝0
注: 定理3说明D＝0是齐次线性方程组有非零解的
必要条件. 后面将证明也是充分条件.即：
n
齐次线性方程组 aijxj 0 i 1,2,L,n有非零解
j1
D0
8
大家有疑问的，可以询问和交流 可以互相讨论下，但要小声