克莱姆法则的证明及应用
大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念 • 二、Cramer法则 • 三、应用 • 复习小结
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性 方程组的概念 • 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
解
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x 2 x 3 2 x 4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0. r1 2r2 r4 r2
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
67 , 3
3 3 2 0 4 0 D2 1 11 6 1 1 5 6 系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 A13 , A23 , A33 依次乘方程组的 3个方程
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
1.3 克莱姆法则(1)
教学要求
1 2 3 了解克莱姆法则的条件和结论； 认识范得蒙行列式； 熟悉掌握计算行列式的几种常用方法。
教学过程
一、克莱姆法则 条件：1）必须是 n 个方程，n 个未知数； 2）系数行列式 D 一定不等于零。 结论：1）线性方程组有唯一解； 2）唯一解为 x1
D1 D , x2 2 , D D
n 1 x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn 1 x3
n 1 xn
Dn ( x j xi )
i 1 j i 1
n
n
3 掌握范德蒙行列式的计算方法。 从第 n 行开始，后行减去前行的 x1 倍，再用行列式按行展开定理，提出每列元素的公 因式，找出递推规律，以此类推。 练习：书 P26 6 题（4） ，8 题（3） 。
a1n xn ann xn
a1n ann
D1 D , x2 2 , D D
由克莱姆法则，得到课本上第 24 页的定理 4、定理 5。 注意： 1）克莱姆法则的作用是为我们推导线性方程组的求解理论提供理论依据； 2）求解线性方程组时，我们很少用克莱姆法则； 3）在第一章讲克莱姆法则，告诉我们，行列式在求解线性方程组时的应用。
齐次线性方程组有非零解的充要条件 非齐次线性方程组有唯一解、无解和有无穷多解的充要条件
大连海事大学数学系 1
练习：书 P28
10 题、11 题、12 题。
二、范德蒙行列式 1 认识范德蒙行列式；
1 x1 Dn x
2 1
1 x2 x
2 2
1 x3 x
2 3
1 xn
2 xn
x1n 1
2 知道范德蒙行列式的结果；
大连海事大学数学系
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
克莱姆法则系数行列式为零
克莱姆法则系数行列式为零什么是克莱姆法则？克莱姆法则是线性代数中的一个重要定理，它用于解决n个线性方程组的解的唯一性。
根据克莱姆法则，如果一个n阶方程组的系数矩阵的行列式不等于零，那么这个方程组有唯一解。
反之，如果行列式等于零，那么这个方程组要么无解，要么有无穷多解。
什么是行列式？行列式是一个与矩阵相关的数学工具，用于判断方程组的解的存在性和唯一性。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为A 或det(A)。
行列式是一个数，可以通过对矩阵中的元素进行一系列的代数运算得出，具体的计算方法可通过展开定理或高斯消元法来实现。
行列式为零的意义当一个n阶方程组的系数矩阵的行列式等于零时，意味着方程组的解的个数可能为0或者无穷多。
这是因为在计算行列式时，零表示其中存在线性相关的行或者列，使得方程组的多个方程之间存在依赖关系或者方程组的解存在冗余。
这种情况下，方程组的解空间不是唯一确定的，使得方程组可能无解或者存在无穷多解。
证明行列式为零的方法当我们需要证明一个方程组的系数矩阵的行列式为零时，有以下几种方法：1. 利用展开定理：根据展开定理，行列式可以通过按照某一行或某一列展开来计算。
如果在展开过程中发现存在某一行或者某一列的元素全为零，那么行列式的值就为零。
2. 利用高斯消元法：我们可以利用高斯消元法将系数矩阵化为行简化阶梯型矩阵，如果在化简过程中发现存在一行全为零的情况，那么行列式的值也为零。
3. 利用行列式的性质：行列式具有一系列的性质，可以用来简化计算或判断。
其中一个性质是当矩阵的某一行或者某一列全为零时，行列式的值为零。
这个性质可以通过对行列式的行和列进行互换，并利用对角线元素为零的结构性质来证明。
在实际应用中，我们可以根据具体的方程组和已知条件选择合适的方法来判断系数矩阵的行列式是否为零。
这一结果在解方程组或者判断解的存在性和唯一性时具有重要的意义。
行列式为零的案例分析下面通过一个具体的案例来分析行列式为零的情况。
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
第三次课(2—克莱姆法则)
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1j , A2j , …, Anj
依次乘方程组(1)的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn A1 j b1 A1 j a x a x ... a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j .......... .......... ........ an1 x1 an 2 x2 ... ann xn Anj bn Anj
方程是否有解取决于b1和b2的取值, 如果b1=b2, 则头两个方程完全一样, 方程的解不止一个, 而 如b1b2, 方程无解.
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0 a x a x ... a x 0 21 1 22 2 2n n .......... .......... .......... an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0
3与方程组 1
等价, 故
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , ... , xn . D D D D
也是方程组的 1 解.
证毕
内容小结
1. 克莱姆法则
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) 若线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式 D 0, 则方程组(1)有且仅有唯 x j D j / D, ( j 1,2, , n) 一解
有非零解，则它的(当且仅当)系 数行列式必为零。
定理3’为定理3的逆否命题，故显然成立。
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,...a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n.我们将系数矩阵记作A，未知数向量记作X，常数向量记作B，则上述线性方程组可以写成矩阵形式为AX=B。
根据矩阵的乘法，可以将AX表示为列向量的线性组合：AX=x_1A_1+x_2A_2+...+x_nA_n其中A_1，A_2，...，A_n分别是A的列向量。
现在我们假设A_1，A_2，...，A_{i-1}，B，A_{i+1}，...，A_n都不变，而将A_i替换成B。
则记新的系数矩阵为A'。
原方程组可以写成AX=B，新的方程组可以写成A'X=B。
根据线性方程组的解唯一性定理，在方程组有解时，系数矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵C，使得AX=B等价于CAX=CB。
即X=C^-1B。
而根据矩阵乘法的结合性，CAX=CB可以改写为ACX=CB。
我们可以将AC视为n个列向量A_1，A_2，...，A_{i-1}，C，A_{i+1}，...，A_n组成的矩阵形式。
同样，我们可以将CB视为n个列向量A_1，A_2，...，A_{i-1}，B，A_{i+1}，...，A_n组成的矩阵形式。
则ACX=CB可以写成AX=B的形式。
由于X=C^-1B，所以原方程组的解为X=C^-1B。
同理，新方程组的解为X'=(AC)^-1CB。
我们可以通过计算矩阵(AC)^-1和AC，然后使用矩阵乘法运算得出X'。
将X'中位于第i行的元素记作x'_i。
则根据X'=(AC)^-1CB得出x'_i=，AC_i，/，A，其中，X，表示矩阵X的行列式。
克莱姆法则的应用可以用于求解n个方程和n个未知数的线性方程组。
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克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
生于瑞士，卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。
现在就有一般方法来证明克莱姆法则。
证 首先，证明（1-2）式确实是方程组（1-1）的解：把,(1,2,,)jj D x j n D == 代入（1-1）中第一个方程，得121112111112211()n nn n D D Da a a a D a D a D D D D D+++=+++[]()()()[]11111221112112222211122111111212112111112121111111212111211()()()1100n n n n n n n n nn n n n n n n n n a b A b A b A a b A b A b A a b A b A b A D b a A a A a A b a A a A a A b a A a A a A D b D b b b D ++++++++++++++++++ +⋅++⋅=()()()[]1111122111211222221112211111121211211111212111111121211121()1()()1100n n n n n n n n nn n n n n n n n n a b A b A b A a b A b A b A D a b A b A b A b a A a A a A b a A a A a A D b a A a A a A b D b b b D++ =++++ +++ ++=++++ +++ +⋅++⋅=这就是说，（1-2）式满满足方程组（1-1）中的第一个方程。
同理可证（1-2）式也满足方程组（1-1）中其余n-1个方程。
因此，(1-2)式确为方程组（1-1）的解。
其次，设11,22,,n n x k x k x k === 是方程组（1-1）的任意解，将其代入方程组（1-1）得n 个恒等式，再用D 的第j 列元素12,,,j jnja a a 的代数余子式12,,,J J nj A A A 依次乘所得的n 个恒等式的两端再相加，得11111221112211222222112212:,::,00,j j j n n j j j n n nj n n nj j nn n n j nn n j A a k a k a k a k b A a k a k a k a k b A a k a k a k a k b k k Dk a k D +++++=+++++=+++++=+++++=即,1,2,,.j j Dk D jn ==由0,D ≠知,1,2,,.jjD k j n D ==这就是说，如果()12,,,n k k k 是方程组（1-1）的一个解，则(),1,2,,.jj D k j n D == 即方程组只有一个解。
2.1.2 克莱姆法则的一般证明方法的应用例1 解线性方程组12341234123413433,4,227,2 6.x x x x x x x x x x x x x x x +−+=− −++= ++−= +=+=解 由于方程组的系数行列式31111112130,21211021D −−==−≠−故由Cramer 法则知此方程有唯一解，又因为131114112130,71216021D −−−==−≠−23311141226,27211621D −−==−33131114239,21711061D −−==−−43113111413,21271026D −−−==所以方程的唯一解是：312412341,2,13, 1.D D D D x x x x D D D D ====−====−在线性方程组中，有一种特殊而重要的方程组，即常数项为零的方程组：1111221211222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=称此为其次线性方程组。
这种方程组显然有解：120,0,,0,n x x x === 称其为零解。
其次线性方程组若有其他的解，即i x 不全为零的解，成为非零解。
对于方程个数与为质量的个数相同的其次线性方程组，利用Cramer 法则，有定理 若其次线性方程组1111221211222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++= （1-3）的系数行列式0,ij D a =≠则方程组（1-3）有唯一零解。
证 因为0,D =故由Cramer 法则知，方程组（1-3）有唯一解。
但零显然是其解，从而方程组（1-3）只有零解。
例2 如果n 阶行列式0,D =，而D 中元素ija 的代数余子式ij A ≠，则其次线性方程组（1-3）必有非零解。
证 因为0,D =，故D 的每一行元素的代数余子式都是方程组（1-3）的解。
又ij A ≠，故方程组（1-3）必有非零解。
参考文献：《高等代数》上东大学出版社2.2 克莱姆法则的一个简易证明在线性代数教学中, 一般是通过解二元和三元线性方程组引入行列式; 又为了完整和扣题, 是通过介绍克莱姆法则结束行列式教学的, 尽管在后面我们可以用逆阵的理论轻松地得到克莱姆法则. 由于此时, 我们还没有建立完整的线性方程组解的理论, 故一般我们是分解的存在性和唯一性两部分来证明克莱姆法则, 结果是讲的费劲, 学的迷惑. 特别是, 此刻只能指出(方程与未知数个数相同的)齐次方程的系数行列式为零是此方程组有非零解的必要条件, 很难说明充分性也成立. 在本文中, 我们用消元法轻松、自然地给出一个有关线性方程组的基本引理. 用此引理, 我们又可以轻松地证明克莱姆法则及齐次方程组有非零解的充要条件. 虽然我们多加了一个引理, 但此引理突显的是消元法, 而这也是线性代数中理应强调的.引理 线性方程组11112211211222221122(a) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=+++= +++=可以通过消元变换(将一方程的k 倍加到另一个上)变为同解方程组 1111221122222 (b) n n n n nn n nb x b x b xc b x b x c b x c +++=++== . 证明 首先, 通过消元法我们证明方程组(a)可化为下列形式的同解方程组 111122112222222(c) n n n n n nn n n b x b x b x c b x b x c b x b x c +++=++=++=. (1) 若110a ≠, 用111i aa −乘第1个方程加到第i 方程上, 方程组(a)就可以化为方程组(c)的形式;(2) 若110a =, 但某个10(1)i a i ≠>, 则先将第i 个方程加到第1个方程上, 再进行按上面的方法进行;(3) 若1110n a a === , 结论成立. 对于方程组(c)的后1n −个方程再进行同样的处理即知本引理成立.克莱姆法则 若线性方程组(a)的系数行列式||0ij n D a =≠, 则此方程组有唯一的一组解1212, , , nn D D D x x x D D D===, 这里i D 是将D 中的第i 列1,,i ni a a 换成1,,n b b 得到的行列式.证明 由上述引理, 方程组(a)与(b)同解, 且它们的系数行列式相等, 即110nn b b D =≠ . 再对方程组(b)从下向上逐步消元知, 方程组(a)与111222(c) n n na x d a x d a x d === 同解, 且10.n D a a =≠ 再由行列式的性质, 我们还有 122112 n n n d d a D d a a d a == , 112212 n n na d d D a d a d a == , ......, 111111n n n n n na d D a a d a d d −−−==.于是12211212, , , n n n n x x x d d D d D D a a a D D D====== .定理 齐次线性方程组11112212112222112200(d) 0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=有非零解⇔系数行列式||0ij n a =.证明 ()⇒ 设齐次方程组(d)有非零解, 我们用反证法来证实||0ij n a =. 假设||0ij n a ≠, 由克莱姆法则知此方程组有唯一一组解; 又因为齐次方程组一定有零解, 故方程组(d)无非零解. 这与开始的假设矛盾.()⇐ 此时, 以||0ij n a =为已知条件, 来证明方程组(5)有非零解. 由引理知, 方程组(d)与方程组111122122220 0(e) 0n n n n nn n b x b x b x b x b x b x +++=++==同解, 且11||0nn ij n b b a == . 此刻, 至少有一个0ii b =. 设11,,b nn b 中第一个为0的是kk b . 现在, 取11,0k k nx x x +==== 代入方程组(e), 方程组(e)化为 1111221,1112222,1121,111(f ) k k k k k k k k b x b x b x d b x b x d b x d −−−−−−−−+++=++== . 此时, 方程组(f)的系数行列式等于111,10k k b b −−≠ . 由克莱姆法则, 此方程组有唯一一组解. 此解与11,0k k nx x x +==== 拼起来就是方程组(d)的一组非零解.2.3 克莱姆法则的一个新证明克莱姆法则是线性代数的一个基本定理，本文用一种简洁的的方法对该定理给出了一种新的证。