线性代数 克莱姆法则
克莱姆法则
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组.
二、 Gramer法则
定理1 如果线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
记
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11 D3 a21 a31 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
用D中第1列元素的代数余子式 A11 , A21 , A31 依次乘方程组的3个方程
的两边
a11 x1 a12 x2 a13 x3 A13 b1 A13 得 a21 x1 a22 x2 a23 x3 A23 b2 A23 a31 x1 a32 x2 a33 x3 A33 b3 A33
将3个方程的两边相加，得
(a11 A13 a21 A23 a31 A33 ) x1 (a12 A13 a22 A23 a32 A33 ) x2 (a13 A13 a23 A23 a33 A33 ) x3 b1 A13 b2 A23 b3 A33
由代数余子式的性质可知, 上式中x3的系数等于D ,
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
线性代数的掌握与教学(I)-以克莱姆法则教学为例
线性代数的掌握与教学(I)-以克莱姆法则教学为例摘要：以克莱姆法则为研究载体，通过教师对克莱姆法则的不同教学处理，考察教师对数学知识的理解，探讨教师数学内容知识的掌握对教学的影响，通过莱姆法则的知识包，进一步分析教师的知识结构对数学教学的影响。
关键词：数学理解；知识包；克莱姆法则一缘起2006年4月2日起，孟岩在微博上连续发表了题为《理解矩阵》的博文，介绍学习线性代数课程的体会，引起大家的热烈讨论：（网友cqsjnhustccrdi）到后来学结构动力学的时候才知道原来矩阵是这么用的，但是基础都已经忘光了。
原因是在学矩阵的时候是鹦鹉学舌，根本没有理解其本质代表了什么。
（网友peimichae）很多老师最喜欢说“知其然还要知其所以然”，但是几乎所有教科书都对所以然绝口不提，有的老师自己都未必明白，叫我们学生怎么能完全把握住这个东西？（网友minszch）深刻！这种认识到底是要自己来悟，还是应有老师来早点开窍呢？作为一线教师和数学教学研究者，我对大学数学教师的数学知识已经形成了某些特定的期望。
读了孟岩的微博和网友的评论，陷入了深深的思考：我们的线性代数教学怎么了? 任课教师对线性代数的理解状况如何？怎样的教学才能让学生满意？……带着印证的目的，本研究试图调查了解任课教师对线性代数知识理解的现状，从教师和教学的角度寻找没能帮助学生真正理解线性代数内容的原因。
探索克服存在问题和改变这种教学现状的方法，为大学数学老师的专业成长提供帮助。
二为取得研究资料而设计的问题情境1．研究载体克莱姆法则（Cramer´s Rule ，1750年瑞士数学家克莱姆，发表在他的《线性代数分析导言》中）［1］。
克莱姆法则是一个关于求解线性方程组的定理，它给出了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系。
在线性代数教学中，克莱姆法则是一定会遇到的一个教学内容。
如果线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………an1x1+an2x2+…+annxn=bn（1）的系数行列式不等于零，那么方程组(1)有唯一解xj=DjD,(j=1,2,…,n)（2）其中，Dj=a11...a1,j－1b1a1,j+1 (1)a21...a2,j－1b2a2,j+1 (1)…………………an1…an,j－1bnan,j+1…a1n(j=1,2,…,n)。
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
carmer法则
carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
线性代数克莱姆(Cramer)法则山东财经大学线性代数
x1 x2 x3 0 ax1 bx2 cx3 0
a2 x1 b2 x2 c2 x3 0
(1)只有零解；(2)有非零解？
山东财经大学数学与数量经济学院
例1.5.3 设齐次线性方程组
x1 (k 2 1)x2 x1 (2k 1)x2
2x3 0 2x3 0
kx1
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n Dj
an1 an, j1 bn an, j1 ann
山东财经大学数学与数量经济学院
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj依次
乘方程组（1）的n个方程，得
a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
an1x1 an2 x2
a2n
an1 an2
ann
为方程组的系数行列式
山东财经大学数学与数量经济学院
定理1.5.1（克莱姆法则）含n个方程n个未知量的线性方程组（1），
当其系数行列式D 0时有惟一解
xj
Dj D
,
( j 1, 2,
, n)
其中Dj是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项
代替后得到的n阶行列式，即
Dxj Dj j 1, 2, , n
（2）
当D 0时，方程组（2）有惟一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
,
xn
Dn D
由于方程组（2）与方程组（1），所以
山东财经大学数学与数量经济学院
例1.5.1 解线性方程组
x1 x2
2
x1 x1
2x2 3x2
x3 x4 2 x3 4x4 5 x3 3x4 3
克莱姆法则系数行列式为0 -回复
克莱姆法则系数行列式为0 -回复克莱姆法则是线性方程组求解中的一种常用方法，通过行列式来判断方程组是否有解以及解的个数。
克莱姆法则系数行列式为0这个条件则是一个重要的定理。
为了更好地理解该定理的含义，我们首先需要了解一些基本的线性代数知识。
在线性代数中，有一个重要的概念叫做矩阵。
矩阵可以看作是一个数表，其中的元素按照一定的规则排列成多行多列的形式。
一个线性方程组可以用矩阵的形式表示。
例如，对于一个包含两个未知数x和y的线性方程组：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂可以用矩阵表示为：⎡a₁b₁⎤⎡x ⎡= ⎡c₁⎤⎡a₂b₂⎦⎡y ⎡⎡c₂⎦在克莱姆法则中，我们通过计算系数行列式来求解线性方程组。
系数行列式表示的是由方程组中的系数所组成的矩阵的行列式。
对于上述的二元一次线性方程组，系数行列式为：D = ⎡a₁b₁⎤⎡a₂b₂⎦克莱姆法则定理是指，当系数行列式D等于0时，线性方程组无解或者有无数解。
为了证明这个定理，我们先来看当系数行列式D不等于0时，方程组有唯一解的情况。
假设系数行列式D不等于0，那么根据矩阵的性质，D的逆矩阵D⁻¹存在。
根据克莱姆法则，线性方程组的解可以表示为：⎡x ⎡⎡D₁⎡⎡y ⎡= ⎡D₂⎡其中，D₁和D₂分别是由方程组中的常数项所组成的矩阵的行列式。
通过简单的推导，我们可以得到：x = D₁/Dy = D₂/D其中，D表示系数行列式D。
由于D不等于0，所以D的逆矩阵D⁻¹存在。
我们可以将x和y表示为：D₁/D = (1/D)⋅D₁= (D⁻¹⋅D₁)D₂/D = (1/D)⋅D₂= (D⁻¹⋅D₂)这说明，当系数行列式D不等于0时，线性方程组有唯一解，解的表达式为x = D⁻¹⋅D₁，y = D⁻¹⋅D₂。
下面我们来证明当系数行列式D等于0时，线性方程组无解或者有无数解。
对于无解的情况，假设在方程组中存在两个不同的解x₁和x₂。
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
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❖定理4 如果线性方程组(＊)的系数行列式D0 则方程组(＊)一
定有解 且解是唯一的 ❖定理4
如果线性方程组(＊)无解或有两个不同的解 则它的系数 行列式必为零
讨论 常数项均为零的线性方程组称为齐次线性方程组
问齐次线性方程组有什么样的解?
齐次线性方程组
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n 0
D0 而
5 2 2 D 2 6 0 (5)(6)(4)4(4)4(6)
2 0 4
(5)(2)(8)
由D0 得2、5或8
当2、5或8时 齐次线性方程组有非零解
第一章总结
• 1. 行列式的定义（逆序、展开） • 2. 行列式的性质 • 3. 克莱姆法则 • 其他：特殊行列式（包括分块形式）
D27 D181
提示
2 1 5 1
D
1 0
3 2
0 6 1 2
27
1 4 7 6
8 1 5 1
D1
9 5
3 2
0 6 1 2
81
0 4 7 6
克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解 xj Dj / D (j1 2 n)
2 x 1 x 2 5 x 3 x 4 8 例 1 解 线 性 方 程 组 x x 1 1 4 3 x x x 2 2 2 7 x x 3 3 6 2 6 x x x 4 4 4 0 9 5 解 因为
D27 D181 D2108 D327 D427 所以 所给方程组的唯一解为
x 1 D D 1 3 x 2 D D 2 4 x 3 D D 3 1 x 4 D D 4 1
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1
a 1a 1 12 a 1 n
D27 D181 D2108 D327
提示
2 1 5 1
D
1 0
3 2
0 6 1 2
27
1 4 7 6
21 8 1
D3
13 9 0 2 5
6 2
27
14 0 6
克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解 xj Dj / D (j1 2 n)
2 x 1 x 2 5 x 3 x 4 8 例 1 解 线 性 方 程 组 x x 1 1 4 3 x x x 2 2 2 7 x x 3 3 6 2 6 x x x 4 4 4 0 9 5 解 因为
行列式 D a21 a22 a2n 称为方程组(＊)的系数行列式
an1 an2 ann
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1
a 1a 1 12 a 1 n
a a n 2 1 x x 1 1 1 a a n 2 2 x x 2 2 2 a a n 2 n x x n n n b b n 2 ( ＊ ) D a a 2 n 1 a a 1 n 2 2 2 a a n 2 n n
D27 D181 D2108 D327 D427
提示
2 1 5 1
D
1 0
3 2
0 6 1 2
27
1 4 7 6
2 1 5 8
D4
1 3 02
09 1 5
27
1 4 7 0
克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xjDj / D (j1 2 n)
2 x 1 x 2 5 x 3 x 4 8 例 1 解 线 性 方 程 组 x x 1 1 4 3 x x x 2 2 2 7 x x 3 3 6 2 6 x x x 4 4 4 0 9 5 解 因为
定理证明
克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解 xj Dj / D (பைடு நூலகம்1 2 n)
2 x 1 x 2 5 x 3 x 4 8 例 1 解 线 性 方 程 组 x x 1 1 4 3 x x x 2 2 2 7 x x 3 3 6 2 6 x x x 4 4 4 0 9 5 解 因为
复习 行列式按行(列)展开
余子式与代数余子式 行列式按行(列)展开的法则 余子式与代数余子式的应用
两个定义的结合运用
第五节 克莱姆法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组
的求解问题
a11x1a12x2a1nxn b1
aan211xx11aan222xx22aan2nnxxnnbbn2 (＊)
a11 a12 a1n
❖克莱姆法则
如果线性方程组(＊)的系数行列式D不等于零 则方程组 (＊)有唯一解
x 1 D D 1 x 2 D D 2 x n D D n 其中Dj (j1 2 n)是把系数行列式D中第j列的元素a1j a2j anj对应地换为方程组的常数项b1 b2 bn后所得到的n 阶行列式
a 1a 1 12 a 1 n
a a 2 n 1 x x 1 1 1 a a n 2 2 x x 2 2 2 a a n 2 n x x n n n 0 0 ( ＊ ＊ ) D a a 2 n 1 a a 1 n 2 2 2 a a n 2 n n
D27 D181 D2108
提示
2 1 5 1
D
1 0
3 2
0 6 1 2
27
1 4 7 6
2 8 5 1
D2
19 0 5
0 6 1 2
108
1 0 7 6
克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xj Dj / D (j1 2 n)
2 x 1 x 2 5 x 3 x 4 8 例 1 解 线 性 方 程 组 x x 1 1 4 3 x x x 2 2 2 7 x x 3 3 6 2 6 x x x 4 4 4 0 9 5 解 因为
a a n 2 1 x x 1 1 1 a a n 2 2 x x 2 2 2 a a n 2 n x x n n n b b n 2 ( ＊ ) D a a 2 n 1 a a 1 n 2 2 2 a a n 2 n n
❖定理5 如果齐次线性方程组(＊＊)的系数行列式D0 则齐次线
性方程组(＊＊)没有非零解 ❖定理5
如果齐次线性方程组(＊＊)有非零解 则它的系数行列式 必为零
例3 问取何值时 齐次线性方程组
有非零解?
(52)xx(62)yy
2z0 0
2x
(4)z0
解 若所给齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式