克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念 • 二、Cramer法则 • 三、应用 • 复习小结
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性 方程组的概念 • 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
解
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x 2 x 3 2 x 4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0. r1 2r2 r4 r2
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
67 , 3
3 3 2 0 4 0 D2 1 11 6 1 1 5 6 系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 A13 , A23 , A33 依次乘方程组的 3个方程
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,...a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n.我们将系数矩阵记作A，未知数向量记作X，常数向量记作B，则上述线性方程组可以写成矩阵形式为AX=B。
根据矩阵的乘法，可以将AX表示为列向量的线性组合：AX=x_1A_1+x_2A_2+...+x_nA_n其中A_1，A_2，...，A_n分别是A的列向量。
现在我们假设A_1，A_2，...，A_{i-1}，B，A_{i+1}，...，A_n都不变，而将A_i替换成B。
则记新的系数矩阵为A'。
原方程组可以写成AX=B，新的方程组可以写成A'X=B。
根据线性方程组的解唯一性定理，在方程组有解时，系数矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵C，使得AX=B等价于CAX=CB。
即X=C^-1B。
而根据矩阵乘法的结合性，CAX=CB可以改写为ACX=CB。
我们可以将AC视为n个列向量A_1，A_2，...，A_{i-1}，C，A_{i+1}，...，A_n组成的矩阵形式。
同样，我们可以将CB视为n个列向量A_1，A_2，...，A_{i-1}，B，A_{i+1}，...，A_n组成的矩阵形式。
则ACX=CB可以写成AX=B的形式。
由于X=C^-1B，所以原方程组的解为X=C^-1B。
同理，新方程组的解为X'=(AC)^-1CB。
我们可以通过计算矩阵(AC)^-1和AC，然后使用矩阵乘法运算得出X'。
将X'中位于第i行的元素记作x'_i。
则根据X'=(AC)^-1CB得出x'_i=，AC_i，/，A，其中，X，表示矩阵X的行列式。
克莱姆法则的应用可以用于求解n个方程和n个未知数的线性方程组。
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
生于瑞士，卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。
克莱姆法则求解行列式
克莱姆法则求解行列式1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下内容：概述部分应该介绍文章的主题和背景，同时概述克莱姆法则在求解行列式中的重要性和应用。
可以简要介绍克莱姆法则的定义和原理，以及它在线性代数中的重要性和广泛应用的领域。
克莱姆法则是线性代数中解线性方程组的一种方法，通过利用行列式的性质来求解方程组中的变量。
它得名于法国数学家克莱姆，被广泛应用于数学、物理学、工程学等各个领域中。
在解决实际问题时，常常需要求解一些线性方程组，通过克莱姆法则，我们可以将这一过程转化为求解行列式的问题，从而简化求解过程。
克莱姆法则基于行列式的性质，将方程组的系数矩阵转化为行列式，然后通过计算行列式的值来求解方程组的解。
这种方法在一些具有特殊结构的方程组中特别有效。
克莱姆法则在求解行列式中具有一些重要的优势。
首先，它提供了一种简便的方法来求解行列式，避免了其他复杂的计算过程。
其次，它可以通过行列式的性质直接得到方程组的解，无需进行矩阵的求逆等运算。
这使得克莱姆法则在一些特殊情况下具有更高的效率和精度。
通过本文的研究，我们旨在深入探讨克莱姆法则在求解行列式中的原理和应用，分析其优势和局限性，并总结出一些有关克莱姆法则的重要结论。
在后续的章节中，我们将介绍克莱姆法则的详细原理和应用，并通过具体的例子来说明其实际应用的过程和效果。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下内容进行讨论和阐述克莱姆法则在求解行列式中的应用：1. 克莱姆法则的介绍和原理：我们将详细介绍克莱姆法则的基本概念和原理。
包括行列式的定义和性质，以及克莱姆法则的推导和证明过程。
通过深入理解克莱姆法则的基本原理，我们可以更好地应用该法则解决实际问题。
2. 克莱姆法则的应用：本节将重点讨论克莱姆法则在求解行列式中的具体应用。
我们将通过一些实例和案例来说明如何利用克莱姆法则求解各种规模的行列式。
同时，我们将介绍一些常见的应用场景，如线性方程组的求解和矩阵的逆运算等，以展示克莱姆法则在实际问题中的广泛适用性。
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对于方程个数与为质量的个数相同的其次线性方程组，利用 Cramer 法则，有
定理 若其次线性方程组
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn =0,
a21x1
+ a22 x2 + + a2n xn
=0,
an1x1 + an2 x2 + + ann xn =0.
（1-3）
用 D 的第 j 列元素 a1 j , a2 j ,, anj 的代数余子式 A1J , A2J ,, Anj 依次乘所得的 n 个恒等式的两端再相加，得
A1 j : a11k1 + a12k2 + + a1 jk j + + a1nkn =b1, A2 j : a21k1 + a22k2 + + a2 jk j + + a2nkn =b2 Anj : an1k1 + an2k2 + + anjk j + + annkn =bn , 0k1 + 0k2 + + Dk j + + annkn =Dj ,
克莱姆法则及其应用
前言
克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士 数学家。生于瑞士，卒于法国。在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，， 曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。克莱姆法则是高等 代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。例如计算行列式， 在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
+
=
1 D
[b1D
+
b2
⋅
0
+
+
bn= ⋅ 0]
b1
这就是说，（1-2）式满满足方程组（1-1）中的第一个方程。同理可证（1-2）式也满足方程组（1-1）中其余 n-1
个方程。因此，(1-2)式确为方程组（1-1）的解。
其次，设=x1 k= 1, x2 k2 ,= , xn kn 是方程组（1-1）的任意解，将其代入方程组（1-1）得 n 个恒等式，再
= D1
d1
d= 2 a2
dn
an
d1a= 2 an , D2
a1 d1 = d2
a1d2 an ,
dn
an
......,
= Dn
a1
d1
=
an−1 dn−1
dn
a1 an−1dn .
于是
x=1
da=11
D1 , D
x=2 da=22
D2 , D
,
x=n
da=nn
Dn . D
定理 齐次线性方程组
程组有唯一一组解; 又因为齐次方程组一定有零解, 故方程组 (d) 无非零解. 这与开始的假设矛盾.
(⇐) 此时, 以 | aij |n = 0 为已知条件, 来证明方程组(5)有非零解. 由引理知, 方程组 (d) 与方程组
b11x1 + b12 x2 + + b1n xn = 0
(e)
例 1 解线性方程组
3x1 + x2 − x3 + x4 =−3,
2xx11
− +
x2 x2
+ +
x3 2 x3
+ −
x4 = 4, x4 = 7,
x1 +
2x3 = + x4 = 6.
解 由于方程组的系数行列式
3 1 −1 1
1 −1 1 2
D=
=−13 ≠ 0,
2 1 2 −1
10 2 1
( ) ( ) ( ) 1
D
b1
a11 A11 + a12 A12 + a1n A1n
+ b2
a11 A11 + a12 A12 + a1n A1n
+ + bn
a11 A11 + a12 A12 + a1n A1n
1 D
[b1
D
+
b2
⋅
0
+
+
bn= ⋅ 0]
b1
=1 D
a11(b1 A11 + +a12 (b1 A12 +a1n (b1 A1n
=x1
D D= 1 , x2
D2 D
,= , xn
Dn . D
（1-2）
期中
D J
是将
D
的第
j
列换成常数项
b1
,
b 2
,, bn
而其余列不变的行列式。即
a11 a1, j−1 b1 a1, j+1 a1n
Dj
=
a21
a2, j−1
b2
a2, j+1
a2n
an1 an, j−1 bn an, j+1 ann
（1-1）
其系数构成的行列式
a11 a12 a1n
D = a21 a22 a2n
an1 an2 ann
称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义
克莱姆法则（Cramer Rule）：一个含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式
D ≠ 0 时，有且仅有一个解：
1 −1 1 4
= D4
= 13, 21 2 7
10 2 6
所以方程的唯一解是：
x1
= DD1 = 1, x2
= DD2 = −2, x3
= DD3 = 13, x4
= D4 = −1. D
在线性方程组中，有一种特殊而重要的方程组，即常数项为零的方程组：
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn =0,
a21x1
+ a22 x2 + +
a2n xn
=0,
an1x1 + an2 x2 + + ann xn =0.
称此为其次线性方程组。这种方程组显然有解：=x1 0= , x2 0,= , xn 0, 称其为零解。其次线性方程组若有其他
的解，即 xi 不全为零的解，成为非零解。
即 = Dk j D= j , j 1, 2,, n.
由
D
≠
0,
= k j
知
D= j , j 1, 2,, n. D
这就是说，如果 (k1, k2 ,, kn ) 是方程组（1-1）的一个解，则
= k j
D= j ,( j 1, 2,, n).
D
即方程组只有一个解。
2.1.2 克莱姆法则的一般证明方法的应用
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
(d)
a21x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0
an1x1 + an2 x2 + + ann xn = 0
有非零解 ⇔ 系数行列式 | aij |n = 0 .
证明 (⇒) 设齐次方程组 (d) 有非零解, 我们用反证法来证实 | aij |n = 0 . 假设 | aij |n ≠ 0 , 由克莱姆法则知此方
b2 A21 + + b2 A22 + b2 A2n
bn An1) +bn An2 +bn Ann
) )
+
( ) b1 a11 A11 + a12 A12 +a1n A1n
( ) =1 ( ) D
+b2 +bn
a11 A11 + a12 A12 + a1n A1n a11 A11 + a12 A12 + a1n A1n
(3) 若 a1=1 = an=1 0 , 结论成立.
对于方程组 (c) 的后 n −1个方程再进行同样的处理即知本引理成立.
克莱姆法则 若线性方程组 (a) 的系数行列式=D | aij |n ≠ 0 , 则此方程组有唯一的一组解
=x1
DD= 1 , x2
D2 , D
= , xn
Dn , D
这里 Di 是将 D 中的第 i 列 a1i , , ani 换成 b1, , bn 得到的行列式.
= b1A1 j + b2 A2 j + + bn Anj , ( =j 1, 2,n).
2. 克莱姆法则的证明方法
克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是
2.1 克莱姆法则的一般证明方法
2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法
在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。现在就有一般方法来证明
证明 由上述引理, 方程组 (a) 与 (b) 同解, 且它们的系数行列式相等, 即 b11bn=n D ≠ 0 . 再对方程组 (b)
从下向上逐步消元知, 方程组 (a) 与
a1 x1
= d1
(c) ຫໍສະໝຸດ a2 x2= d2
an xn = dn
同解,= 且 D a1an ≠ 0. 再由行列式的性质, 我们还有
引理 线性方程组